ỨNG DỤNG CỦA MÔ HÌNH POĂNGCARÊ VÀ ÁNH XẠ XẠ ẢNH PHẲNG TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP

1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Hình học xạ ảnh là một trong những học phần chuyên ngành dành cho sinh viên ngành ĐHSP Toán. Mục đích của học phần là cung cấp cho sinh viên cái nhìn tổng quan về các hình học và mối quan hệ giữa chúng. Đồng thời, hình học xạ ảnh giúp chúng ta có một phương pháp suy luận, phương pháp giải và sáng tạo một số bài toán thuộc chương trình phổ thông. Việc ứng dụng hình học xạ ảnh vào giải và sáng tạo những bài toán hình học afin là một vấn đề cơ bản và cũng là một trong những mục đích, yêu cầu quan trọng dành cho các sinh viên khi học môn hình học xạ ảnh để hiểu rõ và vận dụng trong công tác giảng dạy sau này. Hiện nay, trong các giáo trình Hình học xạ ảnh đã đề cập đến mối quan hệ giữa hình học xạ ảnh và hình học sơ cấp. Tuy nhiên còn ở mức độ khiêm tốn, việc sáng tạo các bài toán mới cũng ít được quan tâm. Nhằm tìm hiểu sâu hơn về hình học xạ ảnh, đồng thời ứng dụng nó vào chương trình phổ thông, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu khoa học là: “ỨNG DỤNG CỦA MÔ HÌNH POĂNGCARÊ VÀ ÁNH XẠ XẠ ẢNH PHẲNG TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP”. Chúng tôi chọn đề tài này với mục đích nghiên cứu một số ứng dụng của hình học cao cấp vào việc tìm tòi và giải nhanh chóng nhiều bài tập hình học sơ cấp. Trên cơ sở đó hình thành phương pháp phát hiện và giải một lớp bài toán hình học mới hoặc khám phá ra những tính chất thú vị từ những bài toán quen thuộc. Đây là một vấn đề khó và rất rộng, do đó trong khuôn khổ đề tài này, chúng tôi chỉ dừng lại ở việc trình bày một số ứng dụng của mô hình Poăngcarê và ánh xạ xạ ảnh phẳng trong một số bài toán hình học sơ cấp. Nội dung đề tài đề cập đến hai vấn đề sau đây: Vấn đề thứ nhất: Đây là nội dung cơ bản của đề tài. Ở phần này chúng tôi sẽ khai thác các tính chất của ánh xạ xạ ảnh và các phép biến đổi xạ ảnh trên các dạng cấp một và cấp hai vào việc phát hiện nhanh chóng các bài toán hình học sơ cấp. Dựa trên nền tảng một số kiến thức cơ bản của hình học xạ ảnh phẳng, chúng tôi cố gắng thể hiện việc dùng hình học xạ ảnh như một công cụ để phát hiện và cho lời giải sơ cấp thông thường để có thể thấy rõ hơn ứng dụng của hình học cao cấp trong hình học sơ cấp. Những bài toán đó được chúng tôi sắp xếp và phân loại theo các chủ đề: chứng minh đại lượng không đổi; chứng minh 2 sự thẳng hàng của các điểm; chứng minh sự đồng quy của các đường thẳng; một số bài toán quỹ tích và dựng hình. Vấn đề thứ hai: Chúng tôi khai thác mô hình Poăngcarê (Poincare) của hệ tiên đề Ơclit – Hinbe của hình học phẳng Ơclit nhằm làm sáng tỏ phần nào giá trị của phương pháp tiên đề. Qua mô hình này chúng tôi chỉ ra rằng không thể lấy trực giác mà thay thế cho lý luận trong việc chứng minh các định lý hình học cũng như việc giải toán. Cũng qua mô hình, ta sẽ thấy rõ hơn rằng nếu gán cho các khái niệm cơ bản một