Ứng dụng phần mềm Maple và cơ sở Groebner trong giải toán hình học phẳng

MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1. TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI Ngày nay, nhờ sự phát triển như vũ bão của công nghệ thông tin, máy tính đã thâm nhập vào hầu hết các lĩnh vực khoa học và đời sống. Nhiều chương trình ứng dụng đã được phát triển liên quan tới quản lý dữ liệu, in ấn, đồ họa, xử lý ảnh… Riêng đối với ngành Toán đã có những sản phẩm mang tính phổ dụng như Mathematica, Matlab, Maple … và nhiều chương trình chuyên dụng cho từng bộ môn Toán học. Những phần mềm trên giúp ích rất nhiều cho việc giảng dạy môn Toán, học Toán cũng như việc ứng dụng Toán trong các ngành kĩ thuật, kinh tế và vì thế tại các nước phát triển chúng đã trở thành cẩm nang của nhiều sinh viên và các nhà khoa học. Khả năng của các phần mềm Toán học là rất lớn và có thể khai thác chúng ở nhiều góc độ khác nhau. Do đó, việc nghiên cứu và giảng dạy cho sinh viên cách sử dụng công cụ phần mềm Toán thông dụng như Maple là cần thiết và đem lại hiệu quả thực sự. Một nét nổi bật của các phần mềm tính toán là chúng không chỉ giúp chúng ta tính toán mà còn hỗ trợ cho tư duy, suy luận và do đó nó rất hữu ích trong giảng dạy và nghiên cứu Toán học. Kể từ khi phần mềm tính toán Maple ra đời, nhiều trường Đại học trên thế giới đã thay đổi cách dạy và học môn Toán. Cùng với cách giảng dạy giải toán truyền thống, người học được hướng dẫn để giải toán bằng Maple. Phương pháp này tạo ra cho Toán học một cách tiếp cận mới sinh động và sáng tạo hơn, tạo ra cho con người có thể khai thác tối đa khả năng sáng tạo. Theo tác giả Phạm Huy Điển: “Nếu như với Đại số, Số học, Giải tích … Maple có khả năng đầy đủ để giảng dạy và học tập (từ phổ thông lên đại học) thì trong Hình học phẳng nó chỉ đưa ra những công cụ mang tính cơ sở chưa đáp ứng được nội dung giảng dạy bộ môn Hình học hiện nay ở Việt Nam”. Tuy nhiên Maple là một hệ thống mở, nó cho phép chúng ta tạo lập được những công cụ mới bổ sung. Do đó, chúng ta có thể làm phong phú hơn gói công cụ Hình học phẳng của Maple. 1 Theo phương pháp trên, bằng cách ứng dụng lý thuyết Toán học Cơ sở Groebner kết hợp với phần mềm Maple chúng ta có thể giải các bài toán Hình học phẳng. Với mong muốn đóng góp một phần nhỏ công sức để giảm bớt những khó khăn cho học sinh, sinh viên trong việc giải các bài toán hình học phẳng thường gặp mà không mất quá nhiều thời gian khi tính toàn bằng tay mà áp dụng thành tựu khoa học công nghệ hiện đại để giải quyết một bài toán nhanh, gọn qua đó hỗ trợ cho đội ngũ giáo viên các trường phổ thông trong công tác giảng dạy của mình. Bởi vậy, chúng em mạnh dạn nghiên cứu đề tài: “Ứng dụng phần mềm Maple và cơ sở Groebner trong giải toán hình học phẳng”. 2. Ý NGHĨA CỦA ĐỀ TÀI 2.1. Ý nghĩa khoa học: Đề tài nghiên cứu các thuật toán trong phần mềm Maple và ứng dụng Cơ sở Groebner để giải các bài toán Hình học phẳng. 