Phương trình, hệ phương trình vô tỉ

PHƯƠNG PHÁP DÙNG LƯỢNG LIÊN HỢP ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ I. Một số kiến thức cần nhớ: I.1. Một số hằng đẳng thức hay sử dụng: + + + … + Sử dụng những hằng đẳng thức này, ta có thể quy phương trình vô tỉ ban đầu về dạng phương trình tích bằng việc làm xuất hiện các nhân tử chung. Từ đó ta có thể dễ dàng giải quyết tiếp Thường thì ở các bài toán sử dụng phương pháp này thì ý tưởng tổng quát của ta như sau: Giả sử nếu ta có phương trình dạng với xác định trên một miền D nào đó và ta nhẩm được một nghiệm x = a của phương trình thì ta có thể biến đổi phương trình đã cho lại thành . Đến đây ta chỉ việc xử lí phương trình G(x) = 0 nữa là ổn (Việc xử lí phương trình G(x)= 0 có thể sử dụng công cụ đạo hàm hoặc bằng bất đẳng thức). II. Các ví dụ minh họa: Sau đây, để làm rõ thêm nội dụng và ý tưởng của phương pháp, mời các bạn cùng thử sức với các ví dụ sau: II.1. Các bài toán mở đầu Các bạn hãy thử sức mình với các bài toán này trước nhé Bài toán 1: Giải phương trình sau: Bài toán 2: Giải các phương trình sau: a) b) c) d) II. 2. Bài tập minh họa: Ví dụ 1: Giải phương trình (1) Giải: Ta dự đoán được nghiệm , và ta viết lại phương trình như sau: Mặt khác, ta có: Nên phương trình thức hai vô nghiệm. Vậy (1) có 2 nghiệm . Ví dụ 2: Giải phương trình sau (2) Giải: Ý tưởng: Trước hết, kiểm tra ta thấy được rằng phương trình đã cho có một nghiệm nên ta sẽ cố gắng đưa phương trình trên về phương trình tích xuất hiện nhân tử . Ta có nhận xét rằng: và Ta đi đến lời giải như sau: (2) Mặt khác, ta có: > 0 với mọi x Vậy phương trình (2) có một nghiệm duy nhất x = 2. Ví dụ 3: Giải phương trình (3) Giải: Cũng bằng cách kiểm tra, ta thấy pt (3) nhận x = 1 làm một nghiệm nên ta có thể đưa phương trình (3) về dạng phương trình tích xuất hiện nhân tử . Ta viết lại như sau: (4) Để ý rằng hai phương trình và vô nghiệm nên nhân liên hợp hai vế của (4) ta có: Pt () Đến đây ta có hai hướng giải quyết: Hướng 1: bình phương hai vế… Hướng 2: kết hợp với pt (3) ta có hệ sau Lấy phương trình thứ nhất trừ đi 9 lần phương trình thứ hai, ta thu được: Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm . Ví dụ 4: Giải phương trình Giải: Phương trình đã cho tương đương với:

www.laisac.page.tl PHNG PHP GII PHNG TRèNH Vễ T GV NGUYN TRUNG KIấN 0988844088- 01256813579 I PHNG PHP BIN I TNG NG Bỡnh phng v ca phng trỡnh a) Phng phỏp Thụng thng nu ta gp phng trỡnh dng : A B C D , ta thng bỡnh phng v , iu ú ụi li gp khú khn Khi gp phng trỡnh dng: A B C Ta lp phng v phng trỡnh A B 3 A.B A B C v s dng phộp th : A B C ta c phng trỡnh : A B 3 A.B.C C Vớ d Vớ d 1) Gii phng trỡnh sau : Gii: k x x 3x x x Bỡnh phng v khụng õm ca phng