Về tập các Iđêan nguyên tố gắn kết của Môđun Tor

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THANH VŨ VỀ TẬP CÁC IĐÊAN NGUYÊN TỐ GẮN KẾT CỦA MÔĐUN Tor LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thị Hồng Loan NGHỆ AN – 2013 -1- MỤC LỤC Trang Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Môđun Artin đối ngẫu Matlis 1.2 Biểu diễn thứ cấp 1.3 Chiều Noether môđun Artin 10 1.4 Hàm tử mở rộng hàm tử xoắn 11 1.5 Dãy quy độ sâu môđun 13 Chương Về tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun Tor 16 2.1 Dãy đối quy 16 2.2 Dãy đối quy theo chiều 18 2.3 Độ rộng theo chiều 29 2.4 Kết hữu hạn 33 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 -2- MỞ ĐẦU Cho  R, m  vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại m, I iđêan vành R, M R -môđun hữu hạn sinh A R -môđun Artin Để nghiên cứu cấu trúc môđun Noether môđun Artin, người ta thường quan tâm đến tập iđêan nguyên tố liên kết tương ứng tập iđêan nguyên tố gắn kết chúng Xuất phát từ kết vành số nguyên  : với iđêan I  m m  p1 pk k phân tích tiêu chuẩn số nguyên m tập iđêan nguyên tố liên kết   Ass ( / I n )  p1, , pk  ổn định với n; cách tự nhiên người ta đặt câu hỏi liệu tính chất hay không thay  vành giao hoán Noether tùy ý? Đã có nhiều nhà toán học nghiên cứu vấn đề này, điển hình kết M Brodmann [4] năm 1979, ông chứng minh tập iđêan nguyên tố liên kết AssR (M / I nM ) AssR (I n M / I n 1M ) không phụ thuộc vào n n đủ lớn (kí hiệu n  ) Tiếp theo, vào năm 1986, R Y Sharp chứng minh kết đối ngẫu cho môđun Artin tập iđêan nguyên tố gắn kết AttR (0 :A I n ) AttR (0 :A I n 1 / :A I n ) độc lập với n n  Chú ý ta có đẳng cấu M / I nM  Tor0R (R / I n , M ) (0 :A I n )  ExtR0 (R / I n , A) Vì thế, câu hỏi đặt cách tự nhiên liệu kết mở rộng cho môđun ToriR (R / I n , M ) ExtiR (R / I n , A) với i hay không? Vào năm 1993, Melkersson Schenzel đưa câu trả lời khẳng định cho câu hỏi Họ chứng minh tập hợp -3- AssR (ToriR (R / I n , M )) AttR (ExtiR (R / I n , A)), n  1,2, ổn định n đủ lớn Họ đặt câu hỏi hai tập hợp AttR (ToriR (R / I n , A)) AssR (ExtiR (R / I n , M )), n  1,2, không phụ thuộc vào n n đủ lớn Tuy nhiên câu trả lời cho câu hỏi nhìn chung phủ định, chí tồn tập  Att n  Ass R n R (ToriR (R / I n , A)) (ExtiR (R / I n , M )) vô hạn Do đó, câu hỏi đặt tìm điều kiện để tập hợp  Att n 0 R (ToriR (R / I n , A))  Ass R n 0 (ExtiR (R / I n , M )) hữu hạn Năm 2008, phần câu trả lời cho câu hỏi đưa M Brodmann L T Nhàn [5] Ở đó, việc đưa khái niệm M -dãy qui với chiều  s độ sâu depths (I , M ) với chiều  s M I , họ chứng minh dim(Supp(H Ii (M )))  s với i  r tập   t n p   AssR (ExtR (R / I , M )) dim R / p  s  n 0     hữu hạn với t  r , r = depths (I , M ) Thông qua việc đưa khái niệm M -dãy đối qui theo chiều  s, N T Dung L T Nhàn [10] lại tiếp tục đưa câu trả lời cho phần lại câu hỏi Ở họ chứng minh tập hợp   R n p   AttR (Tort (R / I , A)) dim R / p  s  n 0     -4-     n n R p   AttR (Tort (R / (x 1 , , x k k ), A)) dim R / p  s  n1 , ,nk 0       hữu hạn với t  r, với n đủ lớn với số tự nhiên n1, , nk , r  Widths (I , A) độ rộng với chiều