Nửa môđun nội xạ

2.4.1 Định nghĩa. Giả sử R là một nửa vành và E là một R- nửa môđun trái M.

Khi đó E được gọi là nội xạ nếu và chỉ nếu điều kiện sau được thỏa mãn: Cho

trước một R- nửa môđun trái và một nửa môđun con N của nó. Khi đó một R- đồng cấu tùy ý từ N đến E mở rộng được thành một R- đồng cấu từ M đến E.

2.4.2 Chú ý. Chúng ta biết rằng nếu R là một vành thì một R-môđun trái tùy ý được chứa trong một R – môđun trái nội xạ. Tuy nhiên, đối với nửa vành tùy ý khẳng định trên có thể không đúng trong một số trường hợp. Kết quả sau phản ánh một phần nhận xét đó. Trước hết ta nhắc lại một số khái niệm liên quan.

2.4.3Định nghĩa. Giả sử R là một nửa vành.

i) R được gọi là bất khả đối nếu và chỉ nếu r + r’=0, (r r, '∈R) kéo theo

ii) R được gọi là nửa vành nguyên nếu và chỉ nếu R không chứa ước của 0, nghĩa là nếu a≠0,b≠0 thì ab≠0.

iii) R được gọi là giản ước được nếu và chỉ nếu a+b = a+c (a b c R, , ∈ ) kéo theo b = c.

2.4.4. Chú ý. Giả sử R là một nửa vành và M là một R- nửa môđun trái thì ( )

{ , }

W = x x x M∈ là một nửa môđun con của R- nửa môđun. Khí đó MxM/W là

một R- nửa môđun trái mà thực tế là một R- môđun. R- môđun trái này được ký hiệu là MV.

2.4.5. Mệnh đề. Giả sử R là một nửa vành nguyên, bất khả đối, giản ước được và E là một R- nửa môđun trái nội xạ. Thế thì E={0}.

Chứng minh. Giả sử E là một R- nửa môđun trái nội xạ và với e E∈ , giả sử

:

e R E

α → là một R- đồng cấu được xác định bởi r→re. Vì E nội xạ nên tồn tại

một R- đồng cấu βe:R∆ →E là mở rộng của αe. Thế thì

( )1 e 1 e ( )1 e 0 e 0

e+ − β = β + − β = β = và do đó e có nghịch đảo cộng tính trong R. Như

vậy E là một R- môđun.

Bây giờ giả sử E'=E{ }∞ (xem Ví dụ 1.1.6 (c)). Thế thì ánh xạ đồng nhất

mở rộng được thành một R- đồng cấu β: 'E →E. Đặt u= ∞β , đối với mỗi e E∈

có e u e+ = β+ ∞ = + ∞β (e )β = = +u 0 u với e,0,u E∈ . Vì E giản ước được nên e=0.

Do đó E={0}. W

2.4.6.Hệ quả. Nếu E là một N-nửa môđun nội xạ thì E={0}.

Chứng minh. Vì N là nửa vành nguyên, bất khả đối và giản ước được. W

2.4.7. Chú ý. Khẳng định nói đến trong Mệnh đề 2.4.5 không phải đúng cho mọi loại nửa vành, ngay cả những lớp nửa vành còn xa mới trở thành một vành. Chẳng hạn, năm 1984, Joyal và Tiemey đã chứng minh được rằng nếu R là một gian thì mỗi R-nửa môđun trái có thể nhúng được vào một R-nửa môđun nội xạ.

2.4.8. Mệnh đề. Giả sử R là một nửa vành và E là một R-nửa môđun trái nội xạ. Khi đó.

(i) A

E là một R-nửa môđun trái nội xạ đối với mọi tập hợp khác rỗng A; (ii) Hạng tử trực tiếp tùy ý của A là nội xạ.

Chứng minh. (i) Theo Ví dụ 1.1.6 (c), EA là một R-nửa môđun trái. Nếu N là

một môđun con của một R-nửa môđun trái M và nếu α là một R-đồng cấu từ N

đến EA thì đối với mỗi a A∈ ta có một R-đồng cấu αa:N →E được xác định bởi

( )( )

a

nα = nα a . Vì E là nội xạ nên đối với mỗi a A∈ tồn tại một R-đồng cấu

:

a M E

β → là mở rộng của αa. Định nghĩa một ánh xạ : A

M E

β → bởi

(mβ)( )a =mβa đối với mọi m M∈ và mọi a A∈ . Thế thì β là một R-đồng cấu mở

rộng của α . Như vậy EA là nội xạ.

