SKKN ứng dụng số phức vào giải toán hình học phẳng ở THPT

Mục lục1MỞ ĐẦU2Chương 1:SỐ PHỨC3 1.1 Lịch sử hình thành khái niệm số phức3 1.2 Khái niệm số phức7 1.3 Các phép toán trên tập các số phức8 1.4 Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức10Chương 2: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG16 2.1 Phương pháp giải toán16 2.2 Mô tả một số kết quả của hình học phẳng bằng ngôn ngữ số phức16 2.3 Ứng dụng số phức giải toán chứng minh hình học và tính toán21 2.4 Ứng dụng số phức giải toán dựng hình32 2.5 Ứng dụng số phức giải toán quỹ tích36KẾT LUẬN41TÀI LIỆU THAM KHẢO42

MỤC LỤC

Trang 1

Mục lục 1

MỞ ĐẦU 2

Chương 1:SỐ PHỨC 3

1.1 Lịch sử hình thành khái niệm số phức 3

1.2 Khái niệm số phức 7

1.3 Các phép toán trên tập các số phức 8

1.4 Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức 10

Chương 2: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG16 2.1 Phương pháp giải toán 16

2.2 Mô tả một số kết quả của hình học phẳng bằng ngôn ngữ số phức 16

2.3 Ứng dụng số phức giải toán chứng minh hình học và tính toán 21

2.4 Ứng dụng số phức giải toán dựng hình 32

2.5 Ứng dụng số phức giải toán quỹ tích 36

KẾT LUẬN 41

TÀI LIỆU THAM KHẢO 42

MỞ ĐẦU

Số phức xuất hiện từ thể kỷ XIX do nhu cầu phát triển của Toán học

về giải những phương trình đại số Từ khi ra đời số phức đã thúc đẩy toán họctiến lên mạnh mẽ và giải quyết được nhiều vấn đề của khoa học và kỹ thuật Đốivới học sinh bậc THPT thì số phức là một nội dung còn mới mẻ, với thời lượngkhông nhiều, học sinh mới chỉ biết được những kiến thức rất cơ bản của sốphức, việc khai thác các ứng dụng của số phức còn hạn chế, đặc biệt là việc sửdụng số phức như một phương tiện để giải các bài toán Hình học phẳng là mộtvấn đề khó, đòi hỏi học sinh phải có năng lực giải toán nhất định, biết vận dụngkiến thức đa dạng của toán học

Mặc dù sách giáo khoa Giải tích lớp 12 đã đưa bài tập ứng dụng Sốphức vào giải toán hình học phẳng nhưng còn rất ít Với những lí do trên, tôi

chọn đề tài nghiên cứu là: “Ứng dụng số phức vào giải toán Hình học phẳng”.

của G Cardano như sau: “Tác phẩm quý giá đến tột đỉnh này đã chứa đựng mầm mống của đại số hiện đại và nó vượt xa tầm của toán học thời cổ đại”.

Khi giải phương trình bậc hai Cardano và Bombelli đã đưa vào xét kí hiệu1

 là lời giải hình thức của phương trình x  2 1 0

Xét biểu thức b 1là nghiệm hình thức của phương trình x2b2 0 Khi đóbiểu thức tổng quát hơn có dạng a b 1,b0có thể xem là nghiệm hìnhthức của phương trình (x a )2 b2 0

Về sau biểu thức dạng a b 1,b 0 xuất hiện trong quá trình giảiphương trình bậc hai, bậc ba (công thức Cardano) được gọi là đại lượng “ảo” vàsau đó được Gauss gọi là số phức và thường được kí hiệu là a ib , trong đó kíhiệu i  : 1 được L.Euler đưa vào (năm 1777) gọi là đơn vị “ảo”

Quá trình thừa nhận số phức như một công cụ quý giá của toán học đãdiễn ra rất chậm chạp Ngay tên gọi và kí hiệu :i   là đơn vị ảo cũng đã gây1nên nhiều nỗi băn khoăn, thắc mắc từ đó dẫn đến khủng hoảng niềm tin vì nó

không có gì chung với số - một công cụ của phép đếm, mặc dù người ta vẫnxem nó là một kí hiệu trừu tượng thỏa mãn định nghĩa i 2 1.

