Nửa vành sắp thứ tự luận văn thạc sĩ toán học

Nghệ An - 2012 Bộ giáo dục và đào tạo trờng đại học vinh Trần Sỹ hạnh Nửa vành sắp thứ tự luận văn thạc sĩ toán học - 1 - Bộ giáo dục và đào tạo trờng đại học vinh Trần Sỹ hạnh Nửa vành sắp thứ tự luận văn thạc sĩ toán học Chuyên ngành: Đại số - lý thuyết số Mã số: 60460104 Ngời hớng dẫn khoa học PGS.TS. Lê Quốc Hán Nghệ An - 2012 - 2 - MỤC LỤC Trang MỤC LỤC 1 MỞ ĐẦU 2 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4 1.1. Quan hệ thứ tự trên một tập 4 1.2. Nửa vành. Nửa vành đơn. Nửa vành luỹ đẳng cộng tính 7 CHƯƠNG 2. NỬA VÀNH SẮP THỨ TỰ 14 2.1. Nửa vành sắp thứ tự 14 2.2. Nửa vành sắp thứ tự sai phân 21 KẾT LUẬN 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 MỞ ĐẦU Lý thuyết vành ra đời từ thế kỷ 19 và đạt được nhiều thành tựu rực rỡ vào cuối thế kỷ này. Bước sang thế kỷ 20, dựa trên những thành tựu của lý thuyết môđun, các đặc trưng của nhiều lớp vành cũng được phát hiện khi khảo sát cấu trúc của các môđun trên chúng. Bên cạnh đó, các cấu trúc đại số có thứ tự ( như nhóm sắp thứ tự, trường sắp thứ tự .) cũng được quan tâm nghiên cứu. - 3 - Vào những năm giữa thế kỷ 20, do nhu cầu của nội bộ toán học, lý thuyết nửa vành ra đời và sớm thu hút được sự quan tâm của giới toán học. Đặc biệt, vào những năm đầu thế kỷ 21, do sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin, lý thuyết nửa vành đã tỏ ra có nhiều ưu thế trong việc áp dụng vào khoa học tính toán. Luận văn của chúng tôi dựa trên cuốn sách “The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science” của Jonathan S.Golan (1992) để trình bày những kiến thức về nửa vành sắp thứ tự. II. Cấu trúc luận văn Ngoài lời mở đầu, mục lục, tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành 2 chương. Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày về quan hệ thứ tự trên một tập, các khái niệm cơ sở của nửa vành, nửa vành đơn, nửa vành luỹ đẳng cộng tính và các tính chất của chúng để làm cơ sở cho việc trình bày chương sau. Chương 2. Nửa vành sắp thứ tự Đây là nội dung chính của luận văn. Trước hết, chúng tôi trình bày khái niệm và một số ví dụ về nửa vành sắp thứ tự. Sau đó trình bày một số tính chất của nửa vành sắp thứ tự. Tiếp theo, chúng tôi trình bày một lớp nửa vành sắp thứ tự đặc biệt đó là lớp nửa vành thứ tự sai phân. Phần cuối luận văn trình bày khái niệm phần tử nguyên tố trong vành sắp thứ tự và các tính chất của chúng. Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lê Quốc Hán. Nhân dịp này tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Quốc Hán, người đã định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm, tạo mọi điều kiện thuận lợi, cùng với những lời động viên khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập nghiên cứu. Tác giả cũng rất biết ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Phòng đào tạo sau Đại học cũng như các thầy giáo, cô giáo