skkn môn toán thpt phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên

Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên A ĐẶT VẤN ĐỀ I-LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong giáo dục vấn đề đổi mới, cải cách nhằm nâng cao chất lượng dạy học vấn đề nhiều người quan tâm Bản thân giáo viên dạy môn toán Trung học phổ thông Qua năm công tác trực tiếp giảng dạy đặc biệt năm học vừa qua phân công dạy luyện thi đại học, chương trình đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi, suy nghĩ làm để học sinh giáo viên vừa học vừa nghiên cứu thuận lợi nhất, để cải tiến phương pháp giảng dạy cho học sinh tiếp thu học nhanh đạt hiệu cao Với đặc thù môn, nhận thấy việc học tập nghiên cứu theo chuyên đề tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh tiếp thu kiến thức sâu sắc, nắm vấn đề logic phân dạng tập Tuy nhiên, việc sử dụng chuyên đề gặp nhiều khó khăn như: Các chuyên đề thiếu nhiều, chất lượng chuyên đề chưa đáp ứng yêu cầu thực tế, tỉ lệ học sinh tiếp thu kiến thức theo chuyên đề Trong trình thực có nhiều khó khăn thuận lợi mạnh dạn đưa ý kiến để đồng nghiệp tham khảo góp ý II-MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Giúp hình thành cho học sinh kỹ ứng dụng giải tập “phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên” tập ôn thi học sinh giỏi ôn thi quốc gia dành cho bậc Trung học phổ thông - Giáo viên tham gia dạy luyện thi đại học bồi dưỡng học sinh giỏi làm nghiên cứu III-ĐỐI TƯỢNG VÀ KHÁCH THỂ NGHIÊN CỨU - Đối tượng: “phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên” đề tài liên quan - Khách thể: Học sinh Trung học phổ thông không chuyên toán Người thực hiện: Ths NguyÔn TÊn Hßa Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên IV-NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Trao đổi với giáo viên chuyên môn để tìm hướng nghiên cứu tiếp cận đề tài có hiệu - Tìm hiểu thực trạng khả tiếp thu kiến thức học sinh chuyên đề - Rút học kinh nghiệm góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy giáo viên V-GIỚI HẠN ĐỀ TÀI Do thời gian nghiên cứu hạn hẹp nên đề tài nghiên cứu vấn đề “phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên” số nhiều vấn đề toán học Người thực hiện: Ths NguyÔn TÊn Hßa Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên B NỘI DUNG I- THỰC TRẠNG VỀ TRÌNH ĐỘ VÀ ĐIỀU KIỆN HỌC TẬP CỦA HỌC SINH Thực trạng chung: Học sinh Trung học phổ thông không chuyên tiếp cận kiến thức chuyên nội dung kiến thức trừu tượng nên việc tiếp thu kiến thức nhiều khó khăn Bên cạnh thời gian dành cho ôn luyện ít, việc học tập nghiên cứu nhà hạn chế Vì vậy, để em học tập, ôn luyện có hiệu bên cạnh sách giáo khoa mà em có sẵn hệ thống chuyên đề mà giáo viên chuẩn bị cần thiết Chuẩn bị thực đề tài: - Thông qua thực tiễn giảng dạy - Sưu tầm tài liệu, trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp II- CƠ SƠ LÝ LUẬN Khái niệm: Lí thuyết “phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên” phần lí thuyết giảng dạy trường phổ thông thuộc chương trình bản, chương trình nâng cao chuyên ban môn toán Ý nghĩa phương pháp tọa độ mặt phẳng dành cho học sinh Trung học phổ thông: Chuyên đề số chuyên đề khác như: "phương trình hàm", "lí thuyết đồng dư số học", "bất đẳng thức", "giá trị lớn giá trị nhỏ nhất", "hệ phương trình", “phương pháp tọa độ mặt phẳng”… tác giả trợ thủ đắc lực cho việc ôn luyện thi đại học luyện thi học sinh giỏi môn toán Trung học phổ thông dành cho học sinh không học theo chương trình chuyên ban Việc sử dụng chuyên đề nói chung, chuyên đề “phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên” nói riêng Người thực hiện: Ths NguyÔn TÊn