Chuyên đề giải phương trình vô tỉ

PHƯƠNG PHÁP 3: ĐẶT ẨN PHỤ1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt và chú ý điều kiện của nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo thì việc đặt phụ xem như “hoàn toàn ” . Bài 1. Giải phương trình: HD:Điều kiện: Nhận xét. Đặt thì phương trình có dạng: . Thay vào tìm được Bài 2. Giải phương trình: .HD:Điều kiện: Đặt thì . Thay vào ta có phương trình sau: Ta tìm được bốn nghiệm là: Do nên chỉ nhận các gái trị Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình l: Cách khác: Ta có thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện Ta được: , từ đó ta tìm được nghiệm tương ứng.Đơn giản nhất là ta đặt : và đưa về hệ đối xứng (Xem phần đặt ẩn phụ đưa về hệ)Bài 3. Giải phương trình sau: HD:Điều kiện: Đặt thì phương trình trở thành: ( với Từ đó ta tìm được các giá trị của Bài 4. Giải phương trình sau : HD: ĐK: Đặt thì phương trình trở thành: Bài 5. Giải phương trình sau : HD:Điều kiện: Chia cả hai vế cho x ta nhận được: Đặt , Bài 6. Giải phương trình : HD: không phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được: Đặt t= , Ta có : Bài 7.Giải phương trình: HD:Đặt y = ; Phương trình có dạng: 3y2 + 2y 5 = 0 Với y = 1 Là nghiệm của phương trình đã cho.Nhận xét : Đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết được một lớp bài đơn giản, đôi khi phương trình đối với lại quá khó giải 2. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :Chúng ta đã biết cách giải phương trình: (1) bằng cách Xét phương trình trở thành : thử trực tiếp Các trường hợp sau cũng đưa về được (1)  Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này .a) . Phương trình dạng : Như vậy phương trình có thể giải bằng phương pháp trên nếu: Xuất phát từ đẳng thức : Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như: Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai giải “ nghiệm đẹp”Bài 1. Giải phương trình : HD: Đặt phương trình trở thành : Tìm được: Bài 2. Giải phương trình : ()HD:Dễ thấy: Ta viết Đồng nhất vế trái với () ta được : Đặt : phương trình trở thành :3u+6v= Từ đây ta sẽ tìm được x.Bài 3: Giải phương trình sau : ()HD:Đk: Nhận xét : Ta viết Đồng nhất vế trái với () ta được : Đặt , ta được: Ta được : Bài 4. Giải phương trình : HD:Nhận xét : Đặt ta biến pt trên về phương trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y : Pt có nghiệm : Bài 5:Giải phương trình: .HD:ĐK: Pt . Đặt Phương trình trở thành:10uv = 3(u2+v2) Nếu u = 3v (vô nghiệm)Nếu v = 3u là nghiệm. b) Phương trình dạng : Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưg nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên.Bài 1. Giải phương trình : HD:Ta đặt : khi đó phương trình trở thành : hay: 2(u + v) (u v)= Bài 2. Giải phương trình sau: HD:Đk . Bình phương 2 vế ta có : Ta có thể đặt : khi đó ta có hệ : Do . Bài 3. Giải phương trình : HD:Đk . Chuyển vế bình phương ta được: Nhận xét : Không tồn tại số để : vậy ta không thể đặt : .Nhưng may mắn ta có : Ta viết lại phương trình: . Đến đây bài toán được giải quyết . 3. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn Từ những phương trình tích , Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát .Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau .Bài 1. Giải phương trình : HD:Đặt ; , ta có : Bài 2. Giải phương trình : .HD:Đặt : Khi đó phương trình trở thnh : Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có chẵn : Bài 3:Giải phương trình: HD:Đặt Phương trình trở thành: t2 (x + 3)t + 3x = 0 (t x)(t 3) = 0 Nếu t = x (Vô lý). Nếu t = 3 . Vậy: 4. Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích Xuất phát từ một số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo ra được những phương trình vô tỉ mà khi giải nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa về hệXuất phát từ đẳng thức , Ta có Từ nhận xét này ta có thể tạo ra những phương trình vô tỉ có chứa căn bậc ba . Bài 1. Giải phương trình : HD:ĐK: Đặt , ta có : , giải hệ ta được: Bài 2. Giải phương trình sau : HD:Ta đặt : , khi đó ta có : Bài 3. Giải các phương trình sau : HD:Đặt . Ta được hệ phương trình: Từ đó ta có: a2 4b2 = a 2b (a 2b)(a + 2b 1) = 0 Nếu a = 2b (thoả mãn)Nếu a = 1 2b ()Ta có : VT() (1)VP() = (2)Từ (1) và (2) suy ra phương trình () vô nghiệmVậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 5. Đặt ẩn phụ đưa về hệ:5.