chủ đề phương trình, bất phương trình vô tỉ và hệ vô tỉ

• Nếu bài toán chứa có thể đặt  Chú ý: :Với phương trình căn thức chứa tham số sử dụng phương pháp dặt ẩn phụ, nhất thiết ta phải tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ.. Để tìm điều kiện đúng

CHỦ ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ VÀ HỆ VÔ TỈ

1.2 Các phương pháp giải phương trình vô tỉ

1.2.1. Phương pháp nâng lên lũy thừa

x 0

7 x

thử lại các điều kiện ta được x = 0

Vậy phương trình có nghiệm x = 0

VËy PT (3) cã 2 nghiÖm lµ x1 = 11

2 ; x2 = 2

f(x) (g(x))

VD1: Giải các phương trình sau:

3 + 2x 3 x − =Giải:

⇔x2 – 8x + 12 = 0

⇔(x – 2)(x – 6) = 0

⇔ x1 = 2 (không thỏa mãn điều kiện)

x2 = 6 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x = 6

VD2: Giải Phương trình = 3x – 1 (1)

VD1: Giải phương trình sau

3 2x 1 + + 3x 1 =Gải:

3x 1 3 2x 1 x 1 2x 1 x x

(2x 1)x x x(x 1) 0

x 0

x 1Thử lại chỉ có x = 0 thỏa mãn

Vậy x = 0 là nghiệm của phương trình đã cho

Vậy phương trỡnh đó cho cú một nghiệm x =-

x 3

x 3

Ta cú (3)⇔ 2x 5+ = 3x 5+2 (3')−

Hai vế của (3’) không âm, ta bình phơng 2 vế của (3’) thì đợc ⇔ 4 3x 5 6 x (3'') − = − 2 x + 5 = 3 x − 5 + 4 3 x − 5 + 4

Với điều kiện 6 - x ≥ 0 ⇔ x ≤ 6

Hai vế của (3’’) không âm nên ta bình phơng 2 vế của (3’’) thì đợc

16(3x - 5) = 36 + x2 -12x

⇔ x2 - 60x + 116 = 03

VD5: Gi¶i PT 10− +x x+ =3 5

(7)

10x30

3x

0x10

x 10

x 10

=+

=

2x:DK(*)2x4x

0x

(11)Gi¶i: (11) ⇔

x x

x

(12) đk : x> 0Giải: (12) ⇔

x + x2 +x =1

⇔ x2 +x =1

- x (*)Với điều kiện 1 - x > 0 ⇔

x < 1Phơng trình (*) ⇔

1

Ví dụ 10: Giải phơng trình

2 2 3

3 1

x x

−

(13)Giải: ĐK :

1x0

1x

03x2

Khi đó (13) ⇔

( 1)( 3)

31

x x

x x

• Nếu bài toán chứa có thể:

Đặt t= , điều kiện tối thiểu t ,khi đó

• Nếu bài toán chứa

Đặt t= ,điều kiện tối thiểu t ,khi đó =

• Nếu bài toán chứa có thể:

Đặt t=khi đó =

• Nếu bài toán chứa co thể:

Đặt x= với hoặc x= với t

• Nếu bài toán chứa có thể:

Đặt x = với t\{0} hoặc x= với t

• Nếu bài toán chứa có thể:

Đặt với hoặc đặt với

• Nếu bài toán chứa hoặc có thể đặt

• Nếu bài toán chứa có

thể đặt

 Chú ý: :Với phương trình căn thức chứa tham số sử dụng phương pháp dặt ẩn

phụ, nhất thiết ta phải tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ

Để tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ ta có thể chọn một trong các phương pháp sau:

 Sử dụng tam thức bậc2, thí dụ:

 Sử dụng bất đẳng thức, thí dụ

Ta có :

Vậy điều kiện cho ẩn phụ t là

 Sứ dụng đạo hàm, thí dụ được minh họa trong ví dụ phía dưới.b) Ví dụ minh họa

Đặt (**)

Khi đó:

(2) (3)

