MỤC LỤC
Điều khác nhau chỉ là ở chỗ, nếu chọn t là biến độc lập thì dx không phải là số gia tùy ý mà là vi phân của x xem là hàm của t. Chú ý rằng sự triệt tiêu của đạo hàm f c′( ) về phương diện hình học có ý nghĩa là tiếp tuyến tại điểm tương ứng của đường cong song song với trục. Giả thiết hàm f x( ) khả vi trong khoảng ( )a b, cũng là một giả thiết không thể bỏ qua được.
Theo định lý Lagrange trên cung AB tìm được ít nhất một điểm c, mà tại đó tiếp tuyến song song với dây cung AB.
Trường hợp u và v là các phân thức với mẫu số có giới hạn 0 ta dễ dàng biến đổi về dạng 0.
Vi phân cấp hai của hàm f là vi phân của df nếu coi dx,dy là hằng số. Lưu ý: Khi ∆ =0 thì chưa kết luận được cực trị, ta gọi đây là điểm nghi ngờ cần xét thêm. Tìm các giá trị của hàm tại các điểm nghi ngờ có cực trị trên ∂D.
So sánh các giá trị trên để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Cửa hàng nên đặt hàng bao nhiêu lần trong mỗi năm và mỗi lần đặt bao nhiêu cái để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất?. Vậy, để chi phí hàng tồn kho nhỏ nhất thì cửa hàng nên đặt hàng 25 lần mỗi năm và mỗi lần đặt 100 cái tivi. Nhiều bài toán về kinh tế được đưa về tìm cực trị của một hàm y= f x( ).
Từ đó doanh thu của xí nghiệp là và lợi nhuận của xí nghiệp là N R C= −. Giả sử một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm có hàm cầu trong một đơn vị thơi gian Q= Q P( ) và hàm chi phí sản xuất trong một đơn vị thời gian là C= C Q( ). Xác định mức thuế trên một đơn vị sản phẩm của xí nghiệp để thu được nhiều thuế nhất. Phương pháp giải: Giả sử mức thuế trên một đơn vị sản phẩm là t>0. Ta cần xác định t để Tmax. a) Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để tổng lợi nhuận và tổng thuế chính phủ thu được đạt giá trị cực đại. b) Muốn xí nghiệp sản xuất ít nhất là 40 sản phẩm thì mức thuế thu trên mỗi đơn vị sản phẩm là bao nhiêu?.
Công ty Vissan sản xuất thịt hộp và lạp xường phục vụ Tết âm lịch 2008. Nhà quản trị hỏi: Chọn tổ hợp sản xuất (Q Q1, 2) như thế nào để công ty Vissan đạt lợi nhuận tối đa. Tức sản xuất 9 đơn vị sản phẩm lạp xường và 2,5 đơn vị sản xuất thịt hộp.
Giả định công ty có sảm phẩmA , bán trên 2 thị trường khác nhau, với 2 mức giá khác nhau, hai hàm cầu khác nhau. Tìm mức sản lượng cần phân bố sao cho công ty đạt lợi nhuận tối đa?. Từ (*) ta có kết luận rằng: Để đạt lợi nhuận tối đa, số lượng sản phẩm A cần phân bố cho hai thị trường sao cho doanh thu biên tại hai thị trường bằng nhau và bằng chi phí biên.
Hỏi sinh viên này nên xem ca nhạc và mua bao nhiêu quyển sách trong 1 tháng để đạt dụng ích tối đa?. Kết luận: Sinh viên này đạt dụng ích tối đa khi xem ca nhạc 4 lần và mua 5 quyển sách trong 1 tháng. Lãnh đạo nhà trường nên phân bố sinh viên như thế nào để chi phí đào tạo thấp nhất?.
Trong kinh tế học người ta quan tâm đến xu hướng biến thiên của biến phụ thuộc y tại một điểm x0 khi biến độc lập x thay đổi một lượng nhỏ. Chẳng hạn, khi xét mô hình hàm sản xuất Q= f L( ) người ta thường quan tâm đến số lượng sản phẩm hiện vật tăng them khi sử dụng thêm một đơn vị lao động. Như vậy, đạo hàm f x′( )0 biểu diễn xấp xỉ lượng thay đổi giá trị của biến phụ thuộc y khi biến độc lập x tăng thêm một đơn vị.
Tại mỗi diểm L, MPPL cho biết xấp xỉ lượng sản phẩm hiện vật gia tăng khi sử dụng thêm một đơn vị lao động. Tại mỗi mức sản lượng Q, MR cho biết xấp xỉ lượng doanh thu tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm. Tại mỗi mức sản lượng Q, MC cho biết xấp xỉ lượng chi phí tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm.
