Ứng dụng số phức vào gải các bài toán đại số

S DNG S PHC VÀO GII MT S BÀI TOÁN I S Nguyn Vn Mnh 1 A. T VN  Trong chng trình ph thông, i s (phng trình , h phng trình, bt đng thc, lng giác, ) là mt trong nhng ni dung trng tâm, xuyên sut quá trình , nó có mt hu ht trong các kì thi i hc, Cao đng và Trung hc chuyên nghip cng nh trong các k thi hc sinh gii trong nhng nm gn đây. Vic gii các bài toán v i s có nhiu phng pháp nh : bin đi tng đng , đt n ph , lng giác hoá , hình hc…, mc dù có nhiu cách gii nh th , nhng đng trc các bài toán dng này vn còn nhiu hc sinh lúng túng, cha đa ra đc li gii , hoc đa li gii cha chính xác . Nhiu hc sinh bây gi đang còn hc theo kiu “làm nhiu ri quen dng , làm nhiu ri nh”, nu hc nh th s không phát trin đc t duy sáng to, s không linh hot khi đng trc mt tình hung mi l hay mt bài toán tng hp . Vì lí do đó, đ giúp hc sinh tháo g nhng vng mc trên , nhm nâng cao cht lng dy và hc, đáp ng nhu cu đi mi giáo dc và giúp hc sinh có thêm phng pháp trong gii toán ,tôi đã quyt đnh ly đ tài : “S dng s phc vào gii mt s bài toán i s ”. Vi đ tài này tôi hy vng s giúp cho hc sinh d dàng nm bt và vn dng thành tho s phc vào gii toán nói chung , gii các bài toán v i s nói riêng . B. GII QUYT VN  I. C s lý lun ca vn đ Trong chng trình THPT s phc đc đa vào và ging dy  lp 12. S ra đi ca s phc là do nhu cu m rng ca tp hp s, s phc là cu ni hoàn ho gia các phân môn i s, Lng giác, Hình hc và gii tích (th hin rõ qua công thc 1 0 i e    ). Khi làm toán trên s phc hc sinh s d dàng thc hin đc vì các đnh ngha và phép toán trong chng trình khá c bn. Vi nhng tính cht c bn ca s phc, khi ging dy ni dung này giáo viên có nhiu hng khai thác, phát trin bài toán to nên s lôi cun, hp dn ngi hc. Bng vic kt hp các tính cht ca s phc vi mt s kin thc đn gin v lng giác, gii tích, đi s và hình hc giáo viên có th xây dng đc khá nhiu dng toán vi ni dung hp dn và hoàn toàn mi m.  giúp hc sinh có s nhìn sâu và rng hn v s phc và thy đc mi liên h mt thit gia s phc vi i s, Lng giác, Hình hc và gii tích, trong quá trình ging dy tôi luôn tìm tòi khai thác và kt hp các kin thc khác v toán hc đ xây dng các bài tp cho hc sinh. II. Thc trng ca vn đ Khái nim v s phc và các phép toán là mt trong nhng khái nim c bn , đn gin . Hc sinh d dàng bit đc vic thc hin các phép toán v s phc  dng đi s cng nh dng lng giác và vic gii phng trình bc hai. WWW.VINAMATH.COM WWW.VINAMATH.COM S DNG S PHC VÀO GII MT S BÀI TOÁN I S Nguyn Vn Mnh 2 Khi s dng đnh ngha hai s phc bng nhau bng cách tách phn thc, phn o s cho ta mt h phng trình, khi s dng công thc Moa-vr ta s thy đc mi liên h gia s phc vi các biu thc v lng giác cng nh các biu thc v k n C trong khai trin nh thc Niu-Tn và khi s dng tính cht v môđun ca s phc  dng bt đng thc s cho ta các