Phương trình (1) có nghiệm

Nhận xét rằng (3) luôn có hai nghiệm trái dấu Do đó, (3) có nghiệm thỏa mản (**)

Vậy với phương trình (1) có nghiệm

Vậy nghiệm của phương trình là

Ví dụ 4: Giải và biện luận phương trình

+ (1)Giải

Điều kiện:

(*)

5 t

1 t

2 1

(lo¹i)

⇒ x2 + 7 x + 7

⇔

x2 + 7 x + 7 = 1 ⇔

1x

⇔

(t-1) (3t+1) = 0

1 2

113

t t

= 1 ⇔

x2 + x = 1 ⇔

1 52

x x

1x

VËy ph¬ng tr×nh (22) cã 2 nghiÖm

1

2

1 52

1 52

Ví dụ 3: Giải phơng trình: x 4 x 2 x 8 x 12 6

+

=2

(23)Giải:

đk x2 − 4 x + 6 ≥ 0

đúng ∀ x(23) ⇔x2 −4x+6− 2 x2 −4x+6−12=0

Đặt x2 −4x+6 =t≥0

Ta có phơng trình

1 2

2

2 5 2

2 2 0( )2

2 12 0

2 5 2

3 22

6x2 1

Vậy phơng trình (16) có 2 nghiệm x 1 = 6 ; x 2 = - 2

đú hoặc nếu biểu diễn được thỡ cụng thức biểu diễn lại quỏ phức tạp

 Khi đú thường ta được một phương trỡnh bậc 2 theo ẩn phụ (hoặc vẫn theo ẩn x) cú biết số

4

x2 − + = ⇔ 2 − + = ⇔ 2 − − =

⇒

(*)Đặt t=

Nếu a=0 thì hệ vô nghiệm.

§Æt

3 3

33

3a

61x

3b

4a

VËy ph¬ng tr×nh (35) cã hai nghiÖm x1 = - 61 ; x2 = 30

VÝ dô 16: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3 (3x 1)2 3 (3x 1)2 3 9x2 1 1

=

−+

−+

+

(36)Gi¶i:

2vu2

vu

1uvv

u2

vu

1uvv

u

2 2

2 2 3

3

2 2

11x31

v

1u0

1v3

2vu

4 1−x + 2−x = 3−2x

(37)Gi¶i : §K: x < 1

(a + b)4 = a4 + b4 ⇔

a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4 ab3 + b4 = a4 + b4 ⇔

2ab (2a2 + 3ab + 2b2) = 0

NÕu 



=

=0b

0a

NÕu a = 0 =>

4 1 − x

= 0 ⇔

x = 1 (tho¶ m·n ®k)NÕu b = 0 =>

4 2 − x

= 0 ⇔

x = 2 (lo¹i)VËy (37) cã 1 nghiÖm lµ x = 1

 B1: Đặt điều kiện có nghĩa cho các biểu thức trong phương trình

 B2: Biến đổi phương trình về dạng :

 B3: Đặt ,ta biến đổi phương trình thành hệ:

Khi đó, phương trình được chuyển thành

Với x = y thay vào (1) ta được

4-15x+8=0 Kết hợp với điều kiện (*) và (**) suy ra Với 2y = 5 - 2x thay vào ( 1) ta được

4 Kết hợp với điều kiện (*) và (**) suy ra

Vậy phương trình có hai nghiệm: và

Ví dụ 2: Giải phương trình:

.Giải

Đặt y=

Khi đó phương trình được chuyển thành hệ :

Thay x = y vào ( 1) ta được :

Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 hoặc x = -2

VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh 2 ( )2

x 3 x

=+

3vu17

2 2 4

=

+

17vu2)uv29(

3vu17

vu2uv2)

v

u

(

3v

u

2 2 2

2 2 2

16 v u

3 v u 0

32 uv 18

v

u

3 v

u

2

2

1 x

4 x 2 v

1 u

1 v

2 u 2

v

.

u

3 v

u

) nghiem vo

( 16

v

.