nội dung cụ thể tùy ý (miễn sao hệ tiên đề được thỏa mãn) sau đó dùng một lần lý luận để xây dựng hình học trừu tượng, ta sẽ rút ra được nhiều kết quả mới lạ và thú vị bằng cách thể hiện các kết quả đã biết trong hình học Ơclit thông thường vào mô hình hình học cụ thể được đề cập đến. Đó là một công việc tiết kiệm được công sức lao động trí óc. 2. Mục tiêu, nhiệm vụ đề tài a. Mục tiêu Áp dụng các tính chất của ánh xạ xạ ảnh phẳng vào việc phát hiện và giải các bài toán hình học sơ cấp. Thể hiện các tính chất của hình học Ơclit thông thường trên mô hình Poăngcarê. b. Nhiệm vụ - Trình bày, hệ thống các kiến thức cơ bản về ánh xạ xạ ảnh, biến đổi xạ ảnh phẳng. - Đưa ra một số ứng dụng của ánh xạ ảnh trong một số bài toán hình học sơ cấp. - Trình bày cách xây dựng mô hình Poăngcarê, chứng minh một số kết quả của hình học Ơclit thông thường thể hiện trên mô hình. 3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Mô hình Poăngcarê và một số tính chất xạ ảnh của ánh xạ xạ ảnh - Phạm vi nghiên cứu: Ứng dụng của mô hình Poăngcarê và một số tính chất của ánh xạ xạ ảnh và các biến đổi xạ ảnh trong việc giải toán hình học sơ cấp. 4. Nội dung nghiên cứu * Nội dung chính:. * Nội dung 1: Khai thác các tính chất của ánh xạ xạ ảnh và các phép biến đổi xạ ảnh * Nội dung 2: Khai thác mô hình Poăngcarê của hệ tiên đề Ơclit – Hinbe 3 của hình học Ơclit. * Cấu trúc: Chương 1. Ánh xạ xạ ảnh phẳng 1.1. Ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp 1 1.2. Ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm và các chùm đường thẳng 1.3. Ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp 2 Chương 2. Ứng dụng của ánh xạ xạ ảnh phẳng trong hình học sơ cấp 2.1. Ứng dụng các tính chất của ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp 1 vào việc phát hiện và giải các bài toán chứng minh đại lượng không đổi 2.2. Ứng dụng phép biến đổi xạ ảnh loại hyperbolic trên một dạng cấp một trong một số bài toán hình học sơ cấp 2.3. Ứng dụng phép biến đổi xạ ảnh loại parabolic trên một dạng cấp một trong một số bài toán hình học sơ cấp 2.4. Ứng dụng phép biến đổi xạ ảnh loại eliptic trên một dạng cấp một trong một số bài toán hình học sơ cấp Chương 3. Ứng dụng của mô hình Poăngcarê trong hình học sơ cấp 3.1. Nhắc lại về hệ tiên đề Ơclit – Hinbe 3.2. Xây dựng mô hình Poăngcarê 3.3. Một số kết quả của hình học Ơclit thể hiện trên mô hình 5. Cách tiếp cận, phuơng pháp nghiên cứu * Cách tiếp cận: Nghiên cứu mô hình Poăngcarê trên mô hình hình học sơ cấp thông thường, bằng các tính chất của hình học cao cấp tìm cách thể hiện qua hình học sơ cấp để đưa ra những tính chất và kết quả của hình học sơ cấp. Nghiên cứu các tính chất của ánh xạ xạ ảnh và các phép biến đổi xạ ảnh trên các dạng cấp một và cấp hai trong việc phát hiện và giải các bài toán hình học sơ cấp. * Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc và nghiên cứu những tài liệu liên quan. Cụ thể, chúng tôi nghiên cứu các kiến thức về ánh xạ xạ ảnh, tổng hợp