ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TRONG VẬT LÝ

Tổng hợp các bài tập về việc ứng dụng đạo hàm và tích phân trong Vật Lý. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TRONG VẬT LÝ. Các định nghĩa về đạo hàm tích phân, Các dạng bài tập về đạo hàm tích phân được áp dụng trong Vật Lý như thế nào?

    GIẢI TÍCH I Ứng dụng đạo hàm, tích phân To live is to fight 1. Nguyễn Minh Nhật 2. Nguyễn Văn Sơn 3. Tống Văn Xuân 4. Nguyễn Đức Bình 2014 PRO XE QS1 5/24/2014 2 Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân. VíDụ2.42(trang152):Mộtbồnnướccóhìnhnónngượcvớibánkínhđáy 2m vàcao 4m . Nếunướcbơmvàobồnvớivậntốc 2 /m s thìvậntốcmứcnướcdânglênlàbaonhiêukhi mựcnướclà 2m . Lờigiải:    2m Hìnhvẽ H=4m r  h Gọi h làchiềucaomựcnước, r làbánkínhbềmặtnước, V làthểtíchnướchiệncó.Theo tínhchấtđồngdạngcủatamgiácdễdàngsuyrađược 4h r  4 h r    Tacó: 2 2 3 1 1 1 3 3 4 48 ( ) h V r h h h        3 2 . .(3 ) 48 48 dV dh dh h dt dt dt       Theogiảthiếttađãcó 2 dV dt  vàtại 2 h  thì: 2 2 2 (3.2 ). 0,64( / ) 48 dh dh m s dt dt       . VíDụ2.45:Điệntrởsuấtρtỷlệnghịchvớitínhdẫnđiệnvàđượcđotheođơnvịôm–mét (Ωm).Điệntrởsuấtcủakimloạiđãchophụthuộcvàonhiệtđộtheophươngtrình ( 20) 20 ( ) t t e      trongđótlànhiệtđộtheođộ o C,αgọilàhệsốnhiệtvà 20  điệntrở suấttại20 o C.Ngoạitrừnhiệtđộrấtthấp,điệntrởsuấtbiếnthiêngầnnhưtuyếntínhvới nhiệtđộ.VìvậynóichungcóthểxấpxỉbiểuthứctheokhaitriểnTaylorbậcnhấthoặcbậc haicủanótait=20. a)Tìmbiểudiễnxấpxỉtuyếntínhvàbậchaicủađiêntrởsuất. b)Vớiđồngtrabảngtacóα=0,0039/ o Cvà 20  =1,7×10 -8 Ωm. Lậpđồthịcủađiệntrởsuấtcủađồngvàxấpxỉtuyếntính,bậc2với-250 o C≤t≤1000 o C. c)Vớigiátrịnàocủat,xấpxỉtuyếntínhkhônglệchquábiểudiễnmũ1%. 3 Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân. Giải: a)TheokhaitriểnTaylortạit=20tacó:     20 ( ) 1 20 t t       làbiểudiễnxấpxỉtuyếntính.   2 20 1 ( 2 ( ( 20)) 2 0) ! t t t               làbiểudiễnbậc2củađiệntrởsuất. b)Đồthịcủađiệntrởsuất:  Đồthịbiểudiễnchoxấpxỉtuyếntínhcủađiệntrởsuất    Đồthịbiểudiễnchoxấpxỉbậchaicủađiệntrởsuất:  4 Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân.   c)Theođềbàicónghĩalàsaisố     2 1 20 0,01 2! t R       20 0,02 16,26 56,26 t t         ( o C)  Vídụ2.46.Nếusóngnướcvớibướcsóng L chuyểnđộngdọctheothânnướcđộsâu$d$ nhưHình2.34thì 2 2 tanh , 2 gL d v L    với v làvậntốctruyềnsóng. a) Đốivớinướcsâu,chỉrarằng 2 gl v    b) Đốivớinướcnông,dùngkhaitriểnMaclaurinvới tanh đểchỉrarằng .v gd  Như vậy,vớinướcnông,vậntốctruyềnsóngđộclậpvớibướcsóng. c) SửdụngđánhgiásaisốtrongkhaitriểnTaylorđểchỉrarằng,nếu 10L d thìước lượng v gd làtốttrongkhoảng 0,024gL  Hìnhvẽ:   L   d Giải : a) Khinướcsâutứclà d   hay 2 d L     Mặtkhác lim 1. x x x x x e e e e        5 Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân. Nênkhi d   thì 2 tanh 1 d L    Từđósuyra 2 gL v     b) Tacó: 2 2 2 2 2 sinh sinh .cosh cosh .sinh cosh sinh 1 ( ) cosh cosh cosh cosh ( ) x x x x x x x tanh x x x x x            Vậy 2 1 tanh (0) 1. cosh (0)     SửdụngkhaitriểnMaclaurinchohàm$\tanh$tathuđược: tanh'(0) 1 tanh tanh(0) . ( ) 0 . ( ) ( ) 1! 