Rèn luyện kỹ năng sử dụng khoảng cách để tính góc trong không gian cho học sinh lớp 11 ở trường THPT triệu sơn 3

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong chương trình tốn học lớp 11, tốn góc khơng gian giữ vai trị quan trọng, xuất hầu hết đề thi THPT Quốc gia; đề thi học sinh giỏi năm gần Mặc dù phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có tư sâu sắc, có trí tưởng tượng hình khơng gian phong phú nên học sinh đại trà, mảng kiến thức khó thường để điểm kì thi nói Đối với học sinh giỏi, em làm tốt phần Tuy nhiên cách giải rời rạc, làm biết thường tốn nhiều thời gian Trong sách giáo khoa, sách tập tài liệu tham khảo, loại tập nhiều song dừng việc cung cấp tập chủ yếu, chưa có tài liệu hướng dẫn sử dụng khoảng cách để tính góc khơng gian Đối với giáo viên, lượng thời gian ỏi việc tiếp cận phần mềm vẽ hình khơng gian cịn hạn chế nên việc biên soạn toán với cách giải phần cịn gặp nhiều khó khăn Từ lý với ý tưởng, giải pháp mà thân tâm đắc tự rút trình thực tế giảng dạy ơn thi học sinh giỏi ôn thi THPT Quốc gia (nay TN THPT), định chọn đề tài: “Rèn luyện kỹ sử dụng khoảng cách để tính góc khơng gian cho học sinh lớp 11 trường THPT Triệu Sơn 3’’ làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm thân năm học 2019 – 2020 hy vọng thông qua đề tài cung cấp cho học sinh nhìn tổng quan phương pháp giải để từ có định hướng tốt tìm lời giải tốn góc Rất mong nhận đóng góp ý kiến, nhận xét đánh giá đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài hình thành cách tính nhanh, xác việc sử dụng khoảng cách để tính góc - Hình học 11 nhằm rèn luyện kỹ toán học định hướng phát triển cho học sinh lực sau: - Năng lực tư duy, lực tính toán, lực giải vấn đề - Năng lực sử dụng cơng nghệ thơng tin (máy tính cầm tay casio) - Năng lực sử dụng ngơn ngữ Tốn học - Kỹ vận dụng kiến thức Hệ thức lượng giác tam giác vuông, hệ thức lượng tam giác thường, cơng thức tính diện tích tam giác… - Phát triển trí tưởng tượng kỹ biểu diễn hình khơng gian 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài phương pháp sử dụng khoảng cách để tính góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng - Chương III Hình học 11 để rèn luyện kỹ phát triển lực Toán học học sinh, qua khẳng định cần thiết phải xây dựng “phương pháp sử dụng khoảng cách để tính góc” chương trình giảng dạy Hình học khơng gian lớp 11 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu sử dụng đề tài bao gồm - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra, khảo sát thực tế dạy học phần tính góc trường THPT Triệu Sơn để từ thấy tầm quan trọng việc áp dụng cách tính góc - Hình học khơng gian lớp 11 việc nâng cao chất lượng dạy học - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo khoa Hình học 11 - Nâng cao Cơ bản, sách tập Hình học 11 - Nâng cao Cơ bản, tài liệu phân phối chương trình tài liệu dạy học theo định hướng phát triển lực học sinh - Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê xử lý số liệu lớp thực nghiệm lớp đối chứng để qua thấy hiệu đề tài NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trong