u

3 v

§k: - 17≤x≤ 17

§Æt

2 2

=++

=++

17xy2)yx(

9xyyx17

yx

9xyyx

2 2

=+

=+

+

⇔

9xyyx

35xy2)yx(17xy2)

y

x

(

10xy2)y

7yx

4x

⇒

x=1 hoÆc x = 4VËy ph¬ng tr×nh (40) cã 2 nghiÖm x1 = 1, x2 = 4

A < 0

Ta cã

1 x 1 1 1

x − − ≥ − −

⇒

1 x 1 1 1

x − − + − − ≥ x − 4 − 1 + 2 − x − 4 = 1

⇒

4 x 2 1 4

x − − + − −

= 1 ⇔

(

0 ) 4 x 2 )(

1 4

5 < x < 8 (tho¶ m·n ®k)VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (16) lµ 5 < x < 8

VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh x −2 x −1 − x−1=1

(17)Gi¶i: §K x > 1

VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh x+ 2x−1+ x− 2x−1= 2

(18)

2 − −

> 1 - 2 x − 1

X¶y ra

1 1 x

VËy PT (18) cã nghiÖm 2

1 < x < 1

A < 0

Ta cã :

3 9 x

VÝ dô 6 Gi¶i ph¬ng tr×nh

2 2 2 5 x 2 3 x 2 5 x 2

2 − −

> 3 - 2x −5

X¶y ra

3 5 x

Ta chøng tá tËp gi¸ trÞ hai vÕ rêi nhau

Ta cã: VT =

xxx6

>

+++

+

=+++

−+

VËy ph¬ng tr×nh (47) cã 1 nghiÖm duy nhÊt x=3

−

−

1x4xx

1x41x4

x2

x

1x41

−

32x01x

§k 2x-3

30

2

x

≥ ⇒ ≥ −

Ta cã ph¬ng tr×nh (37)

2(x 2x 1)(2x 3) 2 2x 3 1 0

( x 1 )2 ( 2 x 3 1 )2 0

=

− + +

=+

⇔

(tho¶ m·n ®k x

32

≥ −)VËy ph¬ng tr×nh (49) cã 1 nghiÖm x= -1

§K :

0

1

05

0 b a

; 0 b

; 0

a ≥ ≥ + >

a≥ b≥ a+ b >

x 5 x 3 3 x 7 x 3

x 2 4

2 2

2 x 3 1

x 5 x 3 3 x 7 x 3

x 2 2

2 2

) 38 (

0 2 3 y

0 1 2 x

2 2 2

7 y

3 x

VËy ph¬ng tr×nh (52) cã 1 nghiÖm (x, y, z) = (3, 7,14)

VÝ dô 13 Gi¶i ph¬ng tr×nh :

1xx3

11

x3

x2 − + =− 4 + 2 +

(53)Gi¶i:

1xx()1x

x 1

x x

⇔ =

kÕt hîp víi ®k vµ thö l¹i thÊy x =1 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (53)

Đối với PT này ta thờng dùng các hằng đẳng thức nh bình phơng của một tổng, bình phơng củamột hiệu, BĐT Cosi, Bunhiacopxki, so sánh tập giá trị của hai vế, chứng minh nghiệm duy nhất Đặc biệt lu ý các dấu “=” xảy ra để kết luận nghiệm.

1.2.8. Phương phỏp hàm số

a) Phương phỏp

Sử dụng cỏc tớnh chất và những định lý sau :

Cỏc tớnh chất:

Tớnh chất 1 Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trờn khoảng (a;b) thỡ phương trỡnh f(x)=k (k∈R) cú

khụng quỏ một nghiệm trong khoảng (a;b).

Tớnh chất 2 Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trờn khoảng (a;b) thỡ ∀u, v ∈(a,b) ta cú

( )

( )

f u = f v ⇔ =u v

Tớnh chất 3 Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thỡ phương trỡnh

f(x)=g(x) cú nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).

Định lý Lagrange Cho hàm số F(x) liờn tục trờn đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trờn khoảng (a;b)

cú nghiệm thuộc (a;b).

