SKKN: Kĩ năng giải phương trình lượng giác lớp 11

Đây là bộ đề tài hay, được tuyển chọn kĩ càng, có chất lượng cao, giúp các thầy cô giáo nâng cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ giảng dạy bộ môn, phục vụ tốt việc giảng dạy. Hy vọng tài liệu sẽ giúp ích đắc lực cho các thầy cô trong công tác giảng dạy.

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11” Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 1 MỤC LỤC Phần 1 – ĐẶT VẤN ĐỀ …………………………………………………… 1 Phần 2 – NỘI DUNG ……………………………………………………… 2 I. Phương trình lượng giác đúng dạng …………………………………… 2 1. Phương trình lượng giác cơ bản…………………………………………. 2 2. Phương trình lượng giác thường gặp ……………………………………. 5 2.1. Phương trình bậc 1, bậc 2 đối với một hàm số lượng giác …………… 5 2.2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx ……………………………. 6 2.3. Phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 đối với sinx và cosx………………. 6 2.4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx……………………………. 7 II. Kỹ năng loại nghiệm ngoại lai …………………………………………. 8 1. Phương pháp hình học……………………………………………………. 8 2. Phương pháp đại số……………………………………………………… 11 III. Kỹ năng biến đổi về phương trình tích……………………………… 12 1. Dấu hiệu nhân tử chung ……………………………………………… 12 2. “Ghép bộ” để giảm cung………………………………………………… 15 3. Biến đổi về dạng asinx + bcosx…………………………………………. 17 4. Đặt ẩn phụ………………………………………………………………. 19 5. Nhẩm nghiệm ………………………………………………………… 20 Phần 3 – KẾT LUẬN ……………………………………………………. 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO ………………………………………………. 23 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11” Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 2 Phần 1 - ĐẶT VẤN ĐỀ: Phương trình lượng giác là một nội dung quan trọng trong chương trình toán học cấp THPT, là một chủ đề luôn xuất hiện trong các đề thi đại học cao đẳng trong những năm gần đây. Theo xu hướng ra đề tuyển sinh đại học (TSĐH) trong các năm gần đây có thể thấy câu giải phương trình lượng giác thường là câu gỡ điểm ngay cả đối với cả những học sinh trung bình, khá. Tuy nhiên, với học sinh lớp 11, đây là một chủ đề mới, các em còn bỡ ngỡ, chưa nắm rõ phương pháp giải toán nên đa số cảm thấy khó khăn trong việc giải các bài tập không đúng dạng. Thực tế qua một số năm dạy học lớp 11, tôi nhận thấy nhiều học sinh mới đầu tiếp thu kiến thức về phương trình lượng giác rất thụ động, các em chỉ giải được các phương trình đúng dạng theo máy móc và thường lúng túng khi gặp các phương trình khác dạng. Vì vậy việc tìm ra được phương pháp hướng dẫn được học sinh giải toán về phương trình lượng giác hiệu quả là một vấn đề cấp thiết trong dạy học, đó là lí do tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này, hi vọng đây là một tư liệu tốt giúp các em học sinh có được phương pháp giải toán hiệu quả, qua đó đạt hiệu quả cao trong học tập. Đề tài giới hạn nghiên cứu trong phạm vi kiến thức về phương trình lượng giác dành cho các em lớp 11. Các bài tập đưa ra bám sát vào cách ra đề thi tuyển sinh đại học trong các năm gần đây của Bộ giáo dục. Ở mỗi ví dụ minh họa cho phương pháp thường có việc phân tích, tìm hướng đi cho lời giải. Đề tài ngắn ngọn, chỉ giới hạn trong vài trang nên chắn chắn còn nhiều thiếu sót, kính mong nhận được sự góp ý sâu sắc và chân thành của quý đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn! SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11” Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 3 Phần 2 – NỘI