1! x x o x x o x x o x          Suyrakhi 0x  thì tanh x x  Ápdụngvới 2 0( 0) d x d L     tađược: c) 2 2 2 .tanh . 2 2 gL d gL d v gd v gd L L           d) SửdụngđánhgiásaisốtrongkhaitriểnTaylortacó 2 2 1 ( ) . 2! | | M R x x   2 ( )| |M Sup f x    Trongđó ( ) tanhf x x  Tasẽkhảosát ( ) | | f x  đểtìm 2 M  2 3 ( ) ( ( )) (cosh ) 2cosh .sinhf x f x x            4 2 3 ( ) | 2 3cosh .sinh cosh .cosh | ( ) f x x x x x         6 Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân. 2 2 2cosh (1 3tanh )x x     Do 2 2 10 . 10 5 d d L d L d         0, . 5 ( ) x     Do tanh x làhàmđồngbiếnnên 2 1 3tanh 1 3tanh( ) 0,0696 0 5 x        Nên ( )| |f x  làhàmđồngbiến Vậy 3 ( ) 2cos ( )siS n ( ) 0, u 768 5 p 5 | |f x h        Suyra 2 2 2 1 0,768 | ( ) | 0,15154 2! 2 M R x x x    Suyra 2 v tốttrongkhoảng 1 0,15154 . 0,024 2 2 Ld Ld R Ld      Vídụ2.48.Biếtrằng,cườngđộđượcchiếusángtừmộtnguồnsángnàođótỷlệthuậnvới cườngđộcủanguồnvàtỷlệnghịchvớibìnhphươngkhoảngcáchđếnnguồn.Hainguồn sángcườngđộnhưnhau,đặtcáchnhau 10 tácđộnglênđiểmPtrênđoạnABcáchđódmét. a)Tìmbiểuthứcchocườngđộđượcchiếusáng ( )I x tạiđiểmP. b)Khi 5 ,d m chứngtỏrằng ( )I x cựctiểutại 5,x  tứclàkhiPlàtrungđiểmAB. c)Xétlạicâua),b)trongtrườnghợp 10,d  chứngtỏcựctiểukhôngđạtđượctạitrung điểm. Hìnhvẽ A x P B  d   10m 7 Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân. Giải : a) Gọicườngđộ2nguồnsánglàIthì 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) (10 ) (10 ) ( ) kI kI I x I x I x kI x d x d x d x d              Đặt 5x X  thì ( 5,5)X   và ( )I kIf X với   f X là 2 2 2 2 1 1 ( 5) ( 5) X d X d       Tasẽđikhảosát ( )f X   2 2 2 2 2 2( 5) 2( 5) '( ) [( 5) ] [( 5) ] X X f X X d X d            Đặt 2 2 2 2 ( 5) , ( 5) A X d B X d      Thì  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 '( ) [( 5) ( 5) ] [ ( ) 5( )( )] 2 [ ( ) 5( 20 )( )] 2 [100( ) ( )] f X X A X B X A B A B A B A B A B X A B X A B A B X A B A B A B                       Tacó 2 2 2 50 2A B X d    và 2 2 4 2 2 4 4 2 2 4 ( 5) 2 ( 5) ( 5) 2 ( 5) A B X d X d X d X d            4 4 2 2 2 4 4 2 2 2 4 [( 5) ( 5) ] 2 [( 5) ( 5) ] 2 (2 300 1250) 2 (2 50) 2 ) X X d X X d X X d X d                 Từđótacó: 2 2 2 2 4 2 2 4 2 4 2 2 4 2 100( ) ( ) 200 5000 200 [2 (300 4 ) 2 100 1250] 2 (100 4 ) (3750 2 100 ) A B A B X d X d X d d X d X d d                     Trongtrườnghợp 5d  tacó: 8 Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân. 2 2 4 2 2 100( ) ( ) 2( 100 2500) 2[ 50(1 2)][ 5 2( 2 1)][ 5 2( 2 1)] A B A B X x X X X                 Vàtacóđược 2 2 2 4 [ 50(1 2)][ 5 2( 2 1)][ 5 2( 2 1)] ( ) X X X X f X A B           ( ) 0 f X   khi 0X  hoặc 5 2( 2 1) X     Tacóbảngbiếnthiên X -5 5 2( 2 1)  0 5 2( 2 1) 5 F’(X)  + 0 - 0  + 0 - F(X)   0,048 0,04 0,048 Từbảngbiếnthiêntarútrađượcgiátrịcựctiểucủa ( )I x đạtđượckhi 0X  haycũngnhư 5x   b) Xétvới 10d  thì: 2 2 4 2 2 4 2 4 2 4 2 100( ) ( ) 2 (100 4(10) ) (3750 2(10) 100(10) ) 2 500 6250 2( 250 3125) 0 ( 5,5) A B A B X X X X X X X                        Nhưvậy 4 2 2 2 4 ( 250 3125) (X) X X X f A B       ( ) 0 f X   chỉkhi 0.X  Tacóbảngbiếnthiên: X -5 0 5 f’(X)  + 0 - f(X)  f(0) Từđâytasuyravới 10d  thìgiátrịcựctiểucủa ( )I x khôngđạtđượctạitrungđiểm.   