Định lý Rụn Nếu hàm số y=f(x) lồi hoăc lừm trờn miền D thỡ phương trỡnh f(x)=0 sẽ khụng

cú quỏ hai nghiệm thuộc D

Từ cỏc tớnh chất trờn ta cú 3 phương ỏn biến đổi như sau:

Phương ỏn 1: Biến đổi phương trỡnh về dạng: f(x) = k, nhẩm một nghiệm rồi chứng minh f(x)

đồng biến (nghịch biến) suy ra phương trỡnh cú nghiệm duy nhất

Phương ỏn 2: Biến đổi phương trỡnh về dạng: f(x) = g(x), nhẩm một nghiệm rồi dựng lập luận

khẳng định f(x) đồng biến cũn g(x) nghịch biến hoặc hàm hằng suy ra phương trỡnh cú nghiệm

duy nhất

Phương án 3: Biến đổi phương trình về dạng: f(u) = f(v) chứng minh f(x) đơn điệu khi đó ta

là nghiệm của phương trình

Đối với phương trình chứa tham số ta thực hiện như sau:

Xét phương trình f(x,m) = g(m), (1)

B1: Lập luận số nghiệm phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C ): y = f(x,m) và đường

thẳng

d: y = g(m).

B2: Lập bảng biến thiên cho hàm số y = f(x,m)

B3: Kết luận: * phương trình có nghiệm:

* phương trình có k nghiệm: d cắt (C) tại k điểm.

* phương trình vô nghiệm khi: d không cắt (C )

Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi −1 < m < 1.

Chú ý: Trong bài toán trên nếu không thực hiện việc xác định giới hạn hàm số, rất có thể

chúng ta ngộ nhận tập giá trị của hàm số là R và dẩn đến việc kết luận sai lầm rằng phương trình có nghiệm với mọi m Do đó việc tìm giới hạn trong bài toán khảo sát là rất cần thiết để

Ví dụ 4 Biện luận theo m số nghiệm phương trình:

x

m x

+ =+

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của (C):

2

3 1

x y x

+

= +

: phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Ví dụ 5 Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

−

t2 + t + 1 = m, lập bảng biến thiên của hàm số vế trái với

2 ≤ ≤t 2

từ đó kết luận: 1≤ ≤m 2

PHẦN 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

2.1 Định nghĩa

Bất phương trình vô tỷ là bất phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn thức Nói khác đi đó làmột phương trình có dạng f (x)>0 ,( hoặc f(x) <0, f(x)≥ 0 f(x) ≤ 0), trong đó f(x) là hàm số có chứa căn thức của biến số

2.3 Các phương pháp giải bất phương trình vô tỉ

- Nhìn chung các phương pháp giải bất phương trình vô tỷ cũng tương tự như phương trình vô

tỷ Tuy nhiên, trong một số trường hợp cũng có điểm khác biệt

- Giải bất phương trình vô tỷ là một trong những bài toán không có công thức giải tổng quát, không có qui trình mang tính chất thuật toán

- Việc phân ra thành các phương pháp giải riêng biệt chỉ mang tính chất tương đối, tùy quan điểm từng người làm toán

- Mỗi bất phương trình có thể giải bằng nhiều phương pháp khác nhau nên người làm toán cầncân nhắc nên giải theo phương pháp nào cho hiệu quả Mặt khác, có những bất phương trình không phải phương pháp nào cũng giải được, nó có những nét đặc thù riêng nên người làm toán cần phải linh hoạt trong việc tìm ra phương pháp giải

2.3.1 Phương pháp biến đổi tương đương

x x x x x

2x

Vậy S =[2;+

Ví dụ 3: giải bất phương trình: (1)

Giải

Điều kiện để các căn bậc hai có nghĩa là -1

Khi đó vế phải của bpt (1) cũng không âm , do đó bình phương hai vế của bất phương trình đã cho ta được bất phương trình tương đương

2 +2





Bât phương trình cuối luôn đúng

Vậy, nghiệm của bất phương trình là -1

Ví dụ 4 Cho bất phương trình: + (1) Tìm các giá trị của m để bất phương trình (1)

(x 1)(x 2)

1( 4)

2 − +x

(– x + 4)

Nhận xét Phương pháp này ngắn gọn nhưng trong nhiều trường hợp phép nâng lũy

thừa sẽ dẫn đến những bất phương trình đại số bậc cao không giải được Khi đó ta phải áp dụng phương pháp khác

2.3.2 Phương pháp Đặt ẩn phụ (hữu tỉ hóa, lượng giác hóa):

 < −

⇔ 

> +



so sánh với điều kiện

10

2x) –

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x≥ −1

Ví dụ 4 Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm

2

a+ x + a− x ≤

Giải.