DUNG: I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐÚNG DẠNG 1. Phương trình lượng giác cơ bản: 1.1. sin ( ) f x m  ( ) arcsin 2 , ( ) arcsin 2 f x m k k f x m k               ; (với 1 m  ) Trường hợp 1 m  , phương trình trên vô nghiệm * ( ) ( ) 2 sinf ( ) sin ( ) , ( ) ( ) 2 f x g x k x g x k f x g x k                1.2. cos ( ) f x m  ( ) arc os 2 , ( ) arc os 2 f x c m k k f x c m k              . (với 1 m  ) Trường hợp 1 m  , phương trình trên vô nghiệm. * cos ( ) cos ( ) ( ) ( ) 2 , f x g x f x g x k k         1.3. tan ( ) ( ) arctan , f x m f x m k k        . * cos ( ) 0 tan ( ) tan ( ) cos ( ) 0 ( ) ( ) ; f x f x g x g x f x g x k k                 1.4. cot ( ) ( ) arccot , f x m f x m k k        . * sin ( ) 0 cot ( ) cot ( ) sin ( ) 0 ( ) ( ) ; f x f x g x g x f x g x k k                 Ví dụ 1: Giải các phương trình: a) 1 sin 2 x   ; b) 3 cos2 2 x  ; c) tan2 3 x  ; d) sin2 sin 3 x x          Giải: a) 2 1 6 sin sin sin , 72 6 2 6 x k x x k x k                               . b) 3 cos2 cos2 cos ; 2 6 12 x x x k k             . SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11” Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 4 c) 1 1 tan2 3 arctan3 ; 2 2 x x k k        . d) 2 2 2 3 3 sin2 sin ; 4 23 2 2 3 9 3 x x k x k x x k x x k x k                                                     . Ví dụ 2: Giải các phương trình: a) sin2 cos 3 x x          ; b) 2 cot 3 x  Giải: a) 2 6 sin2 cos sin 2 sin ; 23 6 18 3 x k x x x x k x k                                      b) 2 cot 3 cot 3 ; . 6 cot 3 x x x k k x                  Nhận xét: Ở ví dụ 2a) chỉ cần qua một phép biến đổi cơ bản bằng quan hệ giữa các cung đặc biêt, ta đã đưa các phương trình trên về đúng dạng. Bài tập luyện tập: Giải các phương trình 1. a)   0 1 cot 45 4 3 x   ; b) tan 2 3 6 x          2. a)   3 cos 2 x   ; b) 2cos(2cosx)= 3 3. a) sin 5 6 x         + cos 2 3 x         = 0; b) sin 5 7 4 x         + sin 2 6 x         = 0 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11” Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 5 2. Phương trình lượng giác thường gặp: 2.1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác: Dạng: 0 at b   ; 2 0 at bt c    , giải như phương trình đại số bậc 1, bậc 2 với ẩn là t (ở đây t là một trong các hàm số lượng giác đã học) Ví dụ: Giải phương trình: a) 2cos2 1 0 x   ; b) 2 2sin 3sin 1 0 x x    Giải: a) 1 2cos2 1 0 cos2 ; . 2 3 x x x k k              b) 2 2 2 sin 1 2sin 3sin 1 0 2 ; . 1 6 sin 2 7 2 6 x k x x x x k k x x k                                       2.2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: sin cos a x b x c   Chỉ cần qua một vài bước biến đổi đơn giản đưa về được phương trình cơ bản: 2 2 2 2 2 2 sin cos sin cos a b c a x b x c x x a b a b a b           2 2 sin c x a b      . Với  là một góc thỏa mãn: 2 2 2 2 cos sin a a b b a b              . Chú ý: nếu ta chọn góc  là một góc thỏa mãn: 2 2 2 2 sin cos a a b b a b              thì ta biến đổi phương trình sin cos a x b x c   thành 2 2 cos( ) c x a b     . Ví dụ: Giải phương trình: a) sin cos 1 x x   ; b) 3cos2 sin2 2 x x  HD Giải: a) 2 2 2 sin cos 1 sin cos 2 2 2 x x x x     SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11” Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 6 2 2 2 sin .cos cos .sin sin ; . 4 4 2 4 2 2 2 x k x x x k x k                             b) 3 1 2 3cos2 sin2 2 cos2 sin2 2 2 2 x x x x     2 2 cos2 .cos sin2 .sin cos 2 6 6 2 6 2 x x x                … 2.3. Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx: + 2 2 asin cos sin .cos x b x c x x d    (1) + 3 2 2 3 asin sin .cos sin .cos cos 0 x b x x c x x d x     (2) * Cách giải thông thường là: - Kiểm tra cosx =0 có phải là nghiệm của phương trình hay không - Xét cosx 0  , chia cả 2 vế cho 2 cos x (đối với đẳng cấp bậc 2), và với 3 cos x (đối với đẳng cấp bậc 3), sau đó đặt t tanx  ta chuyển về được phương trình đại số theo t. * Riêng đối với phương trình dạng (2), ngoài cách giải trên có thể dùng công thức hạ bậc và nhân đôi đưa về dạng phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx. Ví dụ 1: Giải phương trình 2 2 6sin sinx.cos os 2 x x c x    (1) Giải: Khi cosx = 0, ta có 2 sin 1 x  thay vào phương trình thấy không thỏa, vậy nên các cung thỏa cosx = 0 không phải là nghiệm của phương trình, vậy nên:   2 2 2 tan 1 (1) 6tan tan 1 2 tan 1 4tan tan 3 0 3 tan 4 x x x x x x x                  4 ; 3 arctan 4 x k k x k                  * Cách khác: 1 cos2 1 1 cos2 (1) 6 sin2 2 sin2 7cos2 1 2 2 2 x x x x x           đây là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx đã biết cách giải. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11” Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 7 Ví dụ 2: Giải phương trình: 3 3 sin os sinx cos x c x x    (*) Giải: * Nếu cosx=0. Khi đó: 3 2 2 cos 0 (1) sinx 0 cos 0 cos 0 (*) sin sinx sinx(sin 1) 0 cos 0 (2) sin x 1 x x x x x x                                Dễ thấy (1) vô nghiệm Và (2) cos 0 , 2 x x k k          . * Nếu cos 0 x  . Khi đó chia 2 vế cho 3 cos x ta được pt:     3 3 2 2 2 tanx 1 tan 1 tan 1 tan 1 tanx 1 os os x x x c x c x         2 tan tanx 2 0 x     (vô nghiệm). Vậy pt đã cho có nghiệm là: , 2 x k k       . 2.4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:     k m a sinx cosx b sin x.cosx c 0     Cách giải: Đặt t sin x cosx   , biến đổi sinx.cosx theo t, sau đó giải phương trình đại số theo t. Ví dụ 1: Giải phương trình: 2(sin cos ) sin2 x x x   (*) Giải: Đặt sin cos 2sin 2 4 t x x x t              ;   2 2 sin2 2sin cos sinx cos 1 1 x x x x t       Do đó (*) trở thành: 2 2 1 2 2 1 2 1 0 1 2 t t t t t t                Loại 1 2 t   ; với 1 2 t   ta có: 1 2 arcsin 2 4 2 2sin 1 2 ; 4 3 1 2 arcsin 2 4 2 x k x k x k                                 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11” Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 8 Vậy nghiệm của phương trình là 1 2 3 1 2 arcsin 2 ; arcsin 2 4 2 4 2 x k x k              với k   . Ví dụ 2: Giải phương trình: 3 3 3 1 sin 2x cos 2x sin4x 2    (*) HD Giải: 3 3 3 1 sin 2x cos 2x sin4x 2    1 (sin2x cos2x)(1 sin2xcos2x) 3sin2xcos2x      Đặt t = sin2x + cos2x   2 t  , ta được phương trình mới theo t: 3 2 2 1 3 3 5 0 ( 1)( 2 5) 0 1 6 t t t t t t t t                   Chú ý là 1 6 t    không thỏa mãn 2 t  nên loại Vậy (*) sin2 cos2 1 x x     … ĐS: x k ;x k 2 4          với k   . Bài tập luyện tập: Giải các phương trình sau: 1. a) 2sin 3cos 3 x x   ; b) sin2x+ 3 cos2x =1 2. 2 2 sin sin2 3cos 3 x x x    3.   3 sinx cosx sin x.cosx 1 0     4. 1 tanx 2 2sin x   5.     