Độ rộng theo chiều

Chương 2. Về tập các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Tor

2.3. Độ rộng theo chiều

Tương tự như khái niệm dãy đối chính quy dẫn tới khái niệm độ rộng của môđun Artin, khái niệm A-dãy đối chính quy theo chiều s và Định lý 2.2.7 dẫn đến khái niệm độ rộng theo chiều s như sau.

2.3.1. Định nghĩa. Nếu dim 0 :R A I s thì độ dài của một A-dãy đối chính quy tối đại theo chiều s trong I được gọi là độ rộng theo chiều s trong I ứng với A và được ký hiệu bởi Widths  I A, . Trong trường hợp

 

dim 0 :R A I s ta đặt Widths  I A,  .

2.3.2. Chú ý. Nếu s  1 thì Width1 I A,  Width , I A , chính là độ rộng của A trong I theo nghĩa của A. Ooshi [12].

2.3.3. Bổ đề. Nếu x1,...,xk là A-dãy đối chính quy theo chiều s thì

1

1n,..., knk

x x cũng là A-dãy đối chính quy theo chiều s với mọi số nguyên dương n1,..., .nk

Chứng minh. Cho x1,...,xk là A-dãy đối chính quy theo chiều s và

1,..., k

n n là các số nguyên. Theo Bổ đề 2.2.4 ta có x1,...,xk là D A  ˆ p-dãy chính quy nghèo với mọi iđêan ˆpVar Ann RˆA thỏa mãn tính chất

 ˆ 

dim R/pR s. Do đó x1n1,...,xknk  là D A  ˆ

p-dãy chính quy nghèo với mọi ˆpVar Ann RˆA thỏa mãn dimR/ˆpR s theo Chú ý 1.5.2.

Vì vậy x1n1,...,xknk là A-dãy đối chính quy theo chiều s theo Bổ đề 2.2.4.  Từ kết quả trên, nếu a1,...,ak là các phần tử sinh của I thì với mọi bộ

các số nguyên dương n1,...,nk ta có

      11  

Widths I A,  Widths I An,  Widths an,...,aknk R A, .

Ta có nhận xét rằng với mỗi số nguyên i R, -môđun ToriRR I A/ ,   0 nếu và chỉ nếu nó cũng là Rˆ-môđun 0. Hơn nữa, dim TorR iRR I A/ ,   0

nếu và chỉ nếu dim TorRˆ iRR I A/ ,    0. Do đó ta có hệ quả sau.

2.3.4. Hệ quả. Với mỗi iđêan I của R ta có (i) Width , I A  WidthI R Aˆ, .

(ii) Width0 I A,  Width0I R Aˆ, .

(iii) Widths  I A,  WidthsI R Aˆ, .

Chứng minh. Theo Định lý 2.2.7, Widths I A, chính là số nguyên i nhỏ nhất để dim Tor iRR I A/ ,   s.

(i) Giả sử Width , I A n. Khi đó n chính là độ dài của A-dãy đối chính quy tối đại trong I theo nghĩa của A. Ooishi [12] trong trường hợp s  1.

Vì thế, theo Định lý 2.1.6, ta có ToriRR I A/ ,   0 với mọi i n. Theo nhận xét trên, điều này xảy ra khi và chỉ khi ToriRˆR I R Aˆ/ ˆ,   0 với mọi

,

i  n khi và chỉ khi WidthI R Aˆ,  n.

(ii) Cho x1,...,xn là A-dãy đối chính quy theo chiều s trong I, theo định nghĩa ta có xi p, với mọi pAtt 0 :R A x1,...,xi1R thỏa mãn

 

dim R/p  0, nghĩa là xi tránh tất cả các iđêan nguyên tố gắn kết p trong tập Att 0 :R A x1,...,xi1R trừ iđêan cực đại m. Do đó n chính là số nguyên dương nhỏ nhất để dim Tor iRR I A/ ,    0. Theo nhận xét trên,

khi và chỉ khi n cũng chính là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho

 

 

dim ToriR R I A/ ,  0, khi và chỉ khi n  Width0I R Aˆ, .

