1) Cơ sở phương pháp: Nhiều phương trình vô tỉ có thể nhẩm được nghiệm0xhữu tỉ, khi đóphương trình luôn phân tích thành0( ) ( ) 0 x x P x . Từ đó ta đưa về pt đơn giản hơn.2) Cách nhẩm nghiệm: Ta thường thử các giá trị0xđể trong căn là bình phương hoặc lậpphương, hoặc sử dụng máy tính fx để dò nghiệm.Một số hằng đẳng thức hay sử dụng:+ 2 2x y x y x y x y x y x y x y ; , 0+ 3 3 2 2x y x y x xy y Dạng 1. Liên hợp theo hai biểu thức chứa cănVới dạng liên hợp đơn giản này, ta chỉ cần chọn hai biểu thức có căn phù hợp2 2 ; , 0; 0 x yx y x y x yx y Bài 1. Giải phương trình75 1 3 133xx x .ĐKXĐ:15x .Nhận xét5 1 (3 13) 2( 7) x x x nên liên hợp ta có5 1 (3 13) 75 1 3 13 3x x x PTx x 7 7 25 1 3 13 3x xx x 7 (1)2 1 (2)5 1 3 13 3xx x (2) 5 1 3 13 6 x xNếux 1thì VT (1) >4 16 6; còn nếux 1thì VT (1) 0 với mọi xVậy phương trình (2) có một nghiệm duy nhất PTVT – PP liên hợp Thầy Hồng Trí Quang3Bài 4. Giải phương trình 2x x x x 1 2 2 1 3Đk:x 1. Nhận xét: x x 2 1 3 nên ta nhân liên hợp 2 2222 222221 2 2 1 3 2 1 2 1 3 1 22 1 02 1 1 22 1 1 22 12 12 2 (TMÑK).2 01x x x x x x x x x xx xx x x xx x x xx xx xx xx xxBài tự luyệnBài 5. Giải phương trìnha)34 1 3 25xx x b)10x 1 3x 5 9x 4 2x 2 .c) 2x x x 1 1 4 3Đs1x2d) A – 2007 Gpt2 3 2 6 x x x x 3e)2 2 2 2 3 7 3 2 3 5 1 3 4 x x x x x x x . ĐS:x 2.Bài 6. Giải phương trình:a) 2x x x x 5 2 1 7 10 3Đs x = 1a) 1 1 1 2 5 x x x x ĐS:x 2.HD a) Liên hợp theo x x 5 2ta có: x x 5 1 2 1 0 PTVT – PP liên hợp Thầy Hồng Trí Quang4Bài 7. Giải phương trình26 4 2 4 2 24xx xx (16)Bài 8. Giải phương trình: 2 2x x x x x x 3 1 4 3 2Dạng 2. Liên hợp theo nghiệm
PTVT – PP liên hợp Thầy Hồng Trí Quang 1) Cơ sở phương pháp: Nhiều phương trình vô tỉ nhẩm nghiệm x0 hữu tỉ, phương trình phân tích thành ( x x0 ) P( x) Từ ta đưa pt đơn giản 2) Cách nhẩm nghiệm: Ta thường thử giá trị x0 để bình phương lập phương, sử dụng máy tính fx để dò nghiệm Một số đẳng thức hay sử dụng: + x y x y x y x y x y x y ; x, y + x3 y3 x y x xy y Dạng Liên hợp theo hai biểu thức chứa Với dạng liên hợp đơn giản này, ta cần chọn hai biểu thức có phù hợp x y x y ; x y Bài Giải phương trình ĐKXĐ: x x, y 0; x y x 3x 13 x7 Nhận xét 5x 1 (3x 13) 2( x 7) nên liên hợp ta có x x (3x 13) x7 x7 x7 2 PT 3 x 3x 13 x 3x 13 x 3x 13 (1) (2) (2) 5x 3x 13 Nếu x VT (1) > 16 6; x VT (1) < 16 Dễ thấy x nghiệm phương trình (1) Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm x1 ; x2 Bài Giải phương trình 3x x x x PTVT – PP liên hợp Thầy Hồng Trí Quang HD ĐK x 1 3x x Từ PT ta có: (2 x 3) x nên pt có nghiệm nhất: x 3x x Vì: Bài Giải phương trình 3x 5x x x x 1 x 3x (2) Đs x = Giải: Ý tưởng: Trước hết, kiểm tra ta thấy phương trình cho có nghiệm x nên ta cố gắng đưa phương trình phương trình tích xuất nhân tử x Ta có nhận xét rằng: 3x 5x 1 3x 3x 3 2 x x x 3x x Ta đến lời giải sau: (2) 3x 5x x x 1 x x 3x 2 x 3x x x x 1 3x x x 3x 0 x 2 2 3x x x x x x 3x Mặt khác, ta