và giải các bài toán hình học sơ cấp có liên quan đến các phép biến đổi xạ ảnh. Tiếp theo, chúng tôi dùng các tính chất của phép nghịch đảo để chứng minh một số kết quả của hình học Ơclit thông thường thể hiện trên mô hình. - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp, hệ thống hóa lại các kiến thức, tài liệu liên quan. 4 CHƯƠNG 1. ÁNH XẠ XẠ ẢNH PHẲNG 1.1 Ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp 1 1.1.1. Định nghĩa dạng cấp 1 Tập hợp tất cả các điểm cùng thuộc một đường thẳng gọi là một hàng điểm. Đường thẳng này được gọi là giá của hàng điểm. Tập hợp tất cả các đường thẳng thuộc cùng thuộc một mặt phẳng và cùng đi qua một điểm được gọi là chùm đường thẳng. Điểm này được gọi là tâm hay giá của chùm. Mỗi đường thẳng được gọi là một tia của chùm. Tập hợp tất cả các mặt phẳng cùng thuộc một đường thẳng gọi là một chùm mặt phẳng. Đường thẳng này được gọi là trục hay giá của chùm. 1.1.2. Nguyên tắc đối ngẫu trong mặt phẳng xạ ảnh Đi đôi với mỗi mệnh đề xạ ảnh phát biểu nêu những tương quan giữa các điểm và đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh, ta có một mệnh đề thứ hai tìm ra bằng cách thay vào mệnh đề thứ nhất mọi chữ “điểm” bằng chữ “đường thẳng” và ngược lại. 1.1.3. Tỷ số kép của bốn phần tử trong một dạng cấp một 1.1.3.1. Định nghĩa Giả sử A, B, C, D là bốn điểm thẳng hàng trên một đường thẳng ∆ . Ta gọi tỷ số: : CA DA CB DB là t ỷ s ố kép c ủ a b ố n đ i ể m th ẳ ng hàng A, B, C, D theo th ứ t ự đ ó. Ký hi ệ u là: ( ) ABCD . V ậ y, ( ) : CA DA ABCD CB DB = . 1.1.3.1. Các tính chất của tỷ số kép Tính chất 1: T ỷ s ố kép c ủ a b ố n đ i ể m th ẳ ng hàng A, B, C, D không đổ i khi ta hoán v ị c ặ p đ i ể m đầ u và c ặ p đ i ể m cu ố i v ớ i nhau. Nh ư v ậ y: ( ) ( ) ABCD CDAB = . Tính chất 2: T ỷ s ố kép c ủ a b ố n đ i ể m th ẳ ng hàng A, B, C, D không đổ i khi ta hoán v ị đồ ng th ờ i hai đ i ể m đầ u v ớ i nhau, và hai đ i ể m cu ố i v ớ i nhau. Nh ư v ậ y: ( ) ( ) ABCD BADC = . Tính chất 3: T ỷ s ố kép c ủ a b ố n đ i ể m th ẳ ng hàng A, B, C, D s ẽ ngh ị ch đả o n ế u ta hoán v ị ho ặ c hai đ i ể m đầ u, ho ặ c hai đ i ể m cu ố i v ớ i nhau. Nh ư v ậ y: 5 ( ) ( ) ( ) 1 1 ABCD BACD ABDC = = . Tính chất 4: T ỷ s ố kép c ủ a b ố n đ i ể m th ẳ ng hàng A, B, C, D s ẽ tr ở thành ph ầ n bù c ủ a nó cho đế n 1 khi ta hoán v ị hai đ i ể m ở gi ữ a v ớ i nhau, ho ặ c đ i ể m đầ u và đ i ể m cu ố i v ớ i nhau. Nh ư v ậ y: ( ) ( ) ( ) 1 1 ABCD ACBD DBCA = − = − . 1.1.3.2. Định nghĩa N ế u t ỷ s ố kép ( ) 1 ABCD = − thì ta nói r ằ ng b ố n đ i ể m A, B, C, D l ậ p thành m ộ t thành m ộ t hàng đ i ể m đ i ề u hòa. M ộ t chùm đườ ng th ẳ ng đ i qua b ố n đ i ể m c ủ a m ộ t hàng đ i ể m đ i ề u hòa g ọ i là chùm đ i ề u hòa. 1.2. Ánh xạ xạ ảnh giữa các hàng điểm và các chùm đường thẳng 1.2.1. Các định nghĩa 1.2.1.1. Định nghĩa N ế u gi ữ a các ph ầ n t ử c ủ a m ộ t hàng đ i ể m và c ủ a m ộ t chùm đườ ng th ẳ ng thi ế t l ậ p m ộ t song ánh nh ư sau: - M ỗ i đ i ể m c ủ a hàng đ i ể m n ằ m trên m ộ t tia t ươ ng ứ ng c ủ a m ộ t chùm. - M ỗ i tia t ươ ng ứ ng c ủ a chùm đ i qua đ i ể m t ươ ng ứ ng c ủ a hàng. Thì ta nói r ằ ng: hàng đ i ể m c ắ t chùm ho ặ c chùm chi ế u hàng ho ặ c có m ộ t ánh x ạ ph ố i c ả nh gi ữ a hàng đ i ể m và chùm đườ ng th ẳ ng. 1.2.1.2. Định nghĩa Hai chùm đườ ng th ẳ ng g ọ i là liên h ệ ph ố i c ả nh v ớ i nhau n ế u chúng cùng chi ế u m ộ t hàng đ i ể m. Hai hàng đ i ể m đượ c g ọ i là liên h ệ ph ố i c ả nh v ớ i nhau n ế u chúng cùng c ắ t m ộ t chùm đườ ng th ẳ ng. Ký hi ệ u: ∧ dùng để ch ỉ liên h ệ ph ố i c ả nh. Nh ậ n xét: Liên h ệ ph ố i c ả nh b ả o toàn t ỷ s ố kép. 1.2.1.3. Định nghĩa M ộ i song ánh gi ữ a hai d ạ ng c ấ p m ộ t s ẽ g ọ i là x ạ ả nh n ế u song ánh đ ó b ả o toàn t ỷ s ố kép c ủ a b ố n ph ầ n t ử . Ký hi ệ u: ∧ dùng để ch ỉ song ánh x ạ ả nh. 1.2.2. Điều kiện cần và đủ để một song ánh xạ ảnh trở thành phối cảnh Định lý 1 6 Đ i ề u ki ệ n c ầ n và đủ để cho hai hàng đ i ể m x ạ ả nh thành ph ố i c ả nh là giao đ i ể m hai giá t ự ứ ng. Định lý 2 ( Đố i ng ẫ u c ủ a Đị nh lý 1) Đ i ề u ki ệ n c ầ n và đủ để cho hai chùm đườ ng th ẳ ng x ạ ả nh thành ph ố i c ả nh là đườ ng th ẳ ng n ố i hai tâm t ự ứ ng. 1.2.3. Nghiên cứu ánh xạ ảnh bằng phương pháp tọa độ 1.2.3.1. Định lý Gi ả s ử M và ' M là hai đ i ể m theo th ứ t ự có t ọ a độ x và ' x trên hai giá (hai tr ụ c). Đ i ề u ki ệ n c ầ n và đủ để hai hàng đ i ể m ( ) M x và ( ) ' M x có m ộ t song ánh là gi ữ a x và ' x có liên h ệ : ( ) ' 1 ax b x cx d + = + . 1.2.3.1. Điểm giới hạn và hệ thức rút gọn Tr ườ ng h ợ p 0 c ≠ : G ọ i ' J là đ i ể m c ủ a hàng ' s ứ ng v ớ i đ i ể m xa vô t ậ n trên hàng s và I là đ i ể m c ủ a hàng s ứ ng v ớ i đ i ể m xa vô t ậ n trên hàng ' s , th ế thì I và ' J đượ c g ọ i là hai đ i ể m gi ớ i h ạ n. B ằ ng cách cho x và ' x giá tr ị “vô c ự c” trong h ệ th ứ c ' ax b x cx d + = + ta tìm đượ c t ọ a độ c ủ a I là d c − và t ọ a độ c ủ a ' J là a c . Bây gi ờ ta l ấ y I, ' J làm g ố c t ọ a độ theo th ứ t ự trên tr ụ c s và trên tr ụ c ' s , th ự c hi ệ n phép bi ế n đổ i t ọ a độ : ' ' d x X c a x X c  = −     = −   . Khi đ ó, h ệ th ứ c (1) tr ở thành 2 ' bc ad XX c − = không đổ i. Ta chú ý r ằ ng các đ i ể m xa “vô t ậ n” không ph ả i là m ộ t khái ni ệ m x ạ ả nh nên các đ i ể m gi ớ i h ạ n c ũ ng không ph ả i là khái ni ệ m x ạ ả nh. Đứ ng v ề phía ph ươ ng di ệ n hình h ọ c x ạ ả nh thì không thành v ấ n đề ph ả i xét các đ i ể m đ ó, nh ư ng m ụ c đ ích c ủ a ta là mu ố n áp d ụ ng các k ế t qu ả hình h ọ c x ạ ả nh vào hình h ọ c s ơ c ấ p thông th ườ ng nên ta đ ã xét các đ i ể m gi ớ i h ạ n. Tr ườ ng h ợ p 0 c = : I và ' J đề u xa vô t ậ n. Ta có đị nh lý: Định lý Đ i ề u ki ệ n c ầ n và đủ để m ộ t song ánh x ạ ả nh gi ữ a hai đườ ng th ẳ ng tr ở thành m ộ t ánh x ạ đồ ng d ạ ng là hai đ i ể m gi ớ i h ạ n đề u xa vô t ậ n. 7 1.2.3.3. Vấn đề xác nhận các song ánh xạ ảnh Định lý N ế u t ừ m ỗ i đ i ể m M c ủ a m ộ t hàng đ i ể m s, ta suy ra đượ c m ộ t đ i ể m ' M c ủ a m ộ t hàng đ i ể m ' s b ằ ng nh ữ ng phép d ự ng hình sao cho: - Gi ữ a M và ' M có m ộ t song ánh (k ể c ả ph ầ n t ử ả o n ế u có) - Các đườ ng và m ặ t trong phép d ự ng là nh ữ ng đườ ng và m ặ t đạ i s ố . Khi đ ó, ta có th ể k ế t lu ậ n đượ c r ằ ng hàng ( ) M và hàng ( ) ' M có liên h ệ v ớ i nhau b ằ ng m ộ t song ánh x ạ ả nh, ngh ĩ a là có th ể t ừ hàng này suy ra hàng kia b ằ ng hai hay ba phép chi ế u xuyên tâm. 1.2.4. Phép biến đổi (điểm xạ ảnh) trên đường thẳng và phép biến đổi (tuyến) xạ ảnh tại một điểm 1.2.4.1. Định nghĩa phần tử kép Trong m ộ t phép bi ế n đổ i x ạ ả nh gi ữ a hai hàng đ i ể m cùng giá hay gi ữ a hai chùm đườ ng th ẳ ng cùng tâm, n ế u có hai ph ầ n t ử tu ơ ng ứ ng trùng nhau thì ph ầ n t ử đ ó đượ c g ọ i là ph ầ n t ử kép hay ph ầ n t ử b ấ t độ ng. M ộ t phép bi ế n đổ i x ạ ả nh gi ữ a hai hàng đ i ể m cùng giá hay gi ữ a hai chùm đườ ng th ẳ ng cùng tâm đượ c g ọ i là hyperbolic, parabolic, eliptic n ế u nó có hai, m ộ t hay không có đ i ể m kép. Nh ư v ậ y, theo bi ế n đổ i (1) thì trong m ộ t phép bi ế n đổ i x ạ ả nh, t ọ a độ c ủ a đ i ể m kép đượ c xác đị nh b ở i ph ươ ng trình: ax b x cx d + = + hay ( ) ( ) 2 0 1' cx a d x b− − − = . Trong tr ườ ng h ợ p 0 c = , theo lý lu ậ n ở trên ta có m ộ t liên h ệ đồ ng d ạ ng. Vì ở đ ây hai hàng có cùng giá nên đ i ể m xa vô t ậ n tr ở thành đ i ể m kép. Ng ượ c l ạ i, m ộ t liên h ệ đồ ng d ạ ng là m ộ t liên h ệ x ạ ả nh có m ộ t đ i ể m kép ở vô t ậ n. 1.2.4.2. Biến đổi đồng dạng Định lý Đ i ề u ki ệ n c ầ n và đủ để m ộ t phép bi ế n đổ i x ạ ả nh trên m ộ t đườ ng th ẳ ng thành m ộ t phép bi ế n đổ i đồ ng d ạ ng là m ộ t trong hai đ i ể m kép xa vô t ậ n. 1.2.4.3. Biến đổi đẳng cự Định lý Đ i ề u ki ệ n c ầ n và đủ để m ộ t bi ế n đổ i x ạ ả nh trên m ộ t đườ ng th ẳ ng thành m ộ t bi ế n đổ i đẳ ng c ự là c ả hai đ i ể m kép đề u xa vô t ậ n. 1.2.4.4. Tính chất của biến đổi xạ ảnh 8 Định lý 1 Trong m ộ t phép bi ế n đổ i Hyperbolic gi ữ a hai hàng đ i ể m, hai đ i ể m t ươ ng ứ ng cùng v ớ i hai đ i ể m kép có m ộ t t ỷ s ố kép không đổ i. Định lý 2 Trong m ộ t phép bi ế n đổ i Eliptic gi ữ a hai hàng đ i ể m, bao gi ờ c ũ ng có hai đ i ể m đ i ể m đố i x ứ ng nhau qua giá chung c ủ a hai hàng sao cho t ừ m ỗ i đ i ể m đ ó ng ườ i ta nhìn hai đ i ể m t ươ ng ứ ng d ướ i m ộ t góc đị nh h ướ ng không đổ i. Định lý 3 B ằ ng phép chi ế u xuyên tâm, ta có th ể bi ế n hai hàng đ i ể m cùng giá trong bi ế n đổ i x ạ ả nh lo ạ i Parabolic thành hai hàng đ i ể m trong m ộ t bi ế n đổ i đẳ ng c ự c. Hệ quả N ế u ta ch ọ n đ i ể m kép làm g ố c hoành độ thì m ộ t bi ế n đổ i x ạ ả nh lo ạ i Parabolic s ẽ có d ạ ng 1 1 ' x x − là m ộ t h ằ ng s ố . 