Nếu a < 0: bất phương trình vô nghiệm

Nếu a = 0: bất phương trình có nghiệm x = 0

Nếu a > 0:

a y

x x

f ’(x)

0,2

0v,0u

2 2

Nhìn trên đồ thị ta thấy điều kiện của m là m < 5

≥

9)3x(y

0

y

2 2

có đồ thị là nửa đường tròn nằm phía trên trục hoành với tâm tại (3; 0), bán kính bằng

2

x

Độ dài đoạn nghiệm 1 2= ⇔

parabol đi qua điểm

(2; 2 2)

Độ dài đoạn nghiệm 1 4= ⇔

parabol đi qua điểm

a) Tìm m để bất phương trình vô nghiệm

b) Tìm m để tập nghiệm là một đoạn với độ dài là 2

3.5 Phương pháp điều kiện cần và đủ:

Phương pháp này thường áp dụng để tìm điều kiện của tham số sao cho tập nghiệm của bất phương trình thỏa mãn một tính chất T nào đấy Gồm 2 bước:

Bước1: Nếu tập nghiệm thỏa mãn tính chất T thì tham số phải thuộc tập TS

D nào đó (đk cần)

Bước 2: Loại những giá trị của tham số trong TS

D làm cho nghiệm của bất phương trình khôngthỏa mãn tính chất T (đk đủ)

2 9(1 1 2 )

≥+11x

01x

1x

(1)Với điều kiện đó ta có:

22

1 1 2

x x

x<

Kết hợp với (1) ta được tập nghiệm là:

1 45[ ; ] \{0}

x x t

[ ;5)

3

x∈ −

Ta thực hiện theo các bước sau:

B1: Đặt điều kiện (nếu có)

B2: Biến đổi về phương trình – bất phương trình − hệ phương trình đơn giản mà ta đã biết cách giải bằng cách: thế, khử biến

B3: Kết luận (chú ý điều kiện và sự biến đổi tương đương hay hệ quả)

Điều kiện:

2 2

Điều kiện:

0 ,y≥

Ví dụ 5 Giải hệ phương trình:

( )

2, 1 1,(2)

Ta thực hiện theo các bước sau:

B1: Điều kiện (nếu có)

B2: Lựa chọn ẩn phụ, tìm đk cho ẩn phụ

B3: Giải hệ nhận được, từ đó suy ra nghiệm x, y.

B4: Kiểm tra tính hợp lệ cho nghiệm từ đó kết luận

c) Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Giải hệ bất phương trình:

3 2

Vậy nghịêm của hệ là cặp nghiệm (x; y) thoả:

Bình phương phương trình 2, thay ẩn

phụ vào, giải tìm được t = 3 Giải thêm chút xíu nữa ta được nghiệm.

21(3 9 )

x

x

x < +

Bài 4 Giải và biện luận các bất phương trình sau:

5

1

3 3 1

420 280



TÀI LIỆ THAM KHẢO

[1] Hoàng Huy Sơn – Đại số sơ cấp – Nhà xuất bản Giáo dục.

[2] Kênh toán học miễn phí của người việt(www.vietmaths.com ).

[3] Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí và Lê Bích Ngọc – Phương pháp giải toán đại số - Nhà xuất

bản Đại học quốc gia Hà Nội

[4] Trần Phương, Lê Hồng Đức – Đại số sơ cấp - Nhà xuất bản Hà Nội.

[5] Thư viện trực tuyến Violet (http://violet.vn)