Sự khủng hoảng niềm tin càng trở nên sâu sắc hơn bởi việc chuyển mộtcách thiếu cân nhắc và thiếu thận trọng một số quy tắc của đại số thông thườngcho các số phức đã sản sinh ra những nghịch lí khó chịu Chẳng hạn như nghịch

lí sau đây: vì i  1 nên i 2 1, nhưng đồng thời bằng cách sử dụng các quytắc thông thường của phép toán khai căn bậc hai lại thu được

2 1 1 ( 1)( 1) ( 1)2 1 1

Như vậy   1 1

Ta nhấn mạnh lại rằng hệ thức i 2 1 là định nghĩa số mới i cho phép

ta đưa vào xét số phức Điều đó có nghĩa rằng hệ thức đó không thể chứng minh,

nó chỉ là quy ước

Tuy vậy, cũng có người muốn chứng minh hệ thức đó Trong cuốn sách

“phương pháp tọa độ” của mình, viện sĩ L.S Pointriagin đã mô tả lại chứngminh đó như sau:

Đầu tiên người ta lấy nửa đường tròn với đường kính AB Từ điểm R tùy

ý của nửa đường tròn hạ đường vuông góc RS là trung bình nhân giữa các độ dài

của các đoạn AS và SB Vì nói đến độ dài nên sẽ không sai sót lớn khi nói rằng bình phương đoạn RS bằng tích các đoạn thẳng AS và BS Bây giờ, trở về với mặt phẳng phức, kí hiệu điểm -1 là A, điểm +1 là B và điểm i là R Khi đó S sẽ

là điểm 0 Tác giả của phép chứng minh đã lập luận như sau:

Đoạn thẳng RS là i, đoạn thẳng AS là -1 và SB là +1 Như vậy theo định lí

vừa nhắc lại ở trên ta có

x y xy

Có lẽ tên gọi “ảo” là di sản vĩnh cửu của “một thời ngây thơ đáng trântrọng của số học”

Thậm chí đối với nhiều nhà bác học lớn thế kỉ XVIII bản chất đại số vàbản chất hình học của các đại lượng ảo không được hình dung một cách rõ ràng

mà còn đầy bí ẩn Chẳng hạn, lịch sử cũng ghi lại rằng I Newton đã không thừanhận cá đại lượng ảo và không xem các đại lượng ảo thuộc vào các khái niệm

số, còn G Leibniz thì thốt lên rằng: “Các đại lượng ảo – đó là nơi ẩn náu đẹp đẽhuyền diệu đối với tinh thần của đấng tối cao, đó dường như một giống lưỡng cưsống ở một chốn nào đó giữa cái có thật và cái không có thật”

Người đầu tiên nhìn thấy lợi ích do đưa số phức vào toán học mang lạichính là nhà toán học Italy R Bombelli Trong cuốn “Đại số” (1572) ông đãđịnh nghĩa các phép tính số học trên các đại lượng ảo và do đó ông đã sáng tạonên lí thuyết các số “ảo”

Thuật ngữ số phức được dùng đầu tiên bởi K Gauss (năm 1831) Vào thế

kỉ XVII – XVIII nhiều nhà toán học khác cũng đã nghiên cứu các tính chất củađại lượng ảo (số phức) và khảo sát các ứng dụng của chúng Chẳng hạn L Euler(1777 – 1855) nhà toán học Đức mở rộng khái niệm logarit cho số phức bất kì(1738), còn A Moivre (1667 – 1754) nhà toán học Anh nghiên cứu và giải bàitoán căn bậc tự nhiên đối với số phức (1736)

Sự nghi ngờ đối với số ảo (số phức) chỉ tiêu tan khi nhà toán học ngườiNauy là C.Wessel đưa ra sự minh họa hình học về số phức và các phép toántrên chúng trong công trình công bố năm 1799 Đôi khi phép biểu diễn minh họa

số phức cũng được gọi là “sơ đố Argand” để ghi nhận công lao của nhà toán họcThụy Sỹ R Argand – người thu được kết quả như của Wessel một cách độc lập

