2 Nửa nhóm liên tục mạnh có nhiễu và ứng dụng trong phương trình
2.4Phương trình tiến hoá đặt chỉnh
Trong phần 1.3.4, chúng ta đã sử dụng phương pháp xấp xỉ thứ nhất của Lyapunov trong việc nghiên cứu phương trình vi phân có nhiễu. Chúng ta biết rằng toán tử tuyến tính ở vế phải của các phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu đóng một vai trò hết sức quan trọng đối với nghiệm của phương trình. Để mở rộng các kết quả ở mục 1.3.4 cho phương trình vi phân trừu tượng trong không gian Banach (phương trình tiến hoá), chúng ta cần xét phương trình tiến hoá đặt chỉnh..
Xét bài toán Cauchy trừu tượng
(ACP) . u(t) = Au(t) ∀t ≥0, u(0) =x
trong đótlà biến độc lập, biểu diễn cho thời gian,u(.)là hàm nhận giá trị trong không gian BanachX, A:D(A)⊂X →X là toán tử tuyến tính,x∈X là giá trị ban đầu. Định nghĩa 2.4.1. Hàm u: R+ →X được gọi là nghiệm cổ điển (classical solution) của bài toán (ACP) nếu u khả vi liên tục, u(t) ∈ D(A) với mọi t ≥ 0 và thoả mãn
(ACP) .
Mệnh đề 2.4.1. (Xem [6], trang 110.) Cho A, D(A) là toán tử sinh của nửa nhóm
liên tục mạnh T(t)t≥0. Khi đó với mọi x ∈ D(A), hàm u : t 7→ T(t)x là nghiệm duy nhất của bài toán (ACP).
Định nghĩa 2.4.2. Hàm u:R+→X được gọi là nghiệm suy rộng (mild solution) của bài toán (ACP) nếu Rt
0 u(s)ds∈D(A) với mọi t≥0 và u(t) =A t Z 0 u(s)ds+x.
Định lý 2.4.1. Cho(A, D(A)) là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T(t))t≥0. Khi đó, với mọi x∈X, ánh xạ quỹ đạo
u:t 7→T(t)x
là nghiệm suy rộng duy nhất của bài toán (ACP) ứng với A. Chứng minh. Áp dụng mệnh đề 2.2.2, ta có Rt 0 T(s)xds ∈ D(A) với mọi x ∈ X và T(t)x−x=A t R 0
bài toán(ACP). Ta chỉ cần chứng minh tính duy nhất của nghiệm không với điều kiện ban đầu x = 0. Thật vậy, giả sử u là nghiệm suy rộng của (ACP) với điều kiện ban đầu x= 0. Lấy t >0, với mọi s ∈(0, t), ta có:
d ds(T(t−s) s Z 0 u(r)dr) =T(t−s)u(s) + dT(t−s) ds s Z 0 u(r)dr =T(t−s)(u(s)−A s Z 0 u(r)dr) = 0. Lấy tích phân từ 0 đến t ta có T(t−s) s Z 0 u(r)dr s=t s=0 = 0. Suy ra Rt 0
u(r)dr = 0. Lấy đạo hàm theo t ta có u(t) = 0 với mọi t > 0. Mà u(0) = 0
nên u= 0 với mọi t≥0.
Trước khi trình bày định lý về mối liên hệ giữa tính chất nghiệm u(., x)và toán tử A, D(A), ta cần có định nghĩa và mệnh đề sau.
Định nghĩa 2.4.3. (Lõi của toán tử)
Không gian con D của miền xác định D(A) của toán tử A:D(A)⊂X →X được gọi là lõi của A nếu D trù mật trongD(A)với chuẩn đồ thị sau: ||x||A:=||x||+||Ax|| với mọi x∈D(A).
Mệnh đề 2.4.2. (Xem [6], trang 39.) Giả sử (B, D(B))là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T(t))t≥0 trong không gian Banach X. Không gian con D ⊂ D(B) trù mật trong X đối với chuẩn đã cho trên X và bất biến dưới tác động của (T(t))t≥0 là lõi của B.
Định lý 2.4.2. (Định lý về mối liên hệ giữa tính chất nghiệm của bài toán (ACP) và
toán tử (A,D(A)))
Cho A:D(A)⊂X →X là toán tử đóng. Xét bài toán (ACP)
. u(t) =Au(t) ∀t≥0, u(0) =x.
Khi đó các tính chất sau tương đương
(i) A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh.
(iii) Với mọi x ∈ D(A), tồn tại duy nhất nghiệm u(., x) của bài toán (ACP), A có miền xác định trù mật và với mọi dãy { xn} +∞
n=1 ⊂D(A) : lim
n↓+∞xn = 0 tồn tại nghiệm
u(t, xn) sao cho: lim
n↓+∞u(t, xn) = 0 đều trên [0, t0]. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Chứng minh. (i)⇒ (ii): hiển nhiên.
(ii) ⇒ (iii) Đầu tiên ta chỉ ra với mọi x ∈ X tồn tại duy nhất nghiệm suy rộng của bài toán (ACP). Vì ρ(A) 6= ∅ nên tồn tại λ ∈ ρ(A). Đặt y := R(λ, A)x suy ra y ∈ D(A). Theo giả thiết, tồn tại nghiệm u(., y) với giá trị ban đầu u(0) = y. Đặt v(t) := (λ−A)u(t, y)∈D(A). Suy rav(t)là nghiệm suy rộng của bài toán (ACP) với giá trị ban đầu x= (λ−A)y
Chứng minh tính duy nhất.
Giả sử u(.) là nghiệm suy rộng của bài toán (ACP) với giá trị ban đầu x = 0. Đặt v(t) = t R 0 u(s)ds. Suy ra v.(t) = u(t) = A t R 0 u(s)ds = Av(t) và v(0) = 0. Vậy v(t) là nghiệm của bài toán (ACP) với giá trị ban đầu x = 0. Nên v(t) = 0 với mọi t ≥ 0. Suy ra u(t) = 0 với mọi t≥0.
Chứng minh A xác định trù mật.
Với mọi x∈X tồn tại duy nhất nghiệm suy rộngu(t, x) của bài toán(ACP). Suy ra
t Z 0 u(s, x)ds∈D(A). Ta có lim t↓0 1 t t R 0 u(s, x)ds =u(0, x) =x. Vậy D(A) =X.
Để chứng minh sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào điều kiện ban đầu ta xét:
Φ : X →C([0, t0], X), t0 cố định, t0 ≥0
x7→u(., x)là nghiệm suy rộng của bài toán (ACP) Chứng minh Φ đóng.
Giả sử xn→x, Φ(xn)→y ∈C([0, t0], X). Với mọi t∈[0, t0] ta có:
D(A) t Z 0 u(s, xn)ds n→→+∞ t Z 0 y(s)ds và A t Z 0 u(s, xn)ds=u(t, xn)−xn n→+∞ → y(t)−x.
Mà A đóng nên Rt 0 y(s)ds ∈D(A) và y(t)−x =A t R 0 y(s)ds. Vậy y(t) =A t R 0 y(s)ds+x với mọi t ∈ [0, t0]. Suy ra y(.) là nghiệm suy rộng của bài toán (ACP) với điều kiện ban đầu x nếu với t > t0 ta đặt y(t) := u(t−t0, y(t0)). Suy ra y(t) = u(t, x) với mọi t ∈ [0, t0]. Vậy Φ(x) = y hay Φ đóng. Theo định lý đồ thị đóng Φ liên tục. Vậy nếu xn → 0 thì Φ(xn) → 0 hay u(t, xn) → 0 trong C([0, t0], X). Suy ra u(t, xn) → 0 đều theo t trên [0, t0].
Chứng minh (iii)⇒(i)
Giả sử có (iii), tồn tại toán tử T(t) ∈ L(X) xác định bởi: T(t)x := u(t, x) với mọi x∈D(A), với mọi t≥0. Ta có thể giả sử sup
06t61kT(t)k<∞.Vì nếu không, giả sử tồn tại {tn}n∈N ⊂ [0, t0] sao cho lim
n↓+∞kT(tn)k = ∞. Ta có thể chọn xn ∈ D(A) sao cho
lim
n↓+∞xn = 0 và kT(tn)xnk > 1. Điều này mâu thuẫn với (iii) vì u(tn, xn) = T(tn)xn. Vậy ||T(t)||bị chặn đều với mọi t∈[0,1].
Ta có t7→T(t)x liên tục với mọi x∈D(A), D(A) =X nên t7→T(t)x liên tục với mọi x∈X, theo bổ đề 2.1.1. Với mọi x∈D(A) ta có
T(t+s)x=u(t+s, x)
T(t)T(s)x=u(t, T(s)x) = u(t, u(s, x)).
Suy ra T(t+s) =T(t)T(s)với mọi t, s≥0. Vậy(T(t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên X.
Chứng minh A là toán tử sinh của (T(t))t≥0.
Gọi (B, D(B)) là toán tử sinh của (T(t))t≥0. Hiển nhiên A ⊂ B. D(A) là T(t)−bất biến, D(A) =X. Suy raD(A) là lõi củaB, theo mệnh đề 2.4.2. Suy raD(A) =D(B)
theo chuẩn đồ thị||.||B. Mà A đóng nên A =B.
Để thuận tiện cho việc sử dụng trong mô hình ứng dụng, tiếp theo chúng tôi xin trình bày tóm tắt một số khái niệm và kết quả liên quan đến bài toán Cauchy đặt chỉnh. Các kết quả này đã được trình bày cụ thể ở [6], trang 113.
Định nghĩa 2.4.4. (Bài toán Cauchy đặt chỉnh) Bài toán Cosi trừu tượng
(ACP) . u(t) = Au(t) ∀t ≥0, u(0) =x .
với toán tử đóng A : D(A) ⊂ X → X được gọi là đặt chỉnh nếu với mọi x ∈ D(A), tồn tại nghiệm duy nhấtu(., x)của (ACP), A có miền xác định trù mật, đồng thời với mọi dãy {xn}∞ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
n=0 ⊂D(A) : lim
n↓+∞xn= 0, ta có: lim
Mệnh đề 2.4.3. Bài toán (ACP) giải được khi và chỉ khi A là toán tử sinh của nửa
nhóm liên tục mạnh trên X. Trong trường hợp này nghiệm của bài toán (ACP) cho bởi u(t) =T(t)x, t≥0.
Nhận xét 1: Mệnh đề này là hệ quả trực tiếp của định lý 2.4.2 Nhận xét 2: Xét bài toán . u(t) =Au(t) +Bu(t) ∀t≥0, u(0) =x, (2.14)
ở đó A là toán tử tuyến tính không giới nội, B là toán tử tuyến tính giới nội. Nếu A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh thì theo định lý 2.3.1 (định lý về nhiễu bị chặn), toán tử A+B cũng sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh và do đó bài toán 2.14 là đặt chỉnh.
Để chỉ ra khả năng ứng dụng của lý thuyết nửa nhóm vào việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân, ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.4.4. Xét phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Banach X
.
x(t) =Ax(t), x(t)∈X, t>0; (2.15)
với Alà toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T(t))t≥0. Khi đó ta có các tính chất sau
(i) Nếu ||T(t)||6M với mọi t≥0 thì nghiệm tầm thường của 2.15 là ổn định đều. (ii) Nếu lim
t↓+∞kT(t)k= 0 thì nghiệm tầm thường của 2.15 là ổn định mũ đều.
Như vậy để nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân tuyến tính với toán tử vi phân là toán tử hằng không giới nội, ta đưa về nghiên cứu tính ổn định của nửa nhóm liên tục mạnh sinh bởi toán tử đó. Điều này được nghiên cứu rất cụ thể trong [7], V.3. Sau đây, chúng tôi đưa ra một ứng dụng của phương pháp nửa nhóm vào phương trình truyền sóng.Toàn bộ phần này được trích dẫn từ tài liệu [8], chương 7.