Chiều Noether của Mô đun Artin
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ------------------------- TRẦN THỊ HƯỜNG CHIỀU NOETHER CỦA MÔĐUN ARTIN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2008 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ------------------------- TRẦN THỊ HƯỜNG CHIỀU NOETHER CỦA MÔĐUN ARTIN Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THỊ DUNG THÁI NGUYÊN – 2008 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ------------------------- TRẦN THỊ HƯỜNG CHIỀU NOETHER CỦA MÔĐUN ARTIN Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60.46.05 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THỊ DUNG THÁI NGUYÊN – 2008 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Công trình được hoàn thành tại Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thị Dung Phản biện 1: . Phản biện 2: . Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại học sư phạm - ĐHTN Ngày tháng 10 năm 2008 ở (R, m) ị tr ớ ự t m; M R ữ s A R rt ú t ết ệ tí s ề r ữ ệ ủ ì ọ số số t q ó ờ t ótể ó trú ủ t số trú ủ tr ữ s tr ú ề r ủ ột ữ s M ý ệ dim M ợ ị ĩ ề r ủ R/ Ann M t ó ị ý ủ ý tết ề s(M) = dim M = d(M),tr ó (M) số t ỏ t s tồ t ột tửa1, . . . , at m ể ộ ủ M/(a1, . . . , at)M ữ d(M) ủ tứ rt PM,I(n) ứ ớ ị ĩ I ệ ố ớ ề r ột rt ợ ớ tệở rt s ó r ổ t t ề trý ệ N-dim ể tr ớ ề r ợ ị ĩ tr ột số ết q t ột ĩ ó ợ ố ớ ết q ề ề r ữ s ợ r ệt rts ứ ột ết q ề tí ữ ủ ề tr ố ệ ữ ề tr ớ ủ tứrt ủ rt tr tr s ó r ờ ở rộ ết q tr ủ rts t ỳN-dim A = deg(R(0 :Amn))= inf{t 0 : a1, . . . , at m : R(0 :A(a1, . . . , at)R) < }.ừ ết q tr ột tự ó tể ị ĩ ệ ệ tsố ệ ộ rt t q ề tr ế t ề t ũ ù ề tr ể ứ trú ủ rt ệt t ờ ó ữ ứ s ề ề tr q t ệt tớ ề tr ủ ố ồ ề ị ú rt t ợ ột số ết q tú ị ứ tỏ ệ ề trt ột ĩ ó ù ợ ớ ố ồ ề ị tự ề r ủ ữ s ột tự ốớ ỗ rt A ề r dimRA ũ ợ ể ề rủ R/ AnnRA ột ết q q trọ tr ứ ốq ệ ữ ề tr ề r ủ rt tr trờ ợtổ qt N-dimRA dimRA ữ ỉ r ữ trờ ợ rN-dimRA < dimRA ệt ết q t ờ tr t ềệ ủ ể ề tr ủ ột rt ề r ủó AnnR(0 :Ap) = p, p V (AnnRA). () ú ý r ố ớ ỗ R ữ s M t ổ ề t ó tí t AnnRM/pM = p, ớ ọ tố p ứAnnRM õ r r R ủ tì ớ ỗ R rtA t ố ts t ó ó AnnR(0 :Ap) = p ớ ọ tố p ứ AnnRA t tr t ỳ ọ rt A ề tỏ ề ệ ột ề tú ị ữ ờề ệ () t ó tể tr ợ tí tr ủ trộ UsuppRM ủ M t q ố ồ ề ị t Hdm(M) tí trộ tí tr ổ ụủ ố ồ ề ị Him(M) ụ í ủ trì ứ tết ết q ớ tệ ở tr tr ủ ờ ột ết q ủ ủ rts r ờ ợ ế tứ tết q ế ộ ủ ợ ẽtr 1 ớ tệ ệ ề tr ứ ột số ếtq ề ề tr ủ rt ệt ứ tí ữ ủ ề tr ố ệ ữ ề tr ớ ủ tứrt ủ ột rt 2 ể ứ ết q ề ề tr ủ ố ồ ề ị ủ ột R ữ s ú rt ố q ệ ữ ề tr ủ ố ồ ề ị tứ i ớ ỉ số i ề tr ủ ố ồ ề ị t ớ ề r ủ ữ s 3 trì ố q ệ ữ ề tr ề r ủ rt tr trờ ợ tổ qt N-dimRA dimRA ỉ r ữtrờ ợ r ỏ tự sự ề ệ ủ ể ềtr ủ ột rt ề r ủ óP ết ủ tổ ết t ộ ết q t ợ ề tr tứ rtr t ộ t ý ệ R tr t tết ị tết ị sẽ ợ trtừ trờ ợ ụ tể M R A R rt ụ í ủ ớ tệ ệ ề tr ột tỳ ý ột số ết q ề ề tr rt ết q í ủ ứ tí ữ ủ ề tr ố ệ ữ ềtr ớ ủ tứ rt ủ rt ết q ợớ tệ ở rts ị s ó r ờ ở rộ tr ề tr ệ ố ớ ề r ột tỳ ý ợớ tệ ở rts ở ó ũ r ột số ết q ềề r rt ó r tr ổ tt ữủ rts ề ị t ề tr N-dim ể tr ớề r ợ ị ĩ tr ị ĩ s tt tt ữ ủ r ị ĩ ề tr ủ M ý ệ ở N-dimRM,ợ ị ĩ q s M = 0, t N-dimRM = 1.