trong Bộ môn Đại số đã tạo điều kiện giúp đỡ và hướng dẫn tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. - 4 - Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những đóng góp quý báu của các thầy, cô giáo và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn. Nghệ An, tháng 8 năm 2012 Tác giả CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Quan hệ thứ tự trên một tập 1.1.1. Định nghĩa. (i) Giả sử X là một tập hợp tuỳ ý khác rỗng. Khi đó mỗi tập con ρ của tích đề các XxX được gọi là một quan hệ hai ngôi trên X. Nếu (a,b) ρ ∈ thì ta cũng viết a ρ b và nói rằng “a nằm trong quan hệ ρ với b”. - 5 - (ii) Nếu ρ và σ là các quan hệ hai ngôi trên X thì cái hợp thành . ρ σ của chúng được định nghĩa như sau: (a,b) . ρ σ ∈ nếu tồn tại x X ∈ sao cho ( ) ,a x ρ ∈ và ( ) ,x b σ ∈ Ký hiệu B là tập hợp các quan hệ hai ngôi trên X. Khi đó phép toán o trên B có tính chất kết hợp. Thật vậy, nếu ρ , σ và T thuộc B thì mỗi trong một các khẳng định (a,b) ∈ ( . ρ σ ). T và (a,b) ∈ ρ .( σ . T ) tương đương với khẳng định: tồn tại các phần tử x,y ∈ X sao cho (a,x) ∈ρ , (x,y) ∈σ và (y,b) ∈T . Do đó (B, o) là một nửa nhóm và được gọi là nửa nhóm các quan hệ hai ngôi trên X. Nửa nhóm này có đơn vị là quan hệ bằng nhau id cho bởi (a,b) ∈ X i nếu và chỉ nếu a = b. Quan hệ id còn được gọi là quan hệ đường chéo hay quan hệ đồng nhất của X. Ngoài ra trên X còn có quan hệ phổ dụng cho bởi (a,b) ∈ X ω với mọi a,b ∈ X. Ta cũng xem “quan hệ rỗng” ∅ là phần tử không của B. Trên B ta còn xác định phép toán ngược như sau: Giả sử ρ∈ B thì ρ∈ X B cho bởi (a,b) ∈ρ nếu và chỉ nếu (b,a) ∈ρ . Dễ thấy ( . ρ σ ) = σ . ρ và ( ρ ) = ρ với mọi ρ , σ ∈ X B . 1.1.2. Chú ý. Hệ thức ρ ⊆ σ có nghĩa ρ là tập con của σ . Điều đó tương đương với khẳng định: a ρ b kéo theo a σ b. Vì X B gồm tất cả các tập con của XxX nên ta có thể thực hiện trong X B các phép toán Bun (Boole): hợp, giao và phần bù. 1.1.3. Định nghĩa. Quan hệ ρ được gọi là phản xạ nếu id ⊆ ρ , là đối xứng nếu ρ ⊆ ρ (và do đó ρ = ρ ), là bắc cầu nếu ρ . ρ ⊆ ρ . Quan hệ ρ được gọi là phản đối xứng nếu ρ ∩ ρ ⊆ id . 1.1.4. Định nghĩa. Quan hệ hai ngôi ρ trên X được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận nếu ρ có các tính chất phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu. Khi đó ρ thường được ký hiệu bởi - 6 - ≤ . Nếu quan hệ thứ tự bộ phận ≤ trên X thoả mãn điều kiện: với mọi a,b ∈ X thì hoặc a ≤ b hoặc b ≤ a, thế thì ≤ được gọi là quan hệ thứ tự toàn phần. Nếu a ≤ b và a ≠ b thì ta viết a < b hay a ≤ b. Quan hệ ngược với quan hệ ≤ (hay <) thường được ký hiệu bởi ≥ (tương ứng >). 