1.2.5. Biến đổi xạ ảnh đối hợp 1.2.5.1. Định nghĩa M ộ t bi ế n đổ i ( đ i ể m) x ạ ả nh trên m ộ t đườ ng th ẳ ng hay bi ế n đổ i ( đườ ng) x ạ ả nh t ạ i m ộ t đ i ể m đượ c g ọ i là có tính ch ấ t đố i h ợ p n ế u đ i ể m (hay tia) t ươ ng ứ ng v ớ i b ấ t c ứ đ i ể m (hay tia) nào đ ã cho không ph ụ thu ộ c vào vi ệ c ta xem đ i ể m (hay tia) đ ã cho là thu ộ c hàng (chùm) này hay hàng (chùm) kia. Nói m ộ t cách khác, m ộ t bi ế n đổ i x ạ ả nh gi ữ a hai hàng đ i ể m (hay hai chùm) cùng giá s ẽ g ọ i là có tính ch ấ t đố i h ợ p n ế u hai hàng (chùm) đ ó có vai trò nh ư nhau. Ta s ẽ g ọ i t ắ t m ộ t bi ế n đổ i x ạ ả nh có tính ch ấ t đố i h ợ p là m ộ t bi ế n đổ i đố i h ợ p và dùng ký hi ệ u ∨ ∧ để ch ỉ bi ế n đổ i x ạ ả nh đố i h ợ p. Chú ý: M ộ t bi ế n đổ i x ạ ả nh đố i h ợ p ho ặ c có hai ho ặ c không có đ i ể m kép. 1.2.5.2. Điểm trung tâm và điểm kép Trong m ộ t bi ế n đổ i x ạ ả nh gi ữ a hai hàng đ i ể m, ứ ng v ớ i đ i ể m xa vô t ậ n có hai đ i ể m t ươ ng ứ ng ', J I tùy theo ta xem đ i ể m xa vô t ậ n thu ộ c hàng th ứ nh ấ t hay hàng th ứ hai. Trong m ộ t liên h ệ đố i h ợ p thì I trùng v ớ i ' J thành m ộ t đ i ể m O g ọ i là đ i ể m trung tâm c ủ a phép bi ế n đổ i. Do v ậ y, trong liên h ệ đố i h ợ p ta có . ' OM OM không đổ i. 1.2.5.3. Định lý Phơrêgiê 9 N ế u qua tâm chung c ủ a hai chùm đố i h ợ p, ta d ự ng m ộ t đườ ng cong b ậ c hai ( ) C thì các đườ ng th ẳ ng n ố i t ừ ng c ặ p giao đ i ể m c ủ a ( ) C v ớ i t ừ ng c ặ p tia t ươ ng ứ ng s ẽ đồ ng quy t ạ i m ộ t đ i ể m P, g ọ i là đ i ể m Ph ơ rêgiê. Đối ngẫu: N ế u ta d ự ng m ộ t đườ ng b ậ c hai ( ) C ti ế p xúc v ớ i giá chung c ủ a hai hàng đ i ể m đố i h ợ p thì các giao đ i ể m c ủ a c ặ p ti ế p tuy ế n v ớ i ( ) C xu ấ t phát t ừ các c ặ p đ i ể m t ươ ng ứ ng s ẽ th ẳ ng hàng. 1.2.5.2. Định lý Đơdacgơ thứ hai D ạ ng m ộ t: M ộ t đườ ng cong b ậ c hai bi ế n thiên trong m ộ t chùm đườ ng cong b ậ c hai thì v ạ ch lên b ấ t c ứ đườ ng th ẳ ng nào hai hàng đ i ể m liên h ệ x ạ ả nh đố i h ợ p v ớ i nhau. D ạ ng hai: M ộ t đườ ng th ẳ ng ∆ c ắ t ba c ặ p c ạ nh đố i di ệ n (ba đườ ng cong suy bi ế n c ủ a chùm) ( ) ( ) ( ) , ; , ; , AB CD AC BD AD BC c ủ a m ộ t t ứ đ i ể m ABCD và m ộ t đườ ng cong b ậ c hai ngo ạ i ti ế p t ứ đ i ể m đ ó theo b ố n c ặ p đ i ể m t ươ ng ứ ng trong m ộ t bi ế n đổ i x ạ ả nh đố i h ợ p. 1.2.5.5. Định lý Đ i ề u ki ệ n c ầ n và đủ để ba đườ ng th ẳ ng , , Ax By Cz xu ấ t phát t ừ ba đỉ nh c ủ a m ộ t tam giác ABC đồ ng quy là các c ặ p ( ) ( ) ( ) , ; , ; , Ax BC By CA Cz AB c ắ t m ộ t đườ ng th ẳ ng nào đ ó theo ba c ặ p đ i ể m t ươ ng ứ ng trong m ộ t phép đố i h ợ p. Đối ngẫu Đ i ề u ki ệ n c ầ n và đủ để ba đ i ể m ', ', ' A B C theo th ứ t ự l ấ y trên ba c ạ nh BC, CA, AB c ủ a m ộ t tam giác ABC th ẳ ng hàng là có m ộ t đ i ể m S sao cho chùm ( ) ( ) , , ', ', S A B S A B ∨ ∧ . 1.3. Ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp hai Trong m ụ c này, ta xét đườ ng cong b ậ c hai là đườ ng tròn. Do đ ó, ta nh ắ c l ạ i các đị nh ngh ĩ a và đị nh lý sau: 1.3.1. Cực và đối cực 1.3.1.1. Định nghĩa Hai đ i ể m M, N g ọ i là liên h ợ p v ớ i nhau đố i v ớ i đườ ng tròn (O) n ế u đườ ng tròn đườ ng kính MN tr ự c giao v ớ i đườ ng tròn (O). 