Chiều noether của môđun artin

Header Page of 16 I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM - TRN TH HNG CHIU NOETHER CA MễUN ARTIN LUN VN THC S KHOA HC TON HC THI NGUYấN 2008 Footer PageS1 húa of 16 bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM - TRN TH HNG CHIU NOETHER CA MễUN ARTIN Chuyờn ngnh: i s v lý thuyt s Mó s: 60.46.05 LUN VN THC S KHOA HC TON HC NGI HNG DN KHOA HC: TS NGUYN TH DUNG THI NGUYấN 2008 Footer PageS2 húa of 16 bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM - TRN TH HNG CHIU NOETHER CA MễUN ARTIN Chuyờn ngnh: i s v lý thuyt s Mó s: 60.46.05 TểM TT LUN VN THC S KHOA HC TON HC NGI HNG DN KHOA HC: TS NGUYN TH DUNG THI NGUYấN 2008 Footer PageS3 húa of 16 bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 Cụng trỡnh c hon thnh ti Ngi hng dn khoa hc: TS Nguyn Th Dung Phn bin 1: Phn bin 2: Lun s c bo v trc Hi ng chm lun hp ti: Trng i hc s phm - HTN Ngy thỏng 10 nm 2008 Footer PageS4 húa of 16 bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 t (R, m) ị tr ự m; M R ữ s A R rt ú t ết ệ tí s ề r ữ ệ ủ ì ọ số số t q ó t ó tể ó trú ủ t số trú ủ tr ữ s tr ú ề r ủ ột ữ s M ý ệ dim M ợ ị ĩ ề r ủ R/ Ann M t ó ị ý ủ ý tết ề s (M ) = dim M = d(M ), tr ó (M ) số t ỏ t s tồ t ột tử a1 , , at m ể ộ ủ M/(a1 , , at )M ủ tứ rt ữ d(M ) PM,I (n) ứ ị ĩ I ệ ố ề r ột rt ợ tệ rt s ó r ổ t t ề tr ý ệ N-dim ể tr ề r ợ ị ĩ tr ột số ết q t ột ĩ ó ợ ố ết q ề ề r ữ s ợ r ệt rts ứ ột ết q ề tí ữ ủ ề tr ố ệ ữ ề tr ủ tứ rt ủ rt tr tr s ó r rộ ết q tr ủ rts t ỳ N-dim A = deg( R (0 :A mn )) = inf{t : a1 , , at m : R (0 :A (a1 , , at )R) < } ết q tr ột tự ó tể ị ĩ ệ ệ t số ệ ộ rt t q ề tr Footer Page of 16 Header Page of 16 ế t ề t ũ ù ề tr ể ứ trú ủ rt ệt t ó ữ ứ s ề ề tr q t ệt tớ ề tr ủ ố ề ị ú rt t ợ ột số ết q tú ị ứ tỏ ệ ề tr t ột ĩ ó ù ợ ố ề ị tự ề r ủ ữ s ột tự ố ỗ rt ủ A R/ AnnR A ề r dimR A ũ ợ ể ề r ột ết q q trọ tr ứ ố q ệ ữ ề tr ề r ủ rt tr trờ ợ tổ qt N-dimR A N-dimR A < dimR A dimR A ữ ỉ r ữ trờ ợ r ệt ết q t tr t ề ệ ủ ể ề tr ủ ột rt ề r ủ ó AnnR (0 :A p) = p, p V (AnnR A) () ú ý r ố ỗ R ữ s M t ổ ề t ó tí t AnnR M A AnnR M/pM = p, õ r r R ủ tì ỗ t ố ts t ó ó tố () UsuppR M t p ứ R rt AnnR (0 :A p) = p ọ p ứ AnnR A t tr t ỳ ọ rt ề ệ ọ tố A ề tỏ ề ệ ột ề tú ị ữ t ó tể tr ợ tí tr ủ trộ ủ Hmd (M ) M t q ố ề ị tí trộ tí tr ổ ụ ủ ố ề ị Hmi (M ) ụ í ủ trì ứ tết ết q tệ tr tr ủ ột ết q ủ ủ rts r Footer Page of 16 Header Page of 16 ợ ế tứ tết q ế ộ ủ ợ ẽ tr tệ ệ ề tr ứ ột số ết q ề ề tr ủ rt ệt ứ tí ữ ủ ề tr ố ệ ữ ề tr ủ tứ rt ủ ột rt ể ứ ết q ề ề tr ủ ố ề ị ủ ột R ữ s ú rt ố q ệ ữ ề tr ủ ố ề ị tứ i ỉ số i ề tr ủ ố ề ị t ề r ủ ữ s trì ố q ệ ữ ề tr ề r ủ rt tr trờ ợ tổ qt N-dimR A dimR A ỉ r ữ trờ ợ r ỏ tự ề ệ ủ ể ề tr ủ ột rt ề r ủ ó P ết ủ tổ ết t ộ ết q t ợ Footer Page of 16 Header Page of 16 ề tr tứ rt r t ộ t ý ệ R tr t tết ị tết ị ợ tr từ trờ ợ ụ tể M R A R rt ụ í ủ tệ ệ ề tr ột tỳ ý ột số ết q ề ề tr rt ết q í ủ ứ tí ữ ủ ề tr ố ệ ữ ề tr ủ tứ rt ủ rt ết q ợ tệ rts ị s ó r rộ tr ề tr ệ ố ề r ột tỳ ý ợ tệ rts ó ũ r ột số ết q ề ề r rt ó r tr ổ tt ữ ủ rts ề ị t ề tr N-dim ể tr ề r ợ ị ĩ tr ị ĩ s t t tt ữ ủ r Footer Page of 16 Header Page of 16 ị ĩ ề tr ủ M ý ệ N-dimR M, ợ ị ĩ q s M = 0, t N-dimR M = M = 0, ột số 0, s ỗ t N-dimR M < d ủ d M, tồ t số n0 s t t N-dimR M = d M0 M1 ế N-dimR (Mn+1 /Mn ) < d, ọ n > n0 í ụ M tr ỉ R M n > n0 ó ọ Mn+1 /Mn = ì N-dimR M = t t ỳ M = M R t sử M R n0 N ì tế s Mn = Mn+1 ó s Nk+1 = Nk N-dimR M = n > n0 ó ột ị ĩ N-dimR Nk+1 /Nk = < ọ ọ ó t ị ĩ N0 N1 ủ M n0 N-dimR Mn+1 /Mn = < 0, N-dimR M ợ sử tồ t số k > n0 M0 M1 Mn ề tồ t n > n0 M N-dimR M = tr ì ọ t ủ ó ọ tr ĩ R tr ệ ề ế M M M R tì N-dimR M = max{N-dimR M , N-dimR M } ứ t tí tổ qt t ó tể sử M M M = M/M ế M = tì M = M = M = s r N-dimR M = N-dimR M = N-dimR M = Footer Page of 16 Header Page 10 of 16 ó t ó tể tết M = ứ q t N-dimR M = d sử d = í ụ tr M ũ sử R tr ì M ,M R tr s r N-dimR M = N-dimR M = d > ỏ d ệ ề ú ọ ó ề tr tự M0 M1 Mn = ủ = = ột í t t ỳ = M ó t ũ ó M0 M M1 M Mn M = = = (1) = (M + M0 )/M (M + M1 )/M (M + Mn )/M = = = t ứ í t ủ N-dimR M = d N-dimR Mn+1 /Mn < d, M M = M/M t ị ĩ tồ t ọ n > n0 (2) = n0 N s ì ụ tết q Mn+1 M + Mn+1 M Mn+1 0, M Mn Mn M + Mn t ó N-dimR (Mn+1 /Mn ) = max{N-dimR ì tế ọ M Mn+1 M + Mn+1 , N-dimR } M Mn M + Mn n > n0 t ó N-dimR M Mn+1 = N-dimR (Mn+1 /Mn ) < d M Mn M + Mn+1 = N-dimR (Mn+1 /Mn ) < d M + Mn ĩ ề tr t ó N-dimR M = d N-dimR ó t ị N-dimR M = d N-dimR M = max{N-dimR M , N-dimR M } Footer Page 10 of 16 Header Page 28 of 16 ề r ủ rt ố ỗ rt ột tự t ũ ó ệ ề s ị ĩ ề r ủ rt ề r ủ A ý ệ dimR A R/ AnnR A q dimR A = ế A = ý tết ể ễ tứ ủ ợ ì ọ rt ề ó ể ễ tứ t tố tố tể ủ AttR A dimR A AnnR A ũ í t tử tố tể ủ í tr ủ số dim R/p p t tố ết dimR A = max{dim R/p | p AttR A} ết q s ỉ r ố q ệ ữ ệ ề t ể s ú N-dimR A = ế ỉ ế dimR A = r trờ ợ A ó ộ ữ N-dimR A dimR A N-dimR A dimR A ứ sử R (A) < dimR A = ứ R/ AnnR A rt N-dimR A = ó ì t t ó ợ sử dimR A = AnnR A ề ự ọ J ứ tr ì tế tồ t p= pAttR A pAttR A,p tố tể n N s JAn A = N-dim A = Footer Page 28 of 16 R tr R/ AnnR A rt ó ọ tố ủ tt tố AttR A ó t ệ ề ý ệ JA J= ó A p= t ó p = JA pV (AnnR A) r R A < t ổ ề Header Page 29 of 16 ứ q t d = dimR A ế d = tì N-dim A = t (i) sử d > p1 , , pk tt tố tr t AttR A s dim R/pi = d, rt t ệ ề t ự ủ ọ i = 1, , k R JA ủ tt ự tr t Supp A i = 1, , k ì tế dimR (0 :A xR) q t ũ ó N-dim A A Supp A ỉ ữ tr ý ệ ó t ó tể ọ ợ tử ọ ì N-dim(0 :A xR) d d x JA x / pi , ó t tết ệ ề t ó d ết q s ệ q trự tế ủ ệ ề ệ q ế (R, m) ị ủ tì t ó N-dimR A = dimR A ứ ệ ề ó N-dimR A ế dimR A ứ q t d = N-dim A N-dim A d=0 tì dimR A ỉ ứ dimR A = ột tử t số ủ t ệ ề sử A d>0 ó ụ ệ ề t ợ N-dim(0 :A x) = d t tết q t ó dimR (0 :A x) ì R ị ủ t ệ ề xm d HomR ((0 :A x); E) R ữ s ì t ệ ề t ó d1 dimR (0 :A x) = dimR (HomR ((0 :A x); E)) = dimR (HomR (A; E)/x HomR (A; E)) dimR (Hom(A; E)) = dimR A t ó ề ứ ị ý ụ s t r ế N-dimR A R ị tì ữ N-dim A dimR A ó tể Footer Page 29 of 16 ữ í Header Page 30 of 16 í ụ s t rt A tr tr ị dimR A = ứ ột tứ ế T = k[x1 , , xn , ] x1 , , xn , ệ số tr trờ k m1 , , mn , số s tố ủ T mi mi1 < mi+1 mi ợ s tt tử S= xj Ti ọ i s pi mi < j < mi+1 t R = TS Ti =T \pi ó t í ụ t ó t A = E(R/m) ộ ủ trờ t ự ó ủ N-dimR A = ht(m) ì tế R ột tr dim R = R ó A R/m m ột rt t ó tể ể tr ợ ũ ó tể ể tr ợ r R ề AnnR A = ó dimR A = dim R = A ột R rt ó t ệ ề ệ ề rt A ể ễ ợ ữ A ó trú tự ủ Rmj Rmj rt mj