2.2. Ý nghĩa thực tiễn: Đề tài nghiên cứu là tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành Đại học sư phạm Toán và giáo viên các trường trung học phổ thông. Sau khi đề tài hoàn thành, chúng em hi vọng đây sẽ là một tài liệu bổ ích cho học sinh, sinh viên trong học tập và nghiên cứu về cách sử dụng phần mềm Maple để giảng dạy hình học. 3. MỤC TIÊU ĐỀ TÀI 3.1. Đề tài nghiên cứu khoa học hệ thống một cách chi tiết các thuật toán sử dụng trong phần mềm Maple và ứng dụng của nó trong việc giải các bài toán hình học phẳng, đưa ra cách giải một cách nhanh và chính xác nhất cho một số dạng bài toán hình học phẳng. 3.2. Nêu ra quy trình đại số hóa một số bài toán hình học phẳng dựa trên Cơ sở Groebner. 3.3. Nêu ra các bài tập vận dụng là tài liệu tham khảo cho học sinh, sinh viên. 4. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU 4.1. Đối tương nghiên cứu: Các thuật toán trong phần mềm Maple, cơ sở Groebner và các ứng dụng trong giải toán hình học phẳng. 4.2. Phạm vi nghiên cứu: Phần mềm Maple, cơ sở Groebner ứng dụng trong giải các bài toán Hình học phẳng. 5. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chương 1: Phần mềm Maple và cơ sở Groebner 1.1. Giới thiệu về phần mềm Maple 1.1.1. Giao diện và môi trường làm việc của Maple 1.1.2. Các khái niệm và hàm cơ bản trong lập trình trên Maple 1.1.3. Lập trình toán học trên Maple 1.1.4. Lệnh và kết quả của Maple 1.1.5. Ứng dụng của Maple trong hình học 1.2. Cơ sở Groebner 1.2.1. Định nghĩa cơ sở Groebner 1.2.2. Đại số hóa định lý hình học trên Maple 1.2.3. Quy trình chứng minh định lý hình học trên Maple 1.2.4 Cơ sở Groebner trong Maple Chương 2: Bài tập vận dụng 2.1. Bài tập hình học phẳng với gói Groebner 2.2. Bài tập hình học phẳng với gói Geometry 2.3. Bài tập 6. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 6.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc và nghiên cứu các tài liệu, giáo trình về phần mềm Maple, Cơ sở Groebner. Nghiên cứu các thuật toán và ứng dụng Cơ sở Groebner trong giải các bài toán Hình học phẳng trên Maple. 6.2. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên cứu tài liệu, giáo trình thông qua các thuật toán, các chương trình giải toán Hình học phẳng trên Maple. 2 CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU PHẦM MỀM MAPLE VÀ CƠ SƠ GROEBNER 1.1. Giới thiệu về phần mềm Maple 1.1.1. Giao diện và môi trường làm việc của Maple 1.1.1.1. Giới thiệu về phần mềm Maple * Lịch sử phát triển: Khái niệm đầu tiên về Maple xuất phát từ một cuộc họp vào tháng 11 năm 1980 tại Đại học Waterloo Canada ở Waterloo, Ontarrio, Canada. Những nhà nghiên cứu tại đại học muốn mua một máy tính đủ mạnh để chạy Macsyma. Thay vào đó, người ta quyết định sẽ phát triển hệ thống đại số máy tính riêng để có thể chạy được những máy tính có giá thành hợp lý hơn. Do đó, dự án bắt đầu với mục tiêu là tạo ra một hệ thống đại số hình thức mà các nhà nghiên cứu và sinh viên có thể truy cập được. Sự phát triển đầu tiên của Maple được tiến hành rất nhanh, với phiên bản hạn chế đầu tiên xuất hiện vào tháng 12 năm 1980. Những nhà nghiên cứu đã thử nghiệm và loại bỏ rất nhiều ý tưởng khác nhau để tạo ra một hệ thống liên tục cải tiến. Maple được trình diễn đầu tiên tại hội nghị bắt