nghiên cứu khoa học việc tìm quy luật, phương pháp để giải vấn đề vô quan trọng giúp có định hướng tìm lời giải lớp toán Trong dạy học giáo viên người có vai trị thiết kế điều khiển cho học sinh thực luyện tập hoạt động tương thích với nội dung dạy học Vì trang bị phương pháp, tập trung dạy cách học, rèn luyện kỹ năng, phát triển lực cho học sinh nhiệm vụ quan trọng người giáo viên Trong “Góc” sách giáo khoa Hình học lớp 11 đưa khái niệm góc sau: “Góc hai đường thẳng”; “Góc đường thẳng mặt phẳng”; “Góc mặt phẳng” Với khái niệm đưa dạng tốn tính góc sau: Dạng 1: Tính góc hai đường thẳng Dạng 2: Tính góc đường thẳng mặt phẳng Dạng 3: Tính góc hai mặt phẳng Trong dạng tốn dạng tốn dạng tốn ta sử dụng khoảng cách từ điểm đến đường thẳng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính góc Đặc biệt tốn tính góc dạng tốn tương đối khó thường nằm mức vận dụng nên sáng kiến nghiên cứu cách tính góc dạng việc sử dụng khoảng cách 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trường THPT Triệu Sơn trường nằm phía tây huyện, có nhiều xã miền núi, đặc biệt khó khăn thuộc vùng V135, V134; có nhiều học sinh em dân tộc thiểu số nên điểm đầu vào thấp Tư học sinh chậm, điều kiện kinh tế khó khăn, đường học cịn xa khó nên ảnh hưởng nhiều đến kết học tập em Trong q trình dạy học tơi nhận thấy điều để học tốt mơn HHKG cần phải nắm vững kiến thức, địi hỏi học sinh phải có khả đốn nhận, phân tích tốt đồng thời cần có kỹ vẽ hình tốt, kỹ trình bày chặt chẽ tư logic cao, kỹ phân tích giả thiết quan hệ đối tượng hình khơng gian Nhưng thực tế điều lại điểm yếu không học sinh, kể học sinh giỏi, dẫn đến tâm lý chán, ngại sợ học môn HHKG Hơn việc áp dụng kiến thức góc học sinh đa số dừng lại mức độ nhận biết, học sinh thục kỹ sáng tạo vận dụng kiến thức góc vào giải tốn mà đa phần học sinh tỏ lúng túng khơng định hình cách giải Phần lớn giáo viên dừng lại mức trang bị lý thuyết giao nhiệm vụ cho học sinh vài tập cụ thể mà chưa khai thác toán cách giải khơng có sách giáo khoa Ngồi số tiết theo phân phối chương trình dành cho phần nên ảnh hưởng khơng nhỏ đến việc dạy học 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Hệ thống kiến thức học cho học sinh trước tiếp nhận kiến thức - Hệ thống kiến thức hình học khơng gian gồm: “ Quan hệ song song” , “Quan hệ vng góc” hai đường thẳng, đường thẳng mặt phẳng, hai mặt phẳng - Cách xác định khoảng cách từ điểm đến đường thẳng d d M H M Cho điểm đường thẳng Gọi hình chiếu Khi d (M , d ) d MH M khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Kí hiệu Nhận xét: * ∀M ' ∈ ∆, MM ' ≥ d ( M , d ) d (M , d ) * Để tính ta làm sau: d H M + Xác định hình chiếu MH + Tính - Cách xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ( P) ( P) M H M Cho điểm mặt phẳng Gọi hình chiếu Khi d ( M ,( P)) ( P) MH M khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Kí hiệu Nhận xét: * ∀M ' ∈ ( P), MM ' ≥ d ( M ,( P)) * Để tính khoảng cách từ điểm cách sau: MH M đến mặt phẳng Cách Tính trực tiếp: Xác định hình chiếu Phương pháp chung: Bước 1: Dựng mặt phẳng chứa M