Supp A, j = 1, , r ó t ó ết q s ổ ề ệ q ệ q ệ ề ệ ề s ú AttRmj A = {pRmj : p AttR A} AttRmj A = {q R : q AttRm A} j ệ ề ỉ r r ì N-dimR A dimR A í ụ s t r ó ữ trờ ợ r ỏ tự í ụ s Footer Page 30 of 16 t rt N-dimR A < dimR A A tr tr ị (R, m) Header Page 31 of 16 ứ (R, m) ề ề ợ ự rr s ị ủ tố ết q ề R ủ R ó ột t t í ụ ì q Ass(R), dim R/q = ú ý r t ó ữ R Hm1 (R) = Hm1 (R) t ị ý ủ rr t ó q AttR (Hm1 (R)) ệ ề s r q = q R AttR (Hm1 (R)) ữ R ề Ass(R) = {0} ì tế q = q R Ass(R) = {0} ó s r AnnR (Hm1 (R)) = AnnR (Hm1 (R)) R q R = ì tế t ó dimR (Hm1 (R)) = dim R/ AnnR (Hm1 (R)) = dim R = t t ị ý ệ ề t ó N-dimR (Hm (R)) t ỉ r ợ tồ t ủ rt A = Hm1 (R) = s N-dimR A = < = dimR A ề ệ AnnR (0 :A p) = p ết q ủ ụ tứ 3.1 N-dimR A = dimR A t t ũ ó ột ỏ tự t r tì t ó tứ tr ể tr ỏ trớ ết t ết q s Footer Page 31 of 16 Header Page 32 of 16 ổ ề ỗ R ữ s M t ó tứ AnnR (M/pM ) = p ọ tố p V (AnnR M ) ứ ể t ó tứ p ì p V (AnnR M ) = Supp M AnnR (M/pM ) ợ t ổ ề Mp = ó (M/pM )p = Mp /pRp Mp = ì ế ợ tì ó Mp = pRp Mp , s r Mp = t ổ ề ế t p Supp(M/pM ) = V (AnnR (M/pM )) p AnnR (M/pM ) ột ỏ tự t r ố ủ ết q tr ó ú rt ể t tệ ệ tr ỏ t r ệ s ị ĩ ứ ý ệ V (AnnR A) t ợ tt tố AnnR A ó r A t ề ệ ế AnnR (0 :A p) = p, ọ p V (AnnR A) í ụ s t r tr ủ ỏ tr ủ ị R ị ĩ tồ t rt tr ị t ề ệ í ụ s t rt A tr tr ị (R, m) A t ề ệ ứ R ột tố p A = Hm1 (R) s p = tr í ụ tỳ ý p = m ì AnnR A = p V (AnnR A) ột tử = x p ó s x R R R/xR Footer Page 32 of 16 Header Page 33 of 16 tí t ủ tử ố ề t ợ x Hm0 R Hm0 (R) Hm0 (R/xR) x Hm1 (R) Hm1 (R) Hm1 (R/xR) ú ý r R ề Hm0 (R) = ó t t ợ ố ề ị x Hm0 (R/xR) Hm1 (R) Hm1 (R) ì Hm0 (R/xR) = (0 :Hm1 (R) xR) = (0 :A xR) ì Hm0 (R/xR) ó ộ ữ (0 :A xR) ũ ó ộ ữ xp :A x :A p AnnR (0 :A p) m s r ộ ủ s ì tế t ó :A p ũ ữ ó AnnR (0 :A p) = p ĩ A t ề ệ rt t ề ệ ò rộ ề ứ tỏ ệ ệ ứ ề ệ ữ í ể ỉ r trớ ết ú t ệ ố ị ủ rss s ố ị ủ R HomR (S R; A) tố rt A ứ t ó S ọ ũ ứ ợ r tử coSupp A = V (AnnR A) tr ó coSupp A S R Hom(S R; ) t p s HomR (Rp ; A) = ết q é t r ột số rt t ề ệ s ổ ề ế R ị ủ A ứ ộ ủ R/m tì A t ề ệ ứ sử R ủ ó ố ts HomR (A; E) R ữ s p Footer Page 33 of 16 V (AnnR A) s r p SuppR (HomR (A; E)) Header Page 34 of 16 