lớn s A I x1, , x k hệ sinh I Nội dung luận văn trình bày lại cách chi tiết kết nói báo [10] N T Dung L T Nhàn Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành hai chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số khái niệm Đại số giao hoán như: môđun Artin, đối ngẫu Matlis, biểu diễn thứ cấp, chiều Noether môđun Artin, môđun Tor môđun Ext, dãy quy độ sâu, … nhằm mục đích làm sở cho việc trình bày nội dung luận văn Chương Ngoài ra, trích dẫn số kết có dạng tính chất, mệnh đề nhằm phục vụ cho chứng minh phần sau Chương 2: Về tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun Tor Nội dung chương trình bày cách chi tiết kết báo [10] N T Dung L T Nhàn Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh, hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô thầy cô khoa Toán trường Đại học Vinh trường Đại học Sài Gòn Cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu khoa học Nghệ An, tháng 07 năm 2013 Tác giả -5- KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương Trong toàn luận văn kí hiệu R vành Noether giao hoán, M R -môđun hữu hạn sinh A R -môđun Artin Trong chương này, trình bày số khái niệm Đại số giao hoán như: đối ngẫu Matlis, biểu diễn thứ cấp, chiều Noether môđun Artin, môđun Tor môđun Ext, dãy quy độ sâu, … nhằm mục đích làm sở cho việc trình bày nội dung luận văn Chương Ngoài ra, trích dẫn số kết có dạng tính chất, mệnh đề nhằm phục vụ cho chứng minh phần sau 1.1 Môđun Artin đối ngẫu Matlis Các kết mục đưa R Y Sharp năm 1989 Cho m iđêan cực đại vành R Môđun m-xoắn  m (A) A định nghĩa  m (A)   (0 :A mn ) n 0 1.1.1 Mệnh đề (i) Giả sử A R -môđun Artin khác không Khi có hữu hạn iđêan cực đại m R cho  m (A)  Nếu iđêan cực đại phân biệt m1, , mr A  m (A)    m (A) Supp A  m1 , , mr  r (ii) Với j 1, , r , s  R \ m j , phép nhân s cho ta tự đẳng cấu  m (A) Do  m (A) có cấu trúc tự nhiên Rm -môđun j j j với cấu trúc này, tập  m (A) R -môđun j Rm -môđun Đặc biệt j Am   m (A), với j  1, , r j j -6- Cho  R, m  vành địa phương Ta xét R vành tôpô với sở lân cận phần tử iđêan m t , với t = 0,1,2 Chú ý sở lân cận phần tử tuỳ ý r  R gồm lớp ghép r  mt với t = 0, 1,2  định nghĩa Khi vành đầy đủ theo tôpô m  adic R ký hiệu R cách thông thường theo ngôn ngữ dãy Cauchy sau: Một dãy Cauchy R dãy  rn  phần tử R cho với t > 0, tồn số tự t nhiên n0 để rn  rm  m với n, m  n0 Dãy  rn  gọi hội tụ dãy không với t > tồn số tự t nhiên n0 để rn   rn  m với n  n0 Hai dãy Cauchy  rn   sn  gọi hai dãy tương đương, ký hiệu  rn    sn  dãy  rn  sn  dãy không Khi quan hệ  tập  tập lớp tương dãy Cauchy quan hệ tương đương Ta ký hiệu R đương dãy Cauchy Chú ý  rn   sn  dãy Cauchy dãy  rn  sn  ,  rn sn  dãy Cauchy lớp tương đương dãy  rn  sn  ,  rn sn  không phụ thuộc vào việc chọn đại diện lớp tương , , đương dãy  rn   sn  , tức  rn    rn   sn    sn   rn  sn    rn,  sn,  , ,  trang bị hai phép toán  rn sn    rn sn  Vì R  lập thành vành hai + đồng thời với hai phép toàn này, R Mỗi phần tử r  R đồng với lớp tương đương dãy Cauchy mà tất phần tử dãy r Vì ta có đơn cấu tự nhiên vành -7-  R  R r   r ,  r  dãy mà tất