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường Đặt và tìm mối quan hệ giữa và từ đó tìm được hệ theo u,v Bài 1. Giải phương trình: . HD:Đặt Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau: , giải hệ này ta tìm được . Tức là nghiệm của phương trình là Bài 2. Giải phương trình: . HD:Điều kiện: Đặt Ta đưa về hệ phương trình sau: Giải phương trình thứ 2: , từ đó tìm ra rồi thay vào tìm nghiệm của phương trình.Bài 3. Giải phương trình sau: . HD:Điều kiện: Đặt thì ta đưa về hệ phương trình sau: Vậy Bài 4. Giải phương trình: HD:Điều kiện: Đặt .Khi đó ta được hệ phương trình: Bài 5. Giải phương trình: .HD:ĐK: Đặt . Đặt t = uv Với t = 15 x = 4. Với t = 113 x = 548Bài 6. Giải: (1) HD:Với điều kiện: Đặt Với v > u ≥ 0 Phương trình (1) trở thành u + v = 3 Ta có hệ phương trình Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {1}Bài 7. Giải phương trình: HD: Điều kiện: ()Với điều kiện (),đặt ; , với u ≥ 0, . Ta có: Do dó ta có hệ

Chuyờn gii phng trỡnh vụ t PHNG PHP 3: T N PH Phng phỏp t n ph thụng thng i vi nhiu phng trỡnh vụ vụ t , gii chỳng ta cú th t t = f ( x ) v chỳ ý iu kin ca t nu phng trỡnh ban u tr thnh phng trỡnh cha mt bin t quan trng hn ta cú th gii c phng trỡnh ú theo t thỡ vic t ph xem nh hon ton Bi Gii phng trỡnh: Nhn xột HD:iu kin: x x x2 + x + x2 = x x x + x = 1 t t = x x thỡ phng trỡnh cú dng: t + = t = Thay vo tỡm c x = t Bi Gii phng trỡnh: x x = x + HD:iu kin: x t2 t t = x + 5(t 0) thỡ x = Thay vo ta cú phng trỡnh sau: t 10t + 25 2 (t 5) = t t 22t 8t + 27 = (t + 2t 7)(t 2t 11) = 16 Ta tỡm c bn nghim l: t1,2 = 2; t3,4 = Do t nờn ch nhn cỏc gỏi tr t1 = + 2, t3 = + T ú tỡm c cỏc nghim ca phng trỡnh l: x = vaứ x = + Cỏch khỏc: Ta cú th bỡnh phng hai v ca phng trỡnh vi iu kin x x Ta c: x ( x 3) ( x 1) = , t ú ta tỡm c nghim tng ng n gin nht l ta t : y = x + v a v h i xng (Xem phn t n ph a v h) Bi Gii phng trỡnh sau: x + + x = HD:iu kin: x t y = x 1( y 0) thỡ phng trỡnh tr thnh: y + y + = y 10 y y + 20 = ( vi y 5) ( y + y 4)( y y 5) = y = T ú ta tỡm c cỏc giỏ tr ca x = 11 17 ( + 21 + 17 (loaùi), y = 2 )( Bi Gii phng trỡnh sau : x = 2004 + x x t y = x thỡ phng trỡnh tr thnh: ( y ) (y ) HD: K: x + y 1002 ) = y = x = = 3x + HD:iu kin: x < x 1 Chia c hai v cho x ta nhn c: x + x = + t t = x , x x x Bi Gii phng trỡnh : x + x x = x + Bi Gii phng trỡnh sau : x + x x 1 HD: x = khụng phi l nghim , Chia c hai v cho x ta c: x ữ+ x = x x Chuyờn gii phng trỡnh vụ t 1 , Ta cú : t + t = t = x = x Bi 7.Gii phng trỡnh: x + 21x + 18 + x + x + = t t= x HD:t y = x2 + x + ; y y= y =1 Phng trỡnh cú dng: 3y + 2y - = y =1 x = Vi y = x + x + = L nghim ca phng trỡnh ó cho x = Nhn xột : i vi cỏch t n ph nh trờn chỳng ta ch gii quyt c mt lp bi n gin, ụi phng trỡnh i vi t li quỏ khú gii t n ph a v phng trỡnh thun nht bc i vi bin : Chỳng ta ó bit cỏch gii phng trỡnh: u + uv + v = (1) bng cỏch u u Xột v phng trỡnh tr thnh : ữ + ữ+ = v v v = th trc tip Cỏc trng hp sau cng a v c (1) a A ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) B ( x ) u + v = mu + nv Chỳng ta hóy thay cỏc biu thc A(x) , B(x) bi cỏc biu thc vụ t thỡ s nhn c phng trỡnh vụ t theo dng ny a) Phng trỡnh dng : a A ( x ) + b.B ( x ) = c A ( x ) B ( x ) Nh vy phng trỡnh Q ( x ) = P ( x ) cú th gii bng phng phỏp trờn nu: P ( x ) = A ( x ) B ( x ) Q ( x ) = aA ( x ) + bB ( x ) Xut phỏt t ng thc : x + = ( x + 1) ( x x + 1) x + x + = ( x + x + 1) x = ( x + x + 1) ( x x + 1) ( )( ) x4 + = x2 x + x2 + 2x + x + = ( x x + 1) ( x + x + 1) Hóy to nhng phng trỡnh vụ t dng trờn vớ d nh: x 2 x + = x + cú mt phng trỡnh p , chỳng ta phi chn h s a,b,c cho phng trỡnh bc hai at + bt c = gii nghim p Bi Gii phng trỡnh : ( x + ) = x + HD: t u = x + (u 0) ; v = x x + (v ) u = 2v 37 phng trỡnh tr thnh : ( u + v ) = 5uv Tỡm c: x = u = v 2 Bi Gii phng trỡnh : x x + = x + x + (*) 2 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t 2 2 HD:D thy: x + x + = ( x + x + 1) x = ( x + x + 1) ( x x + 1) 4 Ta vit ( x + x + 1) + ( x x + 1) = ng nht v trỏi vi (*) ta c : ( x + x + 1) + ( x x + 1) = (x (x + x + 1) ( x x + 1) + x + 1) ( x x + 1) 3 phng trỡnh tr thnh :-3u+6v=- uv u = 3v T õy ta s tỡm c x 2 t : u = x + x + u ữ ; v = x x + v ữ 4 HD:k: x Bi 3: Gii phng trỡnh sau : x + x = x3 (*) Nhn xột : Ta vit ( x 1) + ( x + x + 1) = ( x 1) ( x + x + 1) ng nht v trỏi vi (*) ta c : ( x 1) + ( x + x + 1) = ( x 1) ( x + x + 1) v = 9u t u = x , v = x + x + > , ta c: 3u + 2v = uv v = u Ta c : x = Bi Gii phng trỡnh : x 3x + ( x + 2) 6x = HD:Nhn xột : t y = x + ta bin pt trờn v phng trỡnh thun nht bc i vi x v y : x = y x 3x + y x = x3 3xy + y = Pt cú nghim : x = y x = 2, x = 22 Bi 5:Gii phng trỡnh: 10 x3 + = ( x + ) HD:K: x u = x + (u , v 0) Pt 10 x + x x + = 3( x + 2) t v = x x + u = 3v Phng trỡnh tr thnh:10uv = 3(u2+v2) ( 3u v ) ( u 3v ) = v = 3u Nu u = 3v x + = x x + x 10 x + = (vụ nghim) x = 33 2 Nu v = 3u x x + = x + x 10 x = x = + 33 l nghim b) Phng trỡnh dng : u + v = mu + nv Phng trỡnh cho dng ny thng khú phỏt hin hn dng trờn , nhg nu ta bỡnh phng hai v thỡ a v c dng trờn Bi Gii phng trỡnh : x + x = x x + u = x ( u, v 0; u v ) ú phng trỡnh tr thnh : u + 3v = u v HD:Ta t : v = x hay: 2(u + v) - (u - v)= ( u + v) ( u v) Bi Gii phng trỡnh sau: x + x + x = x + x + HD:k x v ta cú : (x + x ) ( x 1) = x + (x Bỡnh phng 2 + x ) ( x 1) = ( x + x ) ( x 1) Chuyờn gii phng trỡnh vụ t u = x + x Ta cú th t : ú ta cú h : v = x v u = uv = u v 1+ v u = 1+ 1+ Do u , v u = v x2 + 2x = ( x 1) 2 Bi Gii phng trỡnh : x 14 x + x x 20 = x + HD:k x Chuyn v bỡnh phng ta c: x x + = (x x 20 ) ( x + 1) 2 Nhn xột : Khụng tn ti s , : x x + = ( x x 20 ) + ( x + 1) vy ta khụng th u = x x 20 t : v = x + 2 Nhng may mn ta cú : ( x x 20 ) ( x + 1) = ( x + ) ( x ) ( x + 1) = ( x + ) ( x x ) Ta vit li phng trỡnh: ( x x ) + ( x + ) = ( x x 5)( x + 4) n õy bi toỏn c gii quyt Phng phỏp t n ph khụng hon ton x +1 x + = , T nhng phng trỡnh tớch x + ( 2x + x )( ( ) )( ) 2x + x + = Khai trin v rỳt gn ta s c nhng phng trỡnh vụ t khụng tm thng chỳt no, khú ca phng trỡnh dng ny ph thuc vo phng trỡnh tớch m ta xut phỏt T ú chỳng ta mi i tỡm cỏch gii phng trỡnh dng ny Phng phỏp gii c th hin qua cỏc vớ d sau ( ) 2 Bi Gii phng trỡnh : x + x + x = + x + t = HD:t t = x + ; t , ta cú : t ( + x ) t + 3x = t = x Bi Gii phng trỡnh : ( x + 1) x x + = x + HD:t : t = x x + 3, t 2 Khi ú phng trỡnh tr thnh : ( x + 1) t = x + x + ( x + 1) t = Bõy gi ta thờm bt , c phng trỡnh bc theo t cú chn : t = x x + ( x + 1) t + ( x 1) = t ( x + 1) t + ( x 1) = t = x Bi 3:Gii phng trỡnh: x + 3x + = ( x + 3) x + HD:t t = x + 1; t t = x t = Phng trỡnh tr thnh: t2 - (x + 3)t + 3x = (t - x)(t - 3) = Nu t = x x + = x (Vụ lý) Nu t = x + = x = 2 Vy: x = 2 t nhiu n ph a v tớch Xut phỏt t mt s h i s p chỳng ta cú th to c nhng phng trỡnh vụ t m gii nú chỳng ta li t nhiu n ph v tỡm mi quan h gia cỏc n ph a v h Xut phỏt t ng thc ( a + b + c ) = a + b3 + c + ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) , Ta cú a + b3 + c = ( a + b + c ) ( a + b ) ( a + c ) ( b + c ) = T nhn xột ny ta cú th to nhng phng trỡnh vụ t cú cha cn bc ba Chuyờn gii phng trỡnh vụ t x + x2 x + x2 8x + = 3x + + x + x x = Bi Gii phng trỡnh : x = x x + x x + x x HD:K: x u = x ; u ( u + v ) ( u + w ) = 2 u = uv + vw + wu t v = x ; v , ta cú : v = uv + vw + wu ( u + v ) ( v + w ) = , gii h ta w2 = uv + vw + wu ( v + w ) ( u + w ) = w = x ; w 30 239 c: u = x= 60 120 Bi Gii phng trỡnh sau : x + x x = x + x + + x x + a = x b = x 3x a + b = c + d x = HD:Ta t : , ú ta cú : 2 2 a b = c d c = x + x + d = x x + Bi Gii cỏc phng trỡnh sau : x + x + x x + = x a = x + x + HD:t b = x x + a 4b = x ( a; b ) Ta c h phng trỡnh: a 2b = x a = 2b a = 2b T ú ta cú: a2 - 4b2 = a - 2b (a - 2b)(a + 2b - 1) = 2 Nu a = 2b x + x + = x x + x = (tho món) Nu a = - 2b x + x + = x x + (*) Ta cú : VT(*) (1) VP(*) = x x + = x ữ + < (2) T (1) v (2) suy phng trỡnh (*) vụ nghim Vy phng trỡnh ó cho cú nghim nht x = t n ph a v h: 5.1 t n ph a v h thụng thng t u = ( x ) , v = ( x ) v tỡm mi quan h gia ( x ) v ( x ) t ú tỡm c h theo u,v ( ) 3 3 Bi Gii phng trỡnh: x 