Ngoài việc sử dụng phép biến đổi tương đương đặt ẩn phụ đơn giản thì trong đề tài này tôi xin giới thiệu một số cách đặc ẩn phụ khác cũng như sử dụng véc tơ toạ độ hay bất đẳng thức quen
Trang 1MỤC LỤC Tran
g
1 Mở đầu
1.1 Lí do chọn đề tài
1.2 Mục đích nghiên cứu
1.3 Đối tượng nghiên cứu
1.4 Phương pháp nghiên cứu
2 2 2 2 3
2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để
giải quyết vấn đề.
2.3.1 Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về giải hệ phương trình
2.3.2 Phương pháp tọa độ véc tơ
2.3.3 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
2.3.4 Kiểm tra đánh giá qua thực tiễn
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
2.4.1 Cách thức tổ chức thực nghiệm
2.4.2 Kết quả thực nghiệm
3 Kết luận, kiến nghị
3 3 3 3 3 3 6 8 15
17 17 18
Trang 21 Mở đầu
Trong thế giới bao la của toán học phương trình, bất phương trình đại số đóng vai trò không nhỏ làm nên sự phong phú đó Nhân loại đã dừng lại ở phương trình bậc 5 nhưng chỉ ngần đó thôi cũng đủ thôi thúc chúng ta không ngừng sáng tạo để giải và làm ra các bài toán mới ở bậc nhỏ hơn 5 Trong chương trình phổ thông chúng ta đã học nhiều phương trình, bất phương trình hay hệ phương trình với khá nhiều dạng khác nhau đó Nhưng chúng ta thực sự chưa đi sâu hoặc chưa biết được những phương trình, hệ phương trình đó lại là cơ sở nền tảng để có những bài toán mới Và khi đó cần có những công cụ đắc lực hơn Ngoài việc sử dụng phép biến đổi tương đương đặt ẩn phụ đơn giản thì trong đề tài này tôi xin giới thiệu một số cách đặc ẩn phụ khác cũng như sử dụng véc tơ toạ độ hay bất đẳng thức quen thuộc vào giải toán, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình phức tạp
Trong quá trình hoàn thành đề tài không tránh khỏi thiếu sót mong được sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp
1.1 Lí do chọn đề tài.
Như chúng ta đã biết, trong chương trình phổ thông thì phương trình, bất phương trình đại số đóng vai trò rất lớn làm nên sự phong phú của môn học đồng thời nó là một trong những chuyên đề lớn trong chương trình ôn luyện thi vào lớp
10, chuyên nghiệp, HSG (học sinh giỏi) và chương trình phổ thông
Chúng ta đã được học nhiều phương trình, bất phương trình hay hệ phương trình với khá nhiều dạng khác nhau nhưng chúng ta thực sự chưa đi sâu hoặc chưa biết được những phương trình, hệ phương trình đó lại là cơ sở nền tảng để có những bài toán mới Và khi đó cần có những công cụ đắc lực hơn ngoài việc sử dụng phép biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ đơn giản
Với học sinh thi vào các trường Đại học, Cao đẳng và Trung học chuyên nghiệp, ôn thi HSG chuyên đề Phương trình, Bất phương trình và hệ chứa căn thức
là một chuyên đề khó, học sinh rất lúng túng trong quá trình giải và không tìm được phương pháp tổng quát hoá các bài toán Hiện nay có rất nhiều sách tham khảo trình bày các phương pháp giải toán PT, BPT và hệ chứa căn thức nhưng các các phương pháp đó mới chỉ nghiên cứu sơ lược, học sinh sau khi học vẫn khó có thể định hướng để tìm ra một phương pháp giải hữu hiệu với dạng toán này
Trong phạm vi đề tài “HƯỚNG DẪN HỌC SINH TỔNG HỢP CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC” Tôi xin giới thiệu và tổng quát hoá một
số phương pháp giải toán đặt ẩn phụ, sử dụng véc tơ toạ độ hay bất đẳng thức quen thuộc vào các bài toán giải phương trình, bất phương trình và hệ chứa căn thức giúp học sinh phát hiện tìm ra được phương pháp giải thích hợp cho dạng toán này
1.2 Mục đích nghiên cứu.
Trang 3Đề tài đi hệ thống hoá một số phương pháp giải các bài toán phương trình, bất phương trình và hệ chứa căn thức bằng phương pháp đặt ẩn phụ, sử dụng véc tơ tọa độ và sử dụng bất đẳng thức Cauchy, Bunhiakopxki
1.3 Đối tượng nghiên cứu.