(ii) Giả sử E’ là hạng tử trực tiếp của E và giả sử EN là nửa môđun con

của E thỏa mãn E E= ⊕' E''. Thế thì tồn tại một R-đồng cấu Π:E→E' sao cho Π

là toàn ánh và Ker( )Π =E''. Giả sử λ: 'E →E là ánh xạ bao hàm. Nếu N là một

nửa môđun con của R-nửa môđun trái M và nếu α:N→E' là một R-đồng cấu thì

do E nội xạ nên tồn tại một R-đồng cấu β:M →E là mở rộng của αλ. Nói riêng,

nếu x N∈ thì xβ ∈E' và do đó xβΠ =xαλΠ =xα. Do đó βα:M →E' là mở rộng

của α , chứng tỏ E’ nội xạ. W

2.4.9. Định nghĩa

a) Một R-đồng cấu α:M →N của các R-nửa môđun trái được gọi là cốt yếu

nếu và chỉ nếu đối với một R-đồng cấu β:N→N' tùy ý, ánh xạ αβ là một R-đơn

cấu chỉ khi β là một đơn cấu.

b) Một R-nửa môđun con của M’ của một R-nửa môđun trái M được gọi là

cốt yếu trong M nếu và chỉ nếu ánh xạ bao hàm M'→M là R-đồng cấu cốt yếu.

a) α:M →N là R-đồng cấu cốt yếu nếu và chỉ nếu Mα là nửa môđun con cốt yếu của N.

b) Một nửa môđun con M’ của một R-nửa môđun trái M là cốt yếu trong M nếu và chỉ nếu nửa môđun con của M chứa M’ là cốt yếu trong M.

2.4.11. Định nghĩa. Giả sử R là một nửa vành và M là một R-nửa môđun trái.

Một quan hệ tương đương ρ trên M được gọi là một quan hệ R-tương đẳng nếu

( , ')m m ∈ρ và ( , ')n n ∈ρ kéo theo (m n m n+ , '+ ')∈ρ và (am am, ')∈ ∀ ∈ρ, a R.

Tập hợp các R-tương đẳng trên M được ký hiệu R-cong(M). Các quan hệ

bằng nhau idM và quan hệ phổ dụng ωM đều thuộc R-cong(M). Trên R-cong(M)

sắp thứ tự bộ phận bởi ρ ρ≤ ' nếu và chỉ nếu ρ ρ⊆ '. Khi đó (R-cong(M), ≤) là

một dàn đầy đủ. Nếu m m, '∈M thì ta định nghĩa phần tử nhỏ nhất duy nhất δ của

(R−cong(M),≤) thỏa mãn (m m, ')∈δ bởi ρ(m n, ) .

2.4.12. Mệnh đề. Giả sử N là một nửa môđun con của R-nửa môđun trái M. Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương:

(i) N cốt yếu trong M.

(ii) Nếu ρ là một R-tương đẳng không tầm thường trên M (nghĩa là

M id

ρ ≠ ) thì cái thu hẹp của ρ trên N cũng không tầm thường (nghĩa là ρ/N ≠idM

).

(iii) Nếu m và m’ là các phần tử phân biệt của M thì tồn tại các phần tử phân biệt n n, '∈N sao cho ( , ')n n ∈ρ( , ')m m

Chứng minh. (i) ⇒(ii) Giả sử ρ là một R-tương đẳng trên M sao cho ρ ≠idM

và giả sử β:M →M /ρ là một R-đồng cấu được xác định bởi ma mρ. Thế thì β

không phải là một R-đơn cấu và từ đó do (i), tồn tại các phần tử n,n’∈N sao cho

(n n, ')∈ρ nhưng n n≠ '. Điều này chứng tỏ rằng cái thu hẹp của ρ trên N không

tầm thường.

(iii) ⇒(i) Giả sử β:M →M' là một R-đồng cấu mà cái thu hẹp của nó trên

N là một R-đơn cấu. Nếu β không đơn ánh thì tồn tại các phần tử phân biệt n và

n’ của N thỏa mãn (n n, ')∈ρ( , ')m m và từ đó ( , ')n n ∈β' (trong đó *( ) ( )

* '

n n

β =β ):

mâu thuẫn. Vậy β là một R-đơn cấu và (i) được chứng minh. W

2.4.13. Ví dụ. Giả sử R là nửa vành(I, max, mim) và H=R\{1} (I là đường thẳng

đơn vị của R1). Khi đó H là một iđêan trái của R nên là một R-nửa môđun trái.

Nếu ρlà một R-tương đẳng trên R sao cho ρ ≠idH và nó thu hẹp thành quan hệ

R-tương đẳng đồng nhất trên H thì phải tồn tại phần tử a H∈ sao cho ( ,1)a ∈ρ.

Nếu b H∈ thỏa mãn a b< <1 thì a bρ : mâu thuẫn. Như vậy mỗi quan hệ R-tương

đẳng không tầm thường trên R thu hẹp thành một quan hệ không tầm thường trên H, điều này chứng minh H cốt yếu trong R theo Mệnh đề 2.4.12.

2.4.14. Mệnh đề. Giả sử N là một nửa môđun con của một R-nửa môđun trái M và ρ là một R tương đẳng cốt yếu trên M sao cho cái thu hẹp của nó trên là tầm

thường. Thế thìR-đơn cấu chính tắc α:N →M /ρ là cốt yếu.

Chứng minh. Giả sử δ* là một R-tương đẳng không tầm thường trên M/ρ và

δ và là một quan hệ R-tương đẳng trên M được xác định bởi ( , ')m m ∈δ nếu và

chỉ nếu (mp m, ' )ρ δ∈ *. Thế thì ρ δ⊆ và ρ δ≠ . Theo định nghĩa của ρ tồn tại , ' , '

n n ∈N n n≠ sao cho ( , ')n n ∈δ và do đó (n nα α, ' )∈δ*. Như vậy δ* thu hẹp thành

quan hệ không tầm thường trên Nα , điều này chứng minh Nα cốt yếu trong M/

ρ. W

2.4.15. Mệnh đề. Nếu E là một R-nửa môđun trái nội xạ thì mỗi R-đơn cấu cốt yếu α:E→E' là một R-đẳng cấu.

Chứng minh. Giả sử E là nội xạ và α:E→E' là một R-đơn cấu. Khi đó tồn

tại một R-đồng cấu β: 'E →E sao cho αβ là ánh xạ đồng nhất trên E. Giả thiết

rằng x E E∈ '\ α . Thế thì xβ ∈E nên xβα ≠x. Vì *

(xβα, )x ∈α nên α* là R-tương đẳng không tầm thường trên E’ và do đó theo Mệnh đề 2.4.14, nó thu hẹp thành

một quan hệ R-tương đẳng không tầm thường trên Eα . Nói riêng, tồn tại các phần tử e e, '∈E, e e≠ ' thỏa mãn eαβ =e'αβ : mâu thuẫn với cách chọn β. Suy ra

phải có E'=Eα nên α là một R-đẳng cấu. W

2.4.16. Định nghĩa. Giả sử R- là một R-nửa môđun trái. Nếu tồn tại một R-nửa

môđun trái E và một R-đơn cấu cốt yếu α:M →E thì E được gọi là bao nội xạ

của M.

2.4.17. Chú ý. Theo Mệnh đề 2.4.5, bao nội xạ của các R-nửa môđun khác zero

không nhất thiết tồn tại đối với mỗi nửa vành R(mặc dù chúng luôn luôn tồn tại

nếu R là mộtvành). Nếu bao nội xạ tồn tại thì nó là duy nhất (theo kết quả sau).

2.4.18. Mệnh đề. Nếu α:M →E và α' :M →E' là các bao nội xạ của một R-nửa môđun M thì tồn tại một R-đẳng cấu từ E lên E’.

Chứng minh. Do tính nội xạ, tồn tại một R-đồng cấu θ :E→E' thỏa mãn

'

αθ α= . Ta chứng minh α là một đẳng cấu. Thật vậy, vì α αθ'= là một R-đơn

cấu và do tính cốt yếu, θ cũng là R-đơn cấu. Giả thiết rằng β: 'E →N là một R-

đồng cấu thỏa mãn điều kiện θβ là một R-đơn cấu. Thế thì αθβ α β= ' cũng là

một R-đơn cấu. Như vậy θ cốt yếu và do Mệnh đề 2.4.15, θ là R-đẳng cấu. W

KẾT LUẬN

1. Hệ thống các khái niệm nửa môđun trên nửa vành, đồng cấu nửa môđun, tương đẳng và nửa môđun thương và các tính chất của chúng.

2. Trình bày khái niệm, ví dụ và các tính chất của nửa môđun giản ước được. (Mệnh đề 2.1.2, Mệnh đề 2.1.3, Mệnh đề 2.1.5).

3. Trình bày khái niệm, ví dụ và các tính chất của nửa môđun tự do. (Mệnh đề 2.2.8, Mệnh đề 2.2.9).

4. Trình bày khái niệm, ví dụ và các tính chất của nửa môđun xạ ảnh. (Mệnh đề 2.3.3, Mệnh đề 2.3.7, Mệnh đề 2.3.10).

5. Trình bày khái niệm, ví dụ và các tính chất của nửa môđun nội xạ. (Mệnh đề 2.4.5, Mệnh đề 2.4.8, Mệnh đề 2.4.12, Mệnh đề 2.4.15, Mệnh đề 2.4.18).

TÀI LIỆU THAM KHẢO

TIẾNG VIỆT

[2]. S.Lang (1974), Đại số (Tập 1,2,3), Bản dịch của Trần Văn Hạo và Hoàng Kỳ, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội.

[3]. Nguyễn Tiến Quang, Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết môđun và

lý thuyết vành, NXB Giáo dục.

TIẾNG ANH

[4]. J.S.Golan (1992), The theory of semirings with applications in mathematics

and theoretical computer science, Longman Scientific Technical, copublished in the United States with John và Sons Ins. New York.

[5]. A.Patchkova (2009). Projective semimodules over semirings with

valuations in nonnegative intergers, Semigroup Forum, Published online:

07 April 2009.

[6]. O.Sokratova (2002), On semimodules over commutative, additively

imdempotent semirings, Semigroup Forum64,1-11

[7]. M.Takahashi (1987), Structures of semimodules, Kobe J Math . 4, 79-101.

[8]. H.J.Weinert (1988), Generalized semialgebras over semirings, Springer –