1, 2
( ,..., )d
a= x x x R, ta có
1, 2
0 dim (0 : (= R x x ,..., ) ) )x Rd A
= (dim / (R x x1, 2,..., )x Rd +AnnR A) ≥dimR A d− .
Vì thế dimR A ≤ = −d N dimR A.
2.1.8. Hệ quả. Cho là(R m, ) vành địa phương và R-môđun Artin.Gọi Rˆlà đầy đủ m-adic của R.Khi đó ta có N−dimR A=dimRˆ A.
Chứng minh. Theo bổ đề 2.1.6 thì Athoả mãn điều kiện (*) xét như Rˆ- môđun. Theo định lý 2.1.7 ta có ˆ ˆ dimR dimR N− A= A (1)
Mặt khác, theo tính chất về chiều Noether của môđun Artin (1.8.2.(ii)) ta có N−dimRˆ A N= −dimR A (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra
ˆ
dimR dimR
N− A= A.
Chú ý là điều ngược lại của định lý trên không đúng, tức là tồn tại môđun Artin Atrên vành địa phương (R m, ) sao cho N−dimR A=dimR A nhưng
A lại không thoả mãn điều kiện (*), nghĩa là chiều ngược lại của định lý 2.1.7 có thể không đúng.
2.1.9. Ví dụ. Tồn tại môđun Artin trên vành địa phương (R m, ) sao cho
dimR dimR
N− A= A nhưng Akhông thoã mãn điều kiện (*).
Chứng minh. Trước hết ta giả thiết rằng tồn tại các môđun Artin A' và A''
trên vành địa phương Rcó các tính chất sau.
(i). ' ' '' ''
dimR dimR dimR dimR
N− A = A f f N− A .
(ii). Tồn tại iđêan nguyên tố p V∈ (AnnR ''
A )\ (AnnR '
A) sao cho AnnR
( ) " ( 0 :p A )≠ p
Đặt A A= +' A".
Khi đó A là R-môđun Artin, dimR A N= −dimR A và p V∈ (AnnR A). A không thoã mãn điều kiện (*) vì
AnnR ( 0 :( p)A)= AnnR ( 0 :( p)A')∩ AnnR ( 0 :( p)A")≠ p.
Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra sự tồn tại của các môđun Artin A' và "
A như ở trên. Gọi Rlà miền Noether địa phương như ví dụ trên.
Ký hiệu S =R x x[ 1, ,...,2 xt] (t≥3) là vành các chuỗi luỹ thừa hình thức của t
biến x x1, ,...,2 xt trên R và A' là môđun các chuỗi luỹ thừa ngược hình thức
1 1 1 1 , 2 ,..., t k x − x− x− trên trường k=R m/ .Thế thì ' A là S- môđun Artin và ' dimS N− A =t. Vì AnnS A' =m S. nên ta có dimS =dim (k x x[ 1, ,...,2 xt])=t.
Ký hiệu A" là môđun đối đồng điều địa phương H R1m( ) xét như S- môđun cho bởi việc định nghĩa "
. 0
i
x A = với mọi i=1, 2,...,t. Khi đó mỗi tập con của "
A
là R-môđun con khi và chỉ khi nó là S- môđun con của "
A .Vì thế "
A cũng là
S- môđun Artin và dimS A"=2, N−dimS A"=1. Do đó AnnS " ( )
1, ,...,2 t
A = x x x S. Chọn plà một iđêan nguyên tố khác iđêan tối đại của Ssao cho pthực sự chứa AnnS A"(luôn chọn được iđêan nguyên tố p
như thế vì "
dimS A =2).
Khi đó pkhông thuộc V (AnnS '
A).
Cũng tương tự như ví dụ trên, ta có Ann(0 :A p)≠ p
Vậy A không thoã mãn tính chất (*).
Tuy nhiên trong tiết này, chúng ta đang nói lại tính chất (*)của môđun Artin A thông qua mối quan hệ giữa các tập V (AnnR A) và tập V (AnnR Aˆ ).
Trước hết chúng ta nhắc lại mối quan hệ sau đây giữa tập Supp M và tập SuppMˆ của một môđun hữư hạn sinh M .