Lí thuyết thuần túy số học đối với các số phức với tư cách là các cặp sốthực có thứ tự (a,b), a R b R ,  được xây dựng bởi nhà toán học Ailen làW.Hamilton (1837) Ở đây đơn vị “ảo” ichỉ đơn giản là một cặp số thực có thứ

tự - cặp (0;1), tức là đơn vị “ảo” được lí giải một cách hiện thực

Cho đến thế kỉ thứ XIX, Gauss mới thành công trong việc luận chứng mộtcách vững chắc khái niệm số phức Tên tuổi của Gauss cũng gắn liền với phépchứng minh chính xác đầu tiên đối với định lí cơ bản của Đại số khẳng địnhrằng trong trường số phức C mọi phương trình đa thức đều có nghiệm

Bản chất đại số của số phức thể hiện ở chỗ số phức là phần tử của trường

mở rộng (đại số) C của trường số thực R thu được bằng phép ghép đại số cho Rnghiệm i của phương trình

2 1 0

x   Với định lí cơ bản của Đại số, Gauss đã chứng minh được trường C trởthành trường đóng đại số Điều đó có nghĩa là khi xét các nghiệm của phươngtrình đại số trong trường này ta không thu được thêm số mới Đương nhiêntrường số thực R (và do đó cả trường hữu tỉ Q) không có tính chất đóng đại số.Chẳng hạn, phương trình với hệ số thực có thể không có nghiệm thực

Nhìn lại hơn 2500 năm từ thời Pythagor tới giờ, con đường phát triểnkhái niệm về số có thể tóm tắt bởi N  Z  Q R C với các bao hàm thức:

N Z QRC.Bằng các kết quả sâu sắc trong các công trình của các nhà toán họcK.Weierstrass, G.Frobenius, B.Peirce người ta mới nhận ra rằng mọi cố gắng

mở rộng tập số phức theo con đường trên đều không có kết quả khả quan.K.Weierstrass đã chứng minh tập hợp số phức C không thể mở rộng thành tậphợp rộng hơn bằng cách ghép thêm số mới để trong tập hợp số rộng hơn thuđược vẫn bảo toàn mọi phép tính và mọi quy luật của các phép toán đã đúngtrong tập hợp số phức

Nhìn lại lịch sử lâu dài của sự phát triển khái niệm số ta thấy rằng cứ mỗilần khi đưa vào những số mới các nhà toán học cũng đồng thời đưa vào các quy

tgawcs thực hiện các phép toán trên chúng Đồng thời với điều đó các nhà Toánhọc luôn luôn cố gắng bảo toàn các quy luật số học cơ bản (luật giao hoán củaphép cộng và phép nhân, luật kết hợp và luật phân bố, luật sắp xếp tuyến tínhcủa tập hợp số) Tuy nhiên sự bảo toàn đó không phải khi nào cũng thực hiệnđược, ví dụ như khi xây dựng trường số phức người ta không bảo toàn được luậtsắp xếp tuyến tính vốn có trong trường số thực.

Tổng kết lịch sử toàn bộ quá trình phát triển khái niệm số, nhà toán họcĐức L.Kronecker (1823 - 1891) đã viết:

“Thượng đế đã tạo ra số tự nhiên, còn tất cả các loại số còn lại đều là công trình sáng tạo của con người”

Có thể nói rằng với khẳng định bất hủ này, L.Kronecker đã xác định nềnmóng vững chắc cho tòa lâu đài toán học tráng lệ , mà con người đang sở hữu

1.2 Khái niệm số phức

Ta biết rằng trường số thực ¡ nhận được bằng cách làm “đầy” trường

số hữu tỉ ¤ , mà nó được xây dựng từ vành số nguyên ¢ Việc làm đầy xuấtphát từ sự nghiên cứu các phương trình đại số với hệ số hữu tỉ và giới hạn củacác dãy số hữu tỉ Tuy nhiên trường ¡ vẫn không đầy đủ, bởi vì ngay cảphương trình đơn giản

2 1 0 (1)

x  

cũng không có nghiệm trong ¡ Còn trong giải tích nếu chỉ giới hạn trong ¡ ,

người ta không thể giải thích được tại sao hàm ( ) 1 2

Với lí do trên, buộc ta phải tìm kiếm trường K nào đó chứa ¡ như mộttrường con sao cho tối thiểu phương trình (1) có nghiệm Ở đây ta nói ¡ là

trường con của K nếu các phép toán trên ¡ được cảm sinh bởi các phép toán

trên K.