35 x x + 35 x = 30 HD:t y = 35 x3 x3 + y = 35 xy ( x + y ) = 30 Khi ú phng trỡnh chuyn v h phng trỡnh sau: , gii h ny ta tỡm c x + y = 35 ( x; y ) = (2;3) = (3;2) Tc l nghim ca phng trỡnh l x {2;3} x + x = HD:iu kin: x Bi Gii phng trỡnh: x = u 0u 1,0 v t x = v Chuyờn gii phng trỡnh vụ t u = v u + v = Ta a v h phng trỡnh sau: u + v = v + v = ữ Gii phng trỡnh th 2: (v + 1) v + ữ = , t ú tỡm v ri thay vo tỡm nghim ca phng trỡnh Bi Gii phng trỡnh sau: x + + x = HD:iu kin: x 2 t a = x 1, b = + x 1(a 0, b 5) thỡ ta a v h phng trỡnh sau: a + b = (a + b)(a b + 1) = a b + = a = b b a = x + = + x x = x x = Vy Bi Gii phng trỡnh: 11 17 2x + 2x + = HD:iu kin: < x < 5 x 5+ x ( ) t u = x , v = y < u , v < 10 (u + v) = 10 + 2uv u + v = 10 Khi ú ta c h phng trỡnh: 4 + 2(u + v) = (u + v) ữ = u v uv Bi Gii phng trỡnh: 629 x + 77 + x = HD:K: 77 x 629 u = 629 x (u; v 0) u + v = 8, u + v = 706 t t = uv t v = 77 + x t 128t + 1695 = t = 15 t = 113 Vi t = 15 x = Vi t = 113 x = 548 Bi Gii: x3 + x + x3 + x + = (1) HD:Vi iu kin: x3 + x x + x + > u = x + x t v = x + x + Vi v > u Phng trỡnh (1) tr thnh u + v = Ta cú h phng trỡnh u+v =3 2 v u = u+v =3 u + v = u = v = (v + u )(v u ) = v u = x + x = x + x + = x3 + x = x + x + = Chuyờn gii phng trỡnh vụ t x + x 2=0 ( x 1)( x + x + 2) = x = (do x + x + > x) Vy phng trỡnh ó cho cú nghim l S = {1} x x x Bi Gii phng trỡnh: x = x HD: iu kin: x0 x0 (*) 2 Vi iu kin (*),t u = x ; v = x , vi u 0, v Ta cú: 3 x2 = u4 x = v Do dú ta cú h u+v = u+v = u4 = v2 u + v = u+v = u+v = 3 2 ( u + v ) 2u v = ( u + v ) 2u.v 2u v = u+v = u + v = 2u.v 2u v = 2u v 16 u.v 65 = ữ 81 u + v = 194 u.v = 18 u + v = + 194 u.v = 18 u v v l nghim ca phng trỡnh 2 194 = 0(a ) y y + 18 y y + + 194 = 0(b) 18 (b) vụ nghim (a) cú nghim y1 = 97 1+ ; y2 = 97 Do ú: u1 = y1 u = y v1 = y v = y1 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t Vỡ u nờn ta chn 1+ u = y2 = 97 1+ x= 1+ 97 x = 97 2 97 Vy phng trỡnh ó cho cú nghim nht x = + 4 Bi Gii phng trỡnh: 18 + x + 64 x = HD:Vi iu kin 18 18 + x x 18 64 x (*) t u = 18 + x , v = 64 x , vi u 0, v 64 64 x 5 x u = 18 + x Suy Phng trỡnh ó cho tng ng vi h: v = 64 x u+v =4 u+v = 2 u + v = 82 u + v 2(uv) = 82 v 0, v v 0, v ( ) t A = u + v v P = u.v, ta cú: S =4 2 S P P = 82 P 0, S S =4 S =4 p 32 P + 87 = P = P = 29 P0 P0 ( (1) ) Vi S = 4, P = y =1 Do ú ta cú: y = u v v l nghim ca phng trỡnh: y y + = u = u = v = v = 18 + x = 18 + x = 18 + x = 18 + x = 81 17 63 x= x= Suy tho 5 64 x = 81 64 x = 64 x = 64 x = (*) (2) Vi S = 4, P = 29 khụng tn ti u v v 17 x1 = Vy phng trỡnh ó cho cú nghim l: x = 63 5.2 Gii phng trỡnh vụ t bng cỏch a v h i xng loi II Ta hóy i tỡm ngun gc ca nhng bi toỏn gii phng trỡnh bng cỏch a v h i xng loi II ( x + 1) = y + (1) Ta xột mt h phng trỡnh i xng loi II sau : vic gii h ny thỡ ( y + 1) = x + (2) n gin Bõy gi ta s bin h thnh phng trỡnh bng cỏch t y = f ( x ) cho (2) luụn ỳng , y = x + , ú ta cú phng trỡnh : ( x + 1) = ( x + 1) + x + x = x + 2 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t Vy gii phng trỡnh : x + x = x + ta t li nh trờn v a v h ( x + ) = ay + b Bng cỏch tng t xột h tng quỏt dng bc : , ta s xõy dng c y + = ax + b ( ) phng trỡnh dng sau : t y + = ax + b , ú ta cú phng trỡnh : a ( x + ) = ax + b + b a n Tng t cho bc cao hn : ( x + ) = n ax + b + b Túm li phng trỡnh thng cho di dng khai trin ta phi vit v dng : n ( x + ) = p n a ' x + b ' + t y + = n ax + b a v h , chỳ ý v du ca ??? n Vic chn ; thụng thng chỳng ta ch cn vit di dng : ( x + ) = p n a ' x + b ' + l chn c Bi 1: Gii phng trỡnh: x x = 2 x HD:iu kin: x 2 Ta cú phng trỡnh c vit li l: ( x 1) = 2 x x x = 2( y 1) t y = x thỡ ta a v h sau: Tr hai v ta c y y = 2( x 1) ( x y )( x + y ) = Gii ta tỡm c nghim ca phng trỡnh l: x = + Cỏch 2: t x = t + a x = t + 2at + a Chn a = -1 ta c:t2 - 2t = 2x - 2 x x = 2t kt hp vi u bi ta cú h phng trỡnh: t 2t = x Gii h ny ta s tỡm c x 2 Ta bin i phng trỡnh nh sau: x 12 x = x + (2 x 3) = x + + 11 Bi Gii phng trỡnh: x x = x + HD:iu kin x (2 x 3) = y + ( x y )( x + y 1) = t y = x + ta c h phng trỡnh sau: (2 y 3) = x + Vi x = y x = x + x = + Vi x + y = y = x x = x + (vụ nghim) Kt