H ( P) M ta sử dụng ( P) tính ( Q) ( P) vng góc với d Bước 2: Tìm giao tuyến ( P) ( Q) MH d H ∈ d Bước 3: Kẻ ⊥ ( ) d ( M ,( P )) = MH Khi Cách Sử dụng phép trượt đỉnh M M' Trượt đỉnh đường thẳng đến vị trí thuận lợi , ta quy d ( M ,( P)) việc tính sau: d ( M ',( P)) việc tính Ta thường sử dụng kết d Kết 1: Nếu đường thẳng ( P) song song với mặt phẳng d ( M ;( P)) = d ( N ;( P)) M,N ∈d d Kết 2: Nếu đường thẳng ( P) I cắt mặt phẳng điểm M,N ∈d M,N I ( khơng trùng với ) thì: d ( M ;( P)) MI = d ( N ;( P )) NI d ( M ;( P )) = d ( N ;( P )) NI M I Đặc biệt, trung điểm d ( M ;( P)) = d ( N ;( P)) MN trung điểm - Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song với ( P) d Cho điểm đường thẳng song song với mặt phẳng Khoảng cách ( P) d d đường thẳng mặt phẳng khoảng cách từ điểm d (d ,( P)) ( P) đến mặt phẳng Kí hiệu Nhận xét: ∀M ∈ d , N ∈ ( P), MN ≥ d (d ,( P)) + ( P) d + Việc tính khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Phương pháp xác định góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng thường dùng: Phương pháp xác định góc đường thẳng + Tìm I = d ∩ ( P) A∈d, + Tìm kẻ (d ,( P )) = ·AIH + AH ⊥ ( P ) d ( P) mặt phẳng H Phương pháp xác định góc hai mặt phẳng cắt ( P ) ∩ (Q) = d ( P) ( Q) + Tìm giao tuyến ( P) ( Q) a d b d + Trong tìm vng góc với , tìm vng góc với a b I , cắt ( ( P),(Q) ) = ( a, b ) + Chú ý: Trong số trường hợp u cầu tính góc hai mặt phẳng áp dụng cơng thức hình chiếu để tính 2.3.2 Hướng dẫn rèn luyện kĩ sử dụng khoảng cách để tính góc cho học sinh 2.3.2.1 Sử dụng khoảng cách để tính góc đường thẳng mặt phẳng Cho mặt phẳng điểm) Phương pháp : ( P) đường thẳng d (chỉ xét trường hợp d cắt ( P) I Bước 1: Tìm giao điểm ( P) d mặt phẳng đường thẳng A∈ d Bước 2: Từ điểm dựng AH ⊥ ( P ) H HI Khi hình chiếu ( P) d Bước 3: Tính AH sin ( d , ( P ) ) = sin ·AIH = AI Chú ý: + Không cần dựng dài AH = d ( A, ( P ) ) H Khi đó: + Vấn đề chọn điểm A (là hình chiếu d ( A, ( P ) ) sin ( d , ( P ) ) = AI A∈ d cho việc tính ( P) ) mà cần biết độ AH = d ( A, ( P ) ) đơn giản Tính góc đường thẳng mặt phẳng hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy S ABCD ABCD A Ví dụ 1: Cho hình chóp có đáy hình thang vng B, SA ⊥ ( ABCD), SA = a , AB = BC = a , AD = 2a M,N Gọi trung SB , CD MN ( SAC ) điểm Sin góc ? 5 55 5 10 10 B C D A Trích câu 42- đề thi thử lần trường THPT Quảng Xương -Thanh Hóa năm học 2019 – 2020, Đề thi thử lần trường THPT Chuyên Bắc Ninh năm học 2019-2020 Phân tích: + Bước 1: Tìm giao điểm MN ( SAC ) I MN + Bước 2: Chọn điểm thích hợp cụ thể N chọn việc tính khoảng cách từ điểm đến ( SAC ) đơn giản α góc + Bước 3: Gọi ( SAC ) MN Suy ra: d ( N , ( SAC ) ) sin α = NI Bài giải Kẻ MP / / SA , P ∈ AB Gọi MN + + O = PN ∩ AC , OI / / SA cắt I ⇒ ( MNP ) ∩ ( SAC ) = OI I = MN ∩ ( SAC ) d ( N , ( SAC ) ) = NC ( NC ⊥ ( SAC ) ) ( Ở khoảng cách tính theo cách – trực tiếp) Dễ dàng tính được: a 10 ON = a , NP = a , MN = , 2 a 10 a NI = , NC = + sin ( MN , ( SAC ) ) = d ( N , ( SAC ) ) NI = NC = NI 10 Tính góc đường thẳng mặt phẳng hình chóp có mặt bên vng góc với đáy S