2.2.1 Định nghĩa. Giả sử R là một nửa vành với đơn vị và M là một R- nửa môđun trái. Giả sử A là một tập hợp con khác rỗng của M thế thì tồn tại R- đồng cấu : ( )A
R M
α → được xác định bởi α( )f =∑{ f m m m A( ) ∈ } .
Tập hợp A là một tập sinh đối với M khi R-đồng cấu này là toàn ánh.Hơn
nữa, α cảm sinh một quan hệ R-tương đẳng ≡α trên ( )A
R bởi f1 ≡α f2nếu và chỉ
nếu α( )f1 =α( )f2 với ( ) 1, 2 A f f ∈R .
Tập hợp A độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu ≡α là quan hệ bằng nhau, nghĩa là nếu và chỉ nếu ∑{ f m m m A( ) ∈ } =∑{g m m m A( ) ∈ } kéo theo f=g. Nếu
A không độc lập tuyến tính thì A phụ thuộc tuyến tính.
Một tập hợp độc lập tuyến tính các phần tử sinh đối với M được gọi là một
cơ sở của M trên R.
Một tập hợp A được gọi là độc lập tuyến tính yếu nếu và chỉ nếu ker( )α =0
.
Các tập con độc lập tuyến tính hiển nhiên là độc lập tuyến tính yếu. Nếu A
không phải là độc lập tuyến tính thì A gọi là phụ thuộc tuyến tính yếu. Tập con
tùy ý của M chứa các tập con phụ thuộc tuyến tính (yếu ) lại là một tập con phụ thuộc tuyến tính (yếu). Nếu m là một phần tử tùy ý của nửa môđun M mà là
một tổ hợp tuyến tính của một tập con A của M thì A∪{ }m là phụ thuộc tuyến
tính nhưng không nhất thiết phụ thuộc tuyến tính yếu.
Một tập con khác rỗng A của một R- nửa môđun M được gọi là đạt được
tuyến tính nếu và chỉ nếu tồn tại một phân hoạch A B C= ∪ của A thành một hợp
rời các tập con B và C cùng với các hàm khác zero f ∈RB và g R∈ C sao cho
( )
{ f m m m' ' '∈B} = {g m m m( )'' '' ''∈C}
∑ ∑ .
Mỗi tập con phụ thuộc tuyến tính của M là đạt được tuyến tính nhưng khẳng định ngược lại có thể không đúng nếu M không phải là một A- môđun.
2.2.2. Ví dụ. a) Giả sử R là một nửa vành và A là một tập hợp khác rỗng. Đối
với mỗi a∈A, giả sử ( )A
a
f ∈R là hàm đặc trưng của { }a . Thế thì { f a Aa: ∈ } là
một cơ sở của R – nửa môđun ( )A
R (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
b) (Kim và Roush, 1980). Giả sử P là tập hợp tất cả các số nguyên dương.
Với n P∈ cho trước, mỗi môđun con hữu hạn sinh của n
nhất và mỗi nửa môđun hữu hạn sinh ( )n
R+ có một cơ sở duy nhất trên các nhân
tử khác zero.
c) (Zhao, 1990). Giả sử R={0,a,b,1} là một tập sắp thứ tự bởi các quan hệ {0≤ ≤a 1,0≤ ≤b 1} . Thế thì R là một nửa dàn phân phối bị chặn và từ đó R là một
nửa vành. Khi đó {1} và {a,b} đều là các cơ sở của R, được xét như một nửa
môđun trái trên chính nó.
d) Một tập con khác rỗng M của Zn được gọi là vị nhóm đa diện nếu 0∈M
và tồn tại một ma trận m x n A trên Z sao cho M = ∈{x Z Axn ≤0}. Mỗi vị nhóm
đa diện là một N – nửa môđun trái. Hinbert (1890) đã chứng tỏ rằng mỗi vị nhóm đa diện có một cơ sở duy nhất. Năm 1978, A.Bachem đã đưa ra một phương pháp xây dựng các cơ sở như vậy.
2.2.3. Chú ý. Nếu A là một cơ sở đối với một R –nửa môđun trái M và nếu
x A∈ thì không nhất thiết suy ra rằng x=∑{ f m m A( ) ∈ } kéo theo f(x)x=x. Tuy
nhiên, nếu cơ sở có tính chất đó thì A được gọi là một cơ sở chuẩn.
2.2.4. Ví dụ. a) Giả sử I = ∈{x R 0≤ ≤x 1} là đoạn thẳng đơn vị trên trường số
thực R và 3
M =I . Thế thì A={(0.5,0.5,0.5), (0,1,0.5), (0,0.5,1)} là một cơ sở
chuẩn đối với M trên I còn B={(0.5,1,0.5), (0,1,0.5), (0,0.5,1} là cơ sở nhưng
không phải cơ sở chuẩn vì (0.5,1,0.5)=(0.5)(0.5,1,0.5)+(0,1,0.5) trong M.
Đối với mỗi n P∈ cho trước, I – nửa môđun trái In có một cơ sở chuẩn duy
nhất (Kim & Roush, 1980).