phần tử r Định nghĩa tương tự cho môđun M với sở lân cận phần tử m M  Khi t  R  -môđun với phép nhân vô hướng sau: cho M  , x   x , x ,   M  Ta có ax   a x , a x ,   M  a   a1 , a2 ,   R 1 2 1.1.2 Mệnh đề Cho A R -môđun Artin khác không vành địa phương R, m  Khi đó, A có cấu trúc tự nhiên R -môđun tập A  -môđun A Do đó, A R -môđun A R  -môđun Artin có cấu trúc tự nhiên R Do có cấu trúc đặc biệt nên người ta chuyển việc nghiên cứu môđun Artin vành giao hoán việc nghiên cứu vành địa phương Hơn nữa, việc nghiên cứu môđun Artin số trường hợp chuyển nghiên cứu môđun Noether nhờ lý thuyết đối ngẫu Matlis Dưới số tính chất đối ngẫu Matlis hay sử dụng luận văn Cho R, m  vành địa phương, đầy đủ Đặt E  E R / m  bao nội xạ   trường thặng dư R / m Kí hiệu D     HomR , E từ phạm trù C R R -môđun R -đồng cấu vào Với R -môđun M , đặt  M : M  DD  M   Hom R Hom R  M , E  , E  R -đồng cấu tự nhiên cho M  x  f   f  x  , với x  M , f Hom  M , E  Khi ta có kết sau -8- 1.1.3 Mệnh đề (i) R -môđun E Artin Với f  HomR E, E  , tồn a f  R : f x   a f x, x  E   (ii) Nếu N R -môđun Noether D N Artin   (iii) Nếu A R -môđun Artin D A Noether (iv) Ann M  Ann D M  , M R -môđun cho  R M   ,    R D M    R M  1.1.4 Bổ đề Cho N R -môđun Noether, A R -môđun Artin j   Khi     (i) D N / I j N  :D N  I j      D I j 1N / I j N  :D N  I j / :D N  I j 1 ;       (ii) D :A I j  D A / I j D A         D :A I j / :A I j 1  I j 1D A / I j D A 1.2 Biểu diễn thứ cấp 1.2.1 Định nghĩa (i) Một R -môđun M gọi thứ cấp M  với x  R, phép nhân x M toàn cấu lũy linh Trong   trường hợp Rad AnnRM iđêan nguyên tố, chẳng hạn p, ta gọi M p -thứ cấp (ii) Cho M R -môđun Một biểu diễn thứ cấp M phân tích M  N    N n thành tổng hữu hạn môđun pi -thứ cấp N i Nếu M  M có biểu diễn thứ cấp ta nói M biểu diễn Biểu diễn thứ cấp gọi tối thiểu iđêan nguyên tố pi đôi khác hạng tử N i thừa, với i  1,, n -9- Dễ thấy biểu diễn thứ cấp M đưa dạng tối thiểu Khi tập hợp p1, , pn  độc lập với việc chọn biểu diễn thứ cấp tối thiểu M gọi tập iđêan nguyên tố gắn kết M , kí hiệu AttRM Các hạng tử N i , i  1,, n, gọi thành phần thứ cấp M Chú ý môđun biểu diễn môđun Artin biểu diễn 1.2.2 Định lý Tập AttRA phụ thuộc vào A mà không phụ thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối thiểu A Hơn ta có khẳng định sau tương đương với p iđêan nguyên tố (i) p  AttRA (ii) A có môđun thương pi -thứ cấp   (iii) A có môđun thương Q cho Rad Q  p (iv) A có môđun thương Q cho p phần tử tối thiểu tập iđêan nguyên tố chứa AnnRQ (v) A có môđun thương Q cho AnnRQ  p 1.2.3 Mệnh đề (i) Cho M R -môđun biểu diễn Khi M  AttRM   Trong trường hợp tập iđêan nguyên tố tối   thiểu R chứa Ann M tập phần tử tối thiểu AttRM  M    M   M    dãy khớp R -môđun biểu (ii) Cho  diễn Khi ta có AttRM   AttRM  AttRM   AttRM  1.2.4 Mệnh đề Các mệnh đề sau   (i) AttRA  ˆp  R : ˆp  AttRA (ii) Nếu R vành địa phương, đầy đủ, ta có - 25 -     đẳng thức AnnR o :A p  p, p  V AnnR A hay không Câu trả lời cho   câu hỏi nhìn chung không với p  Var AnnR A , lớp môđun thỏa mãn tính chất gọi tính chất (*) hay tính chất linh hóa tử Bổ đề sau cho ta tính