ABCD ABCD 2: Cho hình chóp có đáy hình chữ nhật Ví dụ AB = a , AD = a SAB Tam giác nằm mặt phẳng vng góc với ( SBC ) SD mặt phẳng đáy Tính cơsin góc 13 4 A B C D Trích đề HSG Bắc Ninh năm học 2018-2019 Phân tích S + Bước 1: Tìm giao điểm ( SBC ) SD SD + Bước 2: Chọn điểm thích hợp cụ thể chọn D việc tính khoảng cách từ ( SBC ) điểm đến đơn giản α + Bước 3: Gọi SD góc ( SBC ) Suy ra: d ( D, ( SBC ) ) sin α = SD Bài giải: + SD ∩ ( SBC ) = S + d ( D, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) AK ⊥ SB ⇒ AK ⊥ ( SBC ) Kẻ d ( A, ( SBC ) ) = AK = a ( AK ⊥ SB ) SD = SH + HD = 2a (Ở ta dùng phép trượt đỉnh để tính khoảng cách) α SD + Gọi góc ( SBC ) Suy ra: a AK 13 sin α = = = ⇒ cos α = SD 2a 4 Tính góc đường thẳng mặt phẳng hình chóp O = AC ∩ BD S ABCD 2a Ví dụ 3: Cho hình chóp , cạnh Gọi ( SBC ) SO Tính sin góc B C D A Phân tích: S + Bước 1: Tìm giao điểm ( SBC ) SO SO + Bước 2: Chọn điểm thích hợp cụ thể O chọn việc tính khoảng cách từ ( SBC ) điểm đến đơn giản + Bước 3: Gọi SO α ( SBC ) ⇒ sin α = góc d ( O, ( SBC ) ) SO Bài giải: SO ∩ ( SBC ) = S + Ta có: + d ( O, ( SBC ) ) = OH M Trong trung điểm BC OH ⊥ SM H (Ở khoảng cách tính theo cách 1- trực tiếp) OM = a , SO = a Ta có: 1 a = + ⇒ OH = 2 OH OS OM + Gọi ( SBC ) α góc SO Suy ra: d ( O, ( SBC ) ) OH sin α = = = SO SO Tính góc đường thẳng mặt phẳng hình lăng trụ A, AB = a ABC A ' B ' C ' Ví dụ 4: Cho lăng trụ có đáy tam giác cân , · ( ABC ) BAC = 1200 H B' Hình chiếu vng góc lên trung điểm 10 ⇒ d ( C , ( ABB ') ) = + sin α = a 15 d ( C , ( ABB ') ) 10 = B 'C Trong đó: ( ABB ' A ') α B 'C góc Nhận xét: Đây ví dụ tính góc đường thẳng mặt phẳng tương đối khó, học sinh gặp khó khăn xác định hình chiếu vng góc ( ABB ' A ') C lên mặt phẳng sử dụng khoảng cách để tính góc tốn đơn giản Mặt khác hình vẽ thống, rõ ràng giúp học sinh dễ hình dung làm nhanh 2.3.2.2 Sử dụng khoảng cách để tính góc hai mặt phẳng ( P) ( Q) Phương pháp xác định góc hai mặt phẳng cách sử dụng khoảng cách thực qua bước sau: d : Xác định giao tuyến Bước ( P) ( Q) hai mặt phẳng A∈ ( P ) Từ , dựng Bước 2: AK ⊥ d ; AH ⊥ ( Q ) ⇒ d ⊥ ( AKH ) ( P ) ,( Q ) Bước 3: Gọi góc AH sin α = α α = ·AKH ⇒ AK Trong đó: AH = d ( A, ( Q ) ) AK = d ( A, d ) , sin α = Vậy d ( A, ( Q ) ) d ( A, d ) Chú ý: 12 + Việc sử dụng khoảng cách để tính góc hữu ích tính khoảng cách ta sử dụng kỹ thuật rời điểm (chuyển từ điểm khó tính khoảng cách điểm dễ hơn) A + Vấn đề mấu chốt chọn điểm mặt để tính khoảng cách đến mặt cịn lại đơn giản Tính góc hai mặt phẳng hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy a, S ABC ABC Ví dụ 1: Cho hình chóp có đáy tam giác cạnh ( SAB) ( SBC ) SA ⊥ ( ABC ), SA = a Cosin góc hai mặt phẳng là? 5 5 − − 5 5 B C D A Trích đề thi thử lần năm 2019 trường THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa Phân tích: Bước : Xác định giao tuyến d ( SAB ) hai mặt phẳng ( SBC ) A ∈ ( SAB) tính Bước 2: Chọn d ( A, ( SBC ) ) , d ( A, d ) Bước 3: Gọi góc ( SAB ) , ( SBC ) α đó: d ( A, ( SBC ) ) sin α = d ( A, d ) Bài giải: 13 + ( SAB ) ∩ ( SBC ) = SB A ∈ ( SAB) + Chọn , kẻ AK ⊥ SB , AI ⊥ BC , AH ⊥ SI ⇒ d ( A, SB ) = AK d ( A, ( SBC ) ) = AH Ở khoảng cách d ( A, ( SBC ) ) = AH tính theo cách 1- trực tiếp + Gọi α ( SAB ) phẳng Suy ra: góc hai mặt ( SBC ) d ( A, ( SBC ) ) sin α = = d ( A, SB ) ⇒ cos α = ABC S ABC A Ví dụ 2: Cho hình chóp có đáy tam giác vng cân · · ( SAB ) ( SAC ) AB = a , SBA = SBA = 900 Tính góc hai mặt phẳng biết d ( S , ( ABC ) ) = a A 600 B 300 C 450 D 900 Phát triển câu 49 đề minh họa Bộ Giáo Dục năm 2020 Phân tích: 14 Bước : Xác định giao tuyến ( SAC ) hai mặt phẳng Chọn Bước 2: d ( B, ( SAC ) ) , d ( B, d ) d ( SAB) B ∈ ( SAB) tính Bước 3: Gọi góc ( SAC ) sin α = ( SAB ) d ( B, ( SAC ) ) đó: d ( B, d ) Bài giải Vẽ hình bình hành SH ⊥ ( ABC ) vuông Gọi α BACH Dễ dàng chứng minh BACH hình ( (SAC ),(SAB) ) = α ( SAB ) ∩ ( SAC ) = SA + Ta có: + Tìm điểm B ∈ ( SAB ) B mà việc tính khoảng cách từ đến ( SAC ) SA đơn giản d ( B, ( SAC ) ) = d ( H , ( SAC ) ) = HI d ( B, SA) = BK ( HI ⊥ SC ⇒ HI ⊥ ( SAC ) , BK ⊥ SA ) Ở ta dùng phép trượt đỉnh ( SAC ) B để tính khoảng cách từ đến HI ⇒ sin α = = ⇒ α = 600 BK 15 Nhận xét: cách vẽ hình thích hợp ta chuyển ví dụ tốn xác định góc hai mặt phẳng hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy – tốn quen thuộc tương tự ví dụ Ví dụ lúc trở nên dễ dàng đa số em học sinh Mặt khác, ví dụ phát triển tư hình học khơng gian tạo góc nhìn đơn giản cho học sinh Tính góc hai mặt phẳng hình chóp a Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác có tất cạnh Tính cosin góc mặt bên mặt đáy 1 1 2 B C D A Phân tích: ( SAB) Giả sử cần tính góc Bước1: Xác định giao d tuyến hai mặt phẳng ( SAB ) ( ABCD) tính ( ABCD ) S ∈ ( SAB) Bước 2: Chọn d ( S , ( ABCD ) ) , d ( S , d ) ước 3: Gọi góc B ( SAB ) sin α = ( ABCD) d ( S , ( ABCD ) ) α đó: d ( S,d ) Bài giải: 16 + Ta có : ( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB S ∈ ( SAB ) : + Chọn d ( S , ( ABCD ) ) = SO , d ( S , AB ) = SH Trong H trung điểm ⇒ sin ( ( SAB ) , ( ABCD ) ) = ⇒ cos ( ( SAB ) , ( ABCD ) ) = AB SO = SH 3 Tính góc hai mặt phẳng hình chóp có mặt bên vng góc với đáy a S ABCD ABCD 5: Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh , Ví dụ SAB mặt bên tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) ( SAC ) ( SCD ) cosϕ ϕ Tính biết góc hai mặt phẳng 7 7 A B C D Trích câu 46 –mã 111 đề thi thử lần THPT Triệu Sơn năm học 2019-2020 Phân tích d Bước 1: Xác định giao tuyến ( SAC ) hai mặt phẳng Chọn Bước 2: d ( A, ( SCD ) ) , d ( A, d ) ( SCD ) A ∈ (SAC ) tính Bước 3: Gọi góc ( SAC ) sin α = ( SCD ) α đó: d ( A, ( SCD ) ) d ( A, d ) 17 Bài giải: + Gọi H trung điểm A ∈ ( SAC ) : + Chọn d ( H , ( SCD ) ) = HJ = AB ta có: việc tính ( SAC ) ∩ ( SCD ) = SC d ( A, ( SCD ) ) = d ( H , ( SCD ) ) a 21 đơn giản (ở khoảng cách tính theo cách 1- trực tiếp) d ( H , ( SCD ) ) d ( A, SC ) = AK AK = 2S∆SAC a 14 = SC Trong đó: AK ⊥ SC , HI ⊥ CD , HJ ⊥ SI sin ϕ = d ( A, ( SCD ) ) HJ = d ( A, SC ) AK + sin ϕ = ⇒ cosϕ = 7 Nhận xét: ví dụ tính góc theo cách thơng thường ( khơng sử dụng khoảng cách) toán phức tạp học sinh lúng túng chí khơng tính góc Nhưng sử