trỡnh ta c: x 3x x x x , gii phng trỡnh ny l khụng khú nhng Phng trỡnh gii s rt n gin nu ta chuyn v phng trỡnh : 3x x x x Bỡnh phng hai v ta cú : Th li x=1 tha x x x 12 x x Nhn xột : Nu phng trỡnh : f x g x h x k x M cú : f x h x g x k x , thỡ ta bin i phng trỡnh v dng : f x h x k x g x sau ú bỡnh phng ,gii phng trỡnh h qu gii xong nh kim tra li nghm xem cú tha hay khụng? Vớ d 2) Gii phng trỡnh sau : x3 x x2 x x x Gii: iu kin : x Bỡnh phng v phng trỡnh ? Nu chuyn v thỡ chuyn nh th no? Ta cú nhn xột : (2) x3 x x x x , t nhn xột ny ta cú li gii nh sau : x x3 x x2 x x x3 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Bỡnh phng v ta c: x x3 x2 x x x x3 x Th li : x 3, x l nghim Qua li gii trờn ta cú nhn xột : Nu phng trỡnh : f x g x h x k x M cú : f x h x k x g x thỡ ta bin i f x h x k x g x Trc cn thc 2.1) Trc cn thc xut hin nhõn t chung Phng phỏp Khi gp cỏc phng trỡnh vụ t m ta cú th nhm c nghim x0 thỡ phng trỡnh luụn a v c dng tớch x x0 A x ta cú th gii phng trỡnh A x hoc chng minh A x vụ nghim , gii quyt trit ta cn chỳ ý iu kin nghim ca phng trỡnh cú th ỏnh giỏ phng trỡnh A x bng phng phỏp o hm hoc s dng cỏc bt ng thc Vớ d 1) Gii phng trỡnh sau : 3x x x x x x 3x Gii: Ta nhn thy : 3x x x x x v x x 3x x Ta cú th trc cn thc v : x x x x x ( x 2) x x x x 3x x x 3x 2 x x 3x D dng nhn thy x=2 l nghim nht ca phng trỡnh Vớ d 2) Gii phng trỡnh sau : x 12 3x x Gii: phng trỡnh cú nghim thỡ : x 12 x x x Ta nhn thy : x=2 l nghim ca phng trỡnh , nh vy phng trỡnh cú th phõn tớch v dng x A x , thc hin c iu ú ta phi nhúm , tỏch nh sau : x 12 x x x2 x 12 x x2 x2 x2 x x x 2 x2 x 12 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ x2 D dng chng minh c : x2 x 12 Vớ d 3) Gii phng trỡnh : x x 0, x x 5 x3 Gii :k x Nhn thy x=3 l nghim ca phng trỡnh , nờn ta bin i phng trỡnh x x x x x x x 2 3 x3 x x x3 x3 Ta chng minh : x x2 x 2 x 3x x2 x3 Vy pt cú nghim nht x=3 Vớ d 4) Gii phng trỡnh: x x x x Gii: iu kin: x Nhn thy phng trỡnh trờn cú nghim x nờn ta ngh n cỏch gii phng trỡnh trờn bng phng phỏp nhõn lng liờn hp x x x x PT x x x x x x x 1 x 1(*) x x 1 1 1; VT (*) Ta cú: x x Mt khỏc x VP(*) x (*) vụ nghim Vy phng trỡnh ó cho cú nghim nht x=3 2 Vớ d 5) Gii phng trỡnh: x x x x x PT x x x x x x 2 x x x x x x x x2 x x x x x 2x x x x x2 2x x x 2x x x x2 x x Ti ta phỏt hin lng x x http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Ta thy x=-2 khụng l nghim ca phng trỡnh nờn ta chia hai v phng trỡnh cho x+2 ta cú x2 x x2 x Gi s ta cn thờm vo hai v phng trỡnh mt lng mx+n ú ta x2 x2 x x x (mx n) (mx n) x2 cú m2 x 2(1 mn) x n2 m x2 (1 2m n) x 2n x2 x x (mx n) m 2(1 mn) n Ta cn chn m, n cho T ú ta cú m=0, n=3 m 2m n 2n Vớ d 6) Gii phng trỡnh: x x x x x Gii: iu kin