IV 3) (Tiên đề Đơđơkin) Nếu ta tạo nên một lát cắt trên một đường thẳng (hay
A =O OB =O OC O
3.3.6. Bài toán 6 (Định lý Ptôlême)
Nếu ba điểm A, B, C cùng thuộc một đường tròn hoặc một đường thẳng đi qua một điểm O và sao cho O và B chia rẽ cặp điểm {A C; } thì ta có hệ thức:
. . .
BC OA+AB OC =CA OB.
Chứng minh:
Thật vậy, ký hiệu δ(AB) là độ dài “đoạn thẳng” AB ở trong mô hình Poăngcarê thì do B ở giữa A và C nên ta có: δ(AB)+δ(BC)=δ(AC) và do đó:
. . . AB BC AC OA OB+OB OC =OA OC . Tức là, AB OC. +BC OA. = AC OB. . Hình 3.5 A B C O 3.3.7. Bài toán.
Trong mặt phẳng cho ba đường tròn ( ) ( )O1 ; O2 ;( )O3 đồng quy tại O và cắt nhau đôi một ở A, B, C. Khi đó, các đường tròn đi qua A và trực giao với ( )O3 ; đi qua B và trực giao với ( )O2 ; qua C và trực giao với ( )O1 là ba đường tròn đồng quy.
Chứng minh:
Thật vậy, qua phép nghịch đảo cực O, phương tích 1: A, B, C lần lượt biến thành ', ', 'A B C . Lại có, đường tròn đi qua A trực giao với ( )O3 biến thành đường thẳng h3⊥d3(do tính chất bảo giác của phép nghịch đảo).
Hoàn toàn tương tự như vậy, đường tròn đi qua B trực giao với ( )O2 biến thành đường cao đi qua 'B của tam giác ' ' 'A B C . Đường tròn đi qua C trực giao với ( )O1 biến thành đường cao đi qua 'C của tam giác ' ' 'A B C .
Vì “ba đường cao trong tam giác đồng quy” nên ba đường tròn đó đồng quy.
3.3.8. Bài toán 8.
Cho ba đường tròn ( ) ( ) ( )O1 ; O2 ; O3 đôi một cắt nhau ở A, B, C và đồng quy ở O. Khi đó các đường tròn đi qua A và tạo với ( ) ( )O1 ; O2 hai góc bằng nhau; đường tròn đi qua B và tạo với ( )O1 ;( )O3 hai góc bằng nhau; đường tròn đi qua C và tạo với ( ) ( )O2 ; O3 hai góc bằng nhau là ba đường tròn đồng quy.
Chứng minh:
Thật vậy, qua phép nghịch đảo cực O, phương tích 1 thì ( ) ( ) ( )O1 ; O2 ; O3
lần lượt biến thành các đường thẳng d d d1; ;2 3 đôi một cắt nhau ở '; '; 'A B C lần lượt là ảnh của A, B, C.
Đường tròn đi qua A tạo với ( ) ( )O1 ; O2 hai góc bằng nhau biến thành đường phân giác góc 'A của tam giác A B C' ' ' (do phép nghịch đảo có tính chất bảo giác).
Tương tự, đường tròn đi qua B và tạo với ( ) ( )O1 ; O3 hai góc bằng nhau biến thành đường phân giác góc 'B của tam giác A B C' ' '. Đường tròn đi qua C và tạo với ( ) ( )O2 ; O3 hai góc bằng nhau biến thành đường phân giác góc C của ' tam giác A B C' ' '.
Mà, trong một tam giác ba đường phân giác đồng quy nên ta có điều phải chứng minh.