Số phức và ứng dụng số phức vào giải toán hình học phẳng

Số phức và ứng dụng số phức vào giải toán hình học phẳng

MỤC LỤC Trang 1 MỞ ĐẦU Số phức xuất hiện từ thể kỷ XIX do nhu cầu phát triển của Toán học về giải những phương trình đại số. Từ khi ra đời số phức đã thúc đẩy toán học tiến lên mạnh mẽ và giải quyết được nhiều vấn đề của khoa học và kỹ thuật . Đối với học sinh bậc THPT thì số phức là một nội dung còn mới mẻ, với thời lượng không nhiều, học sinh mới chỉ biết được những kiến thức rất cơ bản của số phức, việc khai thác các ứng dụng của số phức còn hạn chế, đặc biệt là việc sử dụng số phức như một phương tiện để giải các bài toán Hình học phẳng là một vấn đề khó, đòi hỏi học sinh phải có năng lực giải 1 toán nhất định, biết vận dụng kiến thức đa dạng của toán học. Mặc dù sách giáo khoa Giải tích lớp 12 đã đưa bài tập ứng dụng Số phức vào giải toán hình học phẳng nhưng còn rất ít. Với những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu là: “Ứng dụng số phức vào giải toán Hình học phẳng”. Chương 1: SỐ PHỨC Chương này trình bày lịch sử hình thành số phức, định nghĩa, các phép toán và tính chất của số phức. 1.1 Lịch sử hình thành khái niệm số phức Lịch sử số phức bắt đầu từ thế kỉ thứ XVI. Đó là thời kì Phục hưng của toán học châu Âu sau đêm trường trung cổ. Các đại lượng ảo 1, 1, 1b a b − − + − xuất hiện đầu tiên từ thế kỉ XVI trong các công trình của của các nhà toán học Italy “Nghệ thuật vĩ đại hay là về các quy tắc của đại số” (1545) của G. Cardano (1501 – 1576) và “Đại số” 2 (1572) của R. Bombelli (1530 – 1572). Nhà toán học Đức Felix Klein (1849 – 1925) đã đánh giá công trình của G. Cardano như sau: “Tác phẩm quý giá đến tột đỉnh này đã chứa đựng mầm mống của đại số hiện đại và nó vượt xa tầm của toán học thời cổ đại”. Khi giải phương trình bậc hai Cardano và Bombelli đã đưa vào xét kí hiệu 1− là lời giải hình thức của phương trình 2 1 0x + = . Xét biểu thức 1b − là nghiệm hình thức của phương trình 2 2 0x b + = . Khi đó biểu thức tổng quát hơn có dạng 1, 0a b b + − ≠ có thể xem là nghiệm hình thức của phương trình 2 2 ( ) 0x a b − + = . Về sau biểu thức dạng 1, 0a b b+ − ≠ xuất hiện trong quá trình giải phương trình bậc hai, bậc ba (công thức Cardano) được gọi là đại lượng “ảo” và sau đó được Gauss gọi là số phức và thường được kí hiệu là a ib + , trong đó kí hiệu : 1i = − được L.Euler đưa vào (năm 1777) gọi là đơn vị “ảo”. Quá trình thừa nhận số phức như một công cụ quý giá của toán học đã diễn ra rất chậm chạp. Ngay tên gọi và kí hiệu : 1i = − là đơn vị ảo cũng đã gây nên nhiều nỗi băn khoăn, thắc mắc từ đó dẫn đến khủng hoảng niềm tin vì nó không có gì chung với số - một công cụ của phép đếm, mặc dù người ta vẫn xem nó là một kí hiệu trừu tượng thỏa mãn định nghĩa 2 1i = − . Sự khủng hoảng niềm tin càng trở nên sâu sắc hơn bởi việc chuyển một cách thiếu cân nhắc và thiếu thận trọng một số quy tắc của đại số thông thường cho các số phức đã sản sinh ra những nghịch lí khó chịu. Chẳng hạn như nghịch lí sau đây: vì 1i = − nên 2 1i = − , nhưng đồng thời bằng cách sử dụng các quy tắc thông thường của phép toán khai căn bậc hai lại thu được 2 2 1 1 ( 1)( 1) ( 1) 1 1i = − − = − − = − = = Như vậy 1 1 − = . Ta nhấn mạnh lại rằng hệ thức 2 1i = − là định nghĩa số mới i cho phép ta đưa vào xét số phức. Điều đó có nghĩa rằng hệ thức đó không thể chứng minh, nó chỉ là quy ước. Tuy vậy, cũng có người muốn chứng minh hệ thức đó. Trong cuốn sách “phương 3 pháp tọa độ” của mình, viện sĩ L.S. Pointriagin đã mô tả lại chứng minh đó như sau: Đầu tiên người ta lấy nửa đường tròn với đường kính AB. Từ điểm R tùy ý của nửa đường tròn hạ đường vuông góc RS là trung bình nhân giữa các độ dài của các đoạn AS và SB. Vì nói đến độ dài nên sẽ không sai sót lớn khi nói rằng bình phương đoạn RS bằng tích các đoạn thẳng AS và BS. Bây giờ, trở về với mặt phẳng phức, kí hiệu điểm -1 là A, điểm +1 là B và điểm i là R. Khi đó S sẽ là điểm 0. Tác giả của phép chứng minh đã lập luận như sau: Đoạn thẳng RS là i , đoạn thẳng AS là -1 và SB là +1. Như vậy theo định lí vừa nhắc lại ở trên ta có 2 ( 1)( 1) 1i = − + = − Thật đáng tiếc là phép chứng minh kì lạ này vẫn được viết trong sách và giảng dạy ở một số trường phổ thông trước thế chiến thứ II. Lịch sử toán học cũng ghi lại rằng Cardano cũng đã nhắc đến các nghiệm phức nhưng lại gọi chúng là các nghiệm “ngụy biện”. Chẳng hạn khi giải hệ phương trình 10 50 x y xy + =   =  Cardano đã tìm được nghiệm 5 5± − và ông đã gọi nghiệm này là “âm thuần túy” và thậm chí còn gọi là “nghiệm âm ngụy biện”. Có lẽ tên gọi “ảo” là di sản vĩnh cửu của “một thời ngây thơ đáng trân trọng của số học”. Thậm chí đối với nhiều nhà bác học lớn thế kỉ XVIII bản chất đại số và bản chất hình học của các đại lượng ảo không được hình dung một cách rõ ràng mà còn đầy bí ẩn. Chẳng hạn, lịch sử cũng ghi lại rằng I. Newton đã không thừa nhận cá đại lượng ảo và không xem các đại lượng ảo thuộc vào các khái niệm số, còn G. Leibniz thì thốt lên rằng: “Các đại lượng ảo – đó là nơi ẩn náu đẹp đẽ huyền diệu đối với tinh thần của đấng tối cao, đó dường như một giống lưỡng cư sống ở một chốn nào đó giữa cái có thật và cái không có thật”. Người đầu tiên nhìn thấy lợi ích do đưa số phức vào toán học mang lại chính là nhà toán học Italy R. Bombelli. Trong cuốn “Đại số” (1572) ông đã định nghĩa các phép tính số học trên các đại lượng ảo và do đó ông đã sáng tạo nên lí thuyết các số “ảo”. Thuật ngữ số phức được dùng đầu tiên bởi K. Gauss (năm 1831). Vào thế kỉ 4 XVII – XVIII nhiều nhà toán học khác cũng đã nghiên cứu các tính chất của đại lượng ảo (số phức) và khảo sát các ứng dụng của chúng. Chẳng hạn L. Euler (1777 – 1855) nhà toán học Đức mở rộng khái niệm logarit cho số phức bất kì (1738), còn A. Moivre (1667 – 1754) nhà toán học Anh nghiên cứu và giải bài toán căn bậc tự nhiên đối với số phức (1736). Sự nghi ngờ đối với số ảo (số phức) chỉ tiêu tan khi nhà toán học người Nauy là C.Wessel đưa ra sự minh họa hình học về số phức và các phép toán trên chúng trong công trình công bố năm 1799. Đôi khi phép biểu diễn minh họa số phức cũng được gọi là “sơ đố Argand” để ghi nhận công lao của nhà toán học Thụy Sỹ R. Argand – người thu được kết quả như của Wessel một cách độc lập. Lí thuyết thuần túy số học đối với các số phức với tư cách là các cặp số thực có thứ tự (a,b), ,a R b R ∈ ∈ được xây