2.3.1.2. Định lý và định nghĩa 10 Qu ỹ tích nh ữ ng đ i ể m liên h ợ p v ớ i m ộ t đ i ể m c ố đị nh M (khác O) đố i v ớ i m ộ t đườ ng tròn (O) là m ộ t đườ ng th ẳ ng m vuông góc v ớ i đườ ng th ẳ ng OM. Đườ ng th ẳ ng m nh ư v ậ y đượ c g ọ i là đườ ng đố i c ự c c ủ a đ i ể m M đố i v ớ i đườ ng tròn (O). 1.3.1.3. Định lý M ọ i đườ ng th ẳ ng m trong m ặ t ph ẳ ng đề u có m ộ t đ i ể m M duy nh ấ t nh ậ n m làm đườ ng đố i c ự c đố i v ớ i m ộ t đườ ng tròn (O) cho tr ướ c. 1.3.1.4. Định nghĩa Đ i ể m M duy nh ấ t nói ở đị nh lý trên đượ c g ọ i là c ự c c ủ a m ộ t đ i ể m M đố i v ớ i đườ ng tròn (O) cho tr ướ c. 1.3.1.5. Cách dựng đường đối cực của M đối với đường tròn (O) - Qua M v ẽ hai cát tuy ế n MAB, MCD tùy ý. - G ọ i: ; AC BD J AD BC I ∩ = ∩ = - Khi đ ó, IJ là đườ ng đố i c ự c c ủ a M đố i v ớ i (O). Hình 1.1 C J I D B A M [...]... thẳng đồng quy thì thẳng hàng 13 CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG CỦA ÁNH XẠ XẠ ẢNH PHẲNG TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC SƠ CẤP 2.1 Ứng dụng các tính chất của ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp 1 vào việc phát hiện và giải các bài toán chứng minh đại lượng không đổi 2.1.1 Ứng dụng hệ thức x ' = ax + b vào việc sáng tạo những bài toán sơ cấp cx + d trong đó yêu cầu chứng minh những hệ thức AM AM ' là hằng số Về bản chất,... đổi xạ ảnh loại hyperbolic trên một dạng cấp một trong một số bài toán hình học sơ cấp 27 2.2.1 Ứng dụng phép biến đổi xạ ảnh loại hyperbolic trên một dạng cấp một có hai điểm kép ở xa vô tận trong một số bài toán hình học sơ cấp Bài toán 8 Cho một tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn ( O ) Một điểm P chuyển động trên đường tròn ( O ) Hai đường thẳng DP và CP cắt đường thẳng AB theo thứ tự tại M và. .. thẳng cố định 2.1.3 Ứng dụng trường hợp ánh xạ xạ ảnh đồng dạng trở thành ánh xạ đẳng cự giữa hai đường thẳng Bài toán 3 Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng xx ' và yy ' cắt nhau tại điểm O và P là điểm cách đều hai đường thẳng đó Một đường tròn cố định đi qua O và P cắt xx ' và yy ' lần lượt tại A và A ' Một đường tròn biến thiên đi qua O và P cắt xx ' và yy ' lần lượt tại M và M ' Chứng minh rằng: AM... biến đổi xạ ảnh loại hyperbolic 26 B A M N d P Hình 2.12 Nếu d tiếp xúc với ( C ) thì f được gọi là phép biến đổi xạ ảnh loại parabolic B A P N M Hình 2.13 d Nếu d không cắt ( C ) thì f được gọi là phép biến đổi xạ ảnh loại eliptic B A P M d Hình 2.14 Sau đây, ta sẽ lần lượt khai thác một số tính chất đặc biệt của từng loại biến đổi xạ ảnh nói trên trong một số bài toán hình học sơ cấp 2.2 Ứng dụng phép... O và P cắt x ' x và y ' y lần lượt ở A và A ' , một đường tròn thay đổi khác cũng đi qua O và P cắt x ' x và y ' y lần lượt ở M và M ' Chứng minh rằng: không đổi khi hai đường tròn thay đổi M' A' xx' O M P A yy' Hình 2.3 Lời giải: 17 A' M ' =k AM Xét ánh xạ f : xx ' → yy ' xác định như trên M ֏M' Khi đó, f là ánh xạ xạ ảnh (Định lý 1.3.3) và hai điểm giới hạn đều xa vô tận nên ánh xạ này là ánh xạ. .. 