Tại mỗi mức thu nhập Y, MPC là số đo xấp xỉ lượng tiêu dùng gia tăng khi người ta có thêm $1 thu nhập. Tại mỗi mức thu nhập Y, MPS là số đo xấp xỉ lượng tiết kiệm gia tăng khi người ta có thêm $1 thu nhập. Điều này có nghĩa là khi tăng mức sử dụng lao động hàng tuần từ 100 lên 101 thì sản lượng hàng tuần sẽ tăng thêm khoảng 0,25 đơn vị hiện vật.
Quy luật lợi ích cực biên giảm dần khi x càng lớn thì giá trị y- cận biên càng nhỏ, tức là My= f x′( ) là hàm số đơn điệu giảm (ít nhất theo nghĩa rộng). Khi đó ta có thể coi Q là hàm số là P và nhìn chung đây là hàm số nghịch biến vì giá bán càng cao thì nhu cầu càng thấp và ngược lại.
Hệ số co giãn của đại lượng Q theo đại lượng P đặt là:. Hệ số co giãn của cầu là:. Lợi nhuận của xí nghiệp là:. Vậy lợi nhuận lớn nhất xí nghiệp phải sản xuất ở mức:. sản phẩm trong một đơn vị thời gian. b) Muốn xí nghiệp sản xuất ít nhất 200 sản phẩm thì. Điều này có nghĩa là khi lượng cầu tăng thêm 1 đơn vị sản phẩm thì giá giảm trên một đơn vị sản phẩm là 2 đơn vị tiền. Ý nghĩa của vấn đề: Khi giá sản phẩm cao thì nhu cầu mua sản phẩm đó sẽ giảm, ngược lại khi giá sản phẩm xuống thấp hơn thì nhu cầu mua sẩn phẩm đó sẽ tăng lên.
Điều này có nghĩa là khi giá xe máy tăng thêm trên một đơn vị sản phẩm thì lượng cầu về xe máy giảm tương ứng 2 đơn vị sản phẩm. Ý nghĩa của vấn đề: Khi giá sản phẩm cao thì nhu cầu mua sản phẩm đó sẽ giảm, ngược lại khi giá sản phẩm xuống thấp hơn thì nhu cầu mua sản phẩm đó sẽ tăng lên. Qua biểu thức quan hệ lượng cung QS và giá P ta thấy rằng hàm cung là hàm đơn điệu tăng, nghĩa là khi giá P tăng thì lượng cung Qs cũng tăng theo.
Khi lượng ∆P đủ bé (∆ →P 0) thì thương trên là đạo hàm của hàm cầu tại Po và cũng là tốc độ tăng tức thời của hàm cầu Qs tại mức giá Po. Xác định mức số lượng tối ưu của nhà sản xuất, cho biết hàm doanh thu và hàm chi phí như sau:. Hàm lợi nhuận là:. Một nhà sản xuất tiêu thụ sản phẩm trên thị trường cạnh tranh với giá p=20USD. Hãy xác định mức sử dụng lao động cho lợi nhuận tối đa?. Hàm lợi nhuận của nhà sản xuất là:. Cho biết hàm lợi nhuận của nhà sản xuất như sau:. Trong đó: π là lợi nhuận của nhà sản xuất Q là mức sản lượng của lợi nhuận π Hãy chọn mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa?. Hệ số co giãn của cầu là:. Hệ số co giãn của cầu là:. Một xí nghiệp trong thị trường có hàm tổng chi phí như sau:. a) Nếu giá thị trường là 1200, xí nghiệp nên sản xuất tại mức sản lượng nào để đạt lợi nhuận tối đa? Mức lợi nhuận là bao nhiêu?. b) Tại mức giá trên, ở mức sản lượng nào xí nghiệp hòa vốn?. c) Xác định mức giá hòa vốn của xí nghiệp?. c) Xác định mức giá hòa vốn. Tìm mức sản xuất Q để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa, khi ấy giá bán và lợi nhuận đạt được là bao nhiêu?. - Hệ thống những khái niệm cơ bản của hàm số và giới hạn của hàm số, đặc biệt chú trọng vào việc trình bày các nội dung cơ bản về đạo hàm và phép toán vi phân.
Những khái niệm về hàm số và giới hạn nhấn mạnh vào việc sử dụng quan hệ hàm số để biểu diễn quan hệ giữa các biến số kinh tế. Trong kinh tế học, đạo hàm và vi phân được sử dụng để phân tích xu hướng thay đổi của các quyết định khi điều kiện ngoại sinh thay đổi. - Từ những vấn đề nghiên cứu khóa luận đưa ra các bài tập áp dụng để thấy được tầm quan trọng của toán học, đặc biệt là đạo hàm và vi phân trong việc giải quyết các bài toán kinh tế.
Thông qua khóa luận này, sẽ giúp các bạn sinh viên hiểu rằng đạo hàm và vi phân không chỉ chí ứng dụng quan trọng trong giải quyết các bài toán mà nó còn có nhiều ứng dụng trong đời sống và các ngành khoa học khác, đặc biệt là trong kinh tế.