Các dạng bài tập giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình chứa căn thức trong chương trình Toán lớp 10 THPT
1.4 Phương pháp nghiên cứu.
Để thực hiện nghiên cứu đề tài, tôi đã tiến hành sử dụng đồng bộ các phương pháp sau:
- Nghiên cứu lý luận về phương pháp dạy học phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỷ
- Quan sát việc học và trò truyện với học sinh
- Thực tiễn giảng dạy và bồi dưỡng kinh nghiệm
2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Phương trình, bất phương trình và Hệ chứa căn thức là một trong những chuyên đề trọng tâm của lớp cuối cấp THPT cũng như kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp Để giải các loại toán trước tiên học sinh phải nắm được các phương pháp cơ bản:
- Phương pháp biến đổi tương đương
- Phương pháp đặt ẩn phụ
- Phương pháp hàm số
- Phương pháp đánh giá
Từ đó học sinh tư duy, tổng hợp và kết hợp với các dạng toán khác như: Lượng giác, Tam thức bậc hai, bất đẳng thức
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
2.2.2 Thuận lợi.
Nội dung phương trình, bất phương trình học sinh đã được làm quên ở chương trình THCS với một số dạng toán đơn giản nên học sinh cũng đã nắm bắt được một số thao tác và cách giải
Các bài toán gải phương trình, bất phương trình thường xuyên xuất hiện trong các đề thi HSG và các đề thi tuyển sinh ĐH nên được học sinh quan tâm và chú trọng trong việc rèn luyện bài tập
2.2.3 Khó khăn.
Phần lớn các học sinh thường sợ khi gặp các dạng phương trình và bất phương trình chứa căn thức vì chúng liên quan đến các điều kiện tồn tại của căn thức Nên các em vẫn ngại tìm tòi cách giải và tâm lý chung là ngại
Các em vẫn chưa nắm rõ kiến thức về biến đổi căn thức, cách đặt điều kiện cho phương trình và bất phương trình dẫn đến việc tổng hợp nghiệm còn khó khăn
2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1 Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về giải hệ phương trình
Trang 4Đối với nhiều bài toán giải phương trình, hệ phương trình việc biến đổi tương ứng sẽ làm phức tạp hoá bài toán khi đó chỉ cần 1 hoặc 2 thậm chí là 3 ẩn phụ mới sẽ đưa bài toán về đơn giản hơn và cách giải cũng nhẹ nhàng hơn
1- Dạng phương trình:
* Dạng 1: p ax b q cx d m (1)
* Phương pháp: Đặt: ax b u cx d , v u( 0,v0)
Phương trình (1)
ad bc av cu
m qv pu
2 2
*Dạng 2: n a f x( )m f x b c( ) (2)
* Phương pháp: Đặt: n a f(x) u , m f(x) bv (đ.kiện kèm theo (nếu có)) Phương trình (2)
b a v u
c v u
2 2
2 Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình:
) 1 ( 7 8 2
5
Giải:
Đặt:
2
2
(1)
2 ) 7 ( 2
7 2
2
7
2 2
2
u v v
u
v
u
2
3 4 7
10
u v
v
Với u 3 x 5 3 x 4 là nghiệm
Ngoài ra ta có thể sử dụng phương pháp hàm số để giải bài toán này
Ví dụ 2: Giải phương trình:
) 1 ( 1
2
Giải:
Điều kiện: x 0
Đặt : 3 1 x u, 3 1 x v
(3) viết lại: ( ) 2 3 1
u kết hợp (2) uv 1
1
u v
uv
Trang 5) 1 ( 1 1
2
3 x x
Giải:
Quan sát thấy hai biểu thức trong căn có thể triệt tiêu x cho nhau
Đặt: 3 2 xu, x 1 v (v 0 )
(1)
) 3 ( 1 ) 1 (
) 2 ( 1
1
1
2 3
2
u v v
u
v
u
Giải (3) 3 2 2 0 ( 2 2 ) 0
u
Ta được u = 0, u =1, u = - 2
1 1
0 2
3
x x
+ u = 1 => v = 0 thoả mãn x 1
+ u = -2 => v = 3 thoả mãn x 10
Ví dụ 4: Cho phương trình.