1.2.1 Xây dựng trường số phức

Giả sử trường £ chứa ¡ như một trường con mà phương trình

2 1 0

x   có nghiệm trong nó, khi đó £ phải có một phần tử i để i 2 1 Vì



¡ £nên £ chứa tất cả các phần tử dạng a ib a b , , ¡ Do đó, một cách tựnhiên ta xét tập £ các cặp số thực (a,b): £ {( , ) : ,a b a b¡ }.

Sau đó đưa vào quan hệ bằng nhau và các phép toán sao cho với chúng

£ trở thành một trường chứa ¡ như một trường con (qua phép đồng nhất nàođó) Các phép toán náy được dẫn dắt từ các phép toán của trường ¡ với chú ý

 Trường £ được xây dựng như trên được gọi là trường số phức

 Mọi phần tử của £ được gọi là số phức

 Vậy z £, ta có

z( , )a b a(1,0)b(0,1) a ib ,a b, ¡

Đây là dạng đại số của số phức z, trong đó

a được gọi là phần thực của số phức z, kí hiệu là Rez

b được gọi là phần ảo của số phức z kí hiệu là Imz

 Số phức liên hợp

Cho z a ib  ,a b, ¡ , khi đó z a ib  £ được gọi là số phức liên

hợp của số phức z, kí hiệu là z

1.3 Các phép toán trên tập các số phức

ii) Giao hoán: z1z2 z2z1

Đặc biệt khi z z1; 2là hai số thực thì định nghĩa (1) trùng với định nghĩa phépcộng các số thực

ii) Giao hoán z z1 2 z z2 1

iii) Phép nhân có tình phân phối với phép cộng z z1( 2 z3)z z1 2 z z1 3.Nếu z1 và z2là hai số thực thì định nghĩa (3) trùng với định nghĩa

thông thường của phép nhân trong tập hợp các số thực

Đặc biệt khi lấy z1 z2 i từ định nghĩa (3) ta có i i i  2 1

Rõ ràng với z a1  1 ib z1 ; 2 a2ib2 thì công thức (3) có được bằng cách nhânthông thường (phép nhân trong tập hợp số thực) và thay i 2 1.

Chú ý: z z a  2 b2 0

1.3.4 Phép chia

Phép toán nhân có phép toán ngược nếu ít nhất một trong hai số đókhác không Giả sử z 2 0 Khi đó ta có thể tìm được một số phức z a ib  saocho z z z2  1 Theo định nghĩa của phép nhân ta có hệ phương trình sau

Vì z  nghĩa là định thức của hệ Cramer khác 0 nên hệ phương trình trên2 0

luôn luôn có một lời giải duy nhất Số phức z có được này gọi là thương của hai

b a a b b

1.4 Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức

1.4.1 Dạng lượng giác của số phức

Xét mặt phẳng tương ứng với hệ tọa độ Đềcác Oxy và ta biểu diễn một

số phức z a ib  ,a b, ¡ bởi một điểm có tọa độ (a,b) Như vậy các số

thực sẽ được biểu diễn bởi các điểm trên trục Ox, nó được gọi là trục thực, các

số thuần ảo được biểu diễn bởi các điểm trên trục Oy, nó được gọi là trục ảo.

Ngược lại, với mỗi điểm của mặt phẳng Oxy có tọa độ (a,b), ta đặttương ứng với một số phức z a ib 

Vậy có sự tương ứng 1 -1 giữa tập hợp tất cả các số phức £ với tập hợp tất

cả các điểm của một mặt phẳng

Vì mỗi điểm có tọa độ (a,b) trong mặt phẳng tương ứng với một véc tơ

có bán kính véc tơ r  a2 b2 và góc cực tương ứng  Do đó mỗi số phức z

Hình 1

có thể biểu diễn dưới dạng z r c  ( os isin ) Đây là dạng lượng giác của

số phức, trong đó r,  lần lượt là bán kính cực và góc cực của số phức z Bán kính r gọi là modun của số phức z, kí hiệu r z Góc cực  gọi là argument của số phức z, kí hiệu là  Argz