ớ M = 0, ột số d 0, t t N-dimRM = d ếN-dimRM < d s ớ ỗ t M0 M1 . . . ủ M, tồ t số n0s N-dimR(Mn+1/Mn) < d, ớ ọn > n0.í ụ M R ó M Rtr ỉ N-dimRM = 0. t sử M Rtr ì ọ t M0 M1 . . . Mn . . . ủ M ề ừ tồ t n0 N s Mn= Mn+1 ớ ọn > n0 ó Mn+1/Mn= 0 ì tế N-dimRMn+1/Mn= 1 < 0, ớọ n > n0 ì M = 0 N-dimRM 0 ó t ị ĩN-dimRM = 0 ợ sử N-dimRM = 0 ó ột t t ỳ N0 N1 . . . . . . ủ M ị ĩtồ t số n0s N-dimRNk+1/Nk= 1 < 0 ớ ọk > n0 ó Nk+1= Nk ớ ọ n > n0 tr ừ ĩ M R trệ ề ế0 M M M 0 ớ R tìN-dimRM = max{N-dimRM, N-dimRM}.ứ t tí tổ qt t ó tể sử M M M= M/M. ế M = 0 tì M= M = M = 0 s rN-dimRM= N-dimRM= N-dimRM = 1. ó t ó tể tết M = 0. ứ q tN-dimRM = d. sử d = 0. í ụ tr M R tr ì M, Mũ R tr s r N-dimRM= N-dimRM= 0. sử d > 0 ệ ề ú ớ ọ ó ề tr tựsự ỏ d. M0=M1=. . . =Mn=. . . ột í t t ỳ ủ M. ó t ũ ó M0 M=M1 M=. . . =Mn M=. . . (1)(M+ M0)/M=(M+ M1)/M=. . . =(M+ Mn)/M=. . . (2)t ứ í t ủ M M= M/M. N-dimRM = d t ị ĩ tồ t n0 N s N-dimRMn+1/Mn< d, ớ ọ n > n0 ì ụ tết q ớ0 M Mn+1M MnMn+1MnM+ Mn+1M+ Mn 0,t óN-dimR(Mn+1/Mn) = max{N-dimRM Mn+1M Mn, N-dimRM+ Mn+1M+ Mn}.ì tế ớ ọ n > n0 t ó N-dimRM Mn+1M Mn= N-dimR(Mn+1/Mn) < dN-dimRM+ Mn+1M+ Mn= N-dimR(Mn+1/Mn) < d. ó t ị ĩ ề tr t ó N-dimRM= d N-dimRM= d N-dimRM = max{N-dimRM, N-dimRM}. [...]... Mục tiêu của chương này là giới thiệu các kết quả của N, T Cường và L T Nhàn trong [4]: nghiên cứu sâu hơn về chiều Noether cho mô un Artin, so sánh chiều Krull và chiều Noether và quan tâm đặc biệt tới điều kiện để chiều Krull dimR A và chiều Noether N-dimR A của một mô un Artin A là bằng nhau 26 3.1 Chiều Krull của mô un Artin Đối với mỗi mô un Artin, một cách tự nhiên ta cũng có khái niệm chiều như... và mô un Chương này dành để nghiên cứu chiều Noether của mô un đối đồng điều địa phương khi chúng là Artin 2.1 Mô un đối đồng điều địa phương Trước hết, ta nhắc lại khái niệm mô un đối đồng điều địa phương của một mô un tuỳ ý Định nghĩa 2.1.1 R -mô un iđêan I Cho I là một iđêan của vành Noether Mô un đối đồng điều địa phương thứ được định nghĩa bởi i HI (M ) = Ri (I (M )), trong đó I (M ) là mô un con... [16] (i) Nếu A là R -mô un Artin thì mô un các đa thức A[x1 , , x1 ] là R[x1 , , xt ] -mô un Artin t 1 (ii) Cho A là R -mô un Artin và đặt S 1 = R[x1 , , xt ], K = A[x1 , , xt ] 1 Khi đó N-dimS K = N-dimR A + t Ví dụ sau chỉ ra rằng điều kiện (*) chỉ là điều kiện đủ để một mô un Artin có chiều Noether bằng chiều Krull của nó Ví dụ 3.2.8 sao cho Tồn tại mô un Artin A trên vành Noether, địa phương... Cho không trên vành địa phương A là R -mô un Artin khác (R, m) Khi đó, A có cấu trúc tự nhiên của R -mô un, trong đó R là vành đầy đủ theo tôpô m-adic của R và mọi tập con của A là R -mô un con của A nếu và chỉ nếu nó là R -mô un con của A Do đó, A có cấu trúc