dụng khoảng cách để tính góc kết hợp vẽ hình tốt ví dụ trở nên dễ dàng nhiều Tính góc hai mặt phẳng hình lăng trụ ABC A′B′C ′ C 6: Cho lăng trụ đứng có đáy tam giác vng Ví dụ ( AB ' C ) AC = BC = 2a, AA′ = 4a Tính sin góc hai mặt phẳng ( ABC ') 18 70 35 B A 35 35 C 70 35 D 35 35 Phân tích: + Bước 1: Xác định giao tuyến AO O = BC '∩ B ' C với hai mặt ( AB ' C ) ( ABC ') phẳng + Bước 2: Tính khoảng cách từ ( ABC ') C đến mặt phẳng + Bước 3: Gọi góc ( AB ' C ) ( ABC ') α đó: d ( C , ( ABC ') ) sin α = d ( C , AO ) Bài giải: + ( AB ' C ) ∩ ( ABC ') = AO C ∈ ( AB ' C ) : d ( C , ( ABC ') ) + K hoảng cách tính sau: 1 1 = + + 2 d ( C , ( ABC ') ) CA CC ' CB ⇒ d ( C , ( ABC ' ) ) = 4a 21 21 1 = + d ( C , AO ) CA CO 2 ⇒ d ( C , AO ) = a 30 ( ( AB ' C ) , ( ABC ') ) = α + Gọi 70 ⇒ sin α = 35 19 Ví dụ ∆BB ' D đều, 300 A : Cho hình hộp AB = AB ' ABCD A′B′C ′D ' có đáy ABCD hình vng, ( BCC ' B ') Tính góc hai mặt phẳng 0 45 60 90 B C D Trích đề số – Tốn học tuổi trẻ 2019 ( A ' B 'CD ) Phân tích: + Bước 1: Xác định giao tuyến ( BCC ' B ') ( A ' B 'CD ) D ∈ ( A ' B ' CD ) + Bước 2: Chọn d ( D, ( BCC ' B ' ) ) cho việc tính d ( D, B ' C ) đơn giản + Bước 3: Gọi α = ( ( BCC ' B ') , ( A ' B ' CD ) ) sin α = d ( D, ( BCC ' ) ) d ( D, B ' C ) Bài giải: - Xác định góc hai mặt phẳng ( BCC ' B ') ( A ' B 'CD ) + Ta có: ( BCC ' B ') ∩ ( A ' B ' CD ) = B ' C D ∈ ( A ' B ' CD ) + Chọn : Tính d ( D, ( BCC ' B ' ) ) = d ( A, ( BCC ' B ' ) ) d ( D, B ' C ) đơn giản H BB ' Gọi trung điểm ⇒ BC ⊥ ( ABB ' A ' ) Dễ dàng chứng minh AH ⊥ ( BCC ' B ') Thật AH ⊥ BB ', BC ⊥ AH 20 ⇒ AH ⊥ ( BCC ' B ') AB = AB ' = a , Ta có: BD = B ' D = BB ' = a a ⇒ AH = BB ' = 2 BDC ' Vì tam giác a ⇒ d ( D, BC ' ) = Gọi vuông D α = ( ( BCC ' B ') , ( A ' B ' CD ) ) sin α = + Tính d ( D, ( BCC ') ) d ( D, B ' C ) = ⇒ ( ( BCC ' B ') , ( A ' B 'CD ) ) = 600 Nhận xét: - Ở ví dụ trên, việc tính góc hai mặt phẳng tốn khó, gây trở ngại khó khăn học sinh có học lực trung bình Nhưng thực tế sau áp dụng phương pháp sử dụng khoảng cách để tính góc tơi nhận thấy khả tính góc em tốt nhiều, quan sát hình vẽ sử dụng khoảng cách linh hoạt để tính góc nhanh, xác Đặc biệt sơi tiết hình học Qua tiết học học sinh khơng có hội phát triển lực tính tốn mà cịn có hội ơn tập cơng thức, kiến thức học - Ngồi ra, q trình dạy học mơn hình học khơng gian, việc hình thành cho học sinh kỹ vẽ hình (biểu diễn hình khơng gian) cần thiết quan trọng Để làm tốt điều này, người giáo viên cần định hướng cho học sinh biểu diễn hình khơng gian nhiều góc độ khác để từ đưa góc nhìn tốt để vẽ hình Từ việc biểu diễn hình góc độ tốt hình thành cho em tư trừu tượng, khả tưởng tượng cao làm - Qua ví dụ thấy, việc sử dụng khoảng cách để tính góc lúc khắc sâu dạng tốn tính khoảng cách góc 2.3.3 Hệ thống tập sử dụng khoảng cách để tính góc giúp học sinh rèn luyện 21 Bài tập 1: Cho lăng trụ đứng A, AC = a, BC = 2a , BB ' = a trung điểm cạnh A' B ' ABC A′B′C ′, Gọi G đáy ABC tam giác vuông trọng tâm tam giác Tính sin góc IG ( ABC ) S ABCD ABC ĐS I 115 a ABCD Bài tập 2: Cho hình chóp có đáy hình thoi