(iii) Giả sử x1,...,xn là A-dãy đối chính quy theo chiều s trong I. Ta cần chứng minh rằng x1,...,xn là A-dãy đối chính quy theo chiều s trong I Rˆ.

Bằng quy nạp ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp n 1. Vì x1 là phần tử A-dãy đối chính quy theo chiều s trong I nên theo định nghĩa, x1 p, với mọi pAttRA thỏa mãn dimR/p s. Giả sử x1 không là phần tử A-dãy đối chính quy theo chiều s trong I Rˆ. Khi đó tồn tại ˆ Attq RˆA sao cho

1 ˆ

x q, và dimRˆ ˆ/q s. Theo Mệnh đề 1.2.4, ta có ˆqR  q AttRA. Suy ra x1 q và

ˆ ˆ  ˆ ˆ  ˆ   

dim / dim / dim / dim / .

s  R q  R qR  R qR  R q

Điều này mâu thuẫn với giả thiết x1 là phần tử A-dãy đối chính quy theo chiều s trong I. Do đó x1 là phần tử A-dãy đối chính quy theo chiều s

trong I Rˆ. 

Theo hệ quả trên, ta có bất đẳng thức Widths I A,  Widths I R Aˆ, 

và dấu đẳng thức chỉ xảy ra trong trường hợp s  0. Tuy nhiên, trong trường hợp s  0, dấu đẳng thức không còn đúng nữa. Lý do là nhìn chung ta có

 

pAttRAdim R/p s  ˆpRAttRA, dimRˆ/ˆp s.

Vì thế, có thể có những dãy x1,...,xk các phần tử trong I là dãy đối chính quy theo chiều s của Rˆ-môđun A nhưng không là dãy đối chính quy theo chiều s của R-môđun A, dẫn tới Widths  I A, <Widths I R Aˆ, .

2.4 Kết quả về tính hữu hạn

Bổ đề sau đây được chứng minh bằng kỹ thuật tương tự như các kết quả đã nêu ở trên. Đó là chuyển lên vành đầy đủ, sử dụng đối ngẫu Matlis, đẳng cấu giữa các môđun Ext, Tor trên vành đầy đủ và tính chất giao hoán của hàm tử địa phương hóa với các hàm tử Ext, Tor. Kết quả này đóng vai trò then chốt trong việc chứng minh Định lý 2.4.2.

2.4.1. Bổ đề. Cho t là một số nguyên. Đặt

 

 

 

1

0

Var Ann Tor / , .

t

R

t R i

i

P  R I A



 

Khi đó

 

       

 

 

1

Att Tor / , Att Tor / 1 ,..., ,

Att Tor / ,

n nk

R n R

R t t R t k t

R

R t t

R I A P R a a A P

R I A P





 



với mỗi hệ sinh a1,...,ak của I và mọi số nguyên dương n1,..., .nk

Chứng minh. Cho pAtt TorR tRR I A/ ,n  Pt sao cho pPt. Khi đó

theo Mệnh đề 1.2.4, tồn tại iđêan nguyên tố ˆpAtt TorRˆ tRR I A/ ,n   sao

cho ˆpR  p. Vì pPt, nên theo cách xác định Pt ta có

 

 

 ˆ   ˆ ˆˆ ˆ   

ˆVar Ann TorR tR R I A/ ,  Var Ann TorR tR R IR A/ , p

với mọi i t. Do đó theo Mệnh đề 1.4.5 ta có

   

 

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ Supp Extp R iR R IR D A/ , với mọi i t. Vì thế Mệnh đề 1.4.5

         

ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ExtiR R /I R D A,  ExtiR R I R D A/ ,  0

p p p p p

với mọi i t. Do đó depthIR D Aˆˆp,  ˆp t theo Mệnh đề 1.5.4. Điều này suy ra depthI R D Anˆˆp,  ˆp t theo Chú ý 1.5.2. Nếu