Hßa Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên vào việc ôn luyện thi đại học luyện thi học sinh giỏi môn toán Trung học phổ thông đặc biệt có hiệu với học sinh không chuyên Vì lí học sinh không chuyên thời gian ôn luyện ngắn, thời gian học chương trình không chuyên kéo dài nên học sinh không đủ thời gian học ôn chương trình nâng cao Nhìn góc độ phương pháp việc thể tính cụ thể, trừu tượng chuyên đề toán góp phần giúp cho học sinh không học theo chương trình chuyên ban tiếp cận với việc ôn luyện thi đại học luyện thi học sinh giỏi dễ dàng sử dụng chúng lúc, cách, xen kẽ vào trình học khoá, để cập nhật, mở rộng kiến thức toán học, để giải quết vấn đề dạy học khám phá,… Tóm lại chuyên đề toán học nói chung chuyên đề “phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên” nói riêng có ý nghĩa quan trọng việc nâng cao hiệu trình dạy học Nguyên tắc sử dụng chuyên đề toán học: - Sử dụng lúc, nội dung phương pháp dạy học đảm bảo học sinh ôn luyện tiếp cận được, đảm bảo không phân tán tư tưởng học sinh tiến hành hoạt động học tập - Tránh sử dụng nhiều loại chuyên đề lần - Sử dụng đủ cường độ: nguyên tắc chủ yếu đề cập nội dung phương pháp dạy học cho thích hợp với trình độ tiếp thu lứa tuổi học sinh Người thực hiện: Ths NguyÔn TÊn Hßa Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên III-NỘI DUNG VÀ CÁCH THỰC HIỆN CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ PHƯƠNG PHÁP BIỂN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Dạng : Phương trình  x ∈ D (*) A = B ⇔ A= B≥0⇔  A = B Lưu ý: Điều kiện (*) chọn tuỳ thuôc vào độ phức tạp A ≥ hay B≥0 Dạng 2: Phương trình B ≥ A=B⇔ A = B Dạng 3: Phương trình A ≥  A + B = C ⇔ B ≥   A + B + AB = C (chuyển dạng 2) +) +) A + B = C ⇒ A + B + 3 A.B ( ) A+ B =C 3 ta sử dụng phép : A + B = C ta phương trình : A + B + 3 A.B.C = C Ví dụ 1: Giải phương trình sau : x + + 3x + = x + x + Giải: Điều kiện x ≥ Bình phương vế không âm phương trình ta được: 1+ ( x + 3) ( 3x + 1) = x + x ( x + 1) , để giải phương trình dĩ nhiên không khó phức tạp chút Phương trình giải đơn giản ta chuyển vế phương trình : 3x + − x + = x − x + 2 Bình phương hai vế ta có : x + x + = x + 12 x ⇔ x = Thử lại x=1 thỏa mãn Ví dụ 2: Giải phương trình sau : Người thực hiện: Ths NguyÔn TÊn Hßa Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên x3 + + x + = x2 − x + + x + x+3 Giải: Điều kiện : x ≥ −1 Bình phương vế phương trình? Nếu chuyển vế chuyển nào? Ta có nhận xét : x3 + x + = x − x + x + x+3 , từ nhận xét ta có lời giải sau : (2) ⇔ x3 + − x + = x2 − x + − x + x+3 x = 1− x3 + = x2 − x − ⇔ x2 − 2x − = ⇔  x+3  x = + Bình phương vế ta được: Thử lại : x = − 3, x = + l nghiệm Bài 1: Giải phương trình: f) 3+ x − − x =1 b) x − x + = g) x + = − 2x + c) x + x + = h) 3x + − x + = x + a) e) x2 − = x − 3x − + x − = 2 i) ( x + 3) 10 − x = x − x − 12 Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: − x + x − = 2m + x − x Bài 3: Cho phương trình: x − − x = m -Giải phương trình m=1 -Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 4: Cho phương trình: x + mx − = x − m -Giải phương trình m=3 -Với giá trị m phương trình có nghiệm 2 PHƯƠNG PHÁP TRỤC CĂN THỨC Người thực hiện: Ths NguyÔn TÊn Hßa Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên a) Phương pháp Một số phương trình vô tỉ ta nhẩm nghiệm x0 phương trình đưa dạng tích ( x − x0 ) A ( x ) = ta giải phương trình A ( x ) = chứng minh A ( x ) = vô nghiệm , ý điều kiện nghiệm phương trình để ta đánh gía A ( x ) = vô nghiệm b) Ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình sau : x − x + − x − = ( x − x − 1) − x − x + Giải: ( 3x Ta nhận thấy : (x 2 − x + 1) − ( x − x − 3) = −2 ( x − ) v − ) − ( x − 3x + ) = ( x − ) Ta trục thức vế : −2 x + x − x + + ( x − x + 1) = 3x − x − + x − 3x + Dể dàng nhận thấy x=2 nghiệm phương trình 2 Ví dụ Giải phương trình sau : x + 12 + = 3x + x + Giải: Để phương trình có nghiệm : x + 12 − x + = x − ≥ ⇔ x ≥ Ta nhận thấy : x=2 nghiệm phương trình , phương trình phân tích dạng ( x − ) A ( x ) = , để thực điều ta phải nhóm , tách sau : Người thực hiện: Ths NguyÔn TÊn Hßa Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên x2 − x + 12 − = x − + x + − ⇔ 2 x + 12 + x2 − = 3( x − 2) + x2 + +   x+2 x +1 ⇔ ( x − 2)  − − 3÷= ⇔ x = 2 x2 + +   x + 12 + x+2 x + 12 + Dễ dàng chứng minh : x+2 − x2 + + − < 0, ∀x > 3 Ví dụ Giải phương trình : x − + x = x − Giải :Đk x ≥ Nhận thấy x=3 nghiệm phương trình , nên ta biến đổi phương trình 3 =   x − − + x − = x − − ⇔ ( x − 3) 1 +  ( x − 3) ( x + x + ) x3 − + x+3 1+ Ta chứng minh : <    x2 − ( ) + x2 − +  x+3 (x − 1) + x − + = 1+ ( x+3 ) x −1 +1 + giải dy + e = c(dx + e) + α x + β Nhận xét: Để sử dụng phương pháp cần phải khéo léo biến đổi phương trình ban đầu dạng thỏa mãn điều kiện để đặt ẩn phụ.Việc chọn α ; β thông thường cần viết dạng : (αx + β ) n = pn a'x + b' + γ chọn c) Dạng phương trình chứa bậc ba lũy thừa bậc ba d = ac + α  ax + b = c ( dx + e ) + α x + β với e = bc + β Cách giải: Đặt dy + e = ax + b phương trình chuyển thành hệ: Người thực hiện: Ths NguyÔn TÊn Hßa 12 Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên  dy + e = ax + b ( dy + e ) = ax + b ⇔  3 dy + e = c dx + e + α x + β ( ) c ( dx + e ) = −α x + dy + e − β  c ( dy + e ) = acx + bc ⇔ c( dx + e) = ( ac − d ) x + dy + bc Bài tập: Giải phương trình sau: a) x + = x2 + 4x + 3 g) x + = 2 x − b) x + = −4 x + 13 x − h) 3 c) x + = 3x − d) 4x + = x2 + x 28 15 30 x − x ) = 2004 ( e) ) i) x − 13x + + 3x + = x>0 ( ( x 35 − x x + 35 − x3 = 30 j) x − 13x + + 3x + = ) 30060 x + + 3 f) 3x − = x − 36 x + 53 − 25 k) l) 81x − = x3 − x + x + = x3 − x − PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Sử dụng tính chất hàm số để giải phương trình dạng toán quen thuộc Ta có hướng áp dụng sau đây: Hướng 1: Thực theo bước: Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f ( x) = k Bước 2: Xét hàm số y = f ( x) Bước 3: Nhận xét: • Với x = x0 ⇔ f ( x) = f ( x0 ) = k x0 nghiệm • Với x > x0 ⇔ f ( x) > f ( x0 ) = k phương trình vô nghiệm • Với x < x0 ⇔ f ( x) < f ( x0 ) = k phương trình vô nghiệm • Vậy x0 nghiệm phương trình Hướng 2: Thực theo bước Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f ( x) = g ( x) Người thực hiện: Ths NguyÔn TÊn Hßa 13 x−2 Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên Bước 2: Dùng lập luận khẳng định f ( x) g(x) có tính chất trái ngược xác định x0 cho f ( x0 ) = g ( x0 ) Bước 3: Vậy x0 nghiệm phương trình Hướng 3: Thực theo bước: Bước 1: Chuyển phương trình dạng f (u ) = f (v) Bước 2: Xét hàm số y = f ( x) , dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu Bước 3: Khi f (u ) = f (v) ⇔ u = v Ví dụ 1: Giải phương trình : ( ⇔ ( x + 1) + Xét hàm số ( x + 1) ( x + 1) ( + ) ( + = ( −3 x ) + ( f ( t) = t + t2 + ) ( −3 x ) y = x2 + x + − x2 − x + Miền xác định: D= R 2x +1 x2 + x +1 − 2x −1 x2 − x +1 y ' = ⇔ (2 x − 1) x + x + = (2 x + 1) x − x + (2 x − 1)(2 x + 1) > ⇔ 2 2 (2 x − 1) ( x + x + 1) = (2 x + 1) ( x − x + 1) Hàm số đồng biến lim y = lim x →−∞ x →−∞ 2x x2 + x + − x2 − x + = −1 lim y = x →+∞ + BBT x y’ ) ) , hàm đồng biến R, ta có x = − 15 x2 + x + − x2 − x + = m y' = ) + ⇔ f ( x + 1) = f ( −3 x ) Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: Giải: Xét hàm số ( x + x + + 3x + x2 + = -∞ +∞ + Người thực hiện: Ths NguyÔn TÊn Hßa 14 Phương trình vô tỷ dành cho học sinh trung học phổ thông không chuyên y -1 Vậy phương trình có nghiệm -1