có: 3x x x x 1 x x 3x > với x Vậy phương trình (2) có nghiệm PTVT – PP liên hợp Bài Thầy Hồng Trí Quang Giải phương trình x 1 x x2 x Đk: x Nhận xét: x x 1 nên ta nhân liên hợp x 1 x x x x x 1 x2 x 1 x 1 x x2 x 1 x2 x 1 x 1 x 2 x x 1 x 1 x x x x x x x (TMÑK) x x x 1 Bài tự luyện Bài Giải phương trình a) x 3x x3 b) 10x c) x x 3x 3x d) A – 2007 Gpt 9x 2x Đs x 2x x 2x x ĐS: x 3x x x 3x x x x e) Bài Giải phương trình: a) x x x x 10 a) 1 x 1 Đs x = 1 x 2x x HD a) Liên hợp theo ĐS: x x x ta có: x 1 x 1 PTVT – PP liên hợp Thầy Hồng Trí Quang Bài Giải phương trình 2x 2 x Bài **Giải phương trình: 6x (16) x2 x x x2 x2 x x Dạng Liên hợp theo nghiệm 𝐱 𝟎 x x x2 5x 1 Bài Giải phương trình: Sử dụng ALPHA x CALC nhẩm giá trị để biểu thức bình phương, ta tìm nghiệm của phương trình Một cách tự nhiên, ta suy nghĩ tách ghép phù hợp cho phương trình xuất nhân tử x x Nếu ta liên hợp x x x x biểu thức lại 2x2 hợp xuất hạng tử x 2 5x 4 x với nhau, xuất nhân tử không xuất x Hơn nữa, sau nhân liên x mẫu số mà chưa khẳng định âm hay dương tập xác định của x Do đó, ta suy nghĩ tìm hai số , hai biểu thức x , x để sau nhân lượng liên hợp, hai xuất x 3 Muốn ta tìm hai số a, b cho x a a Muốn tìm hai số a, b cho hệ với x x b b Từ ta thêm bớt để có liên hợp sau: Bài giải tham khảo Điều kiện: x x 1 x x x 3 x 3 3 x x 3 x 1 x 1 x 1 PTVT – PP liên hợp Thầy Hồng Trí Quang 1 x 3 x 1 x 1 x 1 x 1 2x 1 x 1 x ● Xét pt (1) Với x VT = 2x VP = ● Từ , 1 2; ta có 1 x 1 x 1 1(3) x 1 vô nghiệm ● Vậy phương trình có nghiệm x Bài 10 Giải phương trình 3x x 3x 14 x 1 ( khối B-2010) Phân tích: Ta tìm số x x cho 3x x số phương thỏa mãn phương trình Dễ thấy x thỏa (1) (Ta tìm nghiệm x = cách sử dụng máy tính fx) Vì ta đưa phương trình dạng x 5 f x , ta cần làm xuất nhân tử chung x từ vế trái của phương trình phương pháp lien hợp 3x a a Muốn tìm hai số a, b cho hệ với x b x b Lời giải: TXĐ: x 1 3x x 3x 14 x 3x 15 x 5 x 3x 1 3x x PTVT – PP liên hợp Thầy Hồng Trí Quang x x x * 3x x Ta thấy phương trình (*) vô nghiệm với x Vậy x nghiệm nhấy x 12 3x x Bài 11 Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) : Giải: x 12 x 3x x Để phương trình có nghiệm : Ta nhận thấy : x=2 nghiệm phương trình x 12 3x x x2 x 12 3 x 2 x2 x2 x2 x 1 x 2 3 x 2 x2 x 12 Do x 12 x2 Từ x 12 x2 x2 x 12 x2 x2 0, x x2 x2 x 5 nên pt (*) vô nghiệm Vậy pt có nghiệm x = Bài 12 Giải phương trình 10 x x 37 4x 15 x 33 ĐK: x Pt 4 x 37 10 x x 15 x 81 27 x 16 x 37 x 37 8(6 x) ( x 3)(4 x 27) 10 x PTVT – PP liên hợp Thầy Hồng Trí Quang TH x x 3 (TMPT) TH x 3 pt 12 36 16 x 37 36 x 37 Do x nên VT x 37 16 x 27 10 x 16 x 27 10 x 36 16 4.5 27 Đẳng thức xảy x 12 Vậy phương trình có nghiệm 3 Bài 13 Giải phương trình sau: 1) x x 3x 2) x x x 3) x 2x x2 x x2 4) 5) x x x 5x 6) x 3x x 3x x x3 Bài 14 Giải phương trình: a) x 11x 21 3 x b) x2 16 x 18 x2 x ĐS: x 1; x 32 513 Dạng Đưa “hệ tạm” Nếu phương trình vô tỉ có dạng A B C , mà : A B C C hàng số, biểu thức x Ta giải sau : A B A B C C A B , ta có hệ: A C A B A B Bài 15 Giải phương trình : x2 x x2 x x PTVT – PP liên hợp Thầy Hồng Trí Quang Ta có VT ( x 4) x x x x x2 x x x ta Nhân với biểu thức liên hợp với x2 x x2 x 2 2x x 2x x 1 Kết hợp với pt cho, ta có hệ 2 2x x 2x x 1 x 2 x x x x 0; Bài 16 *Giải phương trình x2 x 10 x x2 12 x 20 (3) Giải: x x 10 Điều kiện: x 10 x 20 Cũng cách kiểm tra, ta thấy pt (3) nhận x = làm nghiệm nên ta đưa phương trình (3) dạng phương trình tích xuất nhân tử x 1 Ta viết lại sau: 3 x x 10 x 1 x 12 x 20 x (4) Để ý hai phương trình x x 10 x 1 x 12 x 20 x vô nghiệm nên nhân liên hợp hai vế (4) ta có: 18 x 1 x x 10 x 16 x 1 x 12 x 20 x x x x 10 x x 12 x 20 x 2 (*) Pt (*) x2 x 10 x2 12 x 20 x 10 Đến ta có hai hướng giải quyết: PTVT – PP liên hợp Thầy Hồng Trí Quang Hướng 1: bình phương hai vế… 2 8 x x 10 x 12 x 20 x 10 Hướng 2: kết hợp với pt (3) ta có hệ sau 2 2 x x 10 x 12 x 20 x Lấy phương trình thứ trừ lần phương trình thứ hai, ta thu được: 15 5 x x x 10 x x x 15 x 25 Vậy phương trình cho có nghiệm x 1, x 15 5 Tự luyện Bài 17 Giải phương trình x 24 12 x (10) Bài tự luyện Bài 18 Giải phương trình a) x 3x ( x 3) x b) 10 3x x c) (2 x)(5 x) x (2 x)(10 x) d) x2 16 x 18 x2 x e) x x 3x x x x x Bài 19 Giải phương trình a) x x 3x b) x x2 x c) x 15 3x x d) 3x x x 3x 3x x 3x Đs x 0; Đs x = PTVT – PP liên hợp Thầy Hồng Trí Quang Bài 20 Giải phương trình: a) 3x x 16 b) ( x 3)(2 x 5) 3 x Bài 21 Giải phương trình : a) x2 x x b) x 3x3 3x c) x2 11x 21 3 x d) x x x3 Bài 22 Giải phương trình sau: x x3 b) c) x x 3x d) e) x x x x 16 x 100 a) 3 2x 1 x x 3x x Bài 23 Giải phương trình x x x 3x a) b) 3 x2 x2 x2 15 (1) Bài 24 Giải phương trình a) x2 x x x x3 5 x2 b) * 162 x3 27 x x Liên hợp theo hai nghiệm – nghiệm lẻ – liên hợp theo biểu thức biến Bài 25 Giải phương trình D – 2006 Điều kiện x x 3x x Với trợ giúp máy tính, ta dò hai nghiệm x = x Cách Nếu liên hợp theo nghiệm x = ta có 10 PTVT – PP liên hợp Thầy Hồng Trí Quang Biến đổi nhân lượng liên hợp để đưa phương trình tích số x x 3x 2x 1 1 2x 1 1 x 1 2x 1 1 x 1 x 2 2x 1 x 1 x x 1 x 2 2x 1 Đến đây, việc giải phương trình ngoặc cách đặt ẩn phụ t x Cách Nếu liên hợp theo nghiệm x Điều đòi hỏi kĩ thuật hơn, phương trình không xuất nhân tử x Ta phải tìm biểu thức hệ số nguyên mà có nghiệm x Dễ dàng có: x x x x2 x Vậy ta liên hợp làm xuất nhân tử x2 x Nhận xét: x 1 x x x nên ta tách liên hợp sau: 2 x (1 x) x x x2 x 2 x (1 x) x2 x 2 x2 x x (1 x) Ta dễ dàng giải pt có nghiệm x = x Bài 26 Giải phương trình x 3x 3x 11 PTVT – PP liên hợp Đk: Thầy Hồng Trí Quang 6 x 3 , Sử dụng Shift Solve để tìm nghiệm của phương trình là: x1 0,6180339887 ; x2 1,618033989 sau gán hai nghiệm vào hai biến A B Ta thu kết “đẹp” sau: A B 1, AB 1 Và từ đây, ta dự đoán x x nhân tử của pt! Trong trường hợp bạn không tìm hai nghiệm, mà tìm nghiệm