 ˆˆ  ˆ

depth I R D An p, t

p thì lại áp dụng Mệnh đề 1.5.4 ta suy ra được

   

ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ

ExttR R /I R D An ,  0

p p p p hay ˆ Supp Extp Rˆ  iRˆR IR D Aˆ/ ˆ,    . Vì

vậy,

   

 

 ˆ ˆ ˆ ˆ   ˆ ˆˆ ˆ   

ˆpVar Ann ExtR iR R I R D A/ n ,  Var Ann TorR iR R I R A/ n , . Vì thế ˆpAtt TorRˆ iRR I A/ ,n   theo Mệnh đề 1.2.3, điều này mâu thuẫn với cách chon ˆp. Do đó,

 ˆˆ  ˆ  ˆˆ  ˆ

depth I R D An p,  t depth I R D Ap, .

p p

Vì vậy, từ rad I  rad In và theo Mệnh đề 1.5.4 ta có

   

       

   

 

   

 

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

Ass Ext / , Ass

Ass

ˆ ˆ

Ass Ext / , .

n

t n t

R R R I R

t

R IR

t

R R

R I R D A H D A

H D A

R IR D A







p p p p

p p

p p

p p p p

p

p p p

Vì ˆpAtt TorRˆ iRR I A/ ,n  , nên suy ra

   

 

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆpAss ExtR iR R I R D A/ n , ,

và vì vậy ˆpRˆˆp AssRˆˆpExttRˆˆpRˆˆp /IR D Aˆˆp,  ˆp . Theo kết quả trên ta suy ra

   

 

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆR AssR ExttR R /IR D A, .

p p

p p p p

p Vì vậy

   

   ˆ  

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆAss ExtR tR R IR D A/ ,  Att TorR tR R I A/ , . p

Suy ra ta có

 

     

Att TorR tR R I A/ ,n Pt  Att TorR tR R I A/ , Pt. Chú ý rằng ta luôn có các đẳng thức

       

   

 1 

ˆ ˆ ˆ ˆ

1 ˆ ˆ

ˆ ˆ

depth , depth ,

depth ,..., k ˆ,

n

n n

k

IR D A I R D A

a a R D A





p p p p

p p

Nên các bao hàm thức còn lại của Bổ đề cũng được chứng minh tương tự.  Với việc đưa ra định nghĩa độ rộng theo chiều s và chứng minh được tính chất ổn định của hợp các tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Tor trong bổ đề trên đã giúp chúng ta chứng minh được kết quả sau đây. Đây là kết quả chính của [10] về tính chất hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Tor khi n đủ lớn. Để tiện cho việc theo dõi ta ký hiệu

AttRAs pAttRA dimR/p s.

2.4.2. Định lý. Cho Widths  I A, r. Khi đó (i) Tập Att TorR tR / n,  

n s

R I A

 

 

 

  là hữu hạn với mọi t r.

(ii) Tập    1   

1

1 ,...,

Att Tor / ,..., k ,

k

n n

R

R t k

n n s

R a a R A

 

 

 

 

    là hữu hạn với mọi

,

t r trong đó a1,...,ak là hệ sinh của I. Chứng minh. Đặt

1      

0

Var Ann Tor / ,

t R

t R i

i

P  R I A



 

với mỗi số nguyên t sao cho t r. Cho n  0 là một số nguyên và

 

 

Att TorR tR / n,  .

n s

R I A





p Vì t  r Widths I A, , nên theo Định lý 2.2.7 suy ra dim TorR iRR I A/ ,n   s với mọi i t.

Nếu dimR/p s thì áp dụng Bổ đề 1.3.2 ta có pPt. Do đó,

 

 

Att TorR tR R I A/ ,



p theo Bổ đề 2.4.1.