2.1.10. Hệ quả. Đối với R-môđun Artin 1 ( )
m
A H= R trong ví dụ 2.1.2, từ định
lý 2.1.5, ta suy ra
2.2. Tính chất (*) của môđun đối đồng đều địa phương cấp cao nhất HMd(M)
Trong phần này, luôn giả thiết (R m, ) là vành Noether địa phương và M
là R-môđun hữu hạn sinh với dimM =d. Chúng ta biết rằng i ( )
m
H M làR - môđun Artin với mọi số nguyên ivà i ( )
m
H M =0, ∀ithoã mãn i<depthM hoặc
i>dim M =d. Vì vậy, môđun d( )
m
H M được gọi là môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất của M .
Kí hiệu UM(0) là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d.Môđun con lớn nhất UM(0) như thế luôn tồn tại và duy nhất.Chú ý rằng UM(0) có thể được xây dựng thông qua một phân tích nguyên sơ thu gọn của môđun 0 của
M .Giả sử
n
0 = I Ni
i=1
là một sự phân tích nguyên sơ thu gọn của môđun 0 của M , trong đó Ni là pi- nguyên tố.Khi đó
UM(0) = I Ni
p∈AssM,dim /R p=dimM
Vì vậy, Ass(M/UM(0)) = { p∈AssM : dim /R p d= } . Do đó các iđêan nguyên tố liên kết của (M U/ M( )0 ) đều có chiều như nhau. Điều này dẫn đến khái niệm sau.
2.2.1. Định nghĩa. Tập Supp(M/UM(0)) được gọi là giá không trộn lẫn của môđun M và được kí hiệu bởi UsuppM .
2.2.2. Hệ quả. Supp(M/UM(0)) = U V p( ). p∈AssM,dim /R p d=
2.2.3. Mệnh đề. Cho p∈SuppM . Khi đó p∈ SuppM nếu và chỉ nếu p⊇
AnnRHd
m( )M . Đặc biệt, UsuppM =V(AnnRHd
m( )M ).
Chứng minh. Theo Bổ đề 1.10.1 ta có AttRHd
m( )M ={ p∈AssM : dim /R q d= }.
Hơn nữa, theo bổ đề 1.7.2, tập các phần tử tối thiểu của AttR A chính là tập các iđêan nguyên tố tối thiểu chứa AnnR A. Do đó tập các phần tử tối thiểu của AttR d( )
m
H M chính là tập các iđêan nguyên tố tối thiểu của tập AttR
( ) d m H M .Vì vậy theo bổ đề 1.10.5 ta có U V p( ) = V (AttR d( ) m H M ) = UsuppM .W p∈AssM,dim /R p d= 2.2.4. Bổ đề.
{ p∈AssM : dim /R p d= } ={pˆ∩R p: ˆ∈AssRˆ M,dim /R p dˆ ˆ = } .
Chứng minh. Cho p∈AssM sao cho dim /R p d= . Khi đó theo Bổ đề
1.10.1, p∈AttHd
m(M ). Theo Bổ đề 1.7.3, tồn tại pˆ∈AttR Hˆ d
m(M ) nên theo Bổ đề 1.10.1 ta có pˆ∈ AssMˆ và dim R pˆ ˆ/ =d. Vì thế
{ p∈ AssM : dim /R p d= } ⊆{ pˆ∩R p: ˆ∈AssM,dim /R p dˆ ˆ = } . Ngược lại, cho pˆ∈ AssMˆ với dim R pˆ ˆ/ =d. Đặt p= ∩pˆ R. Khi đó
p∈AssM và dim R p/ =dimR pR dˆ/ ˆ= . Vì thế
{ p∈AssM : dim /R p d= } ⊇{pˆ∩R p: ˆ∈AssRˆ M,dim /R p dˆ ˆ = } . Vì thế, rất tự nhiên người ta muốn hỏi về quan hệ giữa UssppM và UssppMˆ .
2.2.5. Bổ đề. UssppM ⊇{pˆ∩R p: ˆ∈UssppRˆ Mˆ }.
Chứng minh. Cho pˆ∈UssppMˆ . Khi đó pˆ ⊇qˆ với qˆ∈AssRˆ Mˆ nào đó thoả mãn điều kiện dim R qˆ ˆ/ . Vì AssR M = { pˆ∩R p: ˆ∈AssMˆ } nên ta suy ra
ˆ
ˆ
/ ( )
R q∩R =d. Vì pˆ∩ ⊇ ∩R qˆ R nên từ định nghĩa của giá không trộn lẫn ta suy
ra pˆ∩ ∈R UssppM.