bt đng thc đi s tng ng . iu đó chng t rng s phc liên h rt gn gi vi các bài toán v đi s, nên ta có th khai thác s phc nh mt công c đ gii toán. Tuy nhiên vic vn dng vn đ này vào gii các bài toán đi s thì hc sinh vn cha thành tho, còn lúng túng. Hng dn các em vn dng tt phn này s to cho các em có thêm phng pháp, có s linh hot hn trong vic gii quyt các dng toán v đi s. Trc khi áp dng đ tài này vào dy hc, tôi đã kho sát cht lng hc tp ca Hc sinh (v vn đ s dng s phc vào gii mt s bài toán đi s). ã thu đc kt qu nh sau : Lp S s Gii Khá TB Yu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 12A 3 50 3 6 18 36 28 56 1 2 0 0 12A 6 54 2 4 16 30 34 63 2 3 0 0 12 B 5 52 1 2 10 19 33 63 8 16 0 0 Nh vy s lng Hc sinh nm bt các dng này không nhiu do cha có đc ngun kin thc và k nng cn thit . Thc hin đ tài này tôi đã khai thác vic s dng s phc thông qua các ng dng c th và bài tp tng ng cho mi ng dng đ ó . Cui cùng là bài tp tng hp đ hc sinh vn dng các tính cht đã đc hc vào gii quyt . Do khuôn kh đ tài có hn nên tôi ch đa ra đc bn ng dng đ gii quyt mt s bài toán v đi s đó là: ng dng gii h phng trình, ng dng trong vic chng minh bt đng thc, ng dng trong vic chng minh các đng thc lng giác và ng dng trong vic tính tng các biu thc cha k n C (s các t hp chp k ca n ). III. Gii pháp t chc thc hin Thc hin đ tài này v ni dung tôi chia làm ba phn : Phn 1 . Nêu các kin thc c bn s dng trong đ tài Phn 2 . Nêu các ng dng Phn 3 . Gii mt s bài toán v đi s thông qua các bài tp tng ng cho mi ng dng. Sau đây là ni dung c th : Phn 1. Các kin thc c bn Các kin thc c bn s dng trng đ tài bao gm các đnh ngha và tính cht t sách giáo khoa mà hc sinh đã đc hc. 1. nh ngha * Mt s phc là mt biu thc dng a + bi , trong đó a , b là nhng s thc và i là s tha mãn 2 1 i   . Kí hiu s phc đó là z và vit z a bi   WWW.VINAMATH.COM WWW.VINAMATH.COM S DNG S PHC VÀO GII MT S BÀI TOÁN I S Nguyn Vn Mnh 3 i đc gi là đn v o , a đc gi là phn thc , b đc gi là phn o ca s phc z a bi   . * Hai s phc 1 2 ; z z a bi c di     gi là bng nhau nu a = c , b = d . Khi đó ta vit 1 2 z z  . * Cho z a bi   , ta có s phc liên hp ca z là z a bi   , môđun ca z là 2 2 z a b   . * Vi mi s phc 1 2 3 ; ; z z z ta có: 1 2 1 2 z z z z    và 1 2 3 1 2 3 z z z z z z      . 2. Phng trình bc hai Dng : 2 0 Az Bz C    , trong đó A, B , C là nhng s phc 0 A  Cách gii Xét bit thc 2 4 B AC    * Nu 0   thì phng trình có hai nghim phân bit 1 2 B z A     , 2 2 B z A     (trong đó  là mt cn bc hai ca  ) * Nu 0   thì phng trình có nghim kép 1 2 2 B z z A    . 3. Dng lng giác ca s phc * Mi s phc z đu có th vit đc di dng ( os ) z r c isin     ( trong đó r là môđun ca z và  là mt acgumen ca z ) đc gi là dng lng giác ca s phc. * Nu ( os ) z r c isin     thì z có ba cn bc ba là 3 3 3 2 2 4 4 ( os .sin ) , ( os .sin ) , ( os .sin ) 3 3 3 3 3 3 r c i r c i r c i                  * Nu ( os ) z r c isin     thì * (cos sin ) (n N ) n n z r n i n      (công thc Moa-vr). 