dựng bởi nhà toán học Ailen là W.Hamilton (1837). Ở đây đơn vị “ảo” i chỉ đơn giản là một cặp số thực có thứ tự - cặp (0;1), tức là đơn vị “ảo” được lí giải một cách hiện thực. Cho đến thế kỉ thứ XIX, Gauss mới thành công trong việc luận chứng một cách vững chắc khái niệm số phức. Tên tuổi của Gauss cũng gắn liền với phép chứng minh chính xác đầu tiên đối với định lí cơ bản của Đại số khẳng định rằng trong trường số phức C mọi phương trình đa thức đều có nghiệm. Bản chất đại số của số phức thể hiện ở chỗ số phức là phần tử của trường mở rộng (đại số) C của trường số thực R thu được bằng phép ghép đại số cho R nghiệm i của phương trình 2 1 0x + = . Với định lí cơ bản của Đại số, Gauss đã chứng minh được trường C trở thành trường đóng đại số. Điều đó có nghĩa là khi xét các nghiệm của phương trình đại số trong trường này ta không thu được thêm số mới. Đương nhiên trường số thực R (và do đó cả trường hữu tỉ Q) không có tính chất đóng đại số. Chẳng hạn, phương trình với hệ số thực có thể không có nghiệm thực. Nhìn lại hơn 2500 năm từ thời Pythagor tới giờ, con đường phát triển khái niệm về số có thể tóm tắt bởi N Z Q R C → → → → với các bao hàm thức: N Z Q R C ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ . Bằng các kết quả sâu sắc trong các công trình của các nhà toán học 5 K.Weierstrass, G.Frobenius, B.Peirce ngi ta mi nhn ra rng mi c gng m rng tp s phc theo con ng trờn u khụng cú kt qu kh quan. K.Weierstrass ó chng minh tp hp s phc C khụng th m rng thnh tp hp rng hn bng cỏch ghộp thờm s mi trong tp hp s rng hn thu c vn bo ton mi phộp tớnh v mi quy lut ca cỏc phộp toỏn ó ỳng trong tp hp s phc. Nhỡn li lch s lõu di ca s phỏt trin khỏi nim s ta thy rng c mi ln khi a vo nhng s mi cỏc nh toỏn hc cng ng thi a vo cỏc quy tgawcs thc hin cỏc phộp toỏn trờn chỳng. ng thi vi iu ú cỏc nh Toỏn hc luụn luụn c gng bo ton cỏc quy lut s hc c bn (lut giao hoỏn ca phộp cng v phộp nhõn, lut kt hp v lut phõn b, lut sp xp tuyn tớnh ca tp hp s). Tuy nhiờn s bo ton ú khụng phi khi no cng thc hin c, vớ d nh khi xõy dng trng s phc ngi ta khụng bo ton c lut sp xp tuyn tớnh vn cú trong trng s thc. Tng kt lch s ton b quỏ trỡnh phỏt trin khỏi nim s, nh toỏn hc c L.Kronecker (1823 - 1891) ó vit: Thng ó to ra s t nhiờn, cũn tt c cỏc loi s cũn li u l cụng trỡnh sỏng to ca con ngi Cú th núi rng vi khng nh bt h ny, L.Kronecker ó xỏc nh nn múng vng chc cho tũa lõu i toỏn hc trỏng l , m con ngi ang s hu. 1.2 Khỏi nim s phc Ta bit rng trng s thc Ă nhn c bng cỏch lm y trng s hu t Ô , m nú c xõy dng t vnh s nguyờn  . Vic lm y xut phỏt t s nghiờn cu cỏc phng trỡnh i s vi h s hu t v gii hn ca cỏc dóy s hu t. Tuy nhiờn trng Ă vn khụng y , bi vỡ ngay c phng trỡnh n gin 2 1 0 (1)x + = cng khụng cú nghim trong Ă . Cũn trong gii tớch nu ch gii hn trong Ă , ngi ta khụng th gii thớch c ti sao hm 2 1 ( ) 1 f x x = + khụng th khai trin c thnh chui ly tha trờn ton b ng thng. Vi lớ do trờn, buc ta phi tỡm kim trng K no ú cha Ă nh mt trng con sao cho ti thiu phng trỡnh (1) cú nghim. õy ta núi Ă l trng con ca K nu cỏc phộp toỏn trờn Ă c cm sinh bi cỏc phộp toỏn trờn K. 6 1.2.1 Xây dựng trường số phức Giả sử trường £ chứa ¡ như một trường