Nhìn chung, các tập UssppM và { pˆ∩R p: ˆ∈UssppRˆ Mˆ } là khác nhau. Định lí sau đây chỉ ra rằng hai tập này là bằng nhau nếu và chỉ nếu đối đồng điều địa phương cấp cao nhất Hd
m(M) thoả mãn tính chất (*). Bên cạnh đó, từ tính chất của tập iđêan nguyên tố liên kết của M/UM(0) và tính chất của tập iđêan nguyên tố gắn kết cuả Hd
m(M) ta nhận thấy Rad(Ann(M/UM(0))) = I p p∈Ass(M /U M(0) = I p p∈AssM,dim ( /R p)=d = I p = Rad(Ann(Hmd(M)). p∈AttHmd(M)
Điều này dễ cho ta cảm giác rằng tập các hệ tham số của môđun
/ m(0)
M U trùng với tập các hệ tham số của Hd
m(M). Tuy nhiên, tính chất này lại không đúng trong trường hợp tổng quát. Định lí dưới đây cũng đưa ra một đặc trưng khác về tính chất (*) của Hd
m(M) thông qua quan hệ giữa các tập hệ tham số của môđun M U/ m(0) và Hd
m(M).
2.2.6. Định lí.Các phát biểu sau là tương đương (i) Hd
m(M) thoả mãn tính chất (*). (i i) UssppM={ pˆ∩R p: ˆ∈UssppRˆ Mˆ } .
(iii) Với mỗi hệ x1,...,xdcác phần tử của m, (x1,...xd) là hệ tham số của Hd
Chứng minh.(i)⇔(ii). Từ tính chất của các tập các iđêan nguyên tố liên
kết của M U/ M( )0 và tập các iđêan nguyên tố gắn kết của Hd
m(M) ta có ( V Ann Hd m(M) ) = ( ) ( ) ,dim / p AssM R p d V p ∈ U = =UsuppM ; ( V Ann Hd m(M) ) = ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ,dim /ˆ ˆ p AssM R p d V p ∈ U = =UsuppMˆ .
Vì thế điều kiện (ii) là tương đương với điều kiện V( Ann Hd
m(M) ) = { pˆ∩R p: ˆ∈V( Ann Hd
m(M) ) }
Theo mệnh đề 2.1.5, điều kiện có đẳng thức trên là tương đương với điều kiện Hd
m(M) thoả mãn điều kiện (*). Vậy ta đã chứng minh được (i) tương đương với (ii).
(i)⇒(iii). Cho (x1,...xd)là một hệ tham số của Hd
m(M).Gọi I là iđêan của
Rsinh bởi x1,...,xd.Theo giả thiết (i), với mỗi iđêan nguyên tố p của Rchứa
I + Ann Hd m(M), , ta có p = Ann(0 : d( ) ) m H M p ⊇ Ann (0 : d( ) ) m H M I . Vì thế Rad(I +Ann d( ) m H M ) = I p p∈SpecR p, ⊇ +I Ann d( ) m H M ⊇ Rad((Ann Hd m(M)I )).
Suy ra Rad(I+Ann d( )
m
H M )=Rad(Ann). Vì (x1,...,xd) là hệ tham số của d( )
m
H M
nên độ dài của môđun (0 : d( ) )
m
H M I là hữu hạn.Do đó Ann(0 : d( ) )
m
H M I là iđêan m- nguyên sơ. Vậy từ bao hàm thức ở trên ta suy ra I +Ann d( )
m
H M là iđêan m- nguyên sơ. Lại do Rad(Ann d( )
m
nên theo lập luận ở phần trên, ta suy ra rằng iđêan I +Ann(M U/ M( )0 ) là m- nguyên sơ. Vì thế (x1,...,xd) là hệ tham số của môđun (M U/ M( )0 ). Ngược lại, giả sử rằng (x1,...,xd) là một hệ tham số của (M U/ M( )0 ). Khi đó Ann
( )
(M IM U/ + M 0 ) là iđêan m-nguyên sơ. Vì
Rad( Ann(M IM U/ + M( )0 ))=Rad(I+Ann(M M U/ / M( )0 )) nên I +Ann(M M U/ / M( )0 ) là m-nguyên sơ. Do đó (I +Ann d( )
m H M ) là iđêan m-nguyên sơ. Vì thế (0 : d( ) ) m H M l I p∞, tức là (x1,...,xd) là hệ tham số của d( ) m H M .
