Ứng dụng số phức vào gải các bài toán đại số

A T V N

Trong ch ng trình ph thông, i s (ph ng trình , h ph ng trình,

b t đ ng th c, l ng giác, ) là m t trong nh ng n i dung tr ng tâm, xuyên

su t quá trình , nó có m t h u h t trong các kì thi i h c, Cao đ ng và

Trung h c chuyên nghi p c ng nh trong các k thi h c sinh gi i trong

nh ng n m g n đây

Vi c gi i các bài toán v i s có nhi u ph ng pháp nh : bi n đ i

t ng đ ng , đ t n ph , l ng giác hoá , hình h c…, m c dù có nhi u cách gi i nh th , nh ng đ ng tr c các bài toán d ng này v n còn nhi u

h c sinh lúng túng, ch a đ a ra đ c l i gi i , ho c đ a l i gi i ch a chính xác

Nhi u h c sinh bây gi đang còn h c theo ki u “làm nhi u r i quen d ng , làm nhi u r i nh ”, n u h c nh th s không phát tri n đ c t duy sáng

t o, s không linh ho t khi đ ng tr c m t tình hu ng m i l hay m t bài toán t ng h p

Vì lí do đó, đ giúp h c sinh tháo g nh ng v ng m c trên , nh m nâng cao ch t l ng d y và h c, đáp ng nhu c u đ i m i giáo d c và giúp h c sinh có thêm ph ng pháp trong gi i toán ,tôi đã quy t đ nh l y đ tài :

“S d ng s ph c vào gi i m t s bài toán i s ”

V i đ tài này tôi hy v ng s giúp cho h c sinh d dàng n m b t và v n

d ng thành th o s ph c vào gi i toán nói chung , gi i các bài toán v i s nói riêng

B GI I QUY T V N

I C s lý lu n c a v n đ

Trong ch ng trình THPT s ph c đ c đ a vào và gi ng d y l p 12 S

ra đ i c a s ph c là do nhu c u m r ng c a t p h p s , s ph c là c u n i hoàn h o gi a các phân môn i s , L ng giác, Hình h c và gi i tích (th

hi n rõ qua công th c e i    ) Khi làm toán trên s1 0 ph c h c sinh s d dàng th c hi n đ c vì các đ nh ngh a và phép toán trong ch ng trình khá

c b n V i nh ng tính ch t c b n c a s ph c, khi gi ng d y n i dung này giáo viên có nhi u h ng khai thác, phát tri n bài toán t o nên s lôi cu n,

h p d n ng i h c B ng vi c k t h p các tính ch t c a s ph c v i m t s

ki n th c đ n gi n v l ng giác, gi i tích, đ i s và hình h c giáo viên có

th xây d ng đ c khá nhi u d ng toán v i n i dung h p d n và hoàn toàn

m i m giúp h c sinh có s nhìn sâu và r ng h n v s ph c và th y

đ c m i liên h m t thi t gi a s ph c v i i s , L ng giác, Hình h c và

gi i tích, trong quá trình gi ng d y tôi luôn tìm tòi khai thác và k t h p các

ki n th c khác v toán h c đ xây d ng các bài t p cho h c sinh

Khi s d ng đ nh ngh a hai s ph c b ng nhau b ng cách tách ph n th c,

ph n o s cho ta m t h ph ng trình, khi s d ng công th c Moa-vr ta s

các bài toán v đ i s , nên ta có th khai thác s ph c nh m t công c đ

gi i toán Tuy nhiên vi c v n d ng v n đ này vào gi i các bài toán đ i s thì

h c sinh v n ch a thành th o, còn lúng túng H ng d n các em v n d ng t t

ph n này s t o cho các em có thêm ph ng pháp, có s linh ho t h n trong

vi c gi i quy t các d ng toán v đ i s

Tr c khi áp d ng đ tài này vào d y h c, tôi đã kh o sát ch t l ng h c t p

c a H c sinh (v v n đ s d ng s ph c vào gi i m t s bài toán đ i s )

ã thu đ c k t qu nh sau :

L p Ss Gi i Khá TB Y u Kém

SL % SL % SL % SL % SL % 12A3 50 3 6 18 36 28 56 1 2 0 0

vào gi i quy t Do khuôn kh đ tài có h n nên tôi ch đ a ra đ c b n ng

d ng đ gi i quy t m t s bài toán v đ i s đó là: ng d ng gi i h ph ng

trình, ng d ng trong vi c ch ng minh b t đ ng th c, ng d ng trong vi c

ch ng minh các đ ng th c l ng giác và ng d ng trong vi c tính t ng các

bi u th c ch a k

n

C (s các t h p ch p k c a n )

III Gi i pháp t ch c th c hi n

Ph n 1 Nêu các ki n th c c b n s d ng trong đ tài

x y

    

2 4 2 0

1

z z

4 27

u u

v v

21 3 7 7 7

cos os2 cos 1

sin2

sin sin 2 sin

sin2







1 os( 1) isin( 1)1

n

qz c



( os os sin os sin os sin )

