SKKN: Kĩ năng giải phương trình lượng giác lớp 11

Đây là bộ đề tài hay, được tuyển chọn kĩ càng, có chất lượng cao, giúp các thầy cô giáo nâng cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ giảng dạy bộ môn, phục vụ tốt việc giảng dạy. Hy vọng tài liệu sẽ giúp ích đắc lực cho các thầy cô trong công tác giảng dạy.

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”

MỤC LỤC Phần 1 – ĐẶT VẤN ĐỀ ……… 1

Phần 2 – NỘI DUNG ……… 2

I Phương trình lượng giác đúng dạng ……… 2

1 Phương trình lượng giác cơ bản……… 2

2 Phương trình lượng giác thường gặp ……… 5

2.1 Phương trình bậc 1, bậc 2 đối với một hàm số lượng giác ……… 5

2.2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx ……… 6

2.3 Phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 đối với sinx và cosx……… 6

2.4 Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx……… 7

II Kỹ năng loại nghiệm ngoại lai ……… 8

1 Phương pháp hình học……… 8

2 Phương pháp đại số……… 11

III Kỹ năng biến đổi về phương trình tích……… 12

1 Dấu hiệu nhân tử chung ……… 12

2 “Ghép bộ” để giảm cung……… 15

3 Biến đổi về dạng asinx + bcosx……… 17

4 Đặt ẩn phụ……… 19

5 Nhẩm nghiệm ……… 20

Phần 3 – KẾT LUẬN ……… 22

TÀI LIỆU THAM KHẢO ……… 23

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”

Phần 1 - ĐẶT VẤN ĐỀ:

Phương trình lượng giác là một nội dung quan trọng trong chương trình toán học cấp THPT, là một chủ đề luôn xuất hiện trong các đề thi đại học cao đẳng trong những năm gần đây Theo xu hướng ra đề tuyển sinh đại học (TSĐH) trong các năm gần đây có thể thấy câu giải phương trình lượng giác thường là câu gỡ điểm ngay cả đối với cả những học sinh trung bình, khá Tuy nhiên, với học sinh lớp 11, đây là một chủ đề mới, các em còn bỡ ngỡ, chưa nắm rõ phương pháp giải toán nên đa số cảm thấy khó khăn trong việc giải các bài tập không đúng dạng Thực tế qua một số năm dạy học lớp 11, tôi nhận thấy nhiều học sinh mới đầu tiếp thu kiến thức về phương trình lượng giác rất thụ động, các em chỉ giải được các phương trình đúng dạng theo máy móc và thường lúng túng khi gặp các phương trình khác dạng Vì vậy việc tìm

ra được phương pháp hướng dẫn được học sinh giải toán về phương trình lượng giác hiệu quả là một vấn đề cấp thiết trong dạy học, đó là lí do tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này, hi vọng đây là một tư liệu tốt giúp các em học sinh có được phương pháp giải toán hiệu quả, qua đó đạt hiệu quả cao trong học tập

Đề tài giới hạn nghiên cứu trong phạm vi kiến thức về phương trình lượng giác dành cho các em lớp 11 Các bài tập đưa ra bám sát vào cách ra đề thi tuyển sinh đại học trong các năm gần đây của Bộ giáo dục Ở mỗi ví dụ minh họa cho phương pháp thường có việc phân tích, tìm hướng đi cho lời giải

Đề tài ngắn ngọn, chỉ giới hạn trong vài trang nên chắn chắn còn nhiều thiếu sót, kính mong nhận được sự góp ý sâu sắc và chân thành của quý đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện hơn

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”

Phần 2 – NỘI DUNG:

I PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐÚNG DẠNG

1 Phương trình lượng giác cơ bản:

* cos ( )f x cos ( )g x  f x( ) g x( )k2 , k

1.3 tan ( ) f x m f x( )arctanmk ,k  

*

cos ( ) 0tan ( ) tan ( ) cos ( ) 0

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”

Nhận xét: Ở ví dụ 2a) chỉ cần qua một phép biến đổi cơ bản bằng quan

hệ giữa các cung đặc biêt, ta đã đưa các phương trình trên về đúng dạng

Bài tập luyện tập: Giải các phương trình

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”

2 Phương trình lượng giác thường gặp:

2.1 Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác:

Dạng: at   ; b 0 2

0

at bt  , giải như phương trình đại số bậc 1, bậc 2 c

với ẩn là t (ở đây t là một trong các hàm số lượng giác đã học)

Ví dụ: Giải phương trình: a) 2cos 2x  1 0; b) 2

6sin

26

2.2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: asinxbcosx c

Chỉ cần qua một vài bước biến đổi đơn giản đưa về được phương trình cơ bản:

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”

a sin xbsin x.cosxcsin cosx xdcos x (2) 0

* Cách giải thông thường là:

- Kiểm tra cosx =0 có phải là nghiệm của phương trình hay không

- Xét cos x , chia cả 2 vế cho 0 2

cos x (đối với đẳng cấp bậc 2), và với

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”

(2)sin x 1

a sin xcos x b sin x.cos x   c 0

Cách giải: Đặt tsin xcos x, biến đổi sinx.cosx theo t, sau đó giải phương trình đại số theo t

Ví dụ 1: Giải phương trình: 2(sinxcos )x sin 2x (*)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”

Vậy nghiệm của phương trình là

Vậy (*)sin 2xcos 2x  … 1

ĐS: x k ;x k

       với k  

Bài tập luyện tập: Giải các phương trình sau:

1 a) 2sinx3cosx ; b) sin2x+ 3 cos2x =1 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”

II KỸ NĂNG LOẠI NGHIỆM NGOẠI LAI

Thông thường khi giải phương trình lượng giác có điều kiện, ta cần tìm điều kiện trước, sau đó biến đổi hệ quả giải ra nghiệm cần đối chiếu với điều kiện mới kết luận được nghiệm của phương trình đầu, để làm được điều đó cần phải nắm được 2 phương pháp cơ bản sau:

1 Phương pháp hình học:

Biểu diễn điểm cuối nghiệm và các điểm cuối các cung không thỏa mãn điều kiện trên đường tròn lượng giác, thấy trùng thì loại nghiệm đó

Để thực hiện được phương pháp học sinh cần nắm:

- Cung lượng giác:k2

a



(với *

a   ) có a trường hợp ứng với a điểm cuối

trên đường tròn lượng giác, các trường hợp đó tương ứng với

k an k an kan a

- Một cung biết được điểm cuối trên đường tròn lượng giác, học sinh phải cần biết được cách viết công thức cung hình học đó, chẳng hạn các cung lượng giác có điểm cuối trùng với điểm A(1;0) thì có công thức biểu diễn là 2k ; các cung lượng giác có điểm cuối trùng với B(0;1) hoặc điểm B’(0;-1) thì có

công thức biểu diễn là

(*)sinxsin xcosxcos x

sinx cosx (sinx cos )(sinxx cos )x 0

(sinx cos )(sinxx cosx 1) 0

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”

t anx 1sinx cos

Đối chiếu với điều kiện suy ra nghiệm của phương trình là: xm ;m .

* Nhận xét: Trong ví dụ 1, việc loại nghiệm khi đối chiếu điều kiện khá dễ

thấy công thức nghiệm tìm được và điều kiện giống nhau; tuy nhiên qua ví dụ

2 ta thấy việc loại nghiệm cần thiết phải dùng phương pháp đã nêu ở trên, cụ thể:

cuối của các cung không thỏa mãn

điều kiện của phương trình

y

y

=/6 C

B và D không thỏa mãn điều kiện

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”

2 Phương pháp đại số:

Giả sử điều kiện của phương trình là các cung x f k( ); nghiệm của phương trình hệ quả là xg l( ) (ở đây k l   ); khi đó ta giải phương trình nghiệm ,nguyên đơn giản để loại ra nghiệm ngoại lai: ( )g l  f k( )

Ví dụ: Giải phương trình: tan(2 x1).tan(3x1) 1 (*)

2

k x

- Với điều kiện này ta có:

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”

III KỸ NĂNG BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

1 Dấu hiệu nhân tử chung:

Trên cơ sở các công thức lượng giác các em học sinh được học trong SGK, tôi rút ra bảng một số nhân tử chung thường gặp:

STT Nhân tử

chung

Biểu thức chứa nhân tử chung

1 sinx tan ;sin 2 ; tan 2 ;1 cos 2 ; x x x  x

2 cosx cot ;sin 2 ;tan 2 ;1 cos 2 ; x x x  x

Ví dụ 1.1: Giải phương trình: sin 2x2cosx1 cos 2 x (*)

Dấu hiệu nhân tử chung: sin2x với cosx có nhân tử chung cosx; sin2x với 1 cos 2x có nhân tử chung sinx

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”

(*)(2cosx1)(2sinxcos )x sinx(2cosx1)

- Điều kiện: cosx0sinx  1

- Với điều kiện này ta có:



(Trích đề thi TSĐH khối A – 2011) Dấu hiệu nhân tử chung: 1 cos 2x và sin 2x có nhân tử chung cos x ;

2 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”

- Điều kiện: sinx  0

- Với điều kiện này ta có:

Đây là các phương trình đúng dạng học sinh đã biết cách giải

Bài tập rèn luyện: Giải các phương trình

1 sin 2 cosx xsinx.cosxcos 2xsinxcosx (Khối B – 2011)

2 sin 2xcos 2x3sinx-cosx  (Khối D – 2010) 1 0

3 sin 2 2cos sinx 1 0

t anx 3

x x 



SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”

sinx bằng công thức biến đổi tổng thành tích và xuất hiện nhân tử chung

công thức nhân đôi trong biểu thức còn lại làm xuất hiện cung 4x và ta hy

vọng có nhân tử chung

HD Giải:

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”

- Phân tích: mới nhìn vào, người làm có thể có nghĩ ra 2 hướng giải

quyết bài này:

+ Hướng 1: dùng hằng đẳng thức, kết hợp dùng công thức biến đổi tổng thành tích hy vọng tạo ra được nhân tử chung