lun: Nghim ca phng trỡnh l x = + Bi 3:Gii phng trỡnh: x x + = HD:K: x Pt x = x + ; x (*) t x + = t + a x + = t + 2at + a 2 x = t t õy ta s t = x Chn a = ta c:t2 - = x v kt hp vi (*) ta c h phng trỡnh: tỡm c nghim Bi 4:Gii phng trỡnh: 7x2 + 7x = 4x + ( x > 0) 28 HD:t 4x + =t+a 28 4x + = t + 2at + a 28 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t 4x + 1 = t + t + 7t + 7t = x + ta c: 28 x + x = t + Kt hp vi u bi ta c h phng trỡnh: 7t + 7t = x + Chn a = PHNG PHP 4: PHNG PHP NH GI I-KIN THC: 1.Bt ng thc Bunhiakụpxki: Cho hai b s : ( a , b), (x , y) thỡ ta cú: (ax + by)2 (a + b )( x + y ) Du = xy a b = x y 2.Bt ng thc cụsi: a) Vi hai s a, b thỡ ta cú: Du = xy a = b a+b ab b) Vi ba s a, b, c thỡ ta cú: Du = xy a = b = c a+b+c abc c) Vi bn s a, b, c, d thỡ ta cú: Du = xy a = b = c = d e) Vi n s a1, a2,, an thỡ ta cú: Du = xy a1 = a2 = = an 3.GTLN,GTNN ca biu thc: a/ A = m + f2(x) m a+b+c+d abcd a1 + a2 + + an n a1.a2 an n b/ A = M - g2(x) M Am MinA = m A M MaxA = M Du ''='' xy f(x) = Du ''='' xy g(x) = Dựng hng ng thc : T nhng ỏnh giỏ bỡnh phng : A2 + B , ta xõy dng phng trỡnh dng A2 + B = T phng trỡnh ( ) ( 5x x + ) 5x + x = ( ta khai trin cú phng trỡnh : x + 12 + x = x x + x ) Dựng bt ng thc A m (1) Mt s phng trỡnh c to t du bng ca bt ng thc: B m (2) nu du bng (1) v (2) cựng t c ti x0 thỡ x0 l nghim ca phng trỡnh A = B , du bng Ta cú : + x + x Du bng v ch x = v x + + x +1 + 1+ x v ch x = Vy ta cú phng trỡnh: 2008 x + + 2008 x = x +1 A = f ( x ) A f ( x ) ụi mt s phng trỡnh c to t ý tng : ú : A = B B f ( x) B = f ( x ) Nu ta oỏn trc c nghim thỡ vic dựng bt ng thc d dng hn, nhng cú nhiu bi nghim l vụ t vic oỏn nghim khụng c, ta dựng bt ng thc ỏnh giỏ c 10 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t II-BI TP: 2 + x = x+9 x +1 Bi Gii phng trỡnh : HD:k: x x + x + + ữ = x+9 x + x + 2 1 = x= Du bng x +1 x +1 Bi Gii phng trỡnh : 13 x x + x + x = 16 HD:k: x 2 + xữ 2 Ta cú : x +1 ( ) ( Bin i pt ta cú : x 13 x + + x ) = 256 p dng bt ng thc Bunhiacopxki: ( 13 13 x + 3 + x ) ( 13 + 27 ) ( 13 13 x + + x ) = 40 ( 16 10 x ) p dng bt ng thc Cụsi: 10 x ( 16 10 x 2 ) 16 ữ = 64 2 x= + x2 x = Du bng 10 x = 16 10 x x = Bi Gii phng trỡnh: x 3` 3x x + 40 4 x + = HD:Ta chng minh : 4 x + x + 13 v x x x + 40 ( x 3) ( x + 3) x + 13 Bi 4: Gii phng trỡnh: x + x = x 12 x + 38 HD:Ta cú :VT2=( x + x )2 (1 + 1).(7- x + x - 5) = Nờn : < VT Mt khỏc:VP = x2 - 12x + 38 =2 + (x - 6)2 Theo gi thit du ''='' xy v ch khi:x = Vy x = l nghim nht ca phng trỡnh ó cho Bi 5: Gii phng trỡnh: x + 3x + x + = HD:K: x [ 1; 2] (1) PT x + 3x = x + (2) T (2) ta cú: x +1 x +1 x +1 x (3) T (1) v (3) Ta cú x = th vo (2) tho món.Vy :x = Bi 6:Giai phng trinh : x 4x + = HD: iờu kiờn x > x 4x p dng bt ng thc cụ si ta cú: x 4x + Theo gi thit du bng xy v ch khi: 4x x x 4x x 4x = ì 4x = x 4x x 11 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t x 4x + = (x 2) = x = Dõu = xay x = 4x x 4x + = x 4x + = (x 2) = x = x = (Tho món) Vy : x = Bi 7:Giai phng trinh : x 5x = 3x HD: Cach iờu kiờn x Vi x thi: Vờ trai: x < 5x vờ trai luụn õm Vờ phai: 3x vờ phai luụn dng Võy: phng trinh a cho vụ nghiờm Cach Vi x 1, ta co: x = 5x + 3x x = 8x + (5x 1)(3x 2) 7x = (5x 1)(3x 2) Vờ trai luụn la mụt sụ õm vi x 1, vờ phai dng vi x phng trinh vụ nghiờm Bi 8:Giai phng trinh : 3x + 6x + + 5x + 10x + 14 = 2x x (1) HD: Ta co (1) x + 2x + + ữ + x + 2x + + ữ = (x + 2x + 1) + 5 3(x + 1) + + 5(x + 1) + = (x + 1) Ta co: Vờ trai + = + = Dõu = xay x = Vờ phai Dõu = xay x = Võy: phng trinh a cho co mụt nghiờm x = Bi 9:Giai phng trinh : x+7 + = 2x + 2x x +1 HD: iờu kiờn x Dờ thõy x = la mụt nghiờm cua phng trinh x < : VT = + + < + M: VP > + x +1 Nờu x > 2: VP = 2x2 + 2x > 2.22 + = + VT < + Nờu x > x +1 > +1 6 1+ < 1+ =3 x +1 +1 Võy: phng trinh a cho co mụt nghiờm nhõt la x = + =6 x 2x HD: K: x < Bng cỏch th, ta thy x = l nghim ca phng trỡnh Ta cn chng minh ú 8 < v 6 Tng t vi < x < 2: x 2x 1 1 4x +4 + + + ììì+ = Bi 11:Tỡm nghim nguyờn dng ca phng trỡnh: 1.2 2.3 3.4 x ( x + 1) x +5 Bi 10:Giai phng trinh : HD:K: x (1) Ta cú: 1 = x = x (*) Ta cú: VP(*) = x x (2) x +1 x +5 12 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t