2.1.2 Ứng dụng trường hợp điểm xa vô tận để sáng tạo những hàng điểm đồng dạng, cho bài toán hình học sơ cấp yêu cầu chứng minh hệ thức dạng A' M ' = k không đổi (Trong đó, A ' = Γ ( A ) ; B ' = Γ ( B ) với Γ là ánh xạ xạ ảnh AM đồng dạng, từ đường thẳng x ' Ox tới đường thẳng y ' Oy Khi k = 1 thì Γ là ánh xạ đẳng cự.) Bài toán 2 Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng x ' x và y ' y cắt nhau tại điểm O và. .. phép biến đổi xạ ảnh loại parabolic trên một dạng cấp một trong một số bài toán hình học sơ cấp 2.3.1 Ứng dụng phép biến đổi xạ ảnh loại parabolic trên một dạng cấp một có một điểm kép không xa vô tận trong một số bài toán hình học sơ cấp Bài toán 10 Cho một đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (C) tại một điểm O cho trước Trên (C) cho hai điểm cố định A và B khác O Một điểm C di động trên đường tròn... ánh xạ xạ ảnh và cả hai điểm giới hạn đều ở xa vô tận nên ánh xạ này là ánh xạ đồng dạng ' M 0M ' Do đó, = k không đổi M 0M 25 x u y M M0 O M' v M'0 Hình 2.11 Cách khác: Theo giả thiết, ( Ox, Oy ) = ( Pu , Pv ) nên các tứ giác OMPM ' và OM 0 PM 0' ' M 0 M ' PM 0' là các tứ giác nội tiếp Khi đó, ∆M 0 PM ∼ ∆M PM ' Từ đó, = M 0 M PM 0 ' 0 không đổi Nhận xét: Trong 2.1 ta khai thác tính chất của ánh xạ. .. đổi) 2.4 Ứng dụng phép biến đổi xạ ảnh loại Eliptic trên một dạng cấp một trong một số bài toán hình học sơ cấp Bài toán 14 Cho một đường tròn (O), bán kính R, đường kính AB Một đường thẳng d song song với AB và cách AB một khoảng bằng 2R Một điểm P chạy trên đường tròn (O;R) Các đường thẳng PA, PB cắt đường thẳng d theo thứ tự tại M và N Gọi A ', B ' lần lượt là hình chiếu của A, B lên d Chứng minh... OM OA.OB OA.OB OA.OB 1 1 Vậy, − không đổi ON OM 2.3.2 Ứng dụng phép biến đổi xạ ảnh loại parabolic trên một dạng cấp một có một điểm kép ở xa vô tận trong một số bài toán hình học sơ cấp 32 Bài toán 11 Gọi H là trực tâm tam giác ABC và ∆ là đường trung trực của đoạn thẳng CH Với mỗi điểm M chạy trên đường thẳng AB, gọi D là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng BC Đường tròn (Q) ngoại tiếp tam . về hình học xạ ảnh, đồng thời ứng dụng nó vào chương trình phổ thông, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu khoa học là: ỨNG DỤNG CỦA MÔ HÌNH POĂNGCARÊ VÀ ÁNH XẠ XẠ ẢNH PHẲNG TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP” 1.1. Ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp 1 1.2. Ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm và các chùm đường thẳng 1.3. Ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp 2 Chương 2. Ứng dụng của ánh xạ xạ ảnh phẳng trong hình. 2. ỨNG DỤNG CỦA ÁNH XẠ XẠ ẢNH PHẲNG TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC SƠ CẤP 2.1. Ứng dụng các tính chất của ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp 1 vào việc phát hiện và giải các bài toán chứng