xỏc nh: x PT x x x x x x x x x x 2x x x 1 x x x x x x * Vi x x (tha iu kin) x (2) * Nu x thỡ suy ra: x 2x x 5 Vi iu kin x , ta cú: VP ca (2) x 6;VT 2 Do ú pt(2) vụ nghim Hay pt(1) khụng cú nghim khỏc Vy pt(1) cú nghim nht x Vớ d 7) Gii phng trỡnh sau: x3 x x 16 x 12 x x x x x Gii: iu kin: x3 x x x x x x Phng trỡnh c vit li nh sau: 2( x 1)2 x3 (2 x 1) (2 x 1) (2 x 1) 4(2 x 1) x x x x 1 x x x3 (2 x 1) A B A B Vi A 2( x 1)2 x (2 x 1) B (2 x 1)2 (2 x 1) (2 x 1)3 4(2 x 1) (2 x 1)3 4(2 x 1) Vỡ x A 1; B x A B Suy PT x x 2 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ 2.2) a v h tm a) Phng phỏp Nu phng trỡnh vụ t cú dng A B C , m : A B C dõy C cú th l hng s ,cú th l biu thc ca x Ta cú th gii nh sau : A B C A B A B C A C A B , ú ta cú h: A B b) Vớ d Vớ d 1) Gii phng trỡnh sau : x x x x x Gii: Ta thy : x x x x x x khụng phi l nghim Xột x Trc cn thc ta cú : 2x 2 x 2x2 x 2x2 x 2x x x x x x x x x 2 Vy ta cú h: 2x x x 2 x x x x x x Th li tha; vy phng trỡnh cú nghim : x=0 v x= x2 x x x 3x Ta thy : x x x x x x , nh vy khụng tha iu kin trờn.Tuy Vớ d 2) Gii phng trỡnh : nhiờn Ta cú th chia c hai v cho x v t t thỡ bi toỏn tr nờn n gin hn x Nhn thy x=0 khụng phi l nghim, chia hai v pt cho x ta cú t t 1 1 x x x x ta cú phng trỡnh mi l t t t t vic gii phng trỡn.h ny l x hon ton n gin Ta cú t2 t t2 t t t t t 2t t t t t 2t T ú ta cú h sau : t2 t t2 t t x 2t 10 2t t t t x t t t t http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Vớ d 3) Gii phng trỡnh: x x 24 x 59 x 149 x Gii: Phng trỡnh xỏc nh vi mi x thuc R Phng trỡnh cú dng: 5(5 x )2 5(5 x) x x 2 x x 24 x 59 x 149 x x 24 x 59 x 149 x 5(5 x) (*) x x 24 x 59 x 149 (*) x x 24 x 59 x 149 5( x 5) Kt hp vi phng trỡnh bi ta cú h : x x 24 x 59 x 149 5( x 5) x x 24 x 10 x x 24 x 59 x 149 x x 4( L) x x 19 (TM ) x x 24 (2 x 10) 19 Vy phng trỡnh cú nghim l : x 5; x 3 Phng trỡnh bin i v tớch S dng ng thc *) u v uv u v *) au bv ab vu u b v a *) A2 B Vớ d 1) Gii phng trỡnh : Gii: PT x 1 x x x 3x x x x Vớ d 2) Gii phng trỡnh : x Gii: + x , khụng phi l nghim x2 x x2 x x x x x x x + x , ta chia hai v cho x: Vớ d 3) Gii phng trỡnh: Gii:iu kin : x x x x x x2 4x PT x 2x x x x x 1 x http://toanlihoasinh.blogspot.com/ 4x x x3 x3 Vớ d 4) Gii phng trỡnh : Gii: k: x Chia c hai v cho 4x 4x 4x x : x x3 x3 x Vớ d 5) Gii phng trỡnh: x x x x x Gii: iu kin x t a x , b x 1; a, b ab x x Phng trỡnh ó cho tr thnh: b 2a 2b ab a b b a b b - Nu a=b thỡ x x x x x tha iu kin bi - Nu b=2 thỡ x x Vy phng trỡnh ó cho cú nghim nht x=3 Dựng hng ng thc Bin i phng trỡnh v dng : Ak B k Vớ d 1) Gii phng trỡnh : 3x x 3x Gii: k: x ú pt cho tng ng 3 10 10 : x 3x x x x 3 3 Vớ d 2) Gii phng trỡnh sau : x x x Gii: k: x phng trỡnh tng ng : x x x x 9x2 x 97 