m x
x x
x 1 3 ( 1 )( 3 ) a) Giải phương trình m 2
b) Xác định m để phương trình có nghiệm [1]
Giải:
Với bài toán này có hai cách đặt ẩn phụ
Phương trình có dạng
u v uv m
+) Đặt t x 1 3 x ta có t2 4 2 (x1)(3 x) 4 t2
Mặt khác t2 x1 3 x)22 (1 1 )(2 2 x 1 3 x) 8 t 2 2
Vậy t 2;2 2
Phương trình có dạng:
2
2
4
2
t
a) Với m = 2 phương trình t2 2t 0 t2 2t 0 t 0,t 2
t = 0 ( loại); t = 2 ( thoả mãn)
ta được: x 1 3 x 2 (x1)(3 x) 0
1; 3
là nghiệm
b) Để phương trình đã có nghiệm thì phương trình
2
f x t t m có nghiệm t 2;2 2
Đến đây xét 3 khả năng:
Trang 6+ f t( ) có nghiệm t2 2 f(2) (2 2) 0f
+ f(t) có nghiệm 2;2 2 và nghiệm nằm ngoài f(2) (2 2) 0f
+ f(t) có nghiệm 1 2
0 (2) 0
2
af
s
Ví dụ 5: Xác định m để phương trình sau có nghiệm
m x x x x x ( khối B - 04) [1] Giải:
Đặt 1x2 1 x2 t t( 0)
Nhận xét: t2 ( 1x2 1 x2 2) (12 1 )(12 x2 1 x2) 4
2
t
vậy t 0;2
Ta có: 2 1 x4 2 t2
Phương trình có dạng: t2 + (m -1)t + 2m - 2 = 0 (1)
Để phương trình có nghiệm thì (1) có nghiệm t 0;2
Xét các trường hợp tương tự ví dụ 4b
2.3.2 Phương pháp tọa độ véc tơ
1 Các kiến thức thường dùng
a) a b a b
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b , cùng phương, cùng chiều tức là có có số k>0 sao cho b ka hoặc a0; b 0
hoặc 0
0
a b
b) a b a b
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b , cùng phương,ngược chiều tức là có số k<0 sao cho b ka hoặc a0, b0
c) a b a b
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b , cùng phương, cùng chiều hoặc một trong hai vectơ ấy bằng 0
Nếu a a a( ; ); ( ; )1 2 b b b 1 2 cùng phương 1 2
Trang 71 2 3 1 2 3
( ; ; ); ( ; ; )
2 Một số ví dụ
Ví dụ1: Giải phương trình:
2
x x x x [2]
Giải:
Điều kiện: 2 x 4
Xét các vec tơ a( x 2 ; 4 x)và b(1;1)
Nhận xét: a b 2 2 2
Và a b x 2 4 x x2 6x11 ( x 3)2 2 2
a b a b
mà a b a b Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a k b (k 0)
x
Ví dụ 2:Giải hệ
1
Giải:
Xét hai véc tơ a x y z( ; ; ); (1;1;2)2 2 2 b
Nhận xét: a 1; b 6
a b x y z mà a b 6do đó a b a b.
mà a b a b .
=> Hệ vô nghiệm
Ví dụ 3: Giải hệ
3 (2)
3 (3)
Giải:
Bài toán này có thể sử dụng bất đẳng thức Trêbusep Tuynhôm có thể giải ngắn gọn sau đây:
Xét hai vectơ: a x y z( ; ; ); (n n n b x n1;y n1;z n1)
Ta có: a b x2n y2n z2n x2n1 y2n2 z2n2 3
Vàa b (x2n 1;y2n 1;z2n 1) 3
Trang 8Vậy a b a b .
Dấu bằng xảy ra khi x n x n1;y n y n1;z n z n1
Hay x = y = z = 1
Ví dụ 4: Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm:
Giải:
Xét các điểm: ( 1;0); ( ;0); ( ;1 3)
AC BC m
với mọi điểm ( ; 3)
2
C x ta có AC BC AB1 1
m
là giá trị cần tìm
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:
1 (1) 1 (2) 3
x y z
Giải:
Xét 2 véc tơ u x y z( ; ; )và v(1;1;1)
Khi đó ta có:
u v x y z
3
u x y z v 3 u v 1(4)
Từ(3) và (4) => u v u v . u v , cùng phương
x y z
2.3.3 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi xuất hiện tổng hoặc tích của hay hay nhiều số hạng hay bộ số sử dụng là không đổi Tư tưởng của phương pháp sử
Trang 9dụng bất đẳng thức trong các bài toán phương trình hay bất phương trình khó mà bằng các phương pháp khác không giải quyết được hay làm phức tạp hoá bài toán
1 Bất đẳng thức Cauchy:
Dạng: Sử dụng cho hai số a,b,c không âm
2
a b abvà
2
a b
ab
a + b + c3 abc3 và 3
3
a b c abc Dấu bằng xảy ra khi a = b = c
Ví dụ1: Giải phương trình ( ĐH huế 98)
1 3
2 (1)
x x
Giải:
Điều kiện x 1
áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được
VP
x
x
Ví dụ 2: Giải bất phương trình:
x x x x
Giải:
Điều kiện: x 1
áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
2 1 1
2 1
2
x
Vậy bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi :
2
VT hay x x2 1 x x2 1 x1là nghiệm bất phương trình
Ví dụ 3: Giải hệ:
2
x
Giải:
Do:
x
x;2cùng dấu nên từ (2) => x 2 0 x 0
x
Do đóx 3 4 0 và x2 2x 6 0
=> 1 7 ( )
7 1
x
do đó 2 1 0
5 0
x
Trang 10áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
2 x 6x 5 2 (x1)(x x 5) ( x 1) ( x x 5)x x 5x 2x 6
Và 3 2 33 3 3.4 3 3 4 3 4
Vậy VT(1) VP(2) Dấu bằng xảy ra khi x=2 thoả mãn
Ví dụ 4: Giải Phương trình:
5 2
2 16
5
25 1
1 2
4
z y
x
Giải:
Điều kiện: x > 2 ; y > 1 ; z > 5
Phương trình đưa về dạng:
) 1 ( 16 5 5
25 1
1
1 2 2
4
z
y y
x x
áp dụng bất đẳng thức ta có:
4 2 2
4
x
2 1 1
1
y
10 5 5
25
z
Vậy VP(1) 16 dấu bằng xảy ra khi :
30 3 6
25 5
4 2
2 1
z y x
z
x
y
Ví dụ 5: Giải phương trình
2
2
1
x
Giải:
Điều kiện: 3 x 1;x0
Bình phương hai vế của (1) ta có:
2
Nhận xét: x2 12 2
x
x
Dấu bằng xảy ra khi : x = - 1
Ví dụ 6: Giải phương trình:
Trang 112 1 2 1 2 2
x x x x x x
Giải:
áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
1
1
VT x 1 x2 x 2 x 1 x2 2x 1 0
2
là nghiệm
Ví dụ 7: Giải phương trình:
13 x 1 9 x 1 16x
Giải:
áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
Dấu bằng xảy ra khi :
1 1
5 2
1 2
x
x x
thoả mãn
2) Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
Cho hay dãy số: (a1 , a2….an) và (b1 ,b2 ….bn)
Ta có:
a b a b a b a a a b b b
dấu bằng xảy ra : 1 2
n
n
b b b
Dạng đơn giải: ax by (a2 b2)(x2 y2)
ax by cz 2 a2b2 c2 x2 y2z2
Dấu bằng xảy ra khi : a b c
x y z
Dấu hiệu sử dụng : Hai dãy số tuỳ ý 1 trong 2 vế có dạng :
a b a b a b hoặc 2 2 2 2 2 2
Ví dụ1: Giải phương trình:
2
x x x x
Giải:
Trang 12áp dụng bất phương trình Bunhiacopski ta có
( x 2 4 x) (1 1 )(x 2 4 x) 4
Vậy 2VT 2
VP =x2 6x11 ( x 3)2 2 2
x
Ví dụ 2: Giải bất phương trình:
2
Giải:
Điều kiện: x 1
Xét:(x 3)2 (x 1) ( x 3)2 ( x 1)2
VT:( x 1 ( x 3))2 (12 1 )(2 x 1 (x 3))2 2 ( x 3)2 x 1
2
Dấu bằng xảy ra khi: 1 3 5
x
Ví dụ 3: Giải bất phương trình:
Giải:
Điều kiện x 1
(1) ( x 1 1 x)( x 1 1 x) 2 x x ( x 1 1 x)
Mà x 1 1 x (12 1 )(12 x 1 x) 2 2x2x x 0 1 x 0
Ví dụ 4: Giải phương trình.