9 Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân. Vídụ2.52.Khicábơivớitốcđộtươngđối v sovớinước,nănglượngsảnracủanótrênmột đơnvịthờigianlà 3 .v Ngườitathấyrằng,cádicưcốgắngcựctiểuhóanănglượngtổngthể đểbơimộtkhoảngcáchnhấtđịnh.Nếuvậntốcdòngnướclà a vàcábơingượcdòngnước ( )a v thìthờigiancầnbơiđượckhoảngcáchLlà L v a vànănglượngsảnralà 3 ( ) . , L E v qv v a   trongđó q làhằngsốtỷlệ. a) TìmgiátrịvlàmcựctiểuE. b) VẽđồthịcủaE (Kếtquảnàyđượckiểmnghiệmbằngthựcnghiệm:Cádicưbơingượcdòngnướcvới vậntốcgấprưỡilầnvầntốcdòngnước). Giải : 3 ( ) . . ( ) v E v qL qL f v v a     Takhảosát 3 ( ) v f v v a    2 2 3 2 2 3 2 3 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) a v v v v a v f v v a v a         ( ) 0 f v   khi 1,5v a  Khi v a   thì ( )E v   Khi v   thì ( )E v   .Khi 1,5x a  thì 3 27 ( ) 4 E v qa  .Ta cóbảngbiếnthiên: v a 1,5a  f’(v)  - 0 + f(v)   3 27 4 a  Dựavàobảngbiếnthiêntathấykhi 1,5v a thì ( )E v đạtgiátrịcựctiểu. c) ĐồthịE: 10 Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân.  Vídụ2.53.Đểkhảosátvậntốctruyềnâm 1 v ởmặttrên, 2 v ởmặtdướicủamạchđádộdày h (biếtrằng 1 2 v v ),ngườitachonổmìntạiđiểmPvàtínhiệughilạitạiđiểmQ,cách nhau$l$.TínhiệuđầutiêntruyềnquabềmặtQmất 1 T giây.Tínhiệutiếptheođược truyềntớiđiểmR,từRtớiS(R,Sthuộclớpdưới),rồitừSđếnQmất 2 T giây.Tínhiệu thứbaphảnquamặtdướitrungđiểmOcủađoạnRSvàmất 3 T giâyđểđếnQ. a) Biểudiễn 1 2 3 , ,T T T theo 1 2 , , , .l v v   b) Chứngtỏrằng, 2 T cựctiểukhi 1 2 sin . v v    c) Giảsử 1 2 3 1 , 0,26 , 0,32 , 0,34 .l km T s T s T s    Tìm 1 2 ,v v và .h  Hìnhvẽ: P v 1  Q         h   R v 2 S  Giải: a)Tacó 1 1 1 PQ l T v v    [...]... Chiều cao của phần nổi của vật là  k , chỉ ra công thức tính trọng lượng vật.  Chứng tỏ    0 rằng, tỷ lệ phần trăm của thể tích vật nổi trên mặt chất lỏng là 100 l   l b) Khối lượng riêng của băng và nước biển lần lượt là  917kg / m3 và 1030kg / m3 Tính tỷ  lệ phần trăm thể tích băng nổi trên mặt nước biển.  Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân 18 Giải: k  a) Trọng  lượng của vật là :  g m  g 0... Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân 13 Hay  S   0,034 R 2 x 0,6     BÀI TẬP CHƯƠNG II.  Bài 40. Cho 1200cm 2 vật liệu để làm một chiếc hộp đáy là hình vuông và không có nắp, tìm  thể tích lớn nhất có thể của hộp.    x  Hình vẽ:    h      Giải: Gọi  x là độ dài cạnh đáy  và h là chiều cao của hộp.   Từ đó nhờ vào giả thiết  4hx  x 2  1200 ta có mối quan hệ giữa  h và x  là:  Giải tích 1: Ứng. .. tính chất của trọng tâm ta thấy  AE  GE  GF Nên tam giác AIK đồng dạng ABC với tỷ lệ  1: 3  suy ra tỷ lệ về diện tích sẽ là 1: 9  đồng nghĩa với  S2 : S1  1: 9   Ta thu được:  Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân 24 ( ( (   1.cos30 1 3 ) 11  11   8 96 2 Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân 1 1 1 1   3  )   r12 1  3 1 3 3 1 2 3 ))   r ( 1 1 S  S1  3S 2  3S3    r12  3 2 r12... C  2 s 2  R 2 C  2 As  R 2    Rs  0 3    Rs 2  Thay