+ Hướng 2: Hạ bậc, sau đó ghép bộ và biến đổi thành tích hy vọng tạo được nhân tử chung và dưới đây là cách giải theo hướng này

Bài tập luyện tập: Giải các phương trình sau

1 cos3xcos 2xcosx   (TSĐH khối D – 2006) 1 0

2 cos3x4cos 2x3cosx 4 0 (TSĐH khối D – 2002)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”

3 Biến đổi theo dạng asinx +b cosx

- Ý tưởng của phương pháp này là biến đổi được phương trình về dạng

a b  c d ta chuyển được về phương trình cơ bản

- Dấu hiệu rõ nhất để nhận dạng này là xuất hiện 3; 2 trong phương trình

Ví dụ 3.1: Giải phương trình 3 cos5 x2sin 3 cos 2x xsinx (*) 0

(*)sin (1 2sinx  x)cos sin 2x x 3 sin 3x2cos 4x

sin cos 2x x cos sin 2x x 3 cos3x 2cos 4x sin 3x 3 cos3x 2cos 4x

- Nhận xét: Đây là một phương trình lượng giác hay, được người ra đề “dấu

dạng” sau một vài phép biến đổi, tuy nhiên do xuất hiện 3 cos3x trong

phương trình là cơ sở giúp ta có hướng đi hợp lý phân tích về dạng

cos3 sin 3

a xb x

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”

Ví dụ 3.3: 2 cos x 3 sinxcosxcosx 3 sinx1 (*)

(Trích đề TSĐH khối B – 2012)

HD Giải:

(*)2cos 2x 1 2 3 sin x cosxcosx 3 sinx

- Điều kiện: cosx  0

- Với điều kiện này ta có:

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”

k y y

k y

k x

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”

Bài tập luyện tâp: Giải các phương trình

5 Nhẩm nghiệm để tìm nhân tử chung:

- Ta thấy trong đề tuyển sinh đại học trong thời gian gần đây, người ra đề thường cho kết quả nghiệm tìm được khá “đẹp”, đó là các nghiệm mà có điểm cuối biểu diễn trên đường tròn lượng giác trùng với các cung đặc biệt tức là khi đó phương trình sẽ có nhân tử có thể là:

sin ( );sin ( ) 1;2sin ( )f x f x  f x  2;2cos ( )f x  3;

- Ý tưởng của phương pháp giống với cách nhẩm nghiệm trong giải phương trình đa thức, cụ thể: Giả sử nghiệm tìm được là xx0, khi đó

phương trình có nhân tử chung là xx0 Đây là cơ sở để ta có hướng đi hợp

lý tìm ra lời giải của bài toán

2sinxsin 2x 2 2cosx2cos x (*)

Phân tích bài toán:

HD Giải:

2

(*)(2sinx2)(sin 2x2cos )x 2cos x0

(sinx 1) cos (sinx x 1) (1 sinx)(1+sinx) 0

Và nhìn vào bài toán ta có thể dự đoán nhân tử chung là cos 2x , đó là cơ sở

để ta giữ lại cos 2x , nhóm và biến đổi “sin 3 x sinx”

- HD Giải: xem ví dụ 2.1

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”

Bài tập luyện tập: Giải các phương trình sau:

1 cos3x11cosx2 2sin 2 x3cos 2x4

2cos xcos 2xsinx 0

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”

Phần 3 – KẾT LUẬN

Đề tài ngắn gọn không thể nêu hết sự đa dạng trong các phương pháp giải toán đối với phương trình lượng giác, nó chỉ có tính tương đối áp dụng đối với một số dạng phương trình biến đổi về phương trình tích, và đương nhiên nó không phải là chìa khóa vạn năng để giải mọi bài toán

Đề tài đã thực hiện được những kết quả sau:

1 Hệ thống lại các phương trình lượng giác đúng dạng theo chuẩn kiến thức kỹ năng đối với chương trình Toán 11

2 Hướng dẫn học sinh được hai cách loại nghiệm ngoại lai, kiểm tra nghiệm có thỏa mãn điều kiện của phương trình khi gặp phương trình lượng giác có điều kiện

3 Trình bày được một số phương pháp biến đổi về phương trình tích khi giải phương trình lượng giác không đúng dạng Đây là phần quan trọng nhất của đề tài

Với thời gian và kiến thức có hạn chắc chắn đề tài còn có nhiều thiếu sót, kính mong nhận được sự góp ý của quý đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện hơn

Hy vọng đề tài là một tài liệu hữu ích giúp các em học sinh 11 đạt kết quả tốt hơn trong giải phương trình lượng giác

Pleiku, ngày 10 tháng 3 năm 2014 Người viết đề tài

Phan Nhật Hùng

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”

TÀI LIỆU THAM KHẢO

+ SGK Đại số và Giải tích 11 cơ bản và nâng cao, NXB Giáo Dục năm 2008

+ Sách bài tập Đại số và Giải tích 11 cơ bản và nâng cao, NXB Giáo Dục năm