4. Công thc nh thc Niu-tn   0 1 1 n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b          . H qu   0 1 1 n k k n n n n n n x C C x C x C x        . 5. Tng n s hng đu tiên ca cp s nhân Cho   n u là mt cp s nhân vi công bi 1 q  , ta có 1 1 2 (1 ) 1 n n u q u u u q       Phn 2. Các ng dng ca s phc 1. ng dng gii h phng trình Kin thc s dng * H pt ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) A x y B x y A x y iC x y B x y iD x y C x y D x y          . WWW.VINAMATH.COM WWW.VINAMATH.COM S DNG S PHC VÀO GII MT S BÀI TOÁN I S Nguyn Vn Mnh 4 * Nu ( os ) z r c isin     thì z có ba cn bc ba là 3 3 3 2 2 4 4 ( os .sin ) , ( os .sin ) , ( os .sin ) 3 3 3 3 3 3 r c i r c i r c i                  2. ng dng trong vic chng minh bt đng thc Kin thc s dng * Cho z a bi   , ta có môđun ca z là 2 2 z a b   . * Vi mi s phc 1 2 3 ; ; z z z ta có: 1 2 1 2 z z z z    và 1 2 3 1 2 3 z z z z z z      . 3. ng dng trong vic chng minh các đng thc lng giác Kin thc s dng * Nu ( os ) z r c isin     thì * (cos sin ) (n N ) n n z r n i n      (công thc Moa-vr). * Cho   n u là mt cp s nhân vi công bi 1 q  , ta có 1 1 2 (1 ) 1 n n u q u u u q       4. ng dng trong vic tính tng các biu thc cha k n C (s các t hp chp k ca n ) Kin thc s dng *   0 1 1 n k k n n n n n n x C C x C x C x        . * Nu ( os ) z r c isin     thì * (cos sin ) (n N ) n n z r n i n      (công thc Moa-vr). * A + Bi = C + Di A C B D       Phn 3. Gii mt s bài toán v đi s thông qua các bài tp tng ng cho mi ng dng. Ta s xét tng ng dng vào gii toán đi s thông qua các ví d . Sau cùng là các bài tp vn dng . 1. NG DNG TRONG VIC GII H PHNG TRÌNH Kin thc s dng * H pt ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) A x y B x y A x y iC x y B x y iD x y C x y D x y          . * Nu ( os ) z r c isin     thì z có ba cn bc ba là 3 3 3 2 2 4 4 ( os .sin ) , ( os .sin ) , ( os .sin ) 3 3 3 3 3 3 r c i r c i r c i                  Ví d 1. Gii các h phng trình sau: a. 3 2 2 3 2 6 5 6 2 5 3 x xy x y y          Gii WWW.VINAMATH.COM WWW.VINAMATH.COM S DNG S PHC VÀO GII MT S BÀI TOÁN I S Nguyn Vn Mnh 5 Hpt   3 2 2 3 2 6 6 2 5 5 3 x xy i x y y i         3 1 3 5 2 2 x yi i           z x yi    là mt cn bc ba ca 1 3 5 2 2 i        ,vì 1 3 5 5( os sin ) 2 2 3 3 i c             1 3 5 2 2 i        có ba cn bc 3 là: 3 3 3 0 1 2 7 7 13 13 5( os sin ) ; 5( os sin ) ; 5( os sin ) 9 9 9 9 9 9 z c z c z c             xét 0 1 2 ; ; z z z z z z    , ta đc : 3 3 3 3 3 3 7 13 5. os 5. os 5. os 9 9 9 ; ; 7 13 5.sin 5.sin 5.sin 9 9 9 x c x c x c y y y                                  là nghim ca hpt đã cho b. 3 2 2 2 3 2 3 3 3 3 0 3 6 3 1 0 x xy x y x y x y xy y              Gii Hpt 3 2 2 3 ( 1) 3 ( 1) 1 3( 1) 1 x y x x y y            3 2 2 3 ( 1) 3 .