Giải:
áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki cho hai bộ số( x;1);( x2; 2x 1)
Ta có: ( x x( 2) 1 2x 1)2 (x1)(x 2 2x 1) = 3 x2+ 4x +1
hay x2 2x 2x 1 3x24x1
Dấu bằng xảy ra khi: 2 2 1 2 (2 1)
1
x
2
Trang 134 4 1
2 (1 2 )
27
Giải:
Biến đổi vế trái áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
2
Dấu bằng xảy ra
3
1 2
x
Bài toán này có thể giải bằng đặt ẩn phụ u = 2x, v = 1 - 2x
Ví dụ 6: ( ĐH NTH CM ) Giải phương trình
2
2
Giải:
Phương trình có dạng
2
2
áp dụng BĐT Bunhia copxki ta có:
2
2
Dấu bằng xảy ra khi x=1 hay x=1 là nghiệm của phương trình
Ví dụ 7 ( Tạp chí THTT) Giải phương trình.
3x 1 x x x x 1 x x( 2)(5x 1) (1)[4]
Giải:
áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai bộ 3 số:
( 3x 1 ; x x; x 1) và ( 1; 1; -x)
Vế trái của (1) (3x2 1x2 x x 2 1)(1212x2)
Trang 14dấu bằng xảy ra 3 2 1 2 2 1 1
hay x x
Vậy x= -1 là nghiệm của phương trình
Ví dụ 8 (Thi vào 10 ĐHSPHN) Giải phương trình.
x
Giải:
Điều kiện x > 0
Nhận xét: x2 x 1 x x2 1
áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki cho hai bộ số:
( x x; x 1) và( x2 x1; )x
vế trái (1) x (x x 2 x1)(x4x2 1 x2) (x21)3
Dấu bằng xảy ra khi
2
1
0 1
x
Vậy với mọi x > 0 đều là nghiệm
Ví dụ 9 Giải hệ:
1
( 2) 1
n
n
n
Giải:
Từ (1)
1
1
i
1
n i i
x
1
1
i
Dấu bằng xảy ra khi: x1 x2 x n 1
n
Trang 152.3.4 Kiểm tra đánh giá qua thực tiễn.
Để đánh giá kết quả học tập của học sinh tôi ra đề:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
x
2 3 6 3 6 4 4 0
x
Bài 2: Giải hệ phương trình sau
2 3
Bài 3 Giải hệ phương trình sau:
x z
z
z y
y
y x
x
2
2
2 2
2
2
1
2
1
2
1
2
Lời giải sơ lược Bài 1: Giải phương trình
x
GIẢI:
Đặt:y 17 x y2( 0) y2x2 17
Phương trình đưa về hệ :
17
9
2
x
xy y x
0 35 ) ( 2 ) (
9 17
2 )
(
9
2
xy y x xy
y
x
xy
y
x
Ta được
16
) ( 7
xy
loai y
x
hoặc
4
5
xy
y x
thoả mãn x,y là nghiệm phương trình t2 - 5t + 4 = 0 t =1 ; t = 4
2
1 1
1
4
4 1
x x
x
x
x y