chất linh hóa tử iđêan nguyên tố gắn kết môđun Artin   2.2.6 Bổ đề Cho p  AttR A Khi AnnR :A p  p Chứng minh Vì p  AttR A nên theo Mệnh đề 1.2.4, tồn ˆp  AttRˆ A   cho ˆp  R  p Hơn nữa, từ ˆp  Var AnnRˆ A , ta suy ˆp  AnnRˆ A Mà         ˆp Theo Bổ ta lại có AnnRˆ A  AnnRˆ A suy AnnRˆ D A / ˆpD A   đề 1.1.4 ta có AnnRˆ :A ˆp  ˆp Do     p  AnnR :A p  AnnRˆ :A ˆ p R  ˆ p  R  p   Vì vậy, Ann :A p  p  Định lý sau cho ta tính chất tồn A -dãy đối quy theo chiều  s mở rộng chúng thành dãy có độ dài tối đại, đặc biệt đặc trưng độ dài tối đại A -dãy đối quy theo chiều  s thông qua chiều Krull môđun Tor A Để chứng minh định lý này, việc áp dụng tính chất dãy đối quy chiều Krull tính linh hóa tử Bổ đề 2.2.6 đóng vai trò quan trọng 2.2.7 Định lý Cho I iđêan R   (i) Nếu dimR :A I  s với số nguyên n  tồn A -dãy đối quy theo chiều  s I có độ dài n - 26 -   (ii) Nếu dimR :A I  s A -dãy đối quy theo chiều  s I mở rộng thành dãy có độ dài tối đại tất A -dãy đối quy theo chiều  s I có chung độ dài, độ dài chung   số nguyên i nhỏ cho dimR ToriR R / I , A    s Chứng minh (i) Cho n  số nguyên Ta chứng minh quy nạp theo n tồn dãy phần tử iđêan I A -dãy đối quy theo chiều  s có độ dài n   Cho n  p  AttR A cho dim R / p  s Khi theo Bổ đề       2.2.6 ta có AnnR :A p  p Vì I  p :A I  :A p theo Bổ đề 1.3.2 ta có       dimR :A I  dimR :A p  dim R / Ann :A p    dim R / p  s,  điều mâu thuẫn với giả thiết dimR :A I  s Vậy suy I  p với   p  AttR A thỏa mãn dim R / p  s Do tồn phần tử x  I   cho x  p với p  AttR A thỏa mãn dim R / p  s hay nói cách khác x phần tử A -dãy đối quy theo chiều  s I Cho n  giả sử tồn dãy x1, , x n 1 phần tử I A -dãy đối quy theo chiều  s Cho iđêan nguyên tố gắn kết       p  AttR :A x1, , x n 1 R cho dim R / p  s Khi theo Bổ đề   2.2.6 ta có AnnR :0: x , ,x R p  p Vì I  p A n 1 - 27 -    0 :  p dimR :A I  dimR :0: x , ,x R I A n 1  dimR    0:A x1 , ,x n 1 R   dim R / Ann :0: x , ,x R p A n 1   dim R / p  s, mâu thuẫn với giả thiết Do tồn x n  I cho x n  p với       p  AttR :A x1, , x n 1 R thỏa mãn dim R / p  s, dãy x1, , x n A -dãy đối quy theo chiều  s I có độ dài n     (ii) Đặt dimR A  dim R / AnnR A  d Vì :A I  A nên ta giả   sử dimR o :A I  d  k  s, k  số nguyên Ta A -dãy đối quy theo chiều  s I có độ dài nhiều k Thật vậy, giả sử điều ngược lại Khi tồn dãy x1, , x k 1 phần tử I A -dãy đối quy theo chiều  s Trước hết, ta chứng minh     quy nạp theo n  1, , k  dimR :A x1, , x n R  d  n Cho     n  p  Var AnnR A cho dim R / p  d Khi p  AttR A theo Mệnh đề 1.2.3 Vì d  d  k  s x phần tử A -dãy đối quy theo chiều  s, nên suy x  p theo Định nghĩa 2.2.1 Do theo Bổ đề 1.3.2     dimR :A x1  dim R / Ann :A x1   dim R / x R  Ann A  d  1, R khẳng định cho trường hợp n  Cho n  giả sử khẳng định cho trương hợp n  1, nghĩa     dimR :A x1, , x n 1 R  t  d  n  - 28 -       Vì dimR :A x1, , x n 1 R  dimR :A I nên ta có t  d  k  s Vì x n   phần tử :A x1, , x n 1 R -đối quy theo chiều  s, nên theo Mệnh      đề 1.2.3 suy x n  p với p  Var AnnR :A x1, , x n 1 R  thỏa  mãn dim R / p  t Vì          dimR :A x 1, , x n R  dim R / Ann :A x 1, , x n