( 1) 3( 1) . 1 x y x i x y y i              3 ( 1 ) 1 x iy i      1 z x yi     là mt cn bc 3 ca 1 i  , vì 1 2( os sin ) 4 4 i c      Nên 1 i  có 3 cn bc ba là: 6 6 6 0 1 2 3 3 17 17 2( os sin ) ; 2( os sin ) ; 2( os sin ) 12 12 4 4 12 12 z c i z c i z c i             xét 0 1 2 ; ; z z z z z z    , ta đc: 6 6 1 2. os 12 2.sin 12 x c y              ; 6 6 3 1 2. os 4 3 2.sin 4 x c y              ; 6 6 17 1 2. os 12 17 2.sin 12 x c y              Ví d 2. Gii các h phng trình: a. 2 2 2 2 5 7 5 7 0 7 5 5 0 x y x x y x y y x y                 Gii WWW.VINAMATH.COM WWW.VINAMATH.COM S DNG S PHC VÀO GII MT S BÀI TOÁN I S Nguyn Vn Mnh 6 K 2 2 0 x y   Hpt 2 2 2 2 5 7 5 7 5 5 7 x y x y x i y x y x y                2 2 2 2 ix 5. 7 5. 7 x iy y x yi x y x y          (*) t 2 2 2 2 1 ix ; x iy y i z x yi x y z x y z          , khi đó : (*) 5 7 5. 7 i z z z     2 7 5 7 5 0 z z i      7 5 5 z i z i         Vi 7 5 z i   7 5 x y          ; vi 5 z i  0 5 x y         (tmđk) KL: h phng trình có hai nghim là: (7 ; 5  ) và (0 ; 5 ) b. 4 4 3 2 3 2 3 3 2 2 3 3 2 4 0 2 3 2 3 (2 1) 1 2 4 x y x xy x y x y x y xy y x y y                 Gii Hpt 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )( ) 3 ( ) 2( 2 ) 0 2 ( ) 3 ( ) 4( ) 2(2 ) 0 x y x y x x y x y xy x y y x y x y x y                    Nu x = y = 0 ; tha mãn h pt nên x = y = 0 là nghim ca h Nu 2 2 0 x y   Hpt 2 2 2 2 2 2 2 3 2. 0 2 2 3 4 2. 0 x y x y x x y x y xy y x y                      2 2 2 2 2 3 2. x y x y x x y      +i.[ 2 2 2 2 3 4 2. x y xy y x y      ] = 0 2 2 2 2 2 2 ( 2 ) 3( ) 2. 4. 4 0 x iy y xi x xyi y x yi i x y x y              2 2 2 2 2 ( ) 3( ) 2. 4. 4 0 x iy y xi x yi x yi i x y x y             t 2 2 2 2 1 ix ; x iy y i z x yi x y z x y z          ; ta có phng trình: 2 2 4 3 4 0 i z z i z z      WWW.VINAMATH.COM WWW.VINAMATH.COM S DNG S PHC VÀO GII MT S BÀI TOÁN I S Nguyn Vn Mnh 7 3 2 2 3 4 2 4 0 ( 1)( 2 4 2) 0 z z iz i z z z i             2 1 1 3 2 4 2 0 1 z z z i z z i z i                      Vi 1 1 0 x z y        ; vi 3 3 1 x z i y          ; vi 1 1 1 x z i y           KL: h pt đã cho có 4 nghim là : (0 ; 0) ; (1; 0) ; (3 ; -1) và (-1; 1) . Ví d 3. Gii các h phng trình: a. 12 1 . 2 3 12 1 . 6 3 x y x y y x                         Gii K : , 0 ; 3 0 x y y x    t 3 u x v y        ( u , v  0 ). Ta có h phng trình: 2 2 2 2 12 2 3 12 6 u u u v v v u v             2 2 2 2 12 12 2 3 6 u v u i v i u v u v               2 2 12. 2 3 6 u iv u vi i u v        ; đt z u iv   2 2 1 u iv u v z     ; ta có pt 1 12. 2 3 6 z i z    2 2( 3 3 ). 