Modun của số phức được xác định một cách duy nhất z  a2 b2 0

Và argument của số phức được xác định với sai khác một bội của 2

2) Tính chất của modun và argument

Như vậy, tích z của hai số phức viết dưới dạng lượng giác z r c  ( os isin ) ,

ở đó r là tích của r r1 2, hoặc z z z1 1 2 z z1 2 ; còn argument  là tổng

(    )của hai argument thừa số, hay nói cách khác

arg z z  arg z  arg z

Bằng phương pháp quy nạp toán học dễ dàng chứng minh được

( os isin ) ( os isin )( os - isin )

[( os os sin sin ) (sin os os sin )]

Bây giờ có thể dễ dàng biểu diễn tích

của hai số phức z z z  1 2, với z1r c1( os1isin )1 ; z2 r c2( os2isin )2

là một điểm với bán kính véc tơ r r1 2 và argument 1  2

Công thức trên được gọi là công thức Moivre.

Công thức Moivre cũng đúng khi nlà các số nguyên âm Thật vậy:

Dựa vào công thức Moivre ta định nghĩa căn bậc n của số phức:

Cho z r c ( os isin ) , căn bậc n của số phức z là một số phức biểudiễn dưới dạng lượng giác w   ( os c   isin )  , sao cho wn  z, hay

[ ( os  c   isin )]  n  r c ( os   isin ) 

Hình 3

Theo công thức Moivre, ta có  n r, suy ra p n r , Còn argument

n  và  sai khác nhau , hay n     2 k  ,( k Z  ) Vậy 2k

Mỗi giá trị của n z tạo thành cấp số cộng với công bội 2

Do tính chu kì của hàmsin ;cos x x với k n   1 thì những giá trị của

n z lại lặp lại một trong n giá trị ban đầu.

Do đó, căn bậc n của một số phức

có đúng n giá trị khác nhau Những số

này biểu diễn như đỉnh của n đa giác đều

nằm trên đường tròn với tâm là gốc tọa độ

và bán kính là n z

1.4.4 Dạng mũ của số phức

Để đơn giản cách viết số phức ta đặt

Hình 4

Phép nâng số phức z a ib r c     ( os  isin )  lên lũy thữa bậc n của

số phức được thực hiện theo công thức Moivre

  

Chương 2: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI TOÁN HÌNH HỌC

PHẲNG

Chương này trình bày phương pháp giải toán, mô tả một số kết quả củahình học phẳng bằng ngôn ngữ số phức và ba ứng dụng của số phức vào giảitoán hình học

2.1 Phương pháp giải toán

Khi giải các bài toán trong hình học phẳng ta đồng nhất số phức

z x iy  với điểm M(x,y) trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Descartes

Oxy, và gọi z là tọa vị của điểm M (đối với hệ tọa độ đó); kí hiệu M(z), hoặc kí

hiệu đơn giản hơn là M; đồng thời cũng đồng nhất số phức z x iy  với véc tơ

OMuuur

trong đó điểm đầu O là gốc tọa độ, điểm cuối M là điểm biểu diễn số phức

z, vì vậy nếu nói M có tọa vị z thì cũng nói véc tơ OMuuur

có tọa vị z Nhờ vậy,nếu A(z), B(z’) thì véc tơ uur uur uurAB OB OA  có tọa vị (z’ -z), hoặc kí hiệu là (A-B),

z x ib  , b c onst, đường thẳng song song với trục Ox

z a iy  , a c onst, đường thẳng song song với trục Oy

z x iy  , yxtan,  là số đo góc định hướng hợp bởi đường thẳng và tiaOx

Sau đó nhờ phép chuyển tương ứng điểm hình học hay điểm phức M

thành vectơ OMuuur(O là gốc tọa độ), chuyển khoảng cách giữa hai điểm phức

B A thành độ dài vectơ uurAB

, bình phương modul của điểm phức

M M M thành vô hướng vectơ OMuuur2

ta sẽ nhận được lời giải thông thườngcủa bài toán đã cho, một lời giải không ứng dụng số phức

Nhờ đó ta nhận được lời giải thông thường của bài toán đã cho

2.2 Mô tả một số kết quả của hình học phẳng bằng ngôn ngữ số phức

Cho trước hai điểm M(m), N(n) Khi đó, độ dài đoạn

 

MN  n m d m;n Trong mặt phẳng cho trước đoạn thẳng AB Khi đó, điểm

M chia đoạn thẳng AB theo tỷ số k ¡\ 1 khi và chỉ khi MA k MBuuur uuur,

a m k b m   trong đó a, b và m là tọa vị các điểm A, B và M theo thứ tự đó.