1.1.5. Ví dụ. (1) Giả sử + ¢ = là tập hợp tất cả các số nguyên dương. Trên + ¢ xác định quan hệ ≤ cho bởi a ≤ b nếu và chỉ nếu a - b ≤ 0. Khi đó ≤ là một quan hệ thứ tự toàn phần trên + ¢ . Nếu trên + ¢ xét quan hệ aρb khi và chỉ khi a là ước của b thì ρ là một quan hệ thứ tự bộ phận nhưng không phải là quan hệ thứ tự toàn phần. (2) Giả sử S là một nửa nhóm và E(S) = là tập hợp tất cả các luỹ đẳng của S. Trên E(S) xác định quan hệ ≤ cho bởi e ≤ f khi và chỉ khi ef=fe=e. Khi đó ≤ là một quan hệ thứ tự bộ phận trên E(S) và được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận tự nhiên trên E(S). 1.1.6. Định nghĩa. Giả sử ≤ là một thứ tự bộ phận trên X và Y ⊆ X. (i) Phần tử b ∈ X được gọi là cận trên của Y nếu y ≤ b với mọi y ∈ Y. Cận trên b của Y được gọi là cận trên bé nhất (hay hợp) của Y nếu b ≤ c với mọi c là cận trên của Y. Nếu Y có một cận trên bé nhất thì cận trên đó phải duy nhất. Cận dưới và cận dưới lớn nhất (hay giao) của Y được định nghĩa một cách đối ngẫu. (ii) Tập sắp thứ tự (X, ≤ ) được gọi là nửa dàn trên (hay nửa dàn dưới) nếu mỗi tập con gồm hai phần tử của X có hợp (hay giao) trong X và được ký hiệu bởi a ∨ b (tương ứng a ^ b). Nếu (X, ≤ ) là nửa dàn trên (hay nửa dàn dưới) thì mỗi tập con hữu hạn của X có một hợp (tương ứng giao) nằm trong X. (iii) Tập sắp thứ tự (X, ≤ ) được gọi là một dàn nếu nó vừa là nửa dàn trên, vừa là nửa dàn dưới. Dàn X được gọi là dàn đầy đủ nếu mọi tập con tuỳ ý của X đều có một hợp và một giao. - 7 - 1.1.7. Ví dụ. (i) Giả sử S là một nửa nhóm và X là tập hợp tất các nửa nhóm con của S bổ sung thêm tập rỗng. Thế thì X được sắp thứ tự bộ phận theo quan hệ bao hàm của lý thuyết tập (A ≤ B ⇔ A ⊆ B, ∀ A,B ∈ X). Vì giao của một họ tuỳ ý các nửa nhóm con của S hoặc là rỗng hoặc là một nửa nhóm con nên (X, ≤ ) là một dàn đầy đủ. Giao của một tập con Y trong X trùng với giao theo lý thuyết tập của các phần tử thuộc Y, các hợp của Y là nửa nhóm con của S sinh bởi hợp theo lý thuyết tập của các phần tử thuộc Y. Dàn X được gọi là dàn các nửa nhóm của nửa nhóm S và được ký hiệu bởi Sub(S). (ii) Tương tự, ta có dàn các tương đẳng trên nửa nhóm S được ký hiệu bởi Cong(S) và dàn các iđêan của S được ký hiệu bởi I(S). 1.1.8. Định nghĩa. Nửa nhóm S được gọi là một băng nếu mọi phần tử của S đều là phần tử luỹ đẳng. Như vậy, nếu S là môt băng thì trên S = E(S) ta xác định được quan hệ thứ tự bộ phận tự nhiên a ≤ b nếu và chỉ nếu ab = ba = a. Khi đó a ^ b = ba nếu S giao hoán và S là nửa dàn dưới. Đảo lại, nếu S là nửa dàn dưới thì ta xác định trên S phép toán hai ngôi o cho bởi a.b = a ^ b. Khi đó S là một băng giao hoán. Vì vậy, người ta thường đồng nhất nửa dàn (dưới) với các băng giao hoán. 1.2. Nửa vành. Nửa vành đơn. Nửa vành luỹ đẳng cộng tính. Trong tiết này, chúng tôi tìm hiểu các nửa vành với một dãy điều kiện được ấn định lên chúng. Trước hết trình bày nửa vành luỹ đẳng-cộng tính với điều kiện mạnh hơn. Xin nhắc lại một số khái niệm và ký hiệu sẽ dùng trong tiết này. 1.2.1. Định nghĩa. Một tập hợp R khác rỗng được gọi là một nửa vành nếu trên nó đã xác định hai phép toán cộng và nhân sao cho các điều kiện sau đây được thoả mãn: (i) (R,+) là vị nhóm giao hoán với phần tử