đầu vào năm 1982. Đến cuối năm 1983, trên 50 trường đại học đã cài Maple trên máy tính của họ. Do số lượng hỗ trợ và yêu cầu giấy phép lớn, vào năm 1984, nhóm nghiên cứu đã sắp xếp với WATCOM Products Inc để cấp phép và phân phối Maple. Vào năm 1988, do số lượng ngày càng tăng, Waterloo Maple Inc được thành lập. Mục tiêu đầu tiên của công ty là quản lý những bản phân phối phần mềm. Cuối cùng, công ty cũng phải mở ra phòng R&D, ở đó khá nhiều sự phát triển cho Maple được thực hiện tới ngày nay. Sự phát triển đáng kể của Maple tiếp tục diễn ra tại phòng thí nghiệm trường đại học, bao gồm: Phòng thí nghiệm Tính toán hình thức tại Đại học Waterloo, Trung tâm nghiên cứu Tính toán hình thức Ontario tại Đại học Tây Ontario và những phòng thí nghiệm khắp nơi trên thế giới. 3 Vào năm 1989, giao diện đồ họa người dùng đầu tiên của Maple được phát triển và bao gồm trong bản 4.3 dành cho Macintosh. Những phiên bản trước của Maple chỉ gồm giao diện dòng lệnh với ngõ ra hai chiều. Bản X11 và Windows với giao diện mới tiếp bước năm 1980 với Maple V. Vào năm 1999, với việc phát hành Maple 6, Maple đã đưa vào một số Thư viện Số học NAG, được mở rộng độ chính xác ngẫu nhiên. Năm 1995, Maple đã mất khá nhiều thị phần vào tay đối thủ do có giao diện người dùng yếu hơn. Vào năm 2003, giao diện “chuẩn” hiện nay được giới thiệu trong Maple 9. Giao diện này được viết chủ yếu bằng Java (mặc dù có nhiều phần, nhưng luật cho việc gõ công thức toán học được viết bằng ngôn ngữ Maple). Giao diện Java bị phê phán là chậm, nhưng sự phát triển được thực hiện trong các bản sau này của Maple. Nhưng vào năm 2005, Maple 10 giới thiệu một “chế độ văn bản” mới như một phần của giao diện chuẩn. Tính năng chính của chế độ này là phép toán được đưa vào ngõ nhập hai chiều, do đó nó xuất hiện tương tự như công thức trong sách. Vào năm 2008, Maple 12 đã thêm những tính năng giao diện người dùng giống như Mathematica, gồm có những kiểu trình bày theo mục đích đặc biệt, quản lý phần đầu và cuối trang, vùng thực hiện tự động, mẫu hoàn thành lệnh, kiểm tra cú pháp và vùng tự động khởi tạo. Những tính năng khác được thêm vào để làm cho Maple dễ dùng hơn như một hộp công cụ Maple. Phiên bản mới nhất hiện nay là Maple 16 ra đời ngày 3 tháng 3 năm 2012 với các tính năng và gói công cụ vượt trội hơn hẳn mang bước đột phá của Maple. * Chức năng cốt lõi: Người dùng có thể nhập biểu thức toán học theo các ký hiệu toán học truyền thống. Có thể dễ dàng tạo ra những giao diện người dùng tùy chọn. Phần lớn chức năng toán học của Maple được viết bằng ngôn ngữ Maple và được thông dịch bởi nhân Maple. Nhân Maple được viết bằng C. Maple chạy trên tất cả các hệ điều hành chính. 5 Maple là phần mềm có một môi trường tính toán khá phong phú, hỗ trợ hầu hết các lĩnh vực của toán học như: Giải tích số, đồ thị, đại số hình thức,… Do đó ta dễ dàng tính được các giá trị gần đúng, rút gọn biểu thức, giải phương trình, bất đẳng thức, hệ phương trình, tính giới hạn, đạo hàm, tích phân của hàm số, vẽ đồ thị, tính diện tích, thể tích, biến đổi ma trận, khai triển các chuỗi, tính toán thống kê, xử lý số liệu, số phức, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng… và lập trình giải các bài toán với cấu trúc chương trình đơn giản. Ngoài ra với phần mềm này ta dễ dàng biên soạn các sách giáo khoa điện tử với chức năng Hyperlink tạo các siêu văn bản rất đơn giản mà không cần đến sự hỗ trợ của bất kỳ phần mềm nào khác (chẳng hạn PageText, Word, FontPage…). Với các chức năng trên, Maple là công cụ đắc lực hỗ trợ cho những người làm toán. * Nguồn gốc tên gọi: Tên “Maple” không phải là tên viết tắt hoặc từ cấu tạo bằng chữ đầu, mà chỉ đơn giản là biểu tượng để chỉ hình tượng Lá phong (tiếng Anh là: maple) trên Quốc kỳ Canada. 1.1.1.2. Giao diện và môi trường làm việc của Maple. * Khởi động Maple: Nếu Maple được cài đặt đúng quy trình, để làm việc với Maple ta chọn: Start -> Programs -> Maple 12 -> Classic Worksheet Maple Hoặc bấm vào biểu tượng Maple trên màn hình: * Thoát khỏi Maple: Ma ple 12.lnk Để thoát khỏi Maple ta vào File -> Exit hoặc nhấn Alt + F4. Nếu chương trình chưa được lưu trữ, Maple sẽ nhắc ta cần lưu trữ hay không. Ta chọn Yes để lưu lại, No là không lưu, Cancel để tiếp tục làm việc. * Giao diện của cửa sổ làm việc của Maple: Giao diện làm việc của Maple cũng giống như giao diện của các chương trình ứng dụng khác trên môi trường Windows, tức là cũng gồm các thanh menu lệnh. Maple có 2 môi trường làm việc là toán và văn bản. Sau khi khởi động, Maple tự động bật môi trường toán. Muốn chuyển sang môi trường văn bản, kích chuột vào biểu tượng “T” trên thanh công cụ. Ngược lại, từ môi trường văn bản, muốn chuyển sang môi trường toán thì kích chuột vào dấu “[>” trên thanh công cụ. * Menu Bar (Thực đơn ngang): Dòng chứa các chức năng, ứng với mỗi chức năng là một thực đơn dọc tương ứng. \ * Tool Bar (Thanh công cụ): Chứa một số biểu tượng (Icon) thể hiện một số lệnh thông dụng để người sử dụng thao tác nhanh. 1.1.2. Các khái niệm và hàm cơ bản trong lập trình trên Maple. - Tên (name) và xâu kí tự: Tên là mộ: xâu hình tự (string of letters) được dùng như một chỉ mục hay một nhãn để đại diện cho các đối tượng trong Maple có thể thay đổi được (như biến, kí hiệu toán học, các biểu thức nói chung, …) mà ta có thể gán cho nó. Tên là một trong các thành phần không thể thiếu của Maple trong việc tạo ra các biểu thức. Chiều dài tối đa của tên phụ thuộc vào hệ máy tính mà Maple chạy trên đó (với máy 32-bit thì chiều dài tối đa của tên là 524275). Bất cứ biểu thức nào đều có thể được gán cho một cái tên. Nếu không có giá trị nào được gán cho một tên thì nó sẽ nhận chính tên nó làm giá trị mặc định. Chương trình Maple sử dụng tên bắt đầu với một dấu gạch dưới ( _ ) làm các biến toàn cục và vì thế chúng ta nên tránh sử dụng chúng. - Một xâu kí tự bất kỳ (string of characters) có thể không phải là xâu hình tự (vì có thể chứa các kí tự đặc biệt như: khoảng trống, dấu chấm than, …) và do đó không thể là một tên hợp lệ. Tuy nhiên, Maple cho phép tạo một tên từ một xâu kí tự bất kỳ bằng cách cho nó vào trong cặp dấu nháy đơn (`) (backquote), thí dụ như xâu kí tự `a variable!