R        dim R / x nR+AnnR :A x 1, , x n 1 R  t   d  n, khẳng định chứng minh Bây giờ, dùng khẳng định cho trường hợp n  k  ta có       d  k  dimR :A I  dimR :A x1, , x k 1 R  d  k  Điều vô lý Vì vậy, độ dài A -dãy đối quy theo chiều  s I nhiều k Do đó, A -dãy đối quy theo chiều  s I mở rộng thành dãy tối đại Cho x1, , x m y1, , ym hai A -dãy đối quy tối đại theo chiều  s I Giả sử m  m m  m Theo Bổ đề 2.2.5 ta có   dimR ToriR R / I , A   s với i  m Ta chứng minh quy nạp      s  theo n  1, , m dimR ToriR R / I , :A x1, , x n R với i  m  n Cho n  Như chứng minh Bổ đề 2.2.5, ta có dãy khớp       ToriR1 R / I , x 1A  ToriR R / I , :A x  ToriR R / I , A ;      ToriR1 R / I , A / x 1A  ToriR R / I , x 1A  ToriR R / I , A    ToriR R / I , A / x 1A  - 29 -   Do x phần tử A -đối quy theo chiều  s, ta có dimR A / x1A  s     s với i Do R / I , : x   s với theo Bổ đề 2.2.2 Vì dimR ToriR R / I , A / x1A  từ dãy khớp ta nhận dimR ToriR A i  m  Vì khẳng định cho trường hợp n  Cho n  giả sử mệnh  đề  dimR ToriR R / I , A    s cho với trường hợp n  1, i  m  n  1, nghĩa  A  :A x1, , x n 1 R Chú ý x n phần tử A -đối quy theo chiều  s Vì lý luận tương tự chứng minh trên, ta có   s, điều   Tor R / I , : x , , x  R   s dimR ToriR R / I , :A x n dimR R i A n tương đương với với i  m  n, hay khẳng đinh chứng minh Do m  m, nên áp dụng khẳng định cho trường hợp n  m       s Theo Bổ đề 2.2.3, tồn phần tử   dimR Tor0R R / I , :A x1, , x m R I phần tử :A x1, , x m R -đối quy theo chiều  s Điều   mâu thuẩn với tính tối đại dãy x1, , x m Vì thế, tất A -dãy đối quy theo chiều  s I có chung độ dài, số nguyên   nhỏ i cho dimR ToriR R / I , A    s  2.3 Độ rộng theo chiều Tương tự khái niệm dãy đối quy dẫn tới khái niệm độ rộng môđun Artin, khái niệm A -dãy đối quy theo chiều  s Định lý 2.2.7 dẫn đến khái niệm độ rộng theo chiều  s sau - 30 -   Nếu dimR :A I  s độ dài A -dãy đối 2.3.1 Định nghĩa quy tối đại theo chiều  s I gọi độ rộng theo chiều  s   I ứng với A ký hiệu Width s I , A Trong trường hợp     dimR :A I  s ta đặt Width s I , A       2.3.2 Chú ý Nếu s  1 Width1 I , A  Width I , A , độ rộng A I theo nghĩa A Ooshi [12] 2.3.3 Bổ đề Nếu x1, , x k A -dãy đối quy theo chiều  s n n x1 , , x k k A -dãy đối quy theo chiều  s với số nguyên dương n1, , nk  Chứng minh Cho x 1, , x k  A -dãy đối quy theo chiều  s     -dãy  n1, , nk số nguyên Theo Bổ đề 2.2.4 ta có x 1, , x k D A  quy nghèo với iđêan ˆp  Var AnnRˆ A    n n dim R / ˆp  R  s Do x1 , , x k k    ˆp thỏa mãn tính chất  D A -dãy quy nghèo ˆp   với ˆp  Var AnnRˆ A thỏa mãn dim R / ˆp  R  s theo Chú ý 1.5.2 n n Vì x1 , , x k k A -dãy đối quy theo chiều  s theo Bổ đề 2.2.4    Từ kết trên, a1, , ak phần tử sinh I với số nguyên dương n1, , nk ta có      n n   Width s I , A  Width s I n , A  Width s a1 , , ak k R, A - 31 -   Ta có nhận xét với số nguyên i, R -môđun ToriR R / I , A    Rˆ -môđun Hơn nữa, dimR ToriR R / I , A   dimRˆ ToriR R / I , A     Do ta có hệ sau 2.3.4 Hệ Với iđêan I R ta có     ˆ, A (i) Width I , A  Width I R     I Rˆ, A ˆ, A (ii) Width  I , A  Width  I R   (iii) Width s I , A  