đơn vị là 0; (ii) (R,.) là một nửa nhóm; - 8 - (iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng; (iv) 0.r = 0 = r.0, ∀ r ∈ R. Nửa vành R được gọi là nửa vành với đơn vị nếu (R,.) là một vị nhóm. Đơn vị của vị nhóm nhân đó được ký hiệu là 1. Để nửa vành này không tầm thường, cần giả thiết thêm 1 ≠ 0. • Giả sử R là một nửa vành và a ∈ R. Với mỗi số nguyên dương n, tổng của n bản coppy của a được ký hiệu là na và tích của n bản coppy của a được ký hiệu là a. Ta quy ước a = 1 với ∀ a ∈ R, trong đó R là một vành với đơn vị. • Phần tử a ∈ R được gọi là luỹ linh nếu tồn tại số nguyên n sao cho a = 0. Số nguyên dương n nhỏ nhất thoả mãn a = 0 được gọi là chỉ số luỹ linh của a. • Nếu a,b ∈ R và m,n là các số nguyên không âm thì phần tử a b được định nghĩa theo quy nạp như sau: 1) ab = b đối với tất cả m ≥ 0; 2) ab = a đối với tất cả n ≥ 0 ; 3) ab = ( ab)a + ( ab)b. Một cách trực giác, a b là tổng của tất cả các tích có thể của n lần a và của m lần b xuất hiện. 1.2.2. Mệnh đề. Nếu a,b là các phần tử của nửa vành R và m,n là các số nguyên không âm thì (i) ( ) n a b+ = { } : 0 n i i a b i n − ≤ ≤ ∑ (ii) ( ) { } 1 : 0 1 n m i m n i a b a b ba i n − − = ≤ ≤ − ∑ Chứng minh. Các kết quả trên được suy ra bằng lập luận quy nạp trực tiếp. Giả sử A và B là các tập con khác rỗng của một nửa vành R thế thì ta định nghĩa các tập con của A và B như sau: A + B = AB = { } * 1 1 2 2 . : , , n n i i a b a b a b n N a A b B+ + + ∈ ∈ ∈ 1.2.3. Định nghĩa. - 9 - a) Vành R được gọi là luỹ đẳng-cộng tính nếu r + r = r, ∀ r ∈ R. Vành R được gọi là luỹ đẳng nhân tính nếu r = r, ∀ r ∈ R. b) Một phần tử a ∈ R được gọi là phần tử vô hạn nếu a + r = a, ∀ r ∈ R. Phần tử vô hạn của R nếu có sẽ duy nhất (Thật vậy, nếu a và a’ là các phần tử vô hạn của R thì a = a + a’ = a’ + a = a’). Giả sử R là vành với đơn vị là 1. Khi đó 0 không phải là phần tử vô hạn của R vì 0 +1 = 1 ≠ 0. c) Nửa vành R là đơn nếu phần tử 1 là phần tử vô hạn. Khi đó 1+1=1 nên r + r = r. Do đó nửa vành đơn là luỹ đẳng - cộng tính. Khẳng định ngược lại nói chung không đúng. Ví dụ S = ¡ ∪ ; khi đó (S, min,+) là một nửa vành giao hoán luỹ đẳng cộng tính nhưng không phải là nửa vành đơn 1.2.4. Mệnh đề. Nếu a,b,c,d là các phần tử của một nửa vành luỹ đẳng cộng tính R thoả mãn a + c = b và b + d = a thế thì d = b. Chứng minh. Theo tính chất luỹ đẳng cộng tính có a = a + a = a + b + d = a + a + c + d = a + c + d = b + d + c + d = b + d + c = a + c = b.  1.2.5. Mệnh đề. Các điều kiện sau đây về một nửa vành R là tương đương. (1) R đơn; (2) a = ab + a đối với mọi a,b ∈ R; (3) a = ba + a đối với mọi a,b ∈ R; (4) ab = ab + acb đối với mọi a,b,c ∈ R. Chứng minh. Giả thiết có (1). Nếu a,b ∈ R thì a = a.1 = a(1 + b) = a + ab, chứng minh (2). Đảo lại, nếu (2) đúng thì 1 + b = 1 + 1b = 1 đối với tất cả b ∈ R, nên a + ab = a đối với tất cả a ∈ R, điều này chứng minh (2). Tương tự, (1) ⇔ (3) ⇔ (4).  - 10 -