` là một tên biến hợp lệ và người ta có thể gán cho nó giá trị 10 bằng lệnh `a variable`:=10. Một xâu hình tự thường là một tên hợp lệ và được xem là trùng với tên được tạo bằng cách bao xung quanh xâu này bằng các cặp dấu nháy (vì thế mà x và `x` đều chỉ đến một tên). Tuy nhiên, nếu xâu hình tự mà trùng với từ khóa của Maple thì không phải là một tên hợp lệ và muốn cho nó trở thành một tên ta lại phải cho nó vào trong cặp dấu nháy. Hai dấu nháy liên tiếp trong một xâu kí tự sẽ được hiểu như là một dấu. Ví dụ như khi ta viết: print (`I’m a student`);  kết quả sẽ cho ta xâu: I’m a student. 1.1.3. Lập trình toán học trên Maple. Một chương trình tính toán thường có ba phần: - Dữ liệu vào - Phương pháp - Kết quả Cấu trúc của một chương trình cơ bản trong Maple thường có dạng: Tên_chương_trình := proc(các đối số); local các biến; Thuật toán xử lý; End; Sau đây là một số các lệnh lập trình cơ bản: * Vòng lặp while: + Cấu trúc cú pháp: while condition do sequence expressions od; + Chức năng: Vòng lặp while cho phép lặp chuỗi các lệnh nằm giữa do và od khi mà điều kiện condition vẫn còn đúng (tức là biểu thức điều kiện cho giá trị true). Điều kiện condition được kiểm tra ngay tại đầu mỗi vòng lặp, nếu nó thỏa mãn (giá trị của nó là đúng) thì các câu lệnh bên trong được thực hiện, sau đó lại tiếp tục kiểm tra điều kiện condition cho đến khi điều kiện không còn thỏa mãn nữa. Vòng lặp while [...]... (chẳng hạn dùng plex và xếp các biến độc lập ở sau cùng) 1.2.4 Cơ sở Groebner trong Maple Mục này chúng tôi xin trình bày một số lệnh của Maple 9.5 trong việc ứng dụng cơ sở Groebner để giải một số bài toán hình học phẳng đó là gói Groebner Để sử dụng được gói lệnh này phải gọi nó ra bằng cách đánh: [>with (Groebner) ; Trong Maple lệnh bắt đầu bằng “[>” và kết thúc bằng dấu “;” Một khi gói Groebner được chạy... của Maple (Maple Output) sẽ được đưa ra màn hình, thường là màu xanh cô ban sau khi nhấn phím Enter “” để thực hiện câu lệnh 1.1.5 Ứng dụng của Maple trong hình học Maple cung cấp hai gói công cụ để xử lý các bài toán trong hình học, đó là các gói geometry cho hình học phẳng và gói geom3d cho hình học không gian Các hàm xử lý trong các gói công cụ này thực hiện các thao tác cơ bản để giải các bài toán. .. lập (không xuất hiện trong các fi) và biến phụ thuộc 1.2.3 Quy trình chứng minh định lý hình học trên Maple Quy trình chứng minh định lý hình học trên Maple được tóm tắt thông qua các bước sau đây: Bước 1: Đại số hóa bài toán hình học Bước 2: Chạy trên phần mềm Maple tìm cơ sở Groebner của iđêan (f 1 = 0, …, fs , 1- yg) với chú ý xem các biến độc lập như tham số Bước 3: Cơ sở Groebner của iđêan (f1... F’ và ta có OQ EF Lời giải bài toán trên không dài nhưng đã có nhiều học sinh giỏi không giải được mặc dù các em đã được trang bị đầy đủ các kiến thức cơ sở hình học phẳng, lí do bởi vì muốn giải được nó đòi hỏi nhiều sự lắt léo, mẹo mực Sử dụng lý thuyết cơ sở Groebner, chúng ta có thể hướng dẫn học sinh giải bài toán này trên Maple, mà không đòi hỏi hiểu biết nhiều về lập trình máy tính: 21 * Giải. .. là cơ sở Groebner của I đối với ≤ glex , vì in ≤ glex (I) = (I) Tuy nhiên, in≤ glex(f 1 ) = in≤ rlex(f1) = xy, in≤ rlex(f2) = y 3 và in ≤ glex (I) = in≤ rlex(I) = (I) nên f1, f2 là cơ sở Groebner của I đối với thứ tự từ điển ngược 1.2.2 Đại số hóa định lý hình học trên Maple Ý tưởng của việc áp dụng cơ sở Groebner để chứng minh định lí hình học sơ cấp xuất phát từ nhận xét: Khi biểu diễn các hình hình... giải các bài toán hình học như viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu, …, tính diện tích tam giác, tứ giác, hình tròn, …, tính khoảng cách từ một điểm tới một 7 đường thẳng hoặc một mặt phẳng … Nhìn chung, để giải được một bài toán hình học trong Maple, trong phần lớn các trường hợp, ta phải kết hợp các hàm xử lý cơ bản lại với nhau để giải quyết yêu cầu của bài toán Trong phần dưới đây, chúng... X CHƯƠNG 2 BÀI TẬP VẬN DỤNG 2.1 Bài tập hình học phẳng với gói Groebner Bài tập 2.1.1 Chứng minh rằng trong tam giác ABC ba đường cao đồng quy * Giải theo hình học thông thường: Để chứng minh ba đường cao trong tam giác đồng quy, chúng ta có thể giải theo cách thông thường sau : Giả sử trong tam giác ABC cho ba đường cao là AA', BB', CC', trong đó BB' và CC' giao nhau tại H Chứng minh A, H, A' thẳng... không trình bày về cách thức sử dụng các hàm trong các gói công cụ trên mà chỉ đưa ra một số ví dụ để chúng ta thấy được khái quát về ứng dụng của Maple trong hình học Ví dụ 1.3 Kiến thức về các đường côníc được trang bị cho học sinh cuối cấp ở bậc trung học phổ thông, để giúp cho học sinh và các thầy cô giáo có được công cụ học tập cũng như giảng dạy học phần này, Maple cung cấp gói công cụ Student[Precalculus][ConicsTutor]... thương trong thuật toán chia Ta có thể đoán trước được, gbasic tương ứng với “Grobner basis” và cú pháp như sau: [>gbasic(polylist, term_order); Tính một cơ sở Groebner của một iđêan sinh bởi các đa thức trong polylist với quan hệ thứ tự từ quy định bởi term_order Kết quả là một cơ sở Groebner rút gọn Xem lệnh về cách tính cơ sở Groebner sau: Ví dụ 1.11 [>gb:=gbasic([ x^2+y,x+2*x*y],plex(x,y)); Tính toán. .. u_2,u_3,u_4,u_5,u_6)); Maple cho ta đa thức c = thuộc cơ sở Groebner của iđêan ( ) chỉ phụ thuộc vào các biến độc lập Định lí Pappus được chứng minh Bài tập 2.1.4 (Đường thẳng Euler) Chứng minh rằng trong một tam giác trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O và trọng tâm G của tam giác ABC thẳng hàng và HG = 2GO 25 *Giải theo hình học thông thường: Gọi D là điểm đối xứng của A qua O Ta có BHDC là hình bình hành, . toán trong phần mềm Maple, cơ sở Groebner và các ứng dụng trong giải toán hình học phẳng. 4.2. Phạm vi nghiên cứu: Phần mềm Maple, cơ sở Groebner ứng dụng trong giải các bài toán Hình học phẳng. 5 Ứng dụng phần mềm Maple và cơ sở Groebner trong giải toán hình học phẳng . 2. Ý NGHĨA CỦA ĐỀ TÀI 2.1. Ý nghĩa khoa học: Đề tài nghiên cứu các thuật toán trong phần mềm Maple và ứng dụng Cơ sở. thuật toán sử dụng trong phần mềm Maple và ứng dụng của nó trong việc giải các bài toán hình học phẳng, đưa ra cách giải một cách nhanh và chính xác nhất cho một số dạng bài toán hình học phẳng. 3.2.