ì ụ ết ủ ủ ố ts tr ệ ề ổ ề t ó AnnR (0 :A p) = AnnR HomR ((0 :A p); E) = AnnR (HomR (A; E)/p HomR (A; E)) = p ì A t ề ệ ét trờ ợ A ứ ộ ủ E p V (AnnR A) ổ ề t ó AssRp (HomR (Rp ; A)) AssRp (HomR (Rp ; E(R/m))) = {qRp : q p} ì tế t ó ự pRp tr ị Rp tộ t AssRp (HomR (Rp ; A)) ề s r (0 :HomR (Rp ;A) pRp ) = r HomR (Rp ; (0 :A p)) = ó t t ợ p AnnR (0 :A p) từ ó p = AnnR (0 :A p) ị ý s ết q í ủ tết t ề ệ ủ ể ề tr ủ ột rt ị ý rt ế A ề r ủ ó (R, m) ị tr A R A t ề ệ tì N-dimR A = dimR A ứ ệ ề t ỉ ứ t tứ dimR A N-dimR A a t ỳ ủ R ì rad AnnR (0 :A a) = p pV (AnnR (0:A a)) rad a + AnnR A = Footer Page 34 of 16 p, pV (a+AnnR A) Header Page 35 of 16 ữ ế p AnnR (0 :A a) tì p (a + AnnR A) rõ r t ó rad AnnR (0 :A a) rad a + AnnR A ứ tứ ợ ọ tố p ứ a + AnnR A, ì p a (0 :A p) (0 :A a) ó t tết t ó AnnR (0 :A a) AnnR (0 :A p) = p ì tế rad AnnR (0 :A a) rad a + AnnR A ết ợ tr t ó tứ sử N-dimR A = d ó t ị ĩ ề ệ t số tồ t tử R (0 :A s x1 , , x d m (x1 , , xd )R) < ệ ề ụ tứ ứ tr a = (x1 , , xd ) t ợ = dimR (0 :A (x1 , , xd )R) dimR A d = dimR R/((x1 , , xd )R + AnnR A) ì t ó dimR A d ết ợ ệ ề t ó ề ứ ú ý r ề ợ ủ ị ý ú ể ỉ r í ụ s tỏ ét tr t ệ ột số tí t ủ tứ ợ ợ r ợ ề ế tr s ị ĩ R ợ ó ị M [x1 , , xt ] ủ t ế tr m = axi11 xitt M t tứ ó ỗ số tử ó Footer Page 35 of 16 R R[x1 , , xt ] a M ợ s i1 , , i t Header Page 36 of 16 số Pé ộ tr M [x1 , , xt ] ợ ị ĩ t tự tí ợ ị s m axi11 xitt = R[x1 , , xt ] tr ó raxi11 +j1 xitt +jt rR a M x = rxj11 xjt t t ị ĩ tí ế tt ik + jk ề ọ xm tử k = 1, 2, , t tr trờ ợ ợ ệ ề ợ M [x1 , , xt ] tộ ế A R rt tì tứ A[x1 , , xt ] R[x1 , , xt ] rt A R rt t S = R[x1 , , xt ], K = A[x1 , , xt ] ó N-dimS K = N-dimR A + t í ụ s ỉ r r ề ệ ỉ ề ệ ủ ể ột rt ó ề tr ề r ủ ó í ụ s t rt A tr tr ị (R, m) N-dimR A = dimR A A t ề ệ ứ sử r tồ t ữ rt tr tr ị R s ề ệ s t N-dimR A = dimR A > dimR A > N-dimR A t tố A ,A p V (AnnR A ) p V (AnnR A ) s AnnR (0 :A p) = p t A = A A ó t ó A A A ụ tí t ề ề tr ề r ủ ủ ột tr ệ ề ú ý r t ề s Footer Page 36 of 16 AnnR A AnnR A , t ó A Header Page 37 of 16 A R rt N-dimR A = N-dimR A = dimR A = dimR A p V (AnnR A) t tết t ó AnnR (0 :A p) = AnnR (0 :A