tự nhiên của R -mô un Artin 10 Do có cấu trúc đặc biệt như vậy, người ta có thể chuyển việc nghiên cứu mô un Artin trên một vành giao hoán bất kỳ... phương i Như đã nhắc ở Định lý 2.1.3, các mô un đối đồng điều địa phương Hm (M ) của R -mô un hữu hạn sinh M với giá là iđêan cực đại luôn là mô un Artin i với mọi i, nhưng với giá là iđêan bất kỳ thì Ha (M ) không nhất thiết là mô un Artin, trừ trường hợp i = dim M Tuy nhiên khi chúng là mô un Artin thì định lý sau cho ta mối liên hệ giữa chiều Noether của mô un đối đồng điều địa phương thứ i với chỉ... là mô un hữu hạn sinh với chiều Krull dimR (M ) = d Theo Định lý 2.1.3, ta luôn có mô un đối đồng điều địa phương cấp cao nhất d Ha (M ) là mô un Artin Kết quả chính thứ hai của chương này là định lý sau, cho ta mối quan hệ giữa chiều Noether của mô un đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá là một iđêan bất kỳ và chiều Krull của mô un hữu hạn sinh ban đầu 24 Cho Định lý 2.3.5 d a là iđêan của. .. Nếu N là R -mô un Noether, thì D(N ) là Artin, nếu A là R -mô un Artin, thì D(A) là Noether (iii) Cho I R là iđêan của R và j N Khi đó D(N/I j N ) (0 :D(N ) I j ) và D(0 :A I j ) D(A)/I j D(A) = = Mệnh đề sau cho ta điều kiện cần để đối ngẫu Matlis của mô un đối đồng điều địa phương là mô un hữu hạn sinh Mệnh đề 2.3.4 là Cho i a là iđêan của R và i là số nguyên dương Nếu Ha (M ) R -mô un Artin và đối... [7]) (a1 , , at )R) < } Nhắc lại rằng, R (0 :A n JA ) là một Định lý sau đây là kết quả chính của chương, cho ta tính hữu hạn của chiều Noether của mô un Artin trên vành giao hoán, Noether và mối liên hệ giữa chiều Noether với bậc của đa thức Hilbert của mô un Artin Định lý này là mở rộng kết quả chính của Roberts trong [16] cho vành giao hoán bất kỳ, và đã được N T Cường - L T Nhàn chứng minh trong... được đưa ra Trước hết, chiều Krull của M , ký hiệu là dimR M được định nghĩa là chiều Krull của vành R/ AnnR (M ) Trong chương 1, ta đã nhắc lại khái niệm chiều Krull (Kdim) cho một mô un tuỳ ý của Roberts [16] và sau đó Kirby đã đổi thành chiều Noether (N-dim) để tránh nhầm lẫn với chiều Krull đã được định nghĩa ở trên Nhiều tác giả đã nghiên cứu các mô un Artin thông qua chiều Noether (xem [3], [4],... phương Tính chất sau đây về chiều Noether của mô un Artin là một ví dụ minh hoạ cho nhận xét trên Bổ đề 1.1.7 i) Giả sử rằng A = A1 Ar là một phân tích A thành tổng trực tiếp các mô un con Aj như trong Ký hiệu 1.1.5 Khi đó, N-dimR Aj = N-dimRmj (Aj ), với mọi j = 1, , r (ii) Cho (R, m) là vành địa phương và A là R -mô un Artin Khi đó A có cấu trúc tự nhiên của R -mô un Artin và ta có N-dimR A = . SƯ PHẠM ------------------------- TRẦN THỊ HƯỜNG CHIỀU NOETHER CỦA M ĐUN ARTIN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN. HỌC SƯ PHẠM ------------------------- TRẦN THỊ HƯỜNG CHIỀU NOETHER CỦA M ĐUN ARTIN Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số