Từ đó, nếu kí hiệu  AB là chỉ đoạn thẳng AB, kí hiệu (AB) là chỉ

đường thẳng AB, kí hiệu  AB là chỉ tia AB, ta có các kết quả sau

Cho trước hai điểm A a ,B b    phân biệt và điểm M m  Khi đó

2.2.1 Góc giữa hai đường thẳng

Trong mặt phẳng phức, cho hai điểm

OM ,OMuuuur uuuur 1 2  Ox,OMuur uuuur 2  Ox,OMuur uuuur 1 mod2

hay góc định hướng tạo bởi tia OM1 với tia OM2

2.2.2 Tích vô hướng của hai số phức

Trong mặt phẳng phức cho hai điểm M z ,M z1 1 2 2 Khi đó

·

OM OMuuuur uuuur OM OM cosM OM

Nếu z k có modul bằng r k và có argument bằng k thì

OM OMuuuur uuuur1 2 r r cos1 2 2 1 r r cos cos1 2 1 2sin1sin2

Do đó 1 2  1 2 1 2

1 2

z ; z bằng phương tích của O với đường tròn đường kính M M1 2.

 Nếu A a ,B b ,C c ,D d        là bốn điểm phân biệt của mặt phẳng phức, thì

Hình 5

2.2.3 Công thức tính diện tích tam giác

Diện tích của tam giác ABC định hướng, với các đỉnh A a ,B b ,C c     được tính theo công thức

1 1 4

1

a a i

a a

b b

c c



2.2.4 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ điểm M z 0 đến đường thẳng : z .z  0bằng

 £  ¡ Đường tròn này có tâm với tọa vị   , bán kính R   

2.2.6 Mô tả các phép biến hình phẳng bằng ngôn ngữ số phức

 

z' f z  z v

Phép quay Phép quay tâm M z0 0 góc quay  là phép biến hình biến

M(z) thành điểm M'(z') mà M M0 M M ' và M M ;M M '0 uuuuur uuuuuur 0 0   mod2

Từ đó,biểu thức của phép quay là 0  0

i.

Phép đối xứng trục Phép đối xứng qua đường thẳng l là phép biến

hình biến mỗi điểm M(z) thành điểm M'(z') sao cho l là trung trực của MM' Từđó

 Phép đối xứng qua trục thực: z' f z  z

 Phép đối xứng qua trục ảo: z' f z   z

 Do 2 Ox;uur r  Ox;OMuur uuur  Ox;OM 'uur uuuur

l ( ở đây lr z0 ) nên phép đối

xứng qua đường thẳng l đi qua gốc tọa độ O và điểm 2

Phép vị tự tâm C z 0 , tỷ số r 

 ¡ là phép biến hình biến mỗi điểm

M(z) thành điểm M'(z') mà CM ' r.CMuuuur uuur Do đó, có biểu thức

Định lý 2.4 Bốn điểm M z ,k k k  1 2 3 4, , , cùng nằm trên một đường thẳng hay

đường tròn khi và chỉ khi 3 2 3 4

2.2.8 Tích ngoài của hai số phức

Trong mặt phẳng phức cho hai điểm M z ,M z1 1 2 2 Khi đó

Chương này mô tả một số kết quả của hình học phẳng bằng ngôn ngữ

số phức và ba ứng dụng của số phức vào giải toán hình học phẳng

2.3 Ứng dụng số phức giải toán chứng minh hình học và tính toán

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC Trên BC lấy các điểm E và F sao cho

2) Chứng minh các tam giác ABC, AEF có cùng trọng tâm

3) Trên AB lấy điểm D, trên AC lấy điểm I sao cho DA k DB, IC k IA. 

uuur uuur uur uur

Chứng minh uuur uur uuur rAE BI CD  0

Ta viết uuurAF  F A

Từ giả thiết FB 1 FC

k

uur uuur