Chú ý rằng B={(0.6,0.3,0.6), (0.4,0.5,0.5), (0.5,0.6,0.5), (0.8,0.6,0.7)}
là một tập con độc lập tuyến tính của M có nhiều hơn ba phần tử, trong khi đó đối với phần tử b∈[0.8,1.0] tùy ý {(b,0.3,0.7), (0.4,0.6,0.5)} là một cơ sở với
b) (M.Takahaski, 1985). Nếu M là một N –nửa môđun trái và m M∈ thế thì
{m} là độc lập tuyến tính yếu nếu và chỉ nếu am≠0với mọi a P∈ . Nó là độc
lập tuyến tính nếu và chỉ nếu tồn tại các số nguyên a,b: 0<a<b trong N sao cho
am=bm. Trong trường hợp này, tồn tại một cặp số nguyên duy nhất (a’,b’) trong
N sao cho 0< a’< b’,a’m=b’m và Nm={0,m,…,(b’-1)m}.
2.2.5.Định nghĩa. Một R –nửa môđun trái có một cơ sở trên R được gọi là một
R –nửa môđun tự do. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2.2.6. Chú ý. Nếu R là một vành và M là một R –môđun trái, thì từ định nghĩa trên quy về định nghĩa thông thường của môđun tự do.
Vì không phải mỗi môđun trên một vành là tự do, nên từ đó suy ra không phải mỗi nửa môđun trên nửa vành là tự do.
Từ Định nghĩa 2.2.5 trực tiếp nhận được.
2.2.7. Hệ quả. Mỗi R- nửa môđun trái tự do R- đẳng cấu với một R nửa môđun
( )A
R đối với một tập hợp khác rỗng A thích hợp nào đó.
2.2.8. Mệnh đề. Giả sử R là một nửa vành và M là một R- môđun trái tùy ý. Khi đó tồn tại một R- nửa môđun tự do F và một R- đồng cấu toàn ánh từ F lên M.
Chứng minh. Giả sử M là một R- nửa môđun trái. Vì khẳng định của Mệnh
đề 2.2.8 là hiển nhiên đối với trường hợp M={0} nên ta có thể giả thiết rằng M
{ }0
≠ . Giả sử M’=M\{0} và ( )M'
F =R
Định nghĩa một ánh xạ α:F→M bởi α( )f =∑{ f m m m( ) ∈sup ( )p f } . Khi
đó α là một R- đồng cấu và là một toàn ánh. W
2.2.9.Mệnh đề. Giả sử F là một R- nửa môđun trái tự do có một cơ sở B và N là một R- nửa môđun trái tùy ý. Đối với ánh xạ g N∈ B tồn tại một R- đồng cấu duy nhất α:F →N thỏa mãn α( )u =g u( ) với mọi u B∈ .
Chứng minh. Vì B là một cơ sở của F nên mỗi phần tử x F∈ có thể biểu diễn được duy nhất dưới dạng ∑{r u u Bu ∈ } , trong đó ru là các phần tử thuộc R với nhiều nhất hữu hạn trong chúng khác không.
Định nghĩa ánh xạ α :F →N bởi ∑r uu a ∑r g uu ( ) . Hơn nữa nếu β:F →N
là một đồng cấu thỏa mãn β( )u =g u( ) với mọi u B∈ thì
( ) ( ) ( ) ( )
u u u u u
r u r u r g u r u r u
β =÷ β = = α =α
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ nên α β= . Điều này chứng
minh tính duy nhất của α . W
2.2.10. Nhận xét. a) Tổng hợp Ví dụ 2.2.2 (a) và Mệnh đề 2.2.9 ta thấy rằng
nếu M là một R- nửa môđun và A là một tập hợp khác rỗng và nếu γ :A→M là
một ánh xạ tùy ý từ A vào M thì tồn tại một R đẳng cấu duy nhất : ( )A
R M
α →
thỏa mãn α( )fa =g a( ) với mọi a A∈ . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
b) Giả sử F là một R- nửa môđun trái tự do với cơ sở B và F’ là một R- nửa
môđun trái tự do với cơ sở B’. Nếu α:F →F' là một R- đồng cấu thì theo
Mệnh đề 2.2.9 tác động của α hoàn toàn được xác định bởi các tác động của nó
trong B. Với mỗi u B∈ ta có α( )u =∑{a v Buv ∈ ' ,} trong đó auv là các phần tử
thuộc R và có nhiều nhất hữu hạn trong chúng khác không. Như vậy α biểu
diễn hữu hiệu được bởi ma trận cột [ ] BxB'
uv a ∈R
Chú ý rằng nếu M và N là các R- nửa môđun trái tự do và α biểu diễn
được bởi một ma trận liên quan đến các cơ sở cố định cho trước thì trong việc
tìm mα−1 chúng ta phải giải phương trình XA=B, trong đó B là các vectơ hệ tử
2.2.11. Chú ý. Việc giải các phương trình dạng XA=B trong đó B là một phần tử của một I- nửa môđun tự do hữu hạn sinh đã được E.Sanchez xét đến đầu tiên năm 1976. Vấn đề này đã được mở rộng đến việc xét các phương trình dạng như vậy đối với các nửa môđun trên một dàn sắp thứ tự toàn phần (D.Nola, 1985) và trên dàn phân phối đầy đủ (Zhao, 1987)cũng như trên một gian (D. Nola & Lettieri, 1989).