12 0 z i z      ( 3 3) (3 3) ( 3 3) (3 3) z i z i              ; do u , v  0 nên ( 3 3) (3 3) z i     2 2 (3 3) 3 3 4 2 3 3 3 3 12 6 3 (3 3) u x x v y y                               LK: h pt đã cho có nghim duy nht : 4 2 3 12 6 3 x y          . WWW.VINAMATH.COM WWW.VINAMATH.COM S DNG S PHC VÀO GII MT S BÀI TOÁN I S Nguyn Vn Mnh 8 b. 1 3 . 1 2 1 7 . 1 4 2 x x y y x y                          Gii K : , 0 ; 0 x y y x    ; đt ; x u y v   ( u , v  0 ). Ta có h phng trình: 2 2 2 2 2 3 4 2 7 u u u v v v u v             2 2 2 2 2 4 2 . . 7 3 u v u i v i u v u v               2 2 2 4 2 7 3 u vi u vi i u v        ; đt z u iv   2 2 1 u iv u v z     , ta có pt 2 1 2 4 2 1 2 2 2 . 1 0 3 7 3 7 z i z i z z               ; có ' 2 38 4 2 2 . ( 2. ) 21 21 21 i i        1 2 2 2 2 3 21 7 1 2 2 2 2 3 21 7 z i z i                                        Do u , v  0 , nên 2 2 1 2 11 4 3 21 21 3 7 22 8 2 2 2 7 7 7 u x u y v v                          KL: h pt đã cho có nghim duy nht 11 4 22 8 ( ; ) ; 21 7 3 7 7 x y          WWW.VINAMATH.COM WWW.VINAMATH.COM S DNG S PHC VÀO GII MT S BÀI TOÁN I S Nguyn Vn Mnh 9 2. NG DNG TRONG VIC CHNG MINH BT NG THC Kin thc s dng * Cho z a bi   , ta có môđun ca z là 2 2 z a b   . * Vi mi s phc 1 2 3 ; ; z z z ta có: 1 2 1 2 z z z z    và 1 2 3 1 2 3 z z z z z z      . Ví d 1. Chng minh rng vi x R   , ta luôn có: 2 2 2 5 2 5 2 5 x x x x      Gii Bđt     2 2 2 2 1 2 1 2 2 5 x x       Xét các s phc 1 1 2 z x i    ; 2 1 2 z x i    1 2 2 4 z z i     Vì 1 2 1 2 z z z z         2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 4 2 5 x x        Nên  đpcm Ví d 2. Chng minh rng vi , , x y z R   , ta luôn có: 2 2 2 2 2 2 x xy y x xz z y yz z         Gii Bđt 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 y y z z x x y yz z                                   Xét 1 3 2 2 y y z x i    ; 2 3 2 2 z z z x i         1 2 1 3 2 2 z z y z y z i       Vì 1 2 1 2 z z z z    2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 y y z z x x                                    2 2 2 2 1 3 2 2 y z y z y yz z                    nên  đpcm Ví d 3. Chng minh rng vi x R   , ta luôn có: 2 2 2 2 1 1 16 32 1 1 4 8 2 4 10 4 2 2 2 2 5 5 2 2 5 5 x x x x x x x            Gii Bđt 2 2 2 2 32 64 8 16 4 8 20 4 2 4 5 5 5 5 x x x x x x x              WWW.VINAMATH.COM WWW.VINAMATH.COM S DNG S PHC VÀO GII MT S BÀI TOÁN I S Nguyn Vn Mnh 10   2 2 2 2 2 2 2 2 16 8 4 8 2 4 2 4 2 4 5 5 5 5 x x x x                                                    Xét 1 2 z x i   ; 2 4 2 z x i    ; 3 16 8 5 5 z x i    ; 4 4 8 5 5 z x i    1 2 4 4 z z i     ; 3 4 12 16 5 5 z z i     , vì 1 2 3 4 1 2 3 4 z z z z z z z z                2 2 2 2 12 16 4 4 4 2 4 5 5 VT                    nên  đpcm Ví d 4. Cho a , b, c, d là bn s thc tha mãn điu kin     2 2 2 2 1 2 ; c 36 12 a b a b