T (1) v (2) ta cú:x = l nghim nht III-BI TP P DNG: Bi 1: Gii cỏc phng trỡnh sau : 2x + 2x 2x + + 2x = + + 2x 2x 2x4 + = 4 + x4 + x4 x 3` 3x x + 40 4 x + = x2 + 1 = 4x+ ữ x x 16 x + = x + x + x + 64 x3 = x x + 28 x + x = x x + 18 x + x + x x = + Bi 2: Gii cỏc phng trỡnh sau : 2/ x + x = x 10 x + 27 1/ x - + - x = x - 8x + 24 3/ x + x + = x x + 13 4/ x + + x = 5/ x + x = x 12 x + 14 6/ x + 10 x = x 12 x + 40 PHNG PHP 5: S DNG BIU THC LIấN HP - TRC CN THC Mt s phng trỡnh vụ t ta cú th nhm c nghim x0 nh vy phng trỡnh luụn a v c dng tớch ( x x0 ) A ( x ) = ta cú th gii phng trỡnh A ( x ) = hoc chng minh A ( x ) = vụ nghim , chỳ ý iu kin ca nghim ca phng trỡnh ta cú th ỏnh gớa A ( x ) = vụ nghim Bi 1:Gii phng trỡnh: x ( x + ) + x ( x 1) = x (1) ( 1) x x x2 x x ( x 1) x ( x + ) x x ( x 1) x ( x + ) HD: C1: K x 2; x =2x ( 2) =2x x ( x 1) x ( x + ) = x ( x 1) = x + Nu x ta cú x ( x 1) + x ( x + ) = x ( 3) Gii (3) ta tỡm c x x ( x 1) x ( x + ) = x ( x 1) = x + Nu x -2 ta cú x ( x 1) + x ( x + ) = x ( 4) Gii (4) ta tỡm c x C2: K: x 2; x Nu x ta chia c hai v cho x ta c: ( x + ) + ( x 1) = x Bỡnh phng hai v sau ú gii phng trỡnh ta tỡm c x Nu x -2 t t = -x t Thay vo phng trỡnh ta c t ( t + ) + t ( t 1) = t ( t ) + t ( t + 1) = ( t) ( t ) 2 Chia c hai v cho t ta c ( t ) + ( t + 1) = t Bỡnh phng hai v tỡm c t Sau ú tỡm x Trong C1 ta ó s dng kin thc liờn hp Cũn C2 ta dng kin thc xỏc nh v n ca phng trỡnh.nhỡn chung thỡ vic dng theo C2 n gin hn Bi Gii phng trỡnh sau : x x + x = ( x x 1) x x + 13 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t HD: Ta nhn thy : ( x x + 1) ( x x 3) = ( x ) v (x ) ( x 3x + ) = ( x ) x + Ta cú th trc cn thc v : x x + + ( x x + 1) 3x = x + x 3x + D dng nhn thy x = l nghim nht ca phng trỡnh Bi Gii phng trỡnh sau: x + 12 + = x + x + 5 Ta nhn thy : x = l nghim ca phng trỡnh , nh vy phng trỡnh cú th phõn tớch v dng ( x ) A ( x ) = , thc hin c iu ú ta phi nhúm , tỏch nh sau : x2 x2 2 x + 12 = x + x + = 3( x 2) + x + 12 + x2 + + x + 12 x + = x x HD: phng trỡnh cú nghim thỡ : x+2 x +1 ( x 2) 3ữ= x = 2 x2 + + x + 12 + x+2 x+2 < 0, x > D dng chng minh c : x + 12 + x2 + + Bi Gii phng trỡnh : x + x = x3 HD :k x Nhn thy x = l nghim ca phng trỡnh , nờn ta bin i phng trỡnh ( x ) ( x + 3x + ) x+3 3 x + x = x ( x 3) + = 3 x2 x3 + ( ) + x + Ta chng minh : x+3 1+ (x 1) + x + 2 = 1+ ( x+3 < < x + 3x + x2 + + x3 + ) Vy pt cú nghim nht x = Bi 5:Gii phng trỡnh sau: x2 + x + x2 + + x2 x x2 =x HD:K: x Nhõn vi lng liờn hp ca tng mu s ca phng trỡnh ó cho ta c: (x ) )( ) )( ( x + x x + x x = 3.x x > x ( ) +( x + ) +2 (x (3 ) + (x + ) = 3.x 3) = 27 x x > x > ; x ( 2x ) 4 4 ( x 3) = x ( x ) 4( x 3) = x ( x ) Bi 6:Gii phng trỡnh: (x x2 + 2x ) Gii h trờn ta tỡm c x = = x + HD:K: x x 14 Pt ( 2x2 + + x (3 + 2x ) (3+ + 2x = x = ) Chuyờn gii phng trỡnh vụ t + 2x ) = x+9 ( x 18 + x + + x 4x2 ) = x+9 l nghim Bi dng: 1) x ( x 3) + x ( x ) = x Tng quỏt: f ( x ) g ( x ) + f ( x ) h ( x ) = f ( x ) 3) 3x x + 10 ( x + 3) ( x + ) 2) + ( x + 3) ( x 1) =2 ( x + 3) 2 = 3x + 15 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t BI TP TNG HP Bi 1: Tỡm tt c cỏc s thc x1; x2; ; x2005 tho món: x1 12 + x2 22 + + 2005 x2005 20052 = ( x1 + x2 + + x2005 ) Bi 2: Tỡm cỏc s thc x, y, z tha iu kin: x + y + z = ( x + y + z) Bi 3: Gii cỏc phng trỡnh sau: x + 2x = 3( x x + 1) = ( x + x 1) x + x +1 = x2 x + = ( x + 48 = x + x + 35 2( x + 2) = x + )( ) x x = x x = x 27 x10 x + 864 = x x = ( x + 2)( x + 4) + 5( x + 2) x+4 =6 x+2 x 3x = x + 17 x + x 17 x = 10 x = x x2 + x + x2 x + = x2 + x + x x2 + = x2 x + 3+x 3x + x = x + x + x x + 24 + = x + x + Bi 4: Gii cỏc phng trỡnh sau: 25 x 10 x = ( x) x + ( x 5) x x + x5 ( x + 3) x2 4x + + x2 4x + + x2 x + = + =2 x + x + 20 = x + 10 10 x = x x 12 2x + = x x2 + x + = 2 x + x + = x 20 3x + 3x x + x = + x + x = x + x x 12 = 48 + x 2x 2x = +1 3 +1 x + ữ x + ữ+ = x x x 20 + 2+ x + 2+ x 4x + + = x4 + x +1 +3= x ( x 3) ( x + 1) ( x 3) x5 x 45 = + x x = 9x + + x + 2005 = 2005 x + x + x + x + 28 = x x ( x) x + x2 =4 x + ( x 5) x x + x5 x= =2 3x 3+x a + b x = + a b x (a , b > 0) 64x6 - 112x4 + 56x2 - = x Bi 