Nếu dimR/p s thì pAtt TorR tRR I A/ ,  Pt theo Bổ đề 2.4.1. Giả sử rằng pAtt TorR tRR I A/ ,  . Khi đó pPt. Vì vậy

 

 

 

Var Ann TorR hR R I A/ ,



p với h t. Vì h  Widths  I A, , nên ta có dim Tor hRR I A/ ,n   s theo Định lý 2.2.7. Do đó p là phần tử tối thiểu của tập Var Ann Tor R hRR I A/ ,   , và vì vậy

 

 

Att TorR hR R I A/ ,



p theo Bổ đề 1.2.3. Vì vậy, ta đã chứng minh được

 

 

       

0

Att Tor / , Att Tor / , ,

t

R n R

R t R i

n s i

R I A R I A

 

  

Và vì thế Att TorR tR / n,   

n s

R I A

  là tập hữu hạn. Một cách hoàn toàn

tương tự ta cũng chứng minh được

 

 

 

 1       

1

1

,..., 0

Att Tor / ,..., k , Att Tor / , ,

k

n n t

R R

R t k R i

n n s i

R a a R A R I A

 

  

và định lý được chứng minh. 

Kết quả sau đây là hệ quả trực tiếp của định lý trên.

2.4.3. Hệ quả. Giả sử rằng s 1. Cho Widths  I A, r. Khi đó tập n Att TorR tRR I A/ n,    và tập

 

 

 

 1 

1

1 ,...,

Att Tor / ,..., k ,

k

n n

R

R t k

n n

R a a R A



là hữu hạn với mỗi số nguyên t r và mỗi hệ sinh a1,...,ak của I.

KẾT LUẬN

Tóm lại, trong luận văn này chúng tôi đã trình bày lại một cách tường minh các kết quả trong bài báo [10] của Lê Thanh Nhàn và Nguyễn Thị Dung.

Cụ thể chúng tôi đã hoàn thành được những nội dung chính sau đây.

1. Trình bày (không chứng minh) một số khái niệm và kết quả trong Đại số giao hoán nhằm mục đích làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của luận văn.

2. Trình bày khái niệm và một số tính chất của dãy đối chính quy, dãy đối chính quy theo chiều, độ rộng theo chiều.

3. Trình bày chứng minh kết quả: tập hợp

 

0

Att ( or ( /R tR n, )) dim /

n

T R I A R s



 

 

 

p  p 

và

 

1

1

1 ,..., 0

Att ( or ( / ( ,..., k), )) dim /

k

n n

R

R t k

n n

T R x x A R s



 

   

 

 

p  p 

là hữu hạn với mọi t r, với n đủ lớn và với mọi số tự nhiên n1,..., ,nk trong đó r  Width I As( , ) là độ rộng với chiều lớn hơn s của A trong I và x1,...,xk là hệ sinh của I (Định lý 2.4.2).

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

[1]. Nguyễn Tự Cường (2003), Giáo trình Đại số hiện đại, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà nội.

[2]. Dương Quốc Việt (2008), Cơ sở lý thuyết module, Nhà xuất bản Đại học sư phạm.

Tiếng Anh

[3]. M. F. Atiyah and I.G. Macdonald (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley Publishing Company.

[4]. M. Brodmann (1979), Asympotic Stability of AssR(M/InM), Proceedings of the American Mathematical Society 74(1), 16-18.

[5]. M. Brodmann and L. T. Nhan (2008), A finiteness result of associated primes of certain Ext-modules, Communication in Algebra, 36(4), 1527- 1536

[6]. M. Brodmann and R. Y. Sharp (1998), Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press.

[7] N. T. Cuong and L. T. Nhan (2002), On Noetherian dimension of Artinian modules, Vietnam J. Math., 30, 121-130.

[8] I. G. Macdonald (1973), Secondary representation of modules over a commutative ring, Symposia Mathematica. 11, 23-43

[9]. H. Matsumura (1986), Commutative ring theory, Translated by M.

Reid, Cambridge University Press.

[10]. L. T. Nhan and N. T. Dung (2012), A finiteness property for attached primes of certain Tor-modules, Algebra Colloquium, 19, 787-796.