x2 1,618033989 , cần dự đoán x Xét px q 3x 1 x x 1 x2 x px q 3x 3x px q p 3 x pqx q 8 3x px q 2 2 Đến đây, để xuất nhân tử x x p x pqx q a x x Chọn a = ta cặp (p, q) thỏa mãn (p, q) = (-1; 2) Khi ta thêm bớt: Bài giải x x 1 ( x 2) 3x x3 x x2 x 1 3x x 0 x x 1 x 0 3x x Cách x 3x x 1 2 Cách Xét f x 3x x ta có: f ' x 3x 3x 1 12 PTVT – PP liên hợp f '( x) 3x 3x Thầy Hồng Trí Quang 1 x Ta có bảng biến thiên: f x x 1 64 64 6 f x kết hợp với x 3 3x x x 1 1 0 f x 64 Vậy phương trình cho có nghiệm x 1 Tự luyện Bài 27 Giải phương trình: Bài 28 Giải phương trình Bài 29 Giải phương trình: x 1 x2 x x2 x x x3 x x x x x x x x 3x LUYỆN TẬP Bài 30 Giải phương trình sau x x x 18 Bài 31 Giải phương trình : x x x x (17) 2 Bài 32 Giải phương trình x x x x x 13 [...]... 3x 2 1 12 PTVT – PP liên hợp f '( x) 0 3x 8 3x 2 Thầy Hồng Trí Quang 1 x 2 3 Ta có bảng biến thiên: f x x 1 64 6 64 6 2 6 0 f x kết hợp với x 3 3 3 4 8 3x 2 x 2 x 1 4 2 6 4 1 0 f x 3 64 6 3 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 1 5 2 Tự luyện Bài 27 Giải phương trình: Bài 28 Giải phương trình Bài 29 Giải phương trình: x 1 x2 2 x...PTVT – PP liên hợp Thầy Hồng Trí Quang Biến đổi và nhân lượng liên hợp để đưa về phương trình tích số 2 x 1 1 x 2 3x 2 0 2x 1 1 2x 1 1 2 x 1 2x 1 1 x 1 x 2 0 2x 1 1 x 1 x 2 0 2 x 1 x 2 0 2x 1 1 Đến đây, việc giải phương trình trong ngoặc bằng cách đặt ẩn phụ t 2 x 1 1 Cách 2 Nếu liên hợp theo... Giải phương trình x 3x 1 8 3x 11 PTVT – PP liên hợp Đk: Thầy Hồng Trí Quang 2 6 2 6 x 3 3 , Sử dụng Shift Solve để tìm ra 2 nghiệm của phương trình là: x1 0,6180339887 ; x2 1,618033989 sau đó gán hai nghiệm này vào hai biến A và B Ta thu được kết quả “đẹp” sau: A B 1, AB 1 Và từ đây, ta có thể dự đoán được x 2 x 1 chính là nhân tử của pt! Trong trường hợp bạn không... 2 Điều này đòi hỏi kĩ thuật hơn, bởi phương trình không xuất hiện nhân tử x 2 2 0 Ta phải tìm được biểu thức hệ số nguyên mà có nghiệm x 2 2 Dễ dàng có: x 2 2 2 2 x 2 2 x x2 4 x 2 0 2 Vậy ta sẽ liên hợp làm xuất hiện nhân tử x2 4 x 2 Nhận xét: 2 x 1 1 x x 2 4 x 2 nên ta sẽ tách liên hợp như sau: 2 2 2 x 1 (1 x) ... trình: x 1 x2 2 x 3 x2 1 3 x 2 x x3 x 2 4 x 4 x x 1 2 x 2 x 1 x 2 x 1 3x LUYỆN TẬP 2 Bài 30 Giải phương trình sau x x 6 x 2 18 Bài 31 Giải phương trình : x 1 x 1 2 x x 2 2 (17) 2 2 Bài 32 Giải phương trình x x 1 x 2 x 2 x 2 13 ... vô nghiệm ● Vậy phương trình có nghiệm x Bài 10 Giải phương trình 3x x 3x 14 x 1 ( khối B-2 010) Phân tích: Ta tìm số x x cho 3x x số phương thỏa mãn phương trình. .. biểu thức bình phương, ta tìm nghiệm của phương trình Một cách tự nhiên, ta suy nghĩ tách ghép phù hợp cho phương trình xuất nhân tử x x Nếu ta liên hợp x x x x biểu thức lại 2x2 hợp xuất hạng... tính, ta dò hai nghiệm x = x Cách Nếu liên hợp theo nghiệm x = ta có 10 PTVT – PP liên hợp Thầy Hồng Trí Quang Biến đổi nhân lượng liên hợp để đưa phương trình tích số x