con mà phương trình 2 1 0x + = có nghiệm trong nó, khi đó £ phải có một phần tử i để 2 1i = − . Vì ⊂ ¡ £ nên £ chứa tất cả các phần tử dạng , ,a ib a b+ ∈ ¡ . Do đó, một cách tự nhiên ta xét tập £ các cặp số thực (a,b): {( , ): , }a b a b= ∈£ ¡ . Sau đó đưa vào quan hệ bằng nhau và các phép toán sao cho với chúng £ trở thành một trường chứa ¡ như một trường con (qua phép đồng nhất nào đó). Các phép toán náy được dẫn dắt từ các phép toán của trường ¡ với chú ý 2 1i = − i) Quan hệ bằng nhau: ( , ) ( , ) ,a b c d a c b d = ⇔ = = ii) Phép cộng: ( , ) ( , ) ( , )a b c d a c b d + = + + iii) Phép nhân: ( , ).( , ) ( , )a b c d ac bd ad bc = − + Tập hợp £ với quan hệ bằng nhau, các phép cộng và nhân xác định như trên lập thành một trường thỏa mãn các điều kiện sau: 1) ¡ chứa trong £ như một trường con (qua đồng nhất a∈ ¡ với ( ,0)a ∈£ ) 2) Tồn tại nghiệm của phương trình 2 1 0x + = trong £ . 1.2.2 Định nghĩa • Trường £ được xây dựng như trên được gọi là trường số phức • Mọi phần tử của £ được gọi là số phức • Vậy z ∀ ∈ £ , ta có ( , ) (1,0) (0,1) , ,z a b a b a ib a b = = + = + ∀ ∈ ¡ Đây là dạng đại số của số phức z, trong đó a được gọi là phần thực của số phức z, kí hiệu là Rez b được gọi là phần ảo của số phức z kí hiệu là Imz • Số phức liên hợp Cho , ,z a ib a b = + ∀ ∈ ¡ , khi đó z a ib = − ∈ £ được gọi là số phức liên hợp của số phức z, kí hiệu là z . 1.3 Các phép toán trên tập các số phức 1.3.1 Phép cộng Ta gọi tổng của hai số phức 1 1 1 2 2 2 ;z a ib z a ib = + = + là số phức 7 1 2 1 2 ( ) ( ) (1)z a a i b b = + + + và được kí hiệu là 1 2 z z z = + . Từ định nghĩa của phép cộng ta có các tính chất sau: i) Kết hợp: 1 2 3 1 2 3 ( ) ( )z z z z z z + + = + + ii) Giao hoán: 1 2 2 1 z z z z + = + Đặc biệt khi 1 2 ;z z là hai số thực thì định nghĩa (1) trùng với định nghĩa phép cộng các số thực. 1.3.2 Phép trừ Phép cộng trên có phép toán ngược, nghĩa là với hai số phức 1 1 1 2 2 2 ;z a ib z a ib = + = + ta có thể tìm được số phức z sao cho 2 1 z z z + = . Số phức này gọi là hiệu của hai số phức 1 z và 2 z , kí hiệu là 1 2 z z z = − , rõ ràng từ định nghĩa ta có 1 2 1 2 ( ) ( ) (2)z a a i b b = − + − 1.3.3 Phép nhân Ta gọi tích của hai số phức 1 1 1 2 2 2 ;z a ib z a ib = + = + là số phức z xác định bởi 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) (3)z a a b b i a b b a = − + + Và kí hiệu là 1 2 z z z= . Từ định nghĩa ta có những tính chất sau: i) Kết hợp 1 2 3 1 2 3 ( ) ( )z z z z z z = . ii) Giao hoán 1 2 2 1 z z z z= . iii) Phép nhân có tình phân phối với phép cộng 1 2 3 1 2 1 3 ( )z z z z z z z + = + . Nếu 1 z và 2 z là hai số thực thì định nghĩa (3) trùng với định nghĩa thông thường của phép nhân trong tập hợp các số thực. Đặc biệt khi lấy 1 2 z z i= = từ định nghĩa (3) ta có 2 . 1i i i = = − Rõ ràng với 1 1 1 2 2 2 ;z a ib z a ib = + = + thì công thức (3) có được bằng cách nhân thông thường (phép nhân trong tập hợp số thực) và thay 2 1i = − . Chú ý: 2 2 . 