trong một số bài toán hình học sơ cấp.
Bài toán 14. Cho một đường tròn (O), bán kính R, đường kính AB. Một đường
thẳng d song song với AB và cách AB một khoảng bằng 2R. Một điểm P chạy
trên đường tròn (O;R). Các đường thẳng PA, PB cắt đường thẳng d theo thứ tự
tại M và N. Gọi ', 'A B lần lượt là hình chiếu của A, B lên d. Chứng minh rằng:
' . '
A M A N không đổi. Xác định giá trị không đổi đó.
d Hình 2.22 M1 N1 P1 N M A' B' B A P Lời giải:
Ta có: :f M ֏ N là một phép biến đổi xạ ảnh loại Eliptic. Trong phép biến đổi này 'B là ảnh của điểm M∞ của d, còn 'A có ảnh là điểm N∞ của d,
nhưng M∞ ≡N∞ vì hai điểm này chính là điểm xa vô tận của d.
Vì vậy, 'B và 'A là hai điểm giới hạn, nên ta có hệ thức: ' . 'A M B N =k
Để xác định k ta xét trường hợp đặc biệt khi P trùng với P1 là điểm chính giữa cung AB. Gọi, P A1 ∩d =M P B1; 1 ∩d =N1.
Khi đó, ta xác định được: 2 1 1 ' . ' ' . ' 4 A M B N = A M B N = − R . Cách khác: Ta có, ∆AA M' ∼∆NB M g g' ( . ) nên ' ' ' ' AA A M NB = BB . Suy ra, A M B N' . ' = −4R2 không đổi.
Bài toán 15.
Trong mặt phẳng cho đường tròn (O R; ) và một điểm P nằm ngoài đường tròn. Gọi (d) là trục đẳng phương của đường tròn ( )O và “đường tròn điểm” P. Một đường tròn (Q) đi qua P và tiếp xúc ngoài với đường tròn (O) ở C.
Chứng minh rằng: Đường tròn (Q) cắt (d) tại hai điểm M và N, đồng thời
khi đường tròn (Q) biến thiên thì đoạn MN luôn được nhìn P dưới một góc ϕ
không đổi. Xác định độ lớn của ϕ theo R và d =OP.
Lời giải:
Gọi H là giao điểm của (d) và OP; A, B là các tiếp điểm của tiếp tuyến
PA, PB với đường tròn (O). Thế thì, (d) đi qua trung điểm I, J của PA và PB.
Với mỗi điểm C trên cung nhỏ AB của đường tròn (O) thì đường thẳng
OC cắt trung trực của đoạn CP ở một điểm Q duy nhất và do đó, đường tròn (Q)
đi qua P sẽ tiếp xúc ngoài với đường tròn (O;R) đã cho ở C khi C ≡A hoặc
C≡B thì đường trung trực của đoạn CP song song với OC và Q là điểm xa vô
tận của OC, tức là điểm xa vô tận của đường thẳng OA hoặc OB, và do đó đường tròn (Q) suy biến thành tiếp tuyến PA hoặc PB với đường tròn (O;R). Đường tròn (Q QP; ) cắt d tại hai điểm M, N phân biệt.
Thật vậy, gọi K = AB∩OPthì H là trung điểm của PK (vì AB⊥OP nên AB ∆); ta có: 1( ) 2 2 OH = OP+OK ⇒ OH =OP+OK và, OA2 =OB2 =OP OK. suy ra OK R d = 2 . Do đó, ta được: R (d R) OH OP OK d R R d d − = + = + = + > 2 2 2 2 2 .
Suy ra, OH >R tức là d không cắt đường tròn (O;R) và vì thế điểm P và đường tròn (O;R) nằm về hai phía của đường thẳng d.
Bởi vậy, đường tròn (Q QP; ) đi qua P và tiếp xúc với (O;R) ở điểm C
phải cắt d tại hai điểm M và N phân biệt.
(d) Hình 2.23 C H K N M J I P O Q B A
Với mỗi điểm C trên (O;R), cặp điểm M, N được xác định một cách duy nhất là giao của d và (Q QP; )sao cho MN cùng chiều với d.
Do vậy, ánh xạ: :f M ֏ N xác định như trên từ d vào chính nó là một
biến đổi xạ ảnh trên d.
Vì Q là giao của OC với trung trực của CP, và luôn nằm ngoài (O;R) nên
Khi M ≡M0 ≡H thì tồn tại duy nhất một điểm C ≡C0trên d sao cho
đường tròn ( )Q0 đi qua ba điểm P, M0 ≡H và C0 tiếp xúc với (O;R) tại C0 cắt lại d ở điểm thứ hai N0 = f M( 0).
Ta có: :f M1∞ ֏ N1≡J M'; 0 ≡N0 và M2 ≡I ֏ N2∞ ≡M1∞. (vì M1∞, N2∞ là các điểm xa vô tận của đường thẳng d).
Cũng lý luận như trên, hai giao điểm P1 và P2 của đường thẳng OP và
đường tròn đường kính 'J N0 luôn nhìn đoạn thẳng MN dưới một góc định hướng (PM PNi ; i ) (= PM P Ni 0; i 0)=ϕ không đổi. (i=1 2; ).
Nhưng P chính là một trong hai điểm P1 hoặc P2 nên (PM PN; )=ϕ không đổi. Cách khác: (d) (d)1 Hình 2.24 D C N M J I P O Q B A
Ta nhận xét rằng: đường tròn (Q) đi qua P và tiếp xúc ngoài với (O;R) đã cho ở C thì C thuộc cung nhỏ AB trong đó A, B là các tiếp điểm của hai đường tiếp tuyến kẻ từ P đến (O;R).
Gọi M, N theo thứ tự là các giao điểm thứ hai của Q với hai đường thẳng
AB và BC. Ta sẽ chứng minh rằng đường thẳng MN chính là đường thẳng d.
Thật vậy, theo kết quả của Bài toán phần 2.3. thì d1, MN và tiếp tuyến kẻ từ P của (Q) đồng quy ở D. Suy ra, D là tâm đẳng phương của (O); (Q) và “đường tròn điểm” P.
Mặt khác, đường thẳng MN đi qua D và song song với AB nên MN ⊥OP
và do đó đường thẳng MN là trục đẳng phương của (O;R) và “đường tròn điểm”
P. Tức là, đường thẳng MN chính là d hay d cắt (Q) tại hai điểm M, N sao cho AM và BN cắt nhau tại tiếp điểm C của đường tròn (Q) và (O;R).
Vì P, M, C, N cùng thuộc đường tròn (Q) nên ta có: (PM PN; ) (= CM CN; ) (= CA CB; )(modπ) ( )1
Trong đường tròn (O;R) lại có:
(CA CB; )=1(OA OB; ) (= OA OP; ) (= OP OB; )(modπ) ( )
2 2
Nên từ (1) và (2) ta có: (PM PN; ) (= OA OB; )=ϕ(modπ) không đổi. Nhưng, trong tam giác ∆OPA vuông ở A, ta có: OA=R OP; =d AOP; =ϕ
nên cosAOP R d
= hay cos R
d
ϕ = .
Vậy, P luôn nhìn MN dưới một góc định hướng không đổi ϕ mà arccosR
d
CHƯƠNG 3.