d c d         .Chng minh rng :       6 2 2 2 1 a c b d      Gii T gi thit ta có         2 2 2 2 1 1 1 ; 6 6 36 a b c d         Xét     1 2 3 1 1 , 6 6 , z 5 5 z a b i z c d i i           1 2 3 ( ) ( ) z z z c a d b i        , vì 1 2 3 1 2 3 z z z z z z          2 2 1 6 5 2 c a d b              6 2 2 2 1 a c b d       Ví d 5. Cho , , 0 a b c  tha mãn ab + bc + ca = 1.Chng minh rng : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 b a c b a c ba cb ac       Gii Bđt 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 3 a b b c c a                          Xét 1 2 3 1 2 1 2 1 2 ; ; z i z i z i a b b c c a       1 2 3 1 1 1 1 1 1 2 z z z i a b c a b c                      , vì 1 2 3 1 2 3 z z z z z z      2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3VT a b c a b c a b c                             ,vì ab + bc + ca = 1 1 1 1 1 a b c     , nên VT 3   đpcm WWW.VINAMATH.COM WWW.VINAMATH.COM [...]... - Ph bài - Kh h nh t àm - Tham kh ,h th - Nghiên c ình hu ùh à các sách tài li 19 Nguy WWW.VINAMATH.COM WWW.VINAMATH.COM S ÀO GI - Luôn t C K b nh cao ch ra các tính ch toán hình h nên không th d Cu ùng, nghi góp ý , b à làm bài t ên và b n bè ài, ta th , ã giúp h à các tính ch inh s ài toán c háp trong gi , ,t êu c Ngoài ài ài còn à toán t ãc ên c ,t th i Tôi xin chân thành c H ày 09 àh R àn thi... 3 cos 3 cos 3 cos Bài 4 Ch 3 9 6 9 9 9 2 Bài 5 Cho a, b, c là các s ãn: cosa + cosb + cosc = sina + sinb + sinc = 0 Ch a cos2a + cos2b + cos2c = sin2a + sin2b + sin2c = 0 b 3cos(a+b+c) = cos3a + cos3b + cos3c và 3sin(a+b+c) = sin3a + sin3b + sin3c Bài 6 Ch 1 Cn2 Cn4 y2 2 1 Cn Cn3 Cn5 2 2n Bài 7 Tính t A= 1 0 2 4 46 48 C 50 -3C 50 +32 C 50 - -323C 50 +324 C 50 -325C 50 50 50 2 Bài 8 Tính t 4 7 3k... gi Nhà xu 2008 – 2009 2 Toán nâng cao gi Phan Huy Kh – Nhà xu à N 2000 3 Bi à áp d Nguy T – Nhà xu 4 Toán b – Nhà xu 5 Tuy –4l Nhà xu Gi Hà N à N 2009 1998 21 Nguy WWW.VINAMATH.COM WWW.VINAMATH.COM S ÀO GI M m A ………………………………………… 1 B Gi …………………………………………………… 1 I …………………………………………… 1 II Th ên c 1 III Các gi t th c hi ………………………… 2 Ph i 2 Ph … … 3 Ph Gi ài toán v thông qua các bài t cho m ……………………………………………………... Cnk c Giúp các em n ên h ình , gi v gi v b , th õ òc s vào gi ào vi nói riêng T ào thì s s ào gi oán và s ào Sau khi áp d ã kh L 12A3 12A6 12 B5 S s 50 54 52 ch h 2 Ki Do th thì ph Gi Khá SL % SL 10 20 25 9 17 27 4 8 20 ên , so sánh v TB % 50 50 38 SL 15 18 26 % 30 33 50 Y SL 0 0 2 % 0 0 4 Kém SL % 0 0 0 0 0 0 ên rõ r ãt trên l òn h ày ên : - N vi à kh d ên kh ình - Các ki ra cho h h - Ph bài - Kh... GI M ài t Bài 1 Gi a c x 3 2 y3 3x 2 y x 1 1 3 xy b y 6 x 1 3 y 1 ình sau x 2 y d 6 x x y 1 y Bài 2 a Cho x 2 y 2 1 , ch b Cho x, y, z > 0 th x2 c Cho a, b là hai s r 40 d Ch x2 ãn x 12 x