.( os sin os sin os sin ) (1)

11 123

cosa + cosb + cosc = sina + sinb + sinc = 0 Ch ng minh r ng

a cos2a + cos2b + cos2c = sin2a + sin2b + sin2c = 0

b 3cos(a+b+c) = cos3a + cos3b + cos3c và

3sin(a+b+c) = sin3a + sin3b + sin3c

Bài 6 Ch ng minh đ ng th c :

1C n C n   C n C n C n   2nBài 7 Tính t ng:

Bài 8 Tính t ng :

T = 1 4 7 3 1 16 19

C +C +C + +C k + +C +C

IV K t qu và ki n ngh đ xu t

1 K t qu nghiên c u

Th c ti n gi ng d y tr ng THPT H u L c IV tôi đ c nhà tr ng giao cho gi ng d y 3 l p : 12A3 , 12A6 , 12B5 Sau khi th nghi m d y n i dung này qua vi c l ng ghép vào gi d y trên l p, các gi d y t ch n, b i d ng tôi th y h c sinh r t h ng thú h c t p, ti p thu ki n th c có hi u qu , ch t

l ng h c toán đ c nâng lên rõ r t

V vi c s d ng s ph c vào gi i m t s bài toán đ i s , đã giúp cho H c sinh có m t s nhìn nh n t ng đ i m i m và toàn di n v các ph ng pháp

th y rõ đ c vai trò c a vi c v n d ng s ph c vào gi i toán nói chung vào

vi c gi i toán đ i s nói riêng T đó H c sinh bi t đ c khi nào thì s d ng

s ph c vào gi i toán và s d ng nh th nào

Sau khi áp d ng đ tài trên tôi đã kh o sát l i h c sinh và thu đ c k t qu

nh sau :

L p Ss GiSL i % Khá SL % TB SL % YSL u % Kém SL % 12A3 50 10 20 25 50 15 30 0 0 0 0 12A6 54 9 17 27 50 18 33 0 0 0 0

12 B5 52 4 8 20 38 26 50 2 4 0 0

Nh v y qua k t qu trên , so sánh v i s li u kh o sát l n đ u , tôi nh n th y

ch t l ng h c t p môn toán c a H c sinh đ c nâng lên rõ r t , s l ng

h c sinh khá gi i đã t ng lên nhi u

- Kh c sâu ki n th c k t h p v i luy n t p và đ a ra các bài t p t gi i cho

h c sinh t giác làm

- Tham kh o ý ki n đ ng nghi p, h c sinh đ có bi n pháp truy n đ t ki n

th c h p lí

* i v i H c sinh :

- Luôn t giác h c t p và làm bài t p

- Trao đ i các th c m c v i giáo viên và b n bè

C K T LU N

Nh v y qua đ tài, ta th y đ c vi c khai thác đ nh ngh a và các tính ch t c

b n c a s ph c, đã giúp h c sinh s d ng s ph c nh m t công c đ c l c

nh m gi i quy t hi u qu nhi u bài toán c a đ i s , t đó giúp các em có thêm ph ng pháp trong gi i toán, có s linh ho t h n trong t duy và nâng cao ch t l ng d y h c, đáp ng đ c yêu c u đ i m i trong d y h c Ngoài

ra các tính ch t c b n c a s ph c còn đ c s d ng nhi u trong các bài toán hình h c, gi i tích ,s h c và toán t h p nh ng do khuôn kh c a đ tài nên không th khai thác nhi u h n n a v ng d ng c a s ph c, mong có

Nguy n V n M u, Tr n Nam D ng, inh Công H ng, Nguy n ng Ph t,

T Duy Ph ng, Nguy n Th y Thanh – Nhà xu t b n HQG Hà N i 2009

4 Toán b i d ng h c sinh l p 10 i s – Nhà xu t b n Hà N i 1998

5 Tuy n t p đ thi olympic 30 – 4 l n th V , VI , VII , VIII

Nhà xu t b n giáo d c

M c L c Tên đ m c ……….Trang

A t v n đ ……… 1

B Gi i qu t v n đ ……… 1

I C s lý lu n c a v n đ ……… 1

II Th c tr ng c a v n đ nghiên c u……… 1

III Các gi i pháp t ch c th c hi n… ……… 2

Ph n 1 Ki n th c c b n……… .2

Ph n 2 Các ng d ng c a s ph c……… … 3

Ph n 3 Gi i m t s bài toán v i s thông qua các bài t p t ng ng cho m i ng d ng……… 4

ng d ng gi i h ph ng trình ……… 4

ng d ng trong vi c ch ng minh b t đ ng th c……… 9

ng d ng trong vi c ch ng minh các đ ng th c l ng giác ……… 11

ng d ng trong vi c tính t ng các bi u th c ch a k n C ……… 14

M t s bài t p áp d ng……… 18

IV K t qu và ki n ngh đ xu t……… 19

C K t lu n ……….20