(iii)⇒(i). Giả sử p V∈ (Ann d( )
m
H M ). Đặt N-dim 0 :( d( ) )
m
H M p = −d r. Do đó tồn
tại các phần tử x1,...,xr∈p sao cho chúng lập thành một phần hệ tham số của
( )
d m
H M . Phần hệ tham số này là tối đại trong p vì nếu ngược lại ta sẽ tìm được một phần tử y∈psao cho x1,..., ,x yr lập thành một hệ tham số của d( )
m H M , và do đó d r− = N-dim 0 :( d( ) ) m H M p ≤ N-dim(0 : d( ) ( ,...,1 , ) ) 1 m r y H M x x R = − −d r ,
điều này là vô lý.Giả sử
1 , 1 2
( )
0 : d ( ,..., ) ...
m r y n
H M x x R A= +A + +A
là một biểu diễn thứ cấp tối thiểu của 0 : d( ) ( ,..., )1
m r
H M x x R, trong đó Ai là qi-thứ cấp với mọi i=1, 2,...n. Với mỗi y m∈ ta chú ý rằng ylà phần tử tham số của
1 ( )
0 : d ( ,..., )
m r
H M x x R nếu và chỉ nếu y q∉ i với mọi i thoả mãn N-dimAi = −d r.
Vì ( ,..., )x1 xr là phần tử hệ tham số tối đại của d( )
m H M trong pnên ta có dim i i A d r p q Ν− = − ⊆ U ,
do đó p⊆qi với một số i nào đó thoả mãn Ν −dimAi = −d r. Theo giả thiết (iii), ta có thể kiểm tra rằng ( ,..., )x1 xr là một phần hệ tham số tối đại của M U/
M (0) trong p. Vì thế tồn tại iđêan nguyên tố
q∈Ass(M U/ M(0) ( ,..., )x1 x M Ur / M(0)) sao cho dim /R q d r= − vàp⊆q.
Vì
q∈Supp(M U/ M(0) ( ,..., )x1 x M Ur / M(0) )
nên p q= . do đó dim /R q d r= − . Vì Ai là qi thứ cấp nên theo tính chất của chiều Noether ta có N-dimAi≤ dim /R qi. Vì p q∈ i nên
d r− =N-dimAi≤dim /R qi ≤dim /R q d r= − .
Do đó p q= i và từ đó ta có p∈ Att(0 :H Mmd( ) ( ,..., ) )x1 x Rr sao cho pˆ∩ =R p. Từ đây ta suy ra p⊆ Ann(0 :H Mmd( ) p)⊆ AnnRˆ (0 : d( )
m
H M pˆ ) ∩ = ∩ =R pˆ R p
Vậy Ann(0 :H Mmd( ) p) = p, hay d( ) m
KẾT LUẬN CỦA LUẬN VĂN
Tóm lại trong luận văn này, dựa chủ yếu vào [5] và [6] và các tài liệu có liên quan chúng tôi đã hoàn thành được những việc sau đây:
1. Trình bày một số kiến thức về tính chất (*) cho các môđun Artin, đồng thời chứng minh một đặc trưng tính chất (*) của môđun Artin thông qua mối quan hệ giữa các tập V(AnnRA) và tập V (AnnRˆA).
2. Nêu đặc trưng tính chất (*) cho môđun đối đồng đều địa phương cấp cao nhất d( )
m
H M thong qua mối quan hệ giữa giá không trộn lẫn UsuppM của
M và giá không trộn lẫn Usupp ˆM của ˆM .
3. Chỉ ra đựoc tính chất (*) cho d( )
m
H M cũng được đặc trưng thông qua mối quan hệ giữa các tập hệ tham số của môđun hữu hạn sinh M U/ M ( )0 và của môđun Artin d( )
m
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1]. Nguyễn Tự Cường (2003), Giáo trình Đại số hiện đại, NXB ĐHQG Hà Nội
[2]. Nguyễn Đức Hậu (2009), Phương pháp nghiên cứu Môđun Artin trên vành giao hoán, Luận văn Thạc sỹ toán học, Trường Đại học Vinh.
[3]. Dương Quốc Việt (2008), Cơ sở lý thuyết module và vành, NXB ĐHSP.
Tiếng Anh
[4]. M.F. Atiyah and I.G.Macdonald (1969), Introduction to commutative algebra, Reading, Mass.
[5]. N.T.Cuong and L.T.Nhan (2002), On Noetherian dimension of Artinian modules, Vietnam. J.Math., 30, 121-130.
[6]. N.T.Cuong, N.T. Dung and L.T.Nhan (2007), Top Local Cohomology and the Catenaricity of the unmixed support of a finitely generated module.Comm. Algebra, 35(5), 1691-1701.