2.3.1 Định nghĩa. Một R- nửa môđun trái P được gọi là xạ ảnh nếu và chỉ nếu các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) Nếu ϕ:M →N là các R- đồng cấu toàn ánh của các R- nửa môđun trái
và α:P→Nlà một R-đồng cấu thì tồn tại một R- đồng cấu β:P→M thỏa mãn
βϕ α= .
(ii) ϕ:M →N là một R- đồng cấu ổn định của các R- nửa môđun trái và
, ' :P M
α α → là các R- đồng cấu thỏa mãn ϕα ϕα= ' thì tồn tại các R- đồng cấu
, ' :P M
β β → thỏa mãn βϕ β ϕ= ' và ϕ β α β+ = +' '.
2.3.2. Chú ý. a) Chú ý rằng các ánh xạ trong Định nghĩa 2.3.1 được xem là ký hiệu bên trái, chẳng hạn ϕ:M →N là một ánh xạ và x M∈ thì xα α= ( )x . Như
vậy, nếu β:P→N là một ánh xạ khác thì βϕ:P→Ncho bởi
( ) ( ) ,
yβϕ= yβ ϕ ϕ β= y ∀ ∈y P.
b) Điều kiện (i) của Định nghĩa 2.3.1 nghĩa là biểu đồ sau giao hoán
P ∃β α
2.3.3.Định lý. Mỗi R- nửa môđun trái tự do là xạ ảnh .
Chứng minh. Giả sử F là một R- nửa môđun trái tự do với cơ sở là B. Giả
sử ϕ:M →N là một R- đồng cấu toàn ánh của các R- nửa môđun trái và
:F N
α → là một R- đồng cấu. Vì ϕ toàn ánh nên với mỗi phần tử b B∈ chọn
được (và cố định) một phần tử xb∈M sao cho xbϕ=bα. Theo Mệnh đề 2.2.9,
tồn tại một R- đồng cấu duy nhất β:P→M thỏa mãn bβ =xb. Thế thì
,
b
bβϕ =xϕ=bα ∀ ∈b B và do tính duy nhất trong Mệnh đề 2.2.9, có α βϕ= .
Giả sử ϕ:M →N là một R- đồng cấu ổn định của các R- nửa môđun trái.
Giả sử α α, ' :P→M và các R- nửa môđun đồng cấu thỏa mãn aϕ=a'ϕ . Nếu a
A
∈ thì aαϕ =aα ϕ' và do tính ổn định của ϕ, tồn tại các phần tử xa và ( )
ker
a (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
y ∈ ϕ sao cho aα +xa =aα'+ya. Theo Mệnh đề 2.2.9, tồn tại các R- đồng
cấu duy nhất β β, ' :P→M thỏa mãn aβ =xa và aβ =' ya, với mọi a A∈ . Thế thì
0
a
aβϕ =xϕ = và aβ ϕ' = yaϕ=0 nên a(α β+ ) =a(α β'+ ' ,) ∀ ∈a A. Từ tính duy nhất
trong Mệnh đề 2.2.9 suy ra α β α β+ = +' ' .
Vậy P là R- nửa môđun xạ ảnh W
2.3.4. Định nghĩa. Một R- nửa môđun trái N được gọi là một cái co rút của R- môđun M nếu và chỉ nếu điều kiện sau đây được thỏa mãn:
Tồn tại một R- đồng cấu toàn ánh ϕ:M →N và tồn tại một R- đồng cấu
:N M
ψ → sao cho ψα là ánh xạ đồng nhất trên N.
Từ Định nghĩa 2.3.4 trực tiếp suy ra:
2.3.5.Hệ quả
a) Nếu N là hạng tử trực tiếp của R- nửa môđun trái M thì N là cái co rút của M (θ là phép chiếu ΠN :M →N và ψ là phép nhúng jN:M →N).
b) Nếu N là cái co rút của M và M là cái co rút của M’ thì N là cái co rút của M’.