0z z a b = + ≥ 1.3.4 Phép chia 8 Phép toán nhân có phép toán ngược nếu ít nhất một trong hai số đó khác không. Giả sử 2 0z ≠ . Khi đó ta có thể tìm được một số phức z a ib = + sao cho 2 1 .z z z= . Theo định nghĩa của phép nhân ta có hệ phương trình sau 2 2 1 2 2 1 (4) a a b b a b a a b b − =   + =  Vì 2 0z ≠ nghĩa là định thức của hệ Cramer khác 0 nên hệ phương trình trên luôn luôn có một lời giải duy nhất. Số phức z có được này gọi là thương của hai số phức z 1 và z 2 . Giải hệ (4), ta được 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 (5) a a b b a a b b a a b b a b +  =  +   −  =  +  Kí hiệu 1 2 z z z = . Chú ý: Hệ thức (5) cũng có được bằng cách nhân 1 2 z z với 1 2 z z 1.3.5 Lũy thừa bậc n Tích của n lần số phức z được gọi là lũy thừa bậc n của số phức z. Kí hiệu n z . 1.3.6 Căn bậc n Số phức w được gọi là Căn bậc n của số phức z nếu w n z = . Kí hiệu w n z= . 1.3.7 Định lí Với các số phức 1 2 , ,z z z , ta có: 9 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 ) , ) , ) ) . 0 ( , , ) ) Suy ra: , , ) ) 2Re 2 ; 2 Im 2 ( , , ) i z z z ii z z z iii z z z z iv z z a b z a ib a b v z z z z z z z z z vi z z vii z z z a z z i z ib z a ib a b λ λ λ = ∀ ∈ ⊂ = ∀ ∈ + = + = + ≥ ∀ = + ∀ ∈ = = ∀ ∈ ∀ ∈   =  ÷   + = = − = = ∀ = + ∀ ∈ ¡ £ £ ¡ ¡ £ ¡ 1.4 Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức 1.4.1 Dạng lượng giác của số phức Xét mặt phẳng tương ứng với hệ tọa độ Đềcác Oxy và ta biểu diễn một số phức , ,z a ib a b = + ∀ ∈ ¡ bởi một điểm có tọa độ (a,b). Như vậy các số thực sẽ được biểu diễn bởi các điểm trên trục Ox, nó được gọi là trục thực, các số thuần ảo được biểu diễn bởi các điểm trên trục Oy, nó được gọi là trục ảo. Ngược lại, với mỗi điểm của mặt phẳng Oxy có tọa độ (a,b), ta đặt tương ứng với một số phức z a ib = + Vậy có sự tương ứng 1 -1 giữa tập hợp tất cả các số phức £ với tập hợp tất cả các điểm của một mặt phẳng. Vì mỗi điểm có tọa độ (a,b) trong mặt phẳng tương ứng với một véc tơ có bán kính véc tơ 2 2 r a b= + và góc cực tương ứng ϕ . Do đó mỗi số phức z có thể biểu diễn dưới dạng ( os isin )z r c ϕ ϕ = + . Đây là dạng lượng giác của số phức, trong đó 10 Hình 1 [...]... Phép nâng số phức ; z = a + ib = r (cosϕ + isin ϕ ) lên lũy thữa bậc n của số phức được thực hiện theo công thức Moivre z n = r n einϕ w k = z = re n n i ϕ + 2 kπ n ; k = 0;1; ; n − 1 Chương 2: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG Chương này trình bày phương pháp giải toán, mô tả một số kết quả của hình học phẳng bằng ngôn ngữ số phức và ba ứng dụng của số phức vào giải toán hình học 15 2.1... như tích ngoài của hai véc-tơ trong mặt phẳng, ngoài ra ( zz1 ) × z2 = z.( z1 × z2 ) và z1 × ( zz2 ) = z.( z1 × z 2 ) Chương này mô tả một số kết quả của hình học phẳng bằng ngôn ngữ số phức và ba ứng dụng của số phức vào giải toán hình học phẳng 2.3 Ứng dụng số phức giải toán chứng minh hình học và tính toán Ví dụ 1 Cho tam giác ABC Trên BC lấy các điểm E và F sao cho uur uuu uur 1 uuu r r EB = k... , ϕ là số đo góc định hướng hợp bởi đường thẳng và tia Ox Sau đó nhờ phép chuyển tương ứng điểm hình học hay điểm phức M thành uuur vectơ OM (O là gốc tọa độ), chuyển khoảng cách giữa hai điểm phức B − A thành độ uur dài vectơ AB , bình phương modul của điểm phức M 2 = M M thành vô hướng vectơ uuur 2 OM ta sẽ nhận được lời giải thông thường của bài toán đã cho, một lời giải không ứng dụng số phức Nhờ... Phương pháp