5: Ký hiu [x] l phn nguyờn ca x 3 Gii phng trỡnh sau: + + + x = 855 Bi 6:Cho phng trỡnh: x x + x + = x x + 62 x Gi tng cỏc nghim ca phng trỡnh l S,tớnh S15 Bi 7:Gii phng trỡnh nghim nguyờn sau: a/ x + y = 1960 b/ x + y = 1980 c/ x y = 48 d/ x + y = 2000 16 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t Bi 8:Gii phng trỡnh nghim nguyờn sau: + x2 1225 + = 74 x y z 771 y z 771 Bi 9:Gii cỏc phng trỡnh sau : x 14 x + x x 20 = x + x 1 2x + = + x x x x x + = x3 x 15 30 x x ) = 2004 ( ( x 1) x x 10 = x x 10 ( x3 + = x3 + x + ) ( x + = x + 3x + x + ) ( ) 30060 x + + x + x + 12 x + = 36 ( + x ) + 3 x2 + ( x ) = 2008 x x + = 2007 x x = (2004 + x )(1 x ) ( x + x + 2)( x + x + 18) = 168 x 3 x + x3 + x + x + = + x ( x + ) + 16 ( x ) + 16 ( x ) = x + 16 x + + x = + x3 + x x + 3x + = x x + + 2 x x + 16 x + 18 + x = x + 12 x + x = x + x + 3x3 = x 2 x 11x + 21 3 x = ( x) ( x) = x+ ( x ) ( 10 x ) x2 + = x + 2x x + + 3x + = x + + x + x + x + = ( x + 3) x + x + x +1 = x 3 x3 + (1 x ) = x 2x2 Bi 10: Gii phng trỡnh: a) x + x + x + = 12 x x + x + = 2x + 3x + 3x + x2 + x + = 3x + b) x x + x + = x c) x x + = x x + 12 d) x + 15 x + x + x + = e) ( x + 4)( x + 1) x + x + = f) g) x + x + 2 x + x + = Bi 11: Gii phng trỡnh: x3 + x+ (1 x ) x x2 = = x ( x2 ) 35 12 x 2x x2 x2 + = x2 + 5x + 2 x2 + 5x = h) x + x + 11 = 31 + x2 ( x ) ( x 3) ( x + 1) + ( x 3) ( 1+ x) = + x2 x +1 = x3 64 x 112 x + 56 x = x Bi 12: Cho phng trỡnh: + x + x + ( + x ) ( x ) = m a) Gii phng trỡnh vi m = b) Tỡm m phng trỡnh cú nghim c) Tỡm m phng trỡnh cú nghim nht 1 =m Bi 13: Cho phng trỡnh: + x x2 a) Gii phng trỡnh vi m = + 17 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t b) Tỡm m phng trỡnh cú nghim Bi 14: Cho phng trỡnh: ( x x ) + x x m = a) Gii phng trỡnh vi m = b) Tỡm m phng trỡnh cú nghim Bi 15:Gii cỏc phng trỡnh nghim nguyờn sau: y = x + x + x x x+ x+ x+ x = y y = + x2 4x y = x + x + + x +1 y = x + 2x + x 2x y = x x + x + x Bi 16: Gii cỏc phng trỡnh nghim nguyờn sau: x + x + x + + x = y nu: a/ V trỏi cú 100 du cn b/ V trỏi cú n du cn Bi 17:Gii cỏc phng trỡnh nghim nguyờn sau: x + x + x + + x + x = x (V trỏi cú 100 du cn) Bi 18:Tỡm cỏc s hu t a v b tho món: Bi 19:Cho hai s x , y tho món: ( a+b x2 + x )( ab = 20 ) y + y = Tớnh x + y Bi 20:Gii phng trỡnh: x + + x = Bi 21:Cho cỏc s thc dng x,y,z tho iu kin: Bi 22:Cho cỏc s thc dng a,b,c tho iu kin: a + b c = a + b c Chng minh rng: 2010 a + 2010 b 2010 c = 2010 a + b c x y2 + y z2 + z x2 = 2 2 Chng minh rng: x + y + z = Bi 23:Gii phng trỡnh nghim nguyờn: y = + 199 x x Bi 24:Tỡm cỏc s hu t a v b bit: a b = 11 28 Bi 25:Gii phng trỡnh: x + x2 =1 x2 Bi 26:Tỡm cỏc s nguyờn k tho món: 1+ 1 1 1 20092 + + + + + + + + = 2009 12 2 2 32 k ( k + 1) Bi 27:Gii phng trỡnh: 1/ + x + x = 2/ x + x2 + x x2 = x + 3/ x x 30 2007 30 + x 2007 = 30 2007 4/ x + x x = x + x + + x x + 5/ x + + x + + x + + + 100 x + 100 = 165 6/ 1 + + =1 x+3 + x+2 x + + x +1 x +1 + x 18 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t x + 25 x + 125 16 x + 80 + =9 12 16 7/ x + 45 8/ x + 712671620 52408 x + 26022004 + x + 712619213 56406 x + 26022004 = 9/ 2009 + 2010 x + x + = 20 + 2009 2010 x + x + 10/ ( x + 5)(2 x) = x + x Bi 28:Gii cỏc phng trỡnh sau: 15 x x = x 15 x + 11 ( x + 5)(2 x) = x + x (1 + x)(2 x) = + x x x + 17 x + x 17 x = 3x + x = x + 3x x + x + x + 11 = 31 n (1 + x) + n x + n (1 x) = x = (2004 + x )(1 x ) ( x + x + 2)( x + x + 18) = 168 x x2 + x2 = The end 19 Chuyờn gii phng trỡnh vụ t 20 [...]... Cho phương trình: 1 + x + 8 − x + ( 1 + x ) ( 8 − x ) = m a) Giải phương trình với m = 3 b) Tìm m để phương trình có nghiệm c) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất 1 1 =m Bài 13: Cho phương trình: + x 1 − x2 2 a) Giải phương trình với m = 2 + 3 17 Chuyên đề giải phương trình vô tỉ b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 14: Cho phương trình: 2 ( x 2 − 2 x ) + x 2 − 2 x − 3 − m = 0 a) Giải phương trình. .. [x] là phần nguyên của x 3 3 Giải phương trình sau:  3 1  +  3 2  + +  x − 1  = 855 Bài 6:Cho phương trình: x 2 6− x + 6 x + 2 = x 2 6 x + 62− x Gọi tổng các nghiệm của phương trình là S,tính S15 Bài 7 :Giải