vào ta được kết quả của nguyên hàm:    r (r  R) 2 r 2  s2 dr  (1 r 3 2 2  ( R)r  r 2  R 2 3 Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân ) r 2  s 2  Rs 2  dr r 2  s2 21 Do tích phân  r (r  R) 2 r 2  s2 dr  dr  r 2  s2 (1 r 3 2 là tích phân quen thuộc trong bảng nên ta dễ dàng tính được.  2  ( R) r  s 2  R 2 3 ) r... Ví dụ 3.46. Việc thở là những vòng tuần hoàn, mỗi vòng tính từ lúc bắt đầu hít vào đén lúc  kết thúc thở ra, thường kéo dài  5s Vận tóc cực đại của khí là  V  l / s, vì thế nó được mô hình  2 t hóa bởi  v(t )  V sin Dùng mô hình này để tính thể tích khí K hít vào phổi tại thời điểm t,  5 áp dụng với V  0,5, t  2  Khi nào trong phổi có nhiều khí nhất?  Giải: Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân 17 Ta có: t 2 x 5 2 t 5V 2 t dx... chòm sao chỉ phụ thuộc vào khoảng cách r từ tâm của chòm sao. Nếu mật độ chòm sao nhận  được là y(s), trong đó s là khoảng cách hai chiều quan sát được từ tâm của chòm sao và x(r)  là mật đô thực, có thể chứng minh rằng  R y (s)   s Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân 2r 2 r s 2 x ( r )d (r )   20 1 Nếu mật độ thực của các ngôi sao là  x(r )  ( R  r ) 2 ,tìm mật độ nhận được y(s)  2 Giải: Ta sẽ tính nguyên hàm    r ( R  r )2 r 2  s2 dr Như vậy ta sẽ có : ... theo bức tường. Khoảng cách từ đỉnh của thang tới đất thay đổi với tốc độ bao nhiêu khi góc    giữa thang và mặt đất là  30 và thay đổi với tốc độ  2rad / s ?  Hình vẽ:      x  20m  φ  Giải: Đặt  x là khoảng cách từ đỉnh thang tới đất thì ta có :  x  20sin  x  20sin     dx d sin   20   dt dt  dx d    20.cos  dt dt Tại thời điểm     6 thì vốc tốc góc biến thiên với tốc độ  dx   20cos 2  20 3   dt 6 Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân d  2 Thay vào ta thu được ... Thiết diện ngang tại chỗ cách đỉnh  x(m) là tam giác đều  cạnh  x  m  Tính thể tích của lăng.  Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân 22 Giải: Ta có:    V   V  3 2 x x  4 20  0 3 2 3 x3 20 2000 3 3 x dx   m   4 4 3 0 3 Bài 27:Chất điểm chuyển động theo một đường thẳng sau t giây đạt được vận tốc  v  t 2e t m / s Tính quãng đường nó đi dược trong t giây đầu tiên?  Giải: Ta có  S  v(t )t   S  2 t... Ví dụ 3.48. Theo định luât Archimede, lực đẩy tác động lên vật nhúng một phần hay toàn bộ  vào chất lỏng bằng trọng lượng của chất lỏng mà vật chiếm chỗ. Vật, vật có khối lượng riêng  0 nhúng một phần trong chất lỏng với khối lượng riêng   l (Xem hình) sẽ chịu một lực đẩy  0 F  g l  S ( y )dy, trong đó  g là gia tốc trọng trường,  h là mức ngập nước tối đa của vật;   h S ( y ) là diện tích thiết diện của mặt cắt bởi mặt song song với mặt chất lỏng tại độ sâu ... của hình thang , như vậy nó cũng là độ sâu của mực nước.  Ta có :  Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân 16 V  S ABCD 10  ( AB  CD) x AB  0,3 10  5   2 x Mà theo tính chất đồng dạng ta có  x 50 8   AB  x   AB 80 5 8  V  ( x  0,3) x.5  8 x 2  1,5 x   5  dV dx dx dx  16 x  1,5  (16 x  1,5)   dt dt dt dt Khi độ sâu của nước là  0,3m tức  x  0,3 và luôn có  dV  0, 2 thì ta rút ra được :  dt dx 0,2