Bài toán 11. Gọi H là trực tâm tam giác ABC và ∆ là đường trung trực của đoạn thẳng CH. Với mỗi điểm M chạy trên đường thẳng AB, gọi D là hình chiếu
vuông góc của M trên đường thẳng BC. Đường tròn (Q) ngoại tiếp tam giác
DHC cắt AC ở điểm thứ hai là E. Từ E kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt AB
ở N. Chứng minh rằng: MN không đổi khi M thay đổi.
Lời giải:
Ta thấy rằng, ánh xạ: :f M ֏ N từ AB đến chính nó là một biến đổi xạ ảnh trên đường thẳng AB.
Hơn nữa, ánh xạ xạ ảnh f có hai điểm kép trùng nhau ở vô tận. Vậy, f là một phép tịnh tiến trên AB. Do đó, MN không thay đổi.
Đặc biệt, lấy M trùng với A thì N trùng với B. Nên, MN = AB.
Hình 2.20 F N E Q D H A B C M Cách khác:
Gọi F là giao điểm của MD và NE.
Ta có: CDF =CEF =900 nên CF là đường kính của đường tròn (Q) hay nói cách khác F thuộc (Q).
Mặt khác, AH MF và AM FH (cùng vuông góc với HC) nên tứ giác AMFH là hình bình hành, suy ra: AM =FH .
Mà, MN =MB+BN =MB+AM = AB. Vậy,
MN = AB (không đổi).
Bài toán 12. Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng a và d cắt nhau (nhưng
chiếu vuông góc của P trên a. Với mỗi điểm M trên d, dựng đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác OPM cắt a tại C. Đường tròn (C;CM) cắt d tại N. Chứng minh:
MN không đổi.
Lời giải:
Rõ ràng, ánh xạ :f M ֏ N từ d vào chính nó là một biến đổi xạ ảnh trên đường thẳng d.
Cụ thể hơn, đây là một phép biến đổi xạ ảnh loại parabolic trên đường thẳng d có hai điểm bất động ở xa vô tận.
Vậy, f là một phép dời hình có một điểm bất động duy nhất ở xa vô tận và do đó f là một phép tịnh tiến trên d. Nên, ta có: MN không đổi.
a d Hình 2.21 Q D N' N C I O P M Cách khác:
Gọi N' đối xứng với N qua a.
Ta có: ONC=ON C' mà ONC+CNP=1800 =ON C' +OMC nên tứ giác '
Vậy, với mỗi điểm N thuộc d, điểm M được xác định duy nhất trên d, là giao
điểm thứ hai của d và đường tròn (OPN').
Kẻ CD⊥d và PQ⊥d. Thế thì Q cố định và do đó QO không đổi.
Khi đó, ∆DCM ∼∆OCP g g( . ) và ∆MPC ∼∆QPO g g( . ) ta được:
DM CM OQ OP = CP = OP .
Suy ra,DM =OQ. Nhưng, CM =CN nên MD=DN . Vậy, MN=2MD=2QO (không đổi).