phương trình nghiệm nguyên sau: a/ x + y = 1960 b/ x + y = 1980 c/ 2 x − 3 y = 48 d/ x + y = 2000 16 Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Bài 8 :Giải phương trình nghiệm nguyên sau: 1.. .Chuyên đề giải phương trình vô tỉ II-BÀI TẬP: 2 2 + x = x+9 x +1 Bài 1 Giải phương trình : HD:Đk: x ≥ 0 2  1    x + x + 1  + ÷  = x+9   x + 1 x + 1     2 2 1 1 = ⇔x= Dấu bằng ⇔ 7 x +1 x +1 Bài 2 Giải phương trình : 13 x 2 − x 4 + 9 x 2 + x 4 = 16 HD:Đk: −1 ≤ x ≤ 1 2  2 2  + x÷ ≤  2 2 Ta có :... được ( t − 2 ) + ( t + 1) = 2 t Bình phương hai vế tìm được t Sau đó tìm ra x Trong C1 ta đã sử dụng kiến thức liên hợp Còn trong C2 ta vận dụng kiến thức miền xác định về ẩn của phương trình. nhìn chung thì việc vận dụng theo C2 đơn giản hơn Bài 2 Giải phương trình sau : 3 x 2 − 5 x + 1 − x 2 − 2 = 3 ( x 2 − x − 1) − x 2 − 3 x + 4 13 Chuyên đề giải phương trình vô tỉ 2 HD: Ta nhận thấy : ( 3 x − 5 x... của phương trình Bài 3 Giải phương trình sau: x 2 + 12 + 5 = 3 x + x 2 + 5 5 3 Ta nhận thấy : x = 2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng ( x − 2 ) A ( x ) = 0 , để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau : x2 − 4 x2 − 4 2 2 x + 12 − 4 = 3 x − 6 + x + 5 − 3 ⇔ = 3( x − 2) + x 2 + 12 + 4 x2 + 5 + 3 x 2 + 12 − x 2 + 5 = 3 x − 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ HD: Để phương trình. .. 2x ) ≥ 0 ⇒ ⇒ 4 3 2 4 4 3 4 4 2  2 ( x − 3) = x ( 9 − 2 x ) 4( x − 3) = x ( 9 − 2 x ) Bài 6 :Giải phương trình: (x 2 x2 9 + 2x ) 2 Giải hệ trên ta tìm được x = 2 9  = x + 9 HD:ĐK:  x ≥ − 2   x ≠ 0 14 Pt ⇔ ( 2x2 3 + 9 + 2 x (3− 9 + 2x ) (3+ 2 ⇔ 6 9 + 2x = 0 ⇔ x = − ) Chuyên đề giải phương trình vô tỉ 2 9 + 2x ) 2 = x+9 ⇔ ( 2 x 2 18 + 2 x + 6 9 + 2 x 4x2 ) = x+9 9 là nghiệm 2 Bài tập vận dụng:... 9 b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 15 :Giải các phương trình nghiệm nguyên sau: y = x + 2 x −1 + x − 2 x −1 x+ x+ x+ x = y y 2 = 1 + 9 − x2 − 4x y = x + x + 2 + 2 x +1 y 2 = x + 2x − 1 + x − 2x − 1 y = x −1 − 2 x − 2 + x + 2 − 4 x − 2 Bài 16: Giải các phương trình nghiệm nguyên sau: x + x + x + + x = y nếu: a/ Vế trái có 100 dấu căn b/ Vế trái có n dấu căn Bài 17 :Giải các phương trình nghiệm nguyên... 2) + ( x + 3) ( x − 1) =2 ( x + 3) 2 2 = 3x + 1 − 1 15 Chuyên đề giải phương trình vô tỉ BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Tìm tất cả các số thực x1; x2; …; x2005 thoả mãn: x1 − 12 + 2 x2 − 22 + + 2005 x2005 − 20052 = 1 ( x1 + x2 + + x2005 ) 2 Bài 2: Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y −1 + z − 2 = 1 ( x + y + z) 2 Bài 3: Giải các phương trình sau: x − 1 + 2x − 3 = 2 3 3( x 2 − x + 1) = ( x +... Bài 10:Giải phương trình : HD:ĐK: x ≤ 4 (1) Ta có: 1 − 1 1 = 1− ⇔ 4 − x = x − 4 (*) Ta có: VP(*) = x − 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ 4 (2) x +1 4− x +5 12 Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Từ (1) và (2) ta có:x = 4 là nghiệm duy nhất III-BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Giải các phương trình sau : 1 − 2x 1 + 2x 1 − 2x + 1 + 2x = + 1 + 2x 1 − 2x 2x4 + 8 = 4 4 + x4 + 4 x4 − 4 x 3` − 3x 2 − 8 x + 40 − 8 4 4 x + 4 = 0 2 − x2 +... 1− x = 2 + 4 8 Bài 2: Giải các phương trình sau : 2/ x − 4 + 6 − x = x 2 − 10 x + 27 1/ x - 2 + 6 - x = x 2 - 8x + 24 3/ 6 − x + x + 2 = x 2 − 6 x + 13 4/ 1 − x + 4 + x = 3 2 5/ 2 x − 3 + 5 − 2 x = 3 x − 12 x + 14 6/ x − 2 + 10 − x = x 2 − 12 x + 40 PHƯƠNG PHÁP 5: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm x0 như vậy phương trình luôn đưa về được ... Giải phương trình với m = + 17 Chuyên đề giải phương trình vô tỉ b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 14: Cho phương trình: ( x − x ) + x − x − − m = a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương. .. + c ) = Từ nhận xét ta tạo phương trình vô tỉ có chứa bậc ba Chuyên đề giải phương trình vô tỉ x + − x2 − x − + x2 − 8x + = 3x + + − x + x − − x − = Bài Giải phương trình : x = − x − x + − x... 48 d/ x + y = 2000 16 Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Bài 8 :Giải phương trình nghiệm nguyên sau: + x−2 1225 + = 74 − x − − y − − z − 771 y −1 z − 771 Bài 9 :Giải phương trình sau : x − 14 x +