Width s   Chứng minh Theo Định lý 2.2.7, Width s I , A số nguyên i nhỏ   để dim ToriR R / I , A    s   (i) Giả sử Width I , A  n Khi n độ dài A -dãy đối quy tối đại I theo nghĩa A Ooishi [12] trường hợp s  1   Vì thế, theo Định lý 2.1.6, ta có ToriR R / I , A  với i  n Theo   ˆ ˆ/I R ˆ, A  với nhận xét trên, điều xảy ToriR R   ˆ, A  n i  n, Width I R (ii) Cho x1, , x n A -dãy đối quy theo chiều  s I , theo định     nghĩa ta có x i  p, với p  AttR :A x1, , x i 1 R  thỏa mãn  dim R / p  0, nghĩa x i tránh tất iđêan nguyên tố gắn kết p     tập AttR :A x1, , x i 1 R trừ iđêan cực đại m Do n số   nguyên dương nhỏ để dim ToriR R / I , A   Theo nhận xét trên, - 32 - n số nguyên dương nhỏ cho   dim ToriR R / I , A   0, n  Width I Rˆ, A 0 (iii) Giả sử x1, , x n A -dãy đối quy theo chiều  s I Ta cần chứng minh x1, , x n A -dãy đối quy theo chiều  s I Rˆ Bằng quy nạp ta cần chứng minh cho trường hợp n  Vì x phần tử A -dãy đối quy theo chiều  s I nên theo định nghĩa, x1  p, với   p  AttRA thỏa mãn dim R / p  s Giả sử x không phần tử A -dãy đối quy theo chiều  s I Rˆ Khi tồn qˆ  AttRˆ A cho   ˆ / qˆ  s Theo Mệnh đề 1.2.4, ta có q ˆ  R  q  AttR A ˆ dim R x1  q, Suy x  q         ˆ / qˆ  dim R ˆ / qR ˆ  dim R / qˆ  R  dim R / q s  dim R Điều mâu thuẫn với giả thiết x phần tử A -dãy đối quy theo chiều  s I Do x phần tử A -dãy đối quy theo chiều  s I Rˆ     ˆ, A Theo hệ trên, ta có bất đẳng thức Width s I , A  Width s I R  dấu đẳng thức xảy trường hợp s  Tuy nhiên, trường hợp s  0, dấu đẳng thức không Lý nhìn chung ta có p  Att A dim R / p  s  ˆp  R  Att A, dim Rˆ / ˆp  s R R   Vì thế, có dãy x 1, , x k phần tử I dãy đối quy theo chiều  s Rˆ -môđun A không dãy đối quy theo     ˆ, A chiều  s R -môđun A , dẫn tới Width s I , A [...]... chứng minh một kết quả hữu hạn cho tập các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Artin Tiếp tục sử dụng công cụ A -dãy đối chính quy theo chiều, L T Nhàn và N T Dung [10] đã chứng minh được một kết quả về tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Tor Trong chương này chúng tôi trình bày chi tiết kết quả này của [10] 2.1 Dãy đối chính quy Khái niệm dãy đối chính quy cho một môđun tùy ý được... minh được kết quả sau đây Đây là kết quả chính của [10] về tính chất hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Tor khi n đủ lớn Để tiện cho việc theo dõi ta ký hiệu  Att A  p  Att R R s    A dim R / p  s   2.4.2 Định lý Cho Widths I , A  r Khi đó     (i) Tập   AttR TortR R / I n , A  là hữu hạn với mọi t  r  n  s        n n (ii) Tập   AttR TortR R /... Pt  AttR TortR R / I , A  Pt Chú ý rằng ta luôn có các đẳng thức - 35 -     depth I  ˆ ,D A depth IR ˆp ˆp n    Rˆˆp, D A  ˆp   n n  depth a1 1 , , ak k Rˆˆp, D A ˆp Nên các bao hàm thức còn lại của Bổ đề cũng được chứng minh tương tự  Với việc đưa ra định nghĩa độ rộng theo chiều  s và chứng minh được tính chất ổn định của hợp các tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Tor trong... của hàm tử xoắn Tor, tính chất chiều Krull của dãy khớp các môđun và mối liên hệ giữa tập iđêan nguyên tố liên lết của môđun mở rộng Ext và tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun xoắn Tor trên vành địa phương đầy đủ 2.2.5 Bổ đề Cho n  0 là một số nguyên Các mệnh đề sau là tương đương:   (i) dim ToriR R / I , A   s với mọi i  n (ii) Tồn tại A -dãy đối chính quy theo chiều  s trong I có độ dài... I , M   Ass  H M  R t I - 16 - Chương 2 TẬP CÁC IĐÊAN NGUYÊN TỐ GẮN KẾT CỦA MÔĐUN Tor   Trong toàn bộ chương này, ta vẫn giả thiết R, m là vành địa phương, I là iđêan của R và A là R -môđun Artin với chiều Noether N- dimR A  d Khái niệm A -dãy đối chính quy theo chiều đã được đưa ra bởi L T Nhàn và N V Hoàng trong [11] như là một sự mở rộng của khái niệm dãy đối chính quy đưa ra bởi A Ooishi... Kerun* 1 / Im un* là môđun đối đồng điều thứ n của đối phức trên (môđun này không phụ thuộc vào việc chọn giải xạ ảnh của M) 1.4.2 Định nghĩa Cho M, N là các R -môđun và n  0 là một số tự nhiên Môđun dẫn xuất trái thứ n của hàm tử   N ứng với M được gọi là   môđun xoắn thứ n của M và N và được kí hiệu là TornR M , N Cụ thể, để   xây dựng TornR M , N ta lấy một giải xạ ảnh của M v2 v1   P2... địa phương hóa Đặc biệt,  Ext M , N   Tor M , N  n R p R n p R p   M , N   ExtnR M p, N p ,  Torn p p p với mọi iđêan nguyên tố p của R (ii) Cho I là iđêan của R Khi đó    Tor   / IR , D A ExtiR R  R i R / I R, A, với mọi số nguyên i  0 1.5 Dãy chính quy và độ sâu của môđun 1.5.1 Định nghĩa Cho R là vành giao hoán Noether và M là R -môđun khác 0 Một phần tử 0  a  R được gọi... nghèo của  D  A   qˆ    với dim R / qˆ  R  dim R / p  s, điều này dẫn đến mâu thuẫn, vì vậy ta có điều phải chứng minh  Kết quả tiếp theo là sự mở rộng của [12, Mệnh đề 3.6], [12, Định lý 3.9] với kỹ thuật chính để chứng minh là sử dụng kết quả của Bổ đề 2.2.4 và tính chất  -hàm tử đồng điều của hàm tử xoắn Tor, tính chất chiều Krull của dãy khớp các môđun và mối liên hệ giữa tập iđêan nguyên. ..  Ta cần chứng minh rằng dim ToriR R / I , A    s với mọi i  n Giả sử tồn tại k  n sao cho dim TorkR R / I , A   s Khi đó, theo Bổ đề 1.3.2, tồn tại các iđêan nguyên tố gắn kết p  AttR TorkR R / I , A        sao cho  dim R / p  s Theo Mệnh đề 1.2.4, tồn tại ˆp  AttRˆ TorkR R / I , A cho ˆp  R  p   Vì p  AnnR TorkR R / I , A     p  AttR TorkR R / I , A , ta  sao có... , x k các phần tử trong I là dãy đối chính quy theo chiều  s của Rˆ -môđun A nhưng không là dãy đối chính quy theo     ˆ, A chiều  s của R -môđun A , dẫn tới Width s I , A ... chứng minh tính chất ổn định hợp tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun Tor bổ đề giúp chứng minh kết sau Đây kết [10] tính chất hữu hạn tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun Tor n đủ lớn Để tiện cho việc... hệ tập iđêan nguyên tố liên lết môđun mở rộng Ext tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun xoắn Tor vành địa phương đầy đủ 2.2.5 Bổ đề Cho n  số nguyên Các mệnh đề sau tương đương:   (i) dim ToriR... minh kết hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun Artin Tiếp tục sử dụng công cụ A -dãy đối quy theo chiều, L T Nhàn N T Dung [10] chứng minh kết tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun