Sự hội tụ của dãy lặp hỗn hợp cho họ ánh xạ thỏa mãn điều kiện (em) trong không gian hilbert

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TẠP CHÍ KHOA HỌC HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION JOURNAL OF SCIENCE KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ NATURAL SCIENCES AND TECHNOLOGY ISSN: Vol 14, No 03 (2017): 76-87 1859-3100 Tập 14, Số (2017): 76-87 Email: tapchikhoahoc@hcmue.edu.vn; Website: http://tckh.hcmue.edu.vn SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY LẶP HỖN HỢP CHO HỌ ÁNH XẠ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN (E m) TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Trương Cẩm Tiên, Nguyễn Trung Hiếu* Khoa Sư phạm Toán-Tin – Trường Đại học Đồng Tháp Ngày Tòa soạn nhận bài: 21-11-2016; ngày phản biện đánh giá: 27-12-2016; ngày chấp nhận đăng: 24-3-2017 TÓM TẮT Trong báo này, thiết lập định lí hội tụ dãy lặp hỗn hợp cho họ ánh xạ thỏa mãn điều kiện (E m) khơng gian Hilbert Từ định lí này, chúng tơi suy số kết hội tụ dãy lặp hỗn hợp cho ánh xạ thỏa mãn điều kiện (E m) Đồng thời, xây dựng ví dụ minh họa cho kết đạt Từ khóa: dãy lặp hỗn hợp, ánh xạ thỏa mãn điều kiện (E m), không gian Hilbert ABSTRACT Covergence of hybird iteration for a family of mappings satisfying condition (E m) in Hilbert spaces In this paper, a convergence theorem of hybird iteration for a family of mappings satisfying condition (E m) in Hilbert space is stated Some results for the convergence of hybird iteration for mappings satisfying condition (E m) in Hilbert spaces are derived from this theorem In addition, an example is provided to illustrate the results obtained Keywords: hybird iteration, mapping satisfying condition (E m), Hilbert space Giới thiệu Trong Lí thuyết điểm bất động, vấn đề xấp xỉ điểm bất động khảo sát hội tụ cho ánh xạ không giãn thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều tác giả ngồi nước Chìa khóa quan trọng xấp xỉ dãy lặp Một dãy lặp cho việc xấp xỉ điểm bất động ánh xạ không giãn dãy Mann Năm 1979, Reich [1] khảo sát số điều kiện đủ cho việc xấp xỉ điểm bất động ánh xạ không giãn dãy lặp Mann Lưu ý rằng, hội tụ dãy lặp Mann điểm bất động ánh xạ không giãn [1] hội tụ yếu Do đó, nhiều tác giả quan tâm xây dựng * Email: ngtrunghieu@dthu.edu.vn 76 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Trương Cẩm Tiên tgk dãy lặp tổng quát dãy lặp Mann cho hội tụ dãy lặp hội tụ mạnh Năm 2003, Nakajo Takahashi [2] giới thiệu loại dãy lặp gọi dãy lặp hỗn hợp, đồng thời thiết lập hội tụ mạnh cho ánh xạ không giãn không gian Hilbert Năm 2008, Takahashi cộng [3] mở rộng kết [2] cho họ ánh xạ không giãn không gian Hilbert Bên cạnh việc xây dựng dãy lặp tổng quát, nhiều tác giả nghiên cứu mở rộng ánh xạ không giãn Năm 2008, Suzuki [4] giới thiệu mở rộng ánh xạ không giãn gọi điều kiện (C) thiết lập số kết ban đầu hội tụ cho điều kiện (C) Năm 2011, Garcia-Falset cộng [5] giới thiệu tổng quát điều kiện (C) gọi điều kiện ( E ) Đồng thời, số kết ban đầu hội tụ cho điều kiện ( E ) thiết lập [6] Trong báo này, chúng tơi thiết lập định lí hội tụ dãy lặp hỗn hợp cho họ ánh xạ thỏa mãn điều kiện (E m) không gian Hilbert Từ định lí này, chúng tơi suy số kết hội tụ dãy lặp hỗn hợp cho ánh xạ thỏa mãn điều kiện (E m) Đồng thời, chúng tơi xây dựng ví dụ minh họa cho kết đạt Trước hết, chúng tơi trình bày số khái niệm kết sử dụng viết Bổ đề 1.1 ([7], Lemma 1.1) Cho H khơng gian Hilbert thực Khi đó, với u, v Ỵ H l Ỵ [0,1], ta có (1) || u - v||2 = || u||2 + || v||2 - u, v = || u||2 - || v||2 - u - v, v (2) || l u + (1 - l )v||2 = l || u||2 + (1 - l )|| v||2 - l (1 - l )|| u - v||2 Bổ đề 1.2 ([8], p.338) Cho H không gian Hilbert thực C tập lồi đóng khác rỗng H Khi đó, với x Ỵ H , tồn phần tử PC x Î C cho || x - PC x || = inf{|| x - y || : y Ỵ C } Ta gọi ánh xạ PC phép chiếu từ H lên C Bổ đề 1.3 ([8], Lemma 1.3) Cho H không gian Hilbert thực C tập lồi đóng khác rỗng H Khi đó, z = PC x x - z , z - y ³ với y Ỵ C 77 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 14, Số (2017): 76-87 Định nghĩa 1.4 ([5], p.185) Cho H không gian Hilbert thực, C tập khác rỗng H T : C ® C ánh xạ Khi đó, ánh xạ T gọi ánh xạ không giãn C || T x - T y|| £ || x - y|| với x, y Ỵ C Định nghĩa 1.5 ([5], Definition 2) Cho H không gian Hilbert thực, C tập khác rỗng H T : C ® C ánh xạ Khi đó, ánh xạ T gọi thỏa mãn điều kiện (E m) C tồn m ³ cho || x - T y|| £ m|| x - T x||+ || x - y|| với x, y Ỵ C Nhận xét 1.6 ([5], p.186) Nếu T ánh xạ khơng giãn C T thỏa mãn điều kiện (E m) C với m = Ví dụ sau chứng tỏ tồn ánh xạ thỏa mãn điều kiện (E m) khơng ánh xạ khơng giãn Ví dụ 1.7 Cho C = [0, 2] tập ¡ ánh xạ T : C ® C xác định ìï x ¹ Tx = ïí ïỵï x = Khi đó, T ánh xạ thỏa mãn điều kiện (E m) với m = T không ánh xạ không giãn Cho ánh xạ T : C ® C kí hiệu F (T ) = {x Ỵ C : T x = x } tập hợp điểm bất động ánh xạ T Ta có định nghĩa sau Định nghĩa 1.8 ([9], Definition 2.1) Cho H không gian Hilbert thực, C tập khác rỗng H T n : C ® C ánh xạ thỏa mãn F = ¥ I n=1 F (T n ) ặ Khi ú, h {T n } gọi đóng với {x n } dãy C cho lim x n = x v nđ Ơ lim | | x n - T n x n || = thỡ x ẻ F nđ Ơ Cỏc kt Trước hết, chúng tơi thiết lập số tính chất tập F (T ) với T ánh xạ thỏa mãn điều kiện (E m) không gian Hilbert thực 78 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Trương Cẩm Tiên tgk Mệnh đề 2.1 Cho H không gian Hilbert thực, C tập đóng H T : C ® C ánh xạ thỏa mãn điều kiện (E m) Khi đó, F (T ) tập đóng C Hơn nữa, C tập lồi F (T ) tập lồi Chứng minh Lấy {z n } Ì F (T ) cho lim z n = z Ỵ C Do T ỏnh x tha nđ Ơ iu kin (E m) nên || z - T z || = || z - z n + z n - T z|| £ || z n - z || + || z n - T z|| £ || z n - z|| + m|| z n - T z n || + || z n - z || = 2|| z n - z || Do lim z n = z nên || z - T z||= Điều có nghĩa z = T z hay z Ỵ F (T ) Vy nđ Ơ F (T ) l úng Gi sử C tập lồi Ta chứng minh F (T ) tập lồi Với l Ỵ [0,1] x , y Ỵ F (T ), ta chứng minh z = l x + (1 - l )y Î F (T ) Thật vậy, T ánh xạ thỏa mãn điều kiện (E m) nên || x - T z|| £ m|| x - T x || + || x - z||= || x - z||= || x - l x - (1 - l )y||= (1 - l )|| x - y||, || y - T z|| £ m|| y - T y || + || y - z ||= || y - z ||= || y - l x - (1 - l )y ||= l || x - y || Do đó, sử dụng Bổ đề 1.1(2) ta || z - T z ||2 = | | l (x - T z ) + (1 - l )(y - T z ) ||2 = l || x - T z ||2 + (1 - l )|| y - T z ||2 - l (1 - l ) || x - y ||2 £ l (1 - l )2 | | x - y ||2 + (1 - l )l || x - y | |2 - l (1 - l ) || x - y | |2 = Điều dẫn đến z = T z hay z Ỵ F (T ) Vậy F (T ) tập lồi  Mệnh đề 2.2 Cho H không gian Hilbert thực, C tập đóng H , T : C ® C ánh xạ thỏa mãn điều kiện (E m) dãy {x n } Ì C cho lim x n = x n® ¥ lim || x n - T x n || = Khi ú, x ẻ F (T ) nđ ¥ 79 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 14, Số (2017): 76-87 Chứng minh Do T thỏa mãn điều kiện (E m) C nên || x n - T x || £ m|| x n - T x n | | + || x n - x || Kết hợp với giả thiết lim xn = x nđ Ơ lim || x n - T x n || = 0, v nđ Ơ ta suy lim || x n - T x || = hay lim x n = T x Kết hợp với lim x n = x tính nht ca gii nđ Ơ nđ Ơ nđ Ơ hn ta x = T x Do đó, x Î F (T )  Định lí sau mở rộng [3, Theorem 3.3] cho họ ánh xạ thỏa mãn điều kiện (E m) không gian Hilbert thực Định lí 2.3 Cho H khơng gian Hilbert thực, C tập lồi đóng khác rỗng H F = T n : C ® C ánh xạ đóng thỏa mãn điều kiện (E m) cho ¥ I n=1 F (T n ) ặ Vi x ẻ H đặt C = C x = PC x 0, xét dãy {x n } C xác định ìï y = b x + (1 - b )T x ïï n n n n n n ïí C { z C : || y z || £ || x n - z ||} = Î n n ïï n + ïï x n + = PC x 0, n ẻ Ơ , n+1 ïỵ £ b n £ a < vi mi n ẻ Ơ * Khi đó, {x n } hội tụ đến z = PF x Chứng minh Ta chứng minh theo bước sau Bước Chứng minh C n úng vi mi n ẻ Ơ * Vi n = 1, ta có C = C tập đóng Giả sử C n tập đóng vi n ẻ Ơ * Ta chng minh C n + tập đóng Lấy { u n(k+) }k dãy C n + { u n(k+) }k hội tụ đến u n(0)+ Ta chứng minh u n(0)+ Ỵ C n + Do u n(k+) Ỵ C n + nên u n(k+) Ỵ C n || y n - u n(k+) 1|| £ || x n - u n( k+) 1|| (2.1) Do C n tập đóng { u n(k+) }k hội tụ đến u n(0)+ nên u n(0)+ ẻ C n Mt khỏc, k đ Ơ (2.1), ta có || y n - u n(0)+ 1|| £ || x n - u n(0)+ 1|| Do đó, u n(0)+ Ỵ C n + 80 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Trương Cẩm Tiên tgk Bước Chứng minh C n l li vi mi n ẻ Ơ * Thật vậy, với z Ỵ C n + 1, sử dụng Bổ đề 1.1 (1), ta || y n - z|| £ || x n - z || Û || y n - z ||2 - || x n - z ||2 £ Û || y n - x n ||2 + y n - x n , x n - z £ Với n = 1, ta có C = C tập lồi Giả sử C n tập lồi với n ẻ Ơ * Ta chng minh C n + tập lồi Lấy u, v Ỵ C n + Ta chứng minh a u + (1 - a )v Ỵ C n + với a Î [0,1] Thật vậy, u, v Î C n + nên u, v Ỵ C n || y n - x n ||2 + y n - x n , x n - u £ 0, || y n - x n ||2 + y n - x n , x n - v £ (2.2) Do C n tập lồi u, v Ỵ C n nên a u + (1 - a )v Ỵ C n Mặt khác, từ (2.2) ta có a || yn - x n ||2 + 2a yn - x n , x n - u £ Û a || y n - x n ||2 + 2a y n - x n , x n - 2a y n - x n , u £ Û a || y n - x n ||2 + 2a y n - x n , x n - y n - x n , a u £ (2.3) (1 - a )|| y n - x n ||2 + 2(1 - a ) y n - x n , x n - v £ Û (1 - a )|| y n - x n ||2 + 2(1 - a ) y n - x n , x n - y n - x n ,(1 - a )v £ (2.4) Khi đó, từ (2.3) (2.4) ta || y n - x n ||2 + y n - x n , x n - y n - x n , a u + (1 - a )v £ Û || y n - x n ||2 + y n - x n , x n - [a u + (1 - a )v ] £ Điều có nghĩa a u + (1 - a )v Ỵ C n + hay C n + tập lồi Bước Chứng minh F è C n vi mi n ẻ Ơ * Với n = 1, ta có F = F (T ) Ì C = C Giả sử rng F è C n vi n ẻ Ơ * Ta chứng minh F Ì C n + Thật vậy, với u Ỵ F , ta có u Ỵ C n || y n - u|| = || bn x n + (1 - bn )T n x n - u|| = || b n ( x n - u ) + (1 - b n )(T n x n - u )|| 81 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 14, Số (2017): 76-87 £ bn || x n - u|| + (1 - bn )|| T n x n - u|| £ bn || x n - u || + (1 - bn )( m || u - T n u || + || x n - u ||) = bn || x n - u|| + (1 - bn )|| x n - u|| = || x n - u|| Điều có nghĩa u Ỵ C n + Do đó, F Ì C n + Bước Chứng minh {x n } hội tụ đến p p Ỵ F Với có n Ỵ ¥ *, x n + = PC x n+1 nên theo Bổ đề 1.3, ta z - x n + 1, x n + - x ³ với z Ỵ C n + Theo Mệnh đề 2.1, ta có F (T n ) tập lồi đóng C Kết hợp với giả thiết F = ¥ I n=1 F (T n ) ặ , ta cú F = ¥ I n= F (T n ) tập lồi đóng khác rỗng C Khi đó, theo Bổ đề 1.2, tồn phần tử z Ỵ F cho z = PF x Do x n + = PC x nên n+1 || x n + - x || £ || z - x 0|| với z Ỵ C n + (2.5) Khi đó, z Ỵ F Ì C n + nên từ (2.5) ta có || x n + - x || £ || z - x 0|| Điều có nghĩa {|| x n - x 0| |} bị chặn Vì x n = PC x nên n || x n - x || £ || z - x 0|| với z Î C n Do C n + Ì C n (2.6) nên x n + = PC x Ỵ C n + Ì C n Do đó, từ (2.6) ta n+1 || x n - x || £ || x n + - x 0|| hay {|| x n - x 0| |} dãy đơn điệu tăng Kết hợp với tính bị chặn {|| x n - x ||}, ta suy tồn giới hạn {|| x n - x ||} Đặt lim || x n - x 0|| = r (2.7) nđ Ơ Với m ³ n ta có C m Ì C n Vì x n + = PC x nên theo Bổ đề 1.3, ta n+1 có z - x n + 1, x n + - x ³ với z Ỵ C n + Mà x m + = PC m+ x Ỵ C m + Ì C n + nên ta có x m + - x n + 1, x n + - x ³ Khi đó, theo Bổ đề 1.1(1), ta có || x m + - x n + 1||2 = || x m + - x - (x n + - x )||2 = || x m + - x 0||2 - || x n + - x 0||2 - x m + - x n + 1, x n + - x 82 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Trương Cẩm Tiên tgk £ || x m + - x ||2 - || x n + - x ||2 (2.8) Từ (2.7) (2.8), ta suy lim || x m - x n || = Do đó, {x n } dãy Cauchy m ,n ® ¥ C Mặt khác, C tập đóng khơng gian Hilbert thực H nên C có tính đầy đủ Khi đó, tồn p Ỵ C cho lim xn = p (2.9) nđ Ơ Vỡ x n + = PC x Ỵ C n + nên || y n - x n + 1|| £ || x n - x n + 1|| Suy n+1 || y n - x n + 1|| £ || x n - p||+ || x n + - p|| (2.10) Kết hợp (2.9) với (2.10), ta lim || y n - x n + 1|| = Ta li cú nđ Ơ || y n - x n || £ || y n - x n + 1|| + || x n + - x n || Suy lim || y n - x n || = Mặt khác, từ y n = b n x n + (1 - b n )T n x n ta c nđ Ơ || x n - T n x n || = - bn || y n - x n || £ || y - x n || Suy lim || x n - T n x n ||= nđ Ơ 1- a n Kt hp iu với (2.9) giả thiết {T n } họ ánh xạ đóng đều, ta suy p Î F Bước Chứng minh p = PF x Do x n + = PC x nên theo Bổ đề 1.3, ta có y - x n + 1, x n + - x ³ với n+1 y Ỵ C n + Với q Ỵ F Ì C n + 1, ta có q - x n + 1, x n + - x ³ Cho n đ + Ơ c q - p, p - x ³ Do đó, theo Bổ đề 1.3 ta có p = PF x ta  Tiếp theo, cách sử dụng Định lí 2.3, nhận số kết cho hội tụ dãy lặp dạng hỗn hợp ánh xạ thỏa mãn điều kiện (E m) ánh xạ khơng giãn khơng gian Hilbert Trong đó, Hệ 2.4 Hệ 2.5 tổng quát [3, Theorem 4.1] [3, Theorem 4.2] từ ánh xạ không giãn sang ánh xạ thỏa mãn điều kiện (E m) Hệ 2.4 Cho H không gian Hilbert thực, C tập lồi đóng H T : C ® C ánh xạ thỏa mãn điều kiện (E m) cho F (T ) ặ Vi x ẻ H đặt C = C x = PC x 0, xét dãy {x n } C xác định 83 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 14, Số (2017): 76-87 ìï y = b x + (1 - b )T x ïï n n n n n ïí C { z C : || y z || £ || x n - z ||} = Ỵ n n ïï n + ïï x n + = PC x 0, n ẻ Ơ , n+1 ùợ ú Ê b n Ê a < vi mi n ẻ Ơ * Khi đó, {x n } hội tụ đến z = PF (T )x Chứng minh Bằng cách chọn T n = T với n Ỵ ¥ * , từ Định lí 2.3 Mệnh đề 2.2, ta nhận điều phải chứng minh  Hệ 2.5 Cho H không gian Hilbert thực, C tập lồi đóng H T : C ® C ánh xạ thỏa mãn điều kiện (E m) cho F (T ) ¹ Ỉ Với x Ỵ H đặt C = C x = PC x 0, xét dãy {x n } C xác định ìï y = b x + (1 - b )((1 - a )x + a T x ) ïï n n n n n n n n ï í C n + = {z Ỵ C n : | | y n - z || £ || x n - z | |} ïï ïï x n + = PC x , n ẻ Ơ , n+ ïỵ < a £ a n £ 1, £ b n £ b < với mi n ẻ Ơ * Khi ú, {x n } hội tụ đến z = PF (T )x Chứng minh Đặt T n x = (1 - a n )x + a nT x với x Î C n Î ¥ * Ta chứng minh {T n } họ ánh xạ thỏa mãn giả thiết Định lí 2.3 Thật vậy, (1) Với {x n } dãy C cho lim x n = x lim || x n - T n x n ||= Vỡ nđ Ơ nđ Ơ || x n - T n x n || = | | x n - (1 - a n )x n - a nT x n | |= | | a n x n - a nT x n ||= a n || x n - T x n || nên kết hợp với < a £ a n £ ta có lim || x n - T x n ||= Từ Mệnh đề 2.2, ta suy nđ Ơ x ẻ F (T ) Do đó, {T n } họ ánh xạ đóng (2) Với x , y Ỵ C , ta có || x - Tn y||= || x - (1 - a n )y - a nT y|| = || x + (1 - a n )x - (1 - a n )x - (1 - a n )y - a nT y ) | | = | | (1 - a n )(x - y ) + a n (x - T y ) || £ (1 - a n )|| x - y | |+ a n || x - T y || £ (1 - a n )| | x - y ||+ a n ( m| | x - T x ||+ || x - y || ) 84 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Trương Cẩm Tiên tgk £ || x - y ||+ ma n | | x - T x || £ || x - y ||+ m|| x - T n x || Do đó, {T n } họ ánh xạ thỏa mãn điều kiện (E m) (3) Do F (T ) ặ nờn tn ti u Ỵ C cho T u = u Mt khỏc, vi mi n ẻ Ơ *, ta cú | | u - T n u | |= a n || u - T u ||= Do đó, u Ỵ F (T n ) với n Ỵ ¥ * hay ¥ I n= F (T n ) ặ Hn na, ta cng cú F (T ) = ¥ I n=1 F (T n ) Như {T n } họ ánh xạ thỏa mãn giả thiết Định lí 2.3 Do đó, {x n } hội tụ đến z = PF (T )x  Vì ánh xạ khơng giãn ánh xạ thỏa mãn điều kiện (E m) nên từ Định lí 2.3, Hệ 2.4 Hệ 2.5, ta nhận kết sau Hệ 2.6 Cho H không gian Hilbert thực, C tập lồi đóng khác rỗng H T n : C ® C ánh xạ khơng giãn, đóng cho F = ¥ I n=1 F (T n ) ặ Vi x Î H đặt C = C x = PC x 0, xét dãy {x n } C xác định ìï y = b x + (1 - b )T x ïï n n n n n n ïí C { z C : || y z || £ || x n - z ||} = Ỵ n n ïï n + ïï x n + = PC x 0, n ẻ Ơ , n+1 ïỵ £ b n £ a < vi mi n ẻ Ơ * Khi đó, {x n } hội tụ đến z = PF x Hệ 2.7 ([3], Theorem 3.3) Cho H không gian Hilbert thực, C tập lồi đóng H T : C ® C ánh xạ khơng giãn cho F (T ) ặ Vi x ẻ H đặt C = C x = PC x 0, xét dãy {x n } C xác định ìï y = b x + (1 - b )T x ïï n n n n n ïí C = Ỵ { z C : || y z || £ || x n - z ||} n n ïï n + ïï x n + = PC x 0, n ẻ Ơ , n+1 ïỵ £ b n £ a < vi mi n ẻ Ơ * Khi ú, {x n } hội tụ đến z = PF (T )x 85 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 14, Số (2017): 76-87 Hệ 2.8 ([3], Theorem 3.4) Cho H không gian Hilbert thực, C tập lồi đóng H T : C ® C ánh x khụng gión cho F (T ) ặ Với x Ỵ H đặt C = C x = PC x 0, xét dãy {x n } C xác định ìï y = b x + (1 - b )((1 - a )x + a T x ) ïï n n n n n n n n ïí C = { z Î C : | | y z || £ || x z | |} n n n ïï n + ïï x n + = PC x , n ẻ Ơ , n+ ùợ ú < a £ a n £ 1, £ b n £ b < với n Ỵ ¥ * Khi đó, {x n } hội tụ đến z = PF (T )x Cuối cùng, chúng tơi xây dựng ví dụ minh họa cho hội tụ dãy lặp Hệ 2.4 Ví dụ 2.9 Xét C = [- 3, - 1] ánh xạ T : C ® C xác định T x = - với x Ỵ C Cho x dãy {x n } xác định x Ỵ [- 3, - 1] x n + Ỵ {u n + Ỵ C n + :| u n + - x | nhỏ } với y n = bn x n + (1 - b n )( - xn xn ) C n + = {z Î C n : z £ xn + yn , y n £ x n }, £ b n £ a < với n Ỵ ¥ * Khi lim x n = - Ta cần chứng minh T ánh xạ n® ¥ thỏa mãn điều kiện (E m) Thật vậy, với x, y Ỵ C , ta có || x - T y ||= || x - y + y - T x || £ || y - T y || + || x - y || Ta xét hai trường hợp sau Trường hợp Với x = - 2, ta có || x - T y || = | - - T y | = | - - -y- |= | | £ | - y - 2|= || x - y || y y Suy || x - T y || £ m | | x - T x || + || x - y || với m ³ Trường hợp Với x ¹ - 2, đặt f (x )= x - + 1, x Ỵ [ - 3, - 1] Khi đó, f đơn điệu x tăng C f (- 2) = Suy ra, tồn c Ỵ C cho | f (c ) |= Do đó, tồn m ³ cho 86 