Bài tập 2.2.1.
Cho 3 đường thẳng đôi một cắt nhau (d1): x-2y=-3, (d2): 2x-5y=-4, (d3): -x+3y=2.
Hãy viết phương trình đường tròn đi qua 3 giao điểm giữa 3 đường thẳng trên.
* Giải trên Maple như sau:
[>with(geometry):
line(d1,x-2*y=-3,[x,y]); line(d2,2*x-5*y=-4,[x,y]); line(d3,-x+3*y=2,[x,y]); print();
print();
print(`………..BAI GIAI…… ………….`); print(` Giao diem A giua 2 duong thang d1 va d2la: `) intersection(A,d1,d2); A=coordinates(A);
print(` Giao diem B giua 2 duong thang d2 va d3la: `) intersection(B,d2,d3); B=coordinates(B);
print(` Giao diem C giua 2 duong thang d1 va d3la: `) intersection(C,d1,d3); C=coordinates(C);
print(` Duong tron c1 di qua 3 giao diem A,B,C co phong trinh la: `); circle(c1,[A,B,C]);detail(c1) ;
Bài tập 2.2.2
Cho 3 điểm A(3,-1), B(3,3), C(2,4)
Viết phương trình đường thẳng AB, BC, CA.
Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
* Giải trên Maple như sau:
[>with(geometry):
ba_diem:=[ point(A,3,-1), point(B,3,3), point(C,2,4)]; print();
print();
print(`………..BAI GIAI……….`); print(` Phuong trinh duong thang AB, BC, CA: `); print(`Phuong trinh duong thang AB: `);
line(ab,[A,B]); detail(ab);
print(`Phuong trinh duong thang BC: `); line(bc,[B,C]); detail(bc);
print(`Phuong trinh duong thang CA: `); line(ca,[C,A]); detail(ca);
print(` *………* `);
print(` Phuong trinh duong tron c1 ngoai tiep tam giac ABC: `); circle(c1,ba_diem); detail(c1);
Bài tập 2.2.3.
Cho tam giác ABC, cho ba điểm A(0,0), B(2,0), C(1,3), hãy xác định phương trình đường cao, đường trung tuyến, phương trình đường thẳng các cạnh của tam giác, đường trung trực, tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, tâm đường tròn nội tiếp tam giác, tâm đường tròn bàng tiếp tam giác.
Trên đây là một bài toán tổng hợp giải một cách đầy đủ về một số yếu tố trong một tam giác. Để giải bài toán trên bằng gói Geometry trong Maple ta xây dựng chương trình như sau:
[> restart: with(geometry);
badiem := [point(A, 0, 0), point(B, 2, 0), point(C, 1, 3)]; print(); print(); print(`....BAI GIAI...`);
triangle(T, badiem); S = area(T); print(`*...*`); (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
print(`phuong trinh cac duong thang chua cac canh:`);
print(`phuong trinh duong thang AB:`); line(ab, [A, B]); Equation(ab, [x, y]); print(`phuong trinh duong thang BC:`); line(bc, [B, C]); Equation(bc, [x, y]); print(`phuong trinh duong thang CA:`); line(ca, [C, A]); Equation(ca, [x, y]); print(`*...*`);
print(`phuong trinh duong trung tuyen mA:`); median(mA, A, T); Equation(mA, [x, y]) ;
print(`phuong trinh duong trung tuyen mB:`); median(mB, B, T); Equation(mB, [x, y]);
print(`phuong trinh duong trung tuyen mC:`); median(mC, C, T); Equation(mC, [x, y]);
print(`toa do trong tam G cua tam giac ABC:`); centroid(G1, T); G = coordinates(G1);
print(`*...*`); print(`phuong trinh duong cao hA:`); altitude(hA, A, T); Equation(hA, [x, y]); print(`phuong trinh duong cao hB:`); altitude(hB, B, T); Equation(hB, [x, y]); print(`phuong trinh duong cao hC:`); altitude(hC, C, T); Equation(hC, [x, y]); print(`toa do truc tam H cua tam giac ABC:`); orthocenter(H1, T); H = coordinates(H1); print(`*...*`);
print(`phuong trinh duong trung truc cua canh AB:`);PerpenBisector(ta, A, B); Equation(ta, [x, y]);
print(`phuong trinh duong trung truc canh BC:`); PerpenBisector(tt, B, C); Equation(tt, [x, y]);
Equation(tc, [x, y]);
print(` toa do tam I cua duong tron ngoai tiep tam giac ABC:`); circle(c1, badiem); I1 := center(c1); I = coordinates(I1);
print(`∗...∗`) ;
print(`phuong trinh duong phan giac IA cua goc A trong tam giac ABC:`); bisector(IA, A, T); Equation(IA, [x, y]);
print(`phuong trinh duong phan giac IB cua goc B trong tam giac ABC:`); bisector(IB, B, T);