p) AnnR (0 :A p) = p ề ứ tỏ A t ề ệ ú t ỉ r tồ t ủ ề ề t A A tr R tr í ụ S = R[[x1 , , xt ]] ỗ ỹ từ ì tứ t ế x1 , , xt tr R A = k[[x1 , , xt ]] tứ ợ tr trờ ó t ệ ề AnnS A = mS A S rt k = R/m N-dimS A = t ì dimS A = dim(k[[x1 , , xt ]]) = t A = Hm1 (R) S ố ề ị s xi A = ọ i = 1, , t ó ỗ t ủ A ỉ ó S ủ A ì A R ủ A ũ S rt dimS A = 2; N-dimS A = õ r r AnnS A = (x1 , , xt )S p = m ột ủ S p AnnS A ó p V (AnnS A ) s tí t tự tr í ụ t ó ề ứ AnnS (0 :A p) = p ệ q (R, m) ị tr A R rt ý ệ R ủ t t m adic ủ R ó t ó N-dimR A = dimR A Footer Page 37 of 16 Header Page 38 of 16 ứ ì t ó ệ tr A ó trú tự N-dimR A = N-dimR A R t rt t ổ ề A R t ổ ề ì tế từ ị ý t ó N-dimR A = N-dimR A = dimR A Footer Page 38 of 16 ũ t ề Header Page 39 of 16 ết ó tr ú t trì ứ tết ết q tr tr s rt s ủ ột ết q ủ r s r rt s r qs tt rs ủ rts s t r rt s ủ r s tt rt t rt s ủ ết q í ủ ộ s ệ tố ột số tí t ủ rt ó q ế ộ ủ tệ ệ ề tr ứ ột số ết q ề ề tr ủ rt ệt ứ tí ữ ủ ề tr ố ệ ữ ề tr ủ tứ rt ủ ột rt ứ ề tr ủ ố ề ị ủ ột R ữ s ú rt tr ủ ố ề ị tứ ố q ệ ữ ề i ỉ số i ề tr ủ ố ề ị t ề r ủ ữ s rì ố q ệ ữ ề tr ề r ủ rt tr trờ ợ tổ qt N-dimR A dimR A ỉ r ữ trờ ợ r ỏ tự ề ệ ủ ể ề tr ủ ột rt ề r ủ ó Footer Page 39 of 16 Header Page 40 of 16 ệ t r r r trt t tr ts r rst Prss r t tr t srt t rt r s tt rt t rt s stst t tr s rt s t t r s r tt rs s t rt t ts t rrr rr r r rt s rt s rt t r r r s t r rt s rt t r r Footer Page 40 of 16 Header Page 41 of 16 r r r sst r rts r rrstt s r tt r s tt ts t s r tr rs P t tsr tt r rss P t rt Pr r t t r trs r t ss rs trt r s Prrt rts r s r rt s r qs tt rs rt t r r r t r t st rt s t t t stt r tt r t s st P rr r r ts tt r r rst Prss r s s r rts r Footer Page 41 of 16 Header Page 42 of 16 rr rs rs tr r Footer Page 42 of 16 ...Header Page of 16 I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM - TRN TH HNG CHIU NOETHER CA MễUN ARTIN Chuyờn ngnh: i s v lý thuyt s Mó s: 60.46.05 LUN VN THC S KHOA HC TON HC NGI HNG DN... http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM - TRN TH HNG CHIU NOETHER CA MễUN ARTIN Chuyờn ngnh: i s v lý thuyt s Mó s: 60.46.05 TểM TT LUN VN THC S KHOA HC TON HC NGI