cạnh , a SC = · ( ABCD ) BAD = 60 SC góc cạnh bên vng góc mặt phẳng ( SBD ) 6 ( SCD ) Tìm cosin góc hai mặt phẳng ĐS S ABCD ABCD Bài tập 3: Cho hình chóp có đáy hình vng Cạnh ( ABCD ) SA = AB SA bên vng góc mặt phẳng , Tìm cosin góc hai mặt phẳng A ( SBC ) ( SCD ) B C D Trích đề thi thử Sở giáo dục Hà Tĩnh 2019 a S ABCD ABCD Bài tập 4: Cho hình chóp có đáy hình thoi cạnh , a · BAD = 600 , SA = SB = SD = α SD Gọi góc tạo mặt phẳng ( SBC ) cosα Giá trị 2 3 3 A B C D Trích câu 35 đề thi thử trường chuyên Phan Bội Châu lần năm 2020 22 ABC A ' B ' C ' AB = , Bài tập 5: Cho hình lăng trụ tam giác có A ' B ', A ' C ', BC M , N, P AA ' = Gọi trung điểm cạnh Cosin ( AB 'C ') ( MNP ) góc tạo hai mặt phẳng mặt phẳng 13 13 17 13 18 13 65 65 65 65 B C D A Trích câu 48 đề thi thử trường chuyên Phan Bội Châu lần năm 2020 S ABCD ABCD Bài tập 6: Cho hình chóp có đáy hình chữ nhật AD = a SA = a AB = 3a SA Cạnh bên vng góc với mặt đáy ( ABCD ) H,K A Gọi hình chiếu vng góc đỉnh lên cạnh ( AHK ) 600 SB SC AC Tính góc đường thẳng mặt phẳng ĐS: Trích đề HSG 11 trường THPT Nguyễn Quán Nho- Thanh Hóa năm 2019-2020 a S ABCD ABCD Bài tập 7: Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh SA ⊥ ( ABCD ) SA = a ( SBD ) ( SCD ) α , Gọi góc hai mặt phẳng sin α = ? Tính 3 sin α = sin α = sin α = sin α = 2 B C D A S ABCD ABCD Bài tập 8: Cho hình chóp có đáy hình thang cân có SA ⊥ ( ABCD ) AB = BC = CD = a, AD = 2a , SA = a α Gọi góc ( SAB ) ( SBC ) sin α = ? hai mặt phẳng Tính 5 sin α = sin α = sin α = sin α = 5 5 B C D A S ABCD ABCD Bài tập 9: Cho hình chóp có đáy hình thang vng SA ⊥ ( ABCD ) AB = BC = a, AD = 2a , SA = 2a A B I có Gọi SD SM = MD N AD M trung điểm , điểm thuộc cạnh cho Điểm thuộc 23 a2 CD MNI cạnh cho tam giác có diện tích Tính góc mặt phẳng ( MNI ) ( SAC ) 30 450 600 700 B C D A ABC A ' B ' C ' A ' ABC Bài tập 10: Cho hình lăng trụ có hình chóp tam a AB = a ; AA ' = ( ABB ' A ') 12 giác cạnh Góc hai mặt phẳng mặt ( ABC ) phẳng 30 600 450 750 B C D A Trích câu 41 đề thi thử TN trường THPT Kinh Môn- Hải Dương lần năm 2020 ABC A ' B ' C ' Bài tập 11: Cho hình lăng trụ có đáy tam giác cạnh ( ABC ) a G B' Hình chiếu vng góc lên mặt phẳng trùng với trọng tâm ( ABC ) 600 ∆ABC tam giác Cạnh bên hợp với góc Sin góc tạo ( BCC ' B ' ) AB mặt phẳng 3 13 13 13 13 B C D A ABCD A ' B ' C ' D ' Bài tập 12: Cho hình hộp có đáy hình thoi cạnh ( A ' B ' C ' D ') a B Hình chiếu vng góc lên mặt phẳng trùng với trung a A 'C ' điểm Khoảng cách hai đáy Cosin góc tạo hai ( ABCD ) ( CDD ' C ') mặt phẳng ? 21 21 21 21 14 14 B C D A 24 Phát triển câu 49 đề Minh họa lần Bộ Giáo Dục năm 2020 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 2.4.1 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục Thông qua việc đưa bước giải cụ thể cho dạng tốn tính góc đồng thời hướng dẫn học sinh cách áp dụng dạng tốn tơi thấy học sinh thoải mái, tự tin hơn, tính nhanh đạt độ xác cao Từ kết kiểm tra tiến rõ rệt Qua kiểm tra thử nghiệm với hai lần kiểm tra học sinh lớp 11E2 11E5 đề kiểm tra lần mức độ khó thời gian làm ngắn kết tốt nhiều Kết