giải toán Khi giải các bài toán trong hình học phẳng ta đồng nhất số phức z = x + iy với điểm M(x,y) trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Descartes Oxy, và gọi z là tọa vị của điểm M (đối với hệ tọa độ đó); kí hiệu M(z), hoặc kí hiệu đơn giản hơn là M; uuur đồng thời cũng đồng nhất số phức z = x + iy với véc tơ OM trong đó điểm đầu O là gốc tọa độ, điểm cuối M là điểm biểu diễn số phức z,...r, ϕ lần lượt là bán kính cực và góc cực của số phức z Bán kính r gọi là modun của số phức z, kí hiệu r = z Góc cực ϕ gọi là argument của số phức z, kí hiệu là ϕ = Argz Hình 2 Modun của số phức được xác định một cách duy nhất z = a 2 + b 2 ≥ 0 Và argument của số phức được xác định với sai khác một bội của 2π b  arctg + 2kπ , (k ∈ ¢ ) khi a >... nhận được lời giải thông thường của bài toán đã cho 2.2 Mô tả một số kết quả của hình học phẳng bằng ngôn ngữ số phức Cho trước hai điểm M(m), N(n) Khi đó, độ dài đoạn MN = n − m = d ( m;n ) Trong mặt phẳng cho trước đoạn thẳng AB Khi đó, điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỷ uuu r uuu r số k ∈ ¡ \ { 1} khi và chỉ khi MA = k MB , a − m = k.( b − m ) trong đó a, b và m là tọa vị các điểm A, B và M theo thứ... ban đầu Do đó, căn bậc n của một số phức có đúng n giá trị khác nhau Những số này biểu diễn như đỉnh của n đa giác đều nằm trên đường tròn với tâm là gốc tọa độ và bán kính là n z Hình 4 1.4.4 Dạng mũ của số phức Để đơn giản cách viết số phức ta đặt cosϕ ± isin ϕ = e ± iϕ dạng lượng giác được biến đổi thành dạng mũ 14 z = reiϕ đó là dạng số mũ của số phức z ≠ 0 Dễ dàng chứng minh rằng nếu z1 = r1eiϕ1... Định lý 2.2 Hai tam giác ABC và A'B'C' đồng dạng cùng hướng khi và chỉ khi c − a c' − a' = b − a b' − a' 17 Và hai tam giác ABC và A'B'C' đồng dạng ngược hướng khi và chỉ khi c − a c' − a' = b − a b' − a' 2.2.2 Tích vô hướng của hai số phức Trong mặt phẳng phức cho hai điểm M 1 ( z1 ) ,M 2 ( z2 ) Khi đó uuuu uuuu r r · OM 1 OM 2 = OM 1 OM 2 cosM 1OM 2 Nếu zk có modul bằng rk và có argument bằng α k thì... thức Moivre Công thức Moivre cũng đúng khi z −1 = n là các số nguyên âm Thật vậy: 1 = r −1[cos(−ϕ ) + isin(−ϕ )] r (cosϕ + isin ϕ ) Và: z − n = ( z −1 )n = [r −1 (cos( −ϕ ) + isin( −ϕ ))]n = r − n [cos(− nϕ ) + isin( −nϕ )] Dựa vào công thức Moivre ta định nghĩa căn bậc n của số phức: Cho z = r (cosϕ + isin ϕ ) , căn bậc n của số phức z là một số phức biểu diễn dưới dạng lượng giác w = ρ (cosθ + isin θ... tròn ngoại tiếp tam giác A1 A2 A3 Tương tự với P ,P2 Vậy đường tròn tâm E đi qua chín 1 điểm của tam giác 2.4 Ứng dụng số phức giải toán dựng hình Ví dụ 1 Cho đường tròn tâm O bán kính R và hai dây cung AB, CD Tìm điểm X trên đường tròn sao cho XA2 + XB 2 = XC 2 + XD 2 Giải Giả sử mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy sao cho gốc tọa độ trùng với tâm đường tròn đã cho Ta xét trường hợp hai dây cung . phức và ba ứng dụng của số phức vào giải toán hình học. 15 2.1 Phương pháp giải toán Khi giải các bài toán trong hình học phẳng ta đồng nhất số phức. ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG Chương này trình bày phương pháp giải toán, mô tả một số kết quả của hình học phẳng bằng ngôn ngữ số phức