x ẻ C ,x - | f (x ) | ¹ TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Trương Cẩm Tiên tgk || y - T y || £ | f (- 1) |= £ m | f (c ) |£ m|| x - T x || Suy || x - T y || £ m || x - T x | | + | | x - y | | Từ hai trường hợp trên, ta || x - T y || £ m || x - T x || + || x - y || với suy tồn m³ cho m ³ x , y Ỵ C hay ánh xạ T ánh xạ thỏa mãn điều kiện (E m) Do đó, dãy {x n } thỏa mãn giả thiết Hệ 2.4 Do đó, theo Hệ 2.4, dãy {x n } hội tụ đến z = PF (T )x = - Mặt khác, T không ánh xạ không giãn Thật vậy, chọn x = - 1, y = - 1.5, ta có || T x - T y | |= 0.67 > 0.5 = | | x - y || Vì vậy, Hệ 2.7 khơng áp dụng cho dãy { x n } [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] TÀI LIỆU THAM KHẢO S Reich, “Weak convergence theorems for nonexpansive mappings in Banach spaces,” J Math Anal Appl., 67(2), pp.274-276, 1979 K Nakajo and W Takahashi, “Strong convergence theorems for nonexpansive mappings and nonexpansive semigroups,” J Math Anal Appl., 279(2), pp.372-379, 2003 W Takahashi, Y Takeuchi, and R Kubota, “Strong convergence theorems by hybrid methods for families of nonexpansive mappings in Hilbert spaces,” J Math Anal Appl., 341(1), pp.276-286, 2008 T Suzuki, “Fixed point theorems and convergence for some generalized nonexpansive mappings,” J Math Anal Appl., 340(2), pp.1088-1095, 2008 J Garcia-Falset, E Llorens-Fuster, and T Suzuki, “Fixed point theory for a class of generalized nonexpansive mappings,” J Math Anal Appl., 375(1), pp.185-195, 2011 M Bagherboum, “Approximating fixed points of mappings satisfying condition (E) in Busemann space,” Numer Algor., 71(1), pp.25-39, 2016 C Martinez-Yanes and X Xu, “Strong convergence of the CQ method for fixed point iteration processes,” Nonlinear Anal., 64, pp.2400-2411, 2006 G Marino and H Xu, “Weak and strong convergence theorems for strict pseudocontractions in Hilbert spaces,” J Math Anal Appl., 329, pp.43-52, 2007 J Zhang, Y Su, and Q Cheng, “Uniformly closed replaced AKTT or *AKTT condition to get strong convergence theorems for a countable family of relatively quasi-nonexpansive mappings and systems of equilibrium problems,” Fixed Point Theory Appl., 2014:103, pp.117, 2014 87 ... quát điều kiện (C) gọi điều kiện ( E ) Đồng thời, số kết ban đầu hội tụ cho điều kiện ( E ) thiết lập [6] Trong báo này, chúng tơi thiết lập định lí hội tụ dãy lặp hỗn hợp cho họ ánh xạ thỏa mãn. .. p.186) Nếu T ánh xạ không giãn C T thỏa mãn điều kiện (E m) C với m = Ví dụ sau chứng tỏ tồn ánh xạ thỏa mãn điều kiện (E m) không ánh xạ không giãn Ví dụ 1.7 Cho C = [0, 2] tập ¡ ánh xạ T : C ®... m) ánh xạ không giãn không gian Hilbert Trong đó, Hệ 2.4 Hệ 2.5 tổng quát [3, Theorem 4.1] [3, Theorem 4.2] từ ánh xạ không giãn sang ánh xạ thỏa mãn điều kiện (E m) Hệ 2.4 Cho H không gian Hilbert