2 2 1 sin x cosx 1 cos x sin x 1 sin2x      (TSĐH khối A – 2007) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11” Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 9 II. KỸ NĂNG LOẠI NGHIỆM NGOẠI LAI Thông thường khi giải phương trình lượng giác có điều kiện, ta cần tìm điều kiện trước, sau đó biến đổi hệ quả giải ra nghiệm cần đối chiếu với điều kiện mới kết luận được nghiệm của phương trình đầu, để làm được điều đó cần phải nắm được 2 phương pháp cơ bản sau: 1. Phương pháp hình học: Biểu diễn điểm cuối nghiệm và các điểm cuối các cung không thỏa mãn điều kiện trên đường tròn lượng giác, thấy trùng thì loại nghiệm đó. Để thực hiện được phương pháp học sinh cần nắm: - Cung lượng giác: 2 k a  (với * a   ) có a trường hợp ứng với a điểm cuối trên đường tròn lượng giác, các trường hợp đó tương ứng với 1; 2; ; ( 1) k an k an k an a        - Một cung biết được điểm cuối trên đường tròn lượng giác, học sinh phải cần biết được cách viết công thức cung hình học đó, chẳng hạn các cung lượng giác có điểm cuối trùng với điểm A(1;0) thì có công thức biểu diễn là 2 k  ; các cung lượng giác có điểm cuối trùng với B(0;1) hoặc điểm B’(0;-1) thì có công thức biểu diễn là 2 k    ( ở đây k   ) ;… Ví dụ 1: Giải phương trình: sinx cosx 1 cos 1 sin x x    (*) Giải: - Đk: cos 1 2 2 sinx 1 2 x x k x k                  - Với đk này ta có: 2 2 (*) sinx sin cos os x x c x     sinx cos (sinx cos )(sinx cos ) 0 x x x       (sinx cos )(sinx cos 1) 0 x x      SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11” Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 10 tanx 1 sinx cos 2sin 1 sinx cos 1 4 x x x                        4 4 2 , 2 , 4 4 2 2 2 4 4 x k x k x k k x k k x k x k                                                   . Đối chiếu với đk suy ra nghiệm của phương trình là , 4 x k k       . Ví dụ 2: Giải phương trình: tan3 tanx x  (*) - Điều kiện: 3 os3 0 6 32 , , cos 0 2 2 k x x k c x k k x x k x k                                        - Với điều kiện trên ta có: (*) 3 , , 2 l x x l l x l            Đối chiếu với điều kiện suy ra nghiệm của phương trình là: ; x m m     . * Nhận xét: Trong ví dụ 1, việc loại nghiệm khi đối chiếu điều kiện khá dễ thấy công thức nghiệm tìm được và điều kiện giống nhau; tuy nhiên qua ví dụ 2 ta thấy việc loại nghiệm cần thiết phải dùng phương pháp đã nêu ở trên, cụ thể: y y  =  /6 A5 A3 A6 A4 A2 x O A A1 Các điểm 1 2 6 ; ; ; A A A là các điểm cuối của các cung không thỏa mãn điều kiện của phương trình y y  =  /6 C D B x O A Các điểm A,B,C,D là điểm cuối của các cung nghiệm của phương trình ta giải ra và dễ thấy cung có điểm cuối B và D không thỏa mãn điều kiện [...]... quả sau: 1 Hệ thống lại các phương trình lượng giác đúng dạng theo chuẩn kiến thức kỹ năng đối với chương trình Toán 11 2 Hướng dẫn học sinh được hai cách loại nghiệm ngoại lai, kiểm tra nghiệm có thỏa mãn điều kiện của phương trình khi gặp phương trình lượng giác có điều kiện 3 Trình bày được một số phương pháp biến đổi về phương trình tích khi giải phương trình lượng giác không đúng dạng Đây là phần... Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11 Phần 3 – KẾT LUẬN Đề tài ngắn gọn không thể nêu hết sự đa dạng trong các phương pháp giải toán đối với phương trình lượng giác, nó chỉ có tính tương đối áp dụng đối với một số dạng phương trình biến đổi về phương trình tích, và đương nhiên nó không phải là chìa khóa vạn năng để giải mọi bài toán Đề tài đã thực hiện được những kết quả sau: 1 Hệ thống lại các phương. ..SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11 2 Phương pháp đại số: Giả sử điều kiện của phương trình là các cung x  f ( k ) ; nghiệm của phương trình hệ quả là x  g (l ) (ở đây k , l   ); khi đó ta giải phương trình nghiệm nguyên đơn giản để loại ra nghiệm ngoại lai: g (l )  f (k ) Ví dụ: Giải phương trình: tan(2 x  1).tan(3 x  1)  1 (*) Giải:   k 1   x  