khảo sát thực nghiệm cụ thể sau: Kết kiểm tra lần Điểm Điểm 5-6 Điểm 7-8 Điểm 9-10 Số HS Lớp thực SL % SL % SL % SL % nghiệm 11E 11E 13,95 % 21,95 41 % Kết kiểm tra lần Số HS Điểm Lớp thực SL % nghiệm 43 20 46,51 % 15 23 56,1% 34,88 % 21,95 % 4,66 % 0% Điểm 5-6 Điểm 7-8 Điểm 9-10 SL SL SL % 12 27,92% 19,55% 11E2 43 0 11E5 41 0 11 % 18,6 % 26,8 % 23 22 % 53,48 % 53,65 % Kết thu được: Qua quan sát thực tế kiểm tra dạng tốn này, tơi thấy - Học sinh định hướng giải nhanh tốn tính góc tơi sưu tầm từ đề thi HSG, đề thi THPT Quốc gia, đề TN THPT trường THPT nước - Học sinh rèn luyện thành thục kỹ sử dụng khoảng cách để tính góc, kỹ tính tốn phát huy tính sáng tạo tìm tịi lời giải cho tốn, dạng tốn - Tiết học sơi nổi, học sinh hứng thú chủ động khai thác kiến thức, 100% học sinh lớp thực nội dung theo yêu cầu câu hỏi có kết tốt chưa áp dụng kinh nghiệm giảng dạy Từ kết khẳng định giải pháp mà đề tài đưa hoàn tồn khả thi áp dụng hiệu trình dạy học 2.4.2 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm với thân, đồng nghiệp nhà trường 25 Qua thực tế giảng dạy thấy cách làm góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Hình học khơng gian thân, góp phần vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Tốn nhà trường KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Từ việc sử dụng khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính góc cộng với định hướng giáo viên giúp học sinh giải dạng tập góc Với cách tiếp cận hình thành học sinh kỹ giải tốn hình học nói chung, phát huy tính sáng tạo tìm tịi lời giải cho tốn, dạng tốn Tóm lại, để phát triển lực tốn học q trình dạy học mơn Tốn tìm cách nâng cao yếu tố “Tri thức chun mơn Tốn, kỹ làm tốn thái độ tình cảm mơn Tốn” Làm điều trước hết giáo viên phải cần có lực nghiên cứu sáng tạo (phương pháp mới, kiến thức mới, toán ) để nâng cao trình độ chun mơn, nghiệp vụ ln giữ vững vai trị người điều khiển q trình dạy học Đối với dạng tốn người thầy nên hình thành ý rèn luyện, phát triển lực Tốn học cho em Tính góc phương pháp kỹ thuật giúp học sinh chủ động việc phát tri thức nắm bắt tri thức để từ kích thích đam mê, sáng tạo học tập mơn Tốn học sinh 3.2 Kiến nghị Trên số sáng kiến kinh ngiệm thực đơn vị năm học vừa qua Rất mong đề tài xem xét, mở rộng để áp dụng cho đối tượng học sinh, giúp học sinh yêu thích say mê học Tốn XÁC NHẬN Thanh Hóa, ngày 22 tháng năm 2020 CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Người viết Nguyễn Thị Lan Hương 26 ... dẫn rèn luyện kĩ sử dụng khoảng cách để tính góc cho học sinh 2 .3. 2.1 Sử dụng khoảng cách để tính góc đường thẳng mặt phẳng Cho mặt phẳng điểm) Phương pháp : ( P) đường thẳng d (chỉ xét trường. .. thi THPT Quốc gia, đề TN THPT trường THPT nước - Học sinh rèn luyện thành thục kỹ sử dụng khoảng cách để tính góc, kỹ tính tốn phát huy tính sáng tạo tìm tịi lời giải cho tốn, dạng tốn - Tiết học. .. ví dụ tính góc theo cách thơng thường ( khơng sử dụng khoảng cách) toán phức tạp học sinh lúng túng chí khơng tính góc Nhưng sử dụng khoảng cách để tính góc kết hợp vẽ hình tốt ví dụ trở nên