2.3.6. Ví dụ. Giả sử R là một nửa vành và n là một số nguyên dương cho trước. Thế thì ma trận tùy ý A= aij trong M Rn( ) xác định một R- tự đồng cấu của R- nửa môđun trái Rn cho bởi α:(r1,...,rn) (→ s1,...,sn) trong đó
1 n n i ih i s r a = =∑
với mỗi h,1≤ ≤h n. Nếu ma trận A là chính quy đối với phép nhân thì tồn tại ma
trận B thuộc M Rn( ) sao cho ABA=A và ma trận B xác định một R- tự đồng cấu
của n
R . Giả sử N=Rnα và β' là cái thu hẹp của β trên N. Thế thì với mỗi
n
m R∈ có mα =mαβα =( )nα β α β α' , ' là ánh xạ đồng nhất trên N. Do đó N là cái
co rút của Rn.
2.3.7.Mệnh đề. Một R- nửa môđun trái là xạ ảnh nếu và chỉ nếu nó là cái co rút của một R- nửa môđun trái tự do.
Chứng minh. Nếu P là R- nửa môđun trái xạ ảnh thì theo Mệnh đề 2.2.8
tồn tại một R- nửa môđun tự do F và một R- đồng cấu toàn ánh θ:F→P. Theo
tính xạ ảnh, tồn tại một R- đồng cấu ψ :P→F sao cho ψθ:P→P là ánh xạ
đồng nhất trên P. Do đó P là cái co rút của R- nửa môđun trái tự do F.
Đảo lại, giả sử P là cái thu hẹp của R- nửa môđun trái tự do F, θ:F→P (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
và ψ :P→F là các R- đồng cấu sao cho θ là toàn ánh và ψθ là ánh xạ đồng
nhất trên P. Giả sử ϕ:M →N là một R- đồng cấu toàn ánh của các R- nửa
môđun và α:P→N là một R- đồng cấu. Theo Định lý 2.3.3, do F xạ ảnh nên
tồn tại một R- đồng cấu β:F →M sao cho βϕ θα= . Do đó ψβϕ ψθα α= = , và từ
đó ψβ:P→M là một ánh xạ có tính chất nên trong Định nghĩa 2.3.1 (i) về tính
xạ ảnh.
Bây giờ giả sử ϕ:M →N là một R- đồng cấu ổn định của các R- nửa
môđun trái và giả sử α α, ' :P→M lá các R- đồng cấu thỏa mãn αϕ α ϕ= ' . Thế
thì θαϕ θα ϕ= ' . Vì F là xạ ảnh theo Định lý 1.3.3. nên tồn tại các đồng cấu
, ' :F M
( ) ( ') ' '
α ψβ ψθα ψβ ψ θα β+ = + = + =ψ θα β+ =ψθα ψβ α ψβ+ = + . Như vậy điều
kiện (ii) trong Định nghĩa 2.3.1 cũng được thỏa mãn nên P là môđun xạ ảnh W
2.3.8.Hệ quả. Cái co rút tùy ý của một R- nửa môđun xạ ảnh là xạ ảnh.
Chứng minh. Điều này suy ra trực tiếp từ Mệnh đề 2.3.7 W
2.3.9. Ví dụ. Giả sử R là một nửa vành và I+( )R = ∈{r R r r r+ = } là nửa môđun con lũy đẳng của R, được xét như một nửa môđun trái trên chính nó. Nếu nửa môđun trên R là chính quy cộng tính (nghĩa là ∀ ∈ ∃ ∈r R r, ' R r r: + =' r) thì ánh xạ
( )
:R I R
α → + được xác định bởi α( )a = +a a' là một R- đồng cấu toàn ánh của
các R- nửa môđun trái. Hơn nữa cái thu hẹp của trên I R+( )là ánh xạ đồng nhất .
Do đó I R+( ) là một cái thu hẹp của R. Vì R là xạ ảnh (xem như một nửa môđun
trái trên chính nó) theo Định lý 2.3.7 nên I+( )R cũng là R- nửa môđun trái xạ
ảnh theo Hệ quả 2.3.8.
2.3.10. Mệnh đề. Giả sử {P ii/ ∈Ω} là một họ các R- nửa môđun trái và P= {P ii/ }
Π ∈Ω là tích trực tiếp của P ii, ∈Ω. Khi đó P là xạ ảnh nếu và chỉ nếu Pi xạ ảnh.
Chứng minh. Nếu P là xạ ảnh thì mỗi Pi là một cái co rút của Pi nên theo Hệ quả 2.3.8, Pi xạ ảnh với mỗi i∈Ω.