4  2... giúp các em học sinh 11 đạt kết quả tốt hơn trong giải phương trình lượng giác Pleiku, ngày 10 tháng 3 năm 2014 Người viết đề tài Phan Nhật Hùng Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 22 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11 TÀI LIỆU THAM KHẢO + SGK Đại số và Giải tích 11 cơ bản và nâng cao, NXB Giáo Dục năm 2008 + Sách bài tập Đại số và Giải tích 11 cơ bản và nâng cao,... Vậy pt có nghiệm là x   ,m 10 5 Bài tập luyện tâp: Giải các phương trình sinx 1  1  cos x 1  cos x 2 tan x  tan 2 x  sin 3x.cos x Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 11 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11 III KỸ NĂNG BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH 1 Dấu hiệu nhân tử chung: Trên cơ sở các công thức lượng giác các em học sinh được học trong SGK, tôi rút ra bảng... cos11x  cos 7 x   0   cos11  cos 7 x  Bài tập luyện tập: Giải các phương trình sau 1 cos3x  cos 2 x  cos x  1  0 (TSĐH khối D – 2006) 2 cos3x  4cos 2 x  3cos x  4  0 (TSĐH khối D – 2002) Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 16 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11 3 Biến đổi theo dạng asinx +b cosx - Ý tưởng của phương pháp này là biến đổi được phương trình. .. là các phương trình đúng dạng học sinh đã biết cách giải Bài tập rèn luyện: Giải các phương trình 1 sin 2 x.cos x  sinx.cos x  cos 2 x  sinx  cos x (Khối B – 2 011) 2 sin 2 x  cos 2 x  3sinx-cos x  1  0 (Khối D – 2010) 3 sin 2 x  2cos x  sinx  1  0 (Khối D – 2 011) t anx  3 Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 14 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11 2.“Ghép... luyện tập: Giải các phương trình sau 1 (1  2sin x )cos x  3 (1  2sin x)(1  sinx) (TSĐH khối A – 2009) 2 x x  2  sin  cos   3 cos x  2 2 2  Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng (TSĐH khối D – 2007) Trang 18 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11 4 Đặt ẩn phụ: Ý tưởng của phương pháp là biến đổi các cung phức tạp thành cung đơn giản trước khi đưa nó về phương trình tích... Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11   Ví dụ 3.3: 2 cos x  3 s inx cos x  cos x  3 s inx  1 (*) (Trích đề TSĐH khối B – 2012) HD Giải: (*)  2cos 2 x  1  2 3 sin x cos x  cos x  3sinx      cos 2 x  3 sin 2 x  cos x  3 sin x  cos  2 x    cos  x   3 3     Ví dụ 3.4: Giải phương trình: 1  tan x  2 2 sin  x   (*) 4  (Trích đề TSĐH khối A,A1 – 2013) HD Giải: ... toán ta có thể dự đoán nhân tử chung là cos 2x , đó là cơ sở để ta giữ lại cos 2x , nhóm và biến đổi “ sin 3x  sinx ” - HD Giải: xem ví dụ 2.1 Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 20 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11 Ví dụ 5.3: Giải phương trình 3  2cos 2 x  cos x  2   sin x  3  2cos x   0 (*) - Phân tích: Ta thấy có sin x   sin x  3 nên khi nhẩm nghiệm . NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11 Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 3 Phần 2 – NỘI DUNG: I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐÚNG DẠNG 1. Phương trình lượng giác cơ bản:. Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11 Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 5 2. Phương trình lượng giác thường gặp: 2.1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác: . I. Phương trình lượng giác đúng dạng …………………………………… 2 1. Phương trình lượng giác cơ bản…………………………………………. 2 2. Phương trình lượng giác thường gặp ……………………………………. 5 2.1. Phương trình bậc 1,