x x 18 Vớ d 3) Gii phng trỡnh sau : 3 x x x 3 x x Gii : PT x 3x x II PHNG PHP T N PH Phng phỏp t n ph thụng thng * i vi nhiu phng trỡnh vụ vụ t , gii chỳng ta cú th t t f x v chỳ ý iu kin ca t nu phng trỡnh ban u tr thnh phng trỡnh cha mt bin t quan trng hn ta cú th gii c phng trỡnh ú theo t thỡ vic t ph xem nh hon ton Núi chung nhng phng trỡnh m cú th t hon ton t f x thng l nhng phng trỡnh d http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Vớ d 1) Gii phng trỡnh: iu kin: x Nhn xột x x2 x x2 x x x x 1 x x thỡ phng trỡnh cú dng: t t t Thay vo tỡm c x Vớ d 2) Gii phng trỡnh: x x x t t Gii iu kin: x t2 t t x 5(t 0) thỡ x Thay vo ta cú phng trỡnh sau: t 10t 25 2 (t 5) t t 22t 8t 27 16 (t 2t 7)(t 2t 11) Ta tỡm c bn nghim l: t1,2 2; t3,4 Do t nờn ch nhn cỏc gỏi tr t1 2, t3 T ú tỡm c cỏc nghim ca phng trỡnh l: x vaứ x Cỏch khỏc: Ta cú th bỡnh phng hai v ca phng trỡnh vi iu kin x x Ta c: x ( x 3) ( x 1) , t ú ta tỡm c nghim tng ng n gin nht l ta t : y x v h) v a v h i xng (Xem phn dt n ph a Vớ d 3) Gii phng trỡnh sau: x x iu kin: x t y x 1( y 0) thỡ phng trỡnh tr thnh: y y y 10 y y 20 ( vi y 5) ( y y 4)( y y 5) y T ú ta tỡm c cỏc giỏ tr ca x 21 17 (loaùi), y 2 11 17 Vớ d 4) Gii phng trỡnh sau : x 2004 x 1 x Gii: k x t y x PT y y y 1002 y x http://toanlihoasinh.blogspot.com/ 3x x Vớ d 5) Gii phng trỡnh sau : x x x Gii: iu kin: x Chia c hai v cho x ta nhn c: x x 1 x x , ta gii c x t t x Vớ d 6) Gii phng trỡnh : x x4 x2 2x Gii: x khụng phi l nghim , Chia c hai v cho x ta c: x x x x 1 , Ta cú : t t t x x t t= x Vớ d 7) Gii phng trỡnh sau: x x x x x x x2 x Li gii: iu kin x ; 0;1 2 Nu x t (1) suy x0 h cng vụ nghim Xột x[...]... dựng phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng giác như thế nào ? Từ công phương trình lượng giác đơn giản: cos 3t  sin t , ta có thể tạo ra được phương trình vô tỉ Chú ý : cos 3t  4cos3 t  3cos t ta có phương trình vô tỉ: 4 x 3  3 x  1  x 2 Nếu thay x bằng 1 ta lại có phương trình : 4  3x 2  x 2 x 2  1 x (1) (2) Nếu thay x trong phương trình (1) bởi : (x-1) ta sẽ có phương trình vố tỉ khó:... trong 2 phương trình: n a  f  x   u hoặc m b  f  x  v 5.2 Xây dựng phương trình vô tỉ từ hệ đối xứng loại II  Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II  x  12  y  2  Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau :  2  y  1  x  2 (1) việc giải hệ này (2) thì đơn giản Bây giời ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách... hình về phương trình:  u   v  mu 2  nv 2 học sinh cần chú ý 3 Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn  Từ những phương trình tích x 1 1 x 1  x  2  0 , 2x  3  x 2x  3  x  2  0       Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát Thông thường các phương trình. ..  