x2 11x x 3 x2 y 4 : 9 4( x z 1 Ch y 1 x2 3x y x2 y2 x 3y x 2 y2 3 0 11y y2 12 y y2 y) 3 2( x y) 3 2 y2 1 1 z2 82 2 y z2 ãn a2 b2 16 8a 6b Ch 0 , ta luôn có: x , y, z xy y 2 yz z 2 x 2 xz z 2 1 1 1 1 Bài 3 Ch r... i 20 M 20 20 3 i 2 220 cos 4 3 20 3 2 isin 4 3 1 i 2 20 2 20 1 2 220 cos 6 3 i 2 isin 2 20 cos 6 20 6 isin 20 6 219 219 3 i 20 So sánh ph 0 2 310 C20 - 39 C20 Ví d 3 4 6 38 C20 - 37 C20 Tính các t i trong hai cách tính trên ta có: 16 18 32 C20 - 3C20 20 C20 = - 219 : 14 Nguy WWW.VINAMATH.COM WWW.VINAMATH.COM S ÀO GI 0 2 4 6 12 14 A = C 15 -3C 15 +5C 15 -7C 15 + +13C 15 -15C 15 3 5 7 13 15 B = 2C 1... 1) x nx (n 1) x nx sin cos sin sin 2 2 i 2 2 1 A Bi x x sin sin 2 2 ( n 1) x nx (n 1) x nx sin cos sin sin 2 2 ;B= 2 2 1 A x x sin sin 2 2 Ví d Tính các t cos cos cos n n q k sin( Sn k 0 isin k ) k 0 ; ( Ta có : T iSn cos n q k cos( k ) ; Tn q cos( ; q là các s Gi ) i.sin( ) qn cos( n ) i.sin( n ) 12 Nguy WWW.VINAMATH.COM WWW.VINAMATH.COM S ÀO GI (cos i.sin ) 1 q(cos i.sin ) q2 (cos2 i.sin2 ) qn (cosn... i)14 = 15 15 2 cos 15 4 15 4 isin 2 cos 27 27i 15.27 So sánh ph có: 15i 4 isin 14 14 15 4 2 cos 15.27i cos 14.27 14 4 27i 7.28 15 à 4 isin isin 4 14 4 15 2 2 2 2 i 2 15.27 2 7i + 15i(1 + i)14 trong hai cách tính trên ta 0 2 4 6 12 14 C 15 -3C 15 +5C 15 -7C 15 + +13C 15 -15C 15 = 7.28 3 5 7 13 15 2C 1 -4C 15 +6C 15 -8C 15 + +14C 15 -16C 15 = -2 7 15 Ví d Tính t 0 S = C20 3 C20 6 3 C20 C20k 15 C20 18... Nguy WWW.VINAMATH.COM WWW.VINAMATH.COM S 3 AB ÀO GI 3 AB 4 3 AB 5 A3 3 cos 2 7 Nên 3 3 3 3 cos 4 7 3 cos 8 7 3 3 AB 3 7 0 5 33 7 A 3 5 33 7 4 6 1 3 cos 3 cos 5 33 7 7 7 2 2 7 cos AB 3 ,mà cos 7 , thay vào 6 7 cos 8 7 1 5 33 7 2 4 Cnk (S Ki n 1 * 1 x Cn0 Cn x Cnk x k Cnn x n * N z r(cos isin ) thì zn r n (cos n i sin n ) (n N* ) (công th A C * A + Bi = C + Di B D Ví d Tính t 0 2 4 6 16 18 20 A = 310... 2qcos q2 qsin(n ) qn 2 sin(n qn 2 sin(n ) q.cos(n - )-q n 1cos ( n 1) q n 2 cos( n 1 2 q cos q2 Ví d Ch r 2 4 8 1 3 cos 3 cos 3 cos 3 5 33 7 7 7 7 2 Gi k2 k2 i.sin Ta có x k cos ; ( k = 0 ,1, ,6) là các nghi 7 7 x7 1 , t x k (k = 0 ,1, , 6) là nghi ) V Sn x x 5 y x 1 0 1 , x x y3 y2 y3 y1 y2 y3 y1 x xk 1 xk xk 1 x xk 2 2 x 1 x 1 0 2k ( k = 1 ,2 ,3 ) là 7 viet ta có: 2.cos 2y 1 0 2; 2 y1 y2 y3 A y2 . Phn 3. Gii mt s bài toán v đi s thông qua các bài tp tng ng cho mi ng dng. Ta s xét tng ng dng vào gii toán đi s thông qua các ví d . Sau cùng là các bài tp vn dng nhiên vic vn dng vn đ này vào gii các bài toán đi s thì hc sinh vn cha thành tho, còn lúng túng. Hng dn các em vn dng tt phn này s to cho các em có thêm phng pháp, có. vic gii quyt các dng toán v đi s. Trc khi áp dng đ tài này vào dy hc, tôi đã kho sát cht lng hc tp ca Hc sinh (v vn đ s dng s phc vào gii mt s bài toán đi s).