SKKN nâng cao kỹ năng tính góc trong không gian cho học sinh lớp 11 bằng phương pháp vận dụng khoảng cách

MỤC LỤC Nội dung Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 18 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 19 3.1 Kết luận 19 3.2 Kiến nghị 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình hình học bậc trung học phổ thơng, tốn liên quan đến góc khơng gian nội dung quan trọng, thường gặp đề thi tốt nghiệp THPT quốc gia, đề thi học sinh giỏi cấp Thực tế cho thấy gặp tốn tính góc đường thẳng mặt phẳng hay góc hai mặt phẳng số học sinh làm phần khơng nhiều Đặc biệt mơn tốn sử dụng phương pháp thi trắc nghiệm việc đưa đáp số nhanh xác quan trọng cần thiết Nhiều học sinh lúng túng việc xác định phương pháp để giải tốn Đã có nhiều tài liệu đưa số phương pháp để tính góc đường thẳng mặt phẳng hay góc hai mặt phẳng Song phần lớn tài liệu chủ yếu lại đưa phương pháp dựng hình quen thuộc để xác định góc dựng hình chiếu đường thẳng lên mặt phẳng để tính góc đường thẳng mà mặt phẳng; dựng hai đường thẳng nằm hai mặt phẳng vng góc với giao tuyến hai mặt phẳng điểm để tính góc hai mặt phẳng Tuy nhiên nhiều toán việc dựng tỏ khó khăn, việc tính tốn dài dịng phức tạp Qua q trình tìm hiểu nghiên cứu tơi mạnh dạn chọn đề tài “Nâng cao kỹ tính góc khơng gian cho học sinh lớp 11 phương pháp vận dụng khoảng cách”, nhằm giúp em học sinh có thêm kiến thức, phát triển lực tư sáng tạo, hình thành cho học sinh kỹ quy lạ quen gợi thêm hướng giải tốt gặp dạng toán 1.2 Mục đích nghiên cứu Bồi dưỡng, nâng cao cho học sinh kỹ tính góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng thơng qua ví dụ minh họa nhằm bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải tốn Qua học sinh phát triển khả tư duy, sáng tạo hình thành nhiều cách giải khác 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu, tổng kết số kỹ tính góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng cách sử dụng khoảng cách 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp phân tích tổng hợp lý thuyết - Phương pháp phân loại hệ thống hóa - Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Góc đường thẳng mặt phẳng Định nghĩa: Cho đường thẳng a mặt phẳng ( P ) + Nếu a vng góc với ( P ) ta nói góc đường thẳng a mặt phẳng ( P ) 90 + Nếu a khơng vng góc với ( P ) góc đường thẳng a hình chiếu a ' ( P ) gọi góc đường thẳng a mặt phẳng ( P ) * Khi a khơng vng góc với ( P ) a cắt ( P ) điểm I, ta lấy điểm M tùy ý a khác với điểm I Gọi H hình chiếu vng góc M ( P ) ϕ góc a ( P ) · MIH = ϕ (00 ≤ ϕ ≤ 900 ) [1] 2.1.2 Góc hai mặt phẳng Định nghĩa: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng Nếu hai mặt phẳng song song trùng góc chúng [1] * Giả sử hai mặt phẳng ( α ) ( β ) cắt theo giao tuyến c Từ điểm I c , dựng ( α ) đường thẳng a vng góc với c dựng ( β ) đường thẳng b vng góc với c Khi góc hai mặt phẳng ( α ) (β) góc hai đường thẳng a b [1] 2.1.3 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng Định nghĩa 1: Cho điểm O đường thẳng a Trong mặt phẳng ( O , a ) gọi H hình chiếu vng góc O a Khi khoảng cách hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a , kí hiệu d ( O, a ) [1] Định nghĩa 2: Cho điểm O mặt phẳng ( α ) Gọi H hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng ( α ) Khi khoảng cách hai điểm O H d O, ( α ) ) gọi khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( α ) kí hiệu ( [1] Tính chất 1: Nếu đường thẳng MN song song với mặt phẳng ( α ) d ( M ,( α ) ) = d ( N ,( α ) ) Tính chất 2: Nếu đường thẳng MN cắt mặt phẳng ( α ) điểm I d ( M ,( α ) ) d ( N ,( α ) ) = MI NI