1 thì ta đưa về hệ sau:  2  y  2 y  2( x  1) Trừ hai vế của phương trình ta được ( x  y )( x  y )  0 Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là: x  2  2 Ví dụ 2) Giải phương trình: 2 x 2  6 x  1  4 x  5 Giải Điều kiện x   5 4 Ta biến đổi phương trình như sau: 4 x 2  12 x  2  2 4 x  5  (2 x  3) 2  2 4 x  5  11 Đặt 2 y  3  4 x  5 ta được hệ phương trình (2 x  3)... B 2   A     0 nên (5) không thể xảy ra 2 4  5 3 Phương trình có 3 nghiệm x  2; x  4 Ví dụ 4) Giải phương trình: 3 3x  4  x 3  3 x 2  x  2 Phương trình đã cho tương đương với 3 3 3x  4  2 x  3   x  1  x  13  2 x  y  4 Đặt y  1  3 3 x  4 Ta có hệ phương trình  3  y  1  3x  4 Trừ hai phương trình của hệ, vế theo vế ta được: 2 2  x  y   x  1   x  1... trình là x  {2;3} 1 Ví dụ 2) Giải phương trình: 2 1  x  4 x  4 2 Điều kiện: 0  x  2  1  2  1  x  u Đặt  0u 2  1, 0  v  4 2  1  4 x  v 1  u  v 1   4 u  v  2   4 2 Ta đưa về hệ phương trình sau:   2 u 2  v 4  2  1  1  v   v 4  2  1    4 2  Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau:  2 1   Giải phương trình thứ 2: (v  1)   v  4   0... đổi.”  Dạng hệ gần đối xứng 22 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ (2 x  3)2  2 y  x  1 Ta xét hệ sau :  (1) đây không phải là hệ đối xứng loại 2 nhưng 2 (2 y  3)  3 x  1  chúng ta vẫn giải hệ được , và từ hệ này chúng ta xây dưng được bài toán phương trình sau : Ví dụ 1) Giải phương trình: 4 x 2  5  13 x  3 x  1  0 2 13  33  Nhận xét : Nếu chúng ta nhóm như những phương trình trước... hệ vô nghiệm ab  16 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x  1; x  16 Nhận xét: Khi gặp phương trình có dạng: F  f  x   , n a  f  x  , m b  f  x   c (1) Ta có thể đặt  f  u , v   c u  n a  f  x  , v  m b  f  x  , lúc đó ta có hệ phương trình:  n m u  v  a  b Giải hệ này ta tìm được u,v Từ đây ta tìm được x Chú ý: Khi tìm được u,v để tìm x ta chỉ cần giải 1 trong 2 phương. .. x  5  x 2  10 x  50  5   3 1 x 1  3 IV PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Xây dựng phương trình vô tỉ dựa theo hàm đơn điệu như thế nào?  Dựa vào kết quả : “ Nếu y  f  t  là hàm đơn điệu thì f  x   f  t   x  t ” ta có thể xây dựng được những phương trình vô tỉ Xuất phát từ hàm đơn điệu : y  f  x   2 x 3  x 2  1 mọi x  0 ta xây dựng phương trình : f  x  f   3x  1  2 x3  x 2  1 ... 81y  8  Hay  Đến đây việc giải hệ hoàn toàn đơn giản 3  3 y  2   81x  8 n “Dạng tổng quát của bài toán này là:  f ( x)   b  a n af ( x )  b Để giải phương trình này ta n t  b  ay đặt t  f ( x); y  n af ( x)  b Ta có hệ phương trình sau:  n Đây là hệ đối xứng loại  y  b  at (II) Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta sẽ tìm được mối liên hệ t,y Chú ý rằng ta có thể thay a,