Equation(IB, [x, y]);
print(`phuong trinh duong phan giac IC cua goc C trong tam giac ABC:`); bisector(IC, C, T); Equation(IC, [x, y]);
print(`*...*`);
print(`toa do tam M cua duong tron ngoai tiep tam giac ABC:`); incircle(c2, T); M1 := center(c2); M = coordinates(M1) ;
print(`*...*`);
print(`phuong trinh duong thang Eeuler qua G,H,M cua tam giac ABC:`); EulerLine(Ell, T); Ell := Equation(Ell, [x, y]);
print(`*...*`);
print(`phuong trinh duong tron c1ngoai tiep tam giac ABC:`); Equation(c1, [x, y]);
print(`ban kinh cua c1:`); R := radius(c1); print(`*...*`);
print(`phuong trinh duong tron c2 noi tiep tam giac ABC:`); Equation(c2, [x, y]); print(`ban kinh cua c2:`);
r := radius(c2);
print(`*...*`);
print(`phuong trinh cac duong tron bang tiep cua tam giac ABC:`); excircle(obj, T, [c1(O1), c2(O2), c3(O3)]);
draw({T, op(obj)}, printtext = true);
Equation(c1, [x, y]);
print(`ban kinh rA cua duong tron bang tiep goc A:`); rA := radius(c1); print(`phuong trinh duong tron bang tiep cua goc B:`); Equation(c2, [x, y]); print(`ban kinh rB cua duong tron bang tiep goc B:`); rB := radius(c2); print(`phuong trinh duong tron bang tiep cua goc C:`); Equation(c3, [x, y]); print(`ban kinh rC cua duong tron bang tiep goc C:`); rC := radius(c3); print(`*...*`); (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
print(`phuong trinh duong tron Euler cua tam giac ABC`); EulerCircle(Elc, T, 'centername' = o);
2.3. Bài tập
Bài tập 1
Cho điểm A(3,5) và đường thẳng (d): x+2y=1.
1. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và song song với d. 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với d. 3. Tìm bán kính đường tròn tâm A và tiếp xúc với d.
Bài tập 2
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8cm, BC = 10cm, lấy điểm M trên cạnh AB sao cho BM = 16/3cm, lấy điểm D sao cho A là trung điểm của DC.
1. Tính AC.
2. Điểm M là gì của tam giác BCD.
3. Gọi E là trung điểm của BC. Chứng minh D, M, E thẳng hàng.
Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có đỉnh A(2,1), một đường chéo nằm trên một đường thẳng có phương trình (d): x+2y=6 và đỉnh B(-2,4) thuộc vào (d).
1. Viết phương trình các cạnh và đường chéo còn lại của hình vuông ABCD. 2. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.
Bài tập 4
Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 9 x – y + 18 = 0, A(1; 4), B(- 1; 3). Gọi C và D là hai điểm thuộc (C) sao cho ABCD là một hình bình hành.
Viết phương trình đường thẳng CD.
Bài tập 5 (Định lý Pitago)
Cho tam giác vuông ABC, hãy chứng minh rằng: .
Bài tập 6 (Đường thẳng Simson)
Cho tam giác ABC và điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tâm O của tam giác. Gọi N, P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của BC, CA, AB.
Chứng minh rằng BC, CA, AB nằm trên một đường thẳng.
Bài tập 7
Cho tam giác ABC có trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O, P là điểm đối xứng của H qua O. Gọi , , lần lượt là trọng tâm của tam giác PBC, PAC và PAB.
Chứng minh rằng: 1. A = B = C 2. A, B, C đồng quy
KẾT LUẬN
Đề tài “Ứng dụng phần mềm Maple và cơ sở Groebner trong giải toán
hình học phẳng” không những giới thiệu một cách khái quát nhất về phần mềm
Maple mà còn đề cập tới việc giải quyết một số vấn đề về hình học phẳng. Bên cạnh việc đi sâu nghiên cứu chứng minh các định lý hình học, chúng tôi còn đưa ra các câu lệnh minh họa giúp bạn đọc có thể hiểu ngay các câu lệnh. Các bài toán ví dụ đưa ra, chúng tôi đã giải bằng hai cách là cách giải thông thường và cách giải trên Maple để bạn đọc tiện quan sát, so sánh. Cuối đề tài chúng tôi đưa ra một số bài tập tự giải để bạn đọc có thể tham khảo và giải chúng, góp phần nâng cao tư duy toán học.