Đảo lại, giả thiết rằng Pi xạ ảnh với mỗi i∈Ω. Đối với mỗi i∈Ω, giả sử
1:P Pi
θ → là R- đồng cấu toàn ánh <Pn >a Pi và ψi:Pi →P là phép nhúng.
Giả sử ϕ:M →N là một R- đồng cấu toàn ánh của các R- nửa môđun trái (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
và α:P→N là một R- đồng cấu. Thế thì do mỗi Pi xạ ảnh, tồn tại các R- đồng
cấu βi:Pi →M thỏa mãn β ϕ ψ αi = i . Định nghĩa một R- đồng cấu β:P→M bởi
i i i
p→ pθ β . Thế thì đối với p P∈ ta có pβϕ =∑pθ β ϕi i =∑pθψ αi i = pα nên
Bây giờ giả sử ϕ:M →N là một R- đồng cấu ổn định của các R- nửa
môđun trái và giả sử α α, ' :P→M là các R- đồng cấu thỏa mãn αϕ α ϕ= ' . Thế
thì đối với mỗi i∈Ω ta có ψ αϕ ψ α ϕi = i ' và do đó tồn tại các R- đồng cấu , ' : i i Pi M β β → thỏa mãn β ϕ β ϕi = i' và ψ β β ψ α βi + =i i '+ i'. Định nghĩa , ' :P M β β → bởi β =∑θ βi i và β'=∑θ βi i'. khi đó α β α β+ = + '. Do đó P là R- nửa môđun xạ ảnh . W
2.3.11.Ứng dụng. a. Việc lập trình đại số hóa các hệ tuyến tính trên một trường đã được xét đến đầu tiên bởi các tác giả Kalman, Falb & Anibib (1969) và đã được mở rộng lên các vành bởi Eilenberg (1974), Sontag (1976), Naude & Nolte (1982). Nó cũng dễ dàng mở rộng được trong trường hợp nửa vành.
Nếu R- là một nửa vành thì hệ (động lực, tuyến tính, hằng, thời gian rời
rạc) trên R là một bộ sáu (U, X, Y, ϕ ψ θ, , ) trong đó U là một R- nửa môđun
trái, được gọi là nửa môđun vào của hệ, X là một R- nửa môđun trái, được gọi là nửa môđun trạng thái của Y, Y là một R- nửa môđun trái, được gọi là nửa
môđun ra của hệ, ϕ:U →X là một R- đồng cấu được gọi là đồng cấu vào và
:X Y
θ → là một R- đồng cấu được gọi là đồng cấu ra và ψ :X →X là một R- tự
đồng cấu của X được gọi là đồng cấu cập nhật trạng thái của hệ. Các R- nửa môđun U, X, Y là các R- môđun tự do. Nếu H =(U X Y, , , , ,ϕ ψ θ) và
( )
' ', ', ', ', '
H = U X Y ϕ θ là các hệ nêu trên thì một hệ cấu xạ từ H vào H’ gồm một
bộ ba (α β γ, , ) là các R- cấu α:U →U', β:X → X'và γ :Y →Y' sao cho biểu đồ
sau giao hoán
U ϕ X ψ X θ Y α β β γ
Nhiều kết quả đã được chuyển đổi dễ dàng nhờ ngữ cảnh này (Sontang, 1976). b. Giả sử R[t] là nửa vành các đa thức biến t trên một nửa vành R và S là nửa vành con của M R t3( [ ]) gồm tất cả các ma trận p tij( ) thỏa mãn các điều kiện
sau:
(1) p t12( ) = p t13( ) = p23( )t =0
(2)p t1( ) và p33( )t có cấp tối đa là 0(nghĩa là chúng là các phần tử của R). Nếu U và I là (R,R)- song nửa môđun(và do đó, trong trường hợp riêng nếu chúng tự do hoặc R giao hoán) thì có thể xét R- nửa môđun trái UxXxY như là một S- nửa môđun phải bằng cách định nghĩa
(u,x,y) p tij( ) =(up u p11, ϕ 21+xp22( )ψ ,u pα 31( )ψ θ +xp32( )ψ +yp33)
Hơn nữa, hệ cấu xạ tùy ý chấp nhận được trở thành một S- đồng cấu của các nửa môđun như vậy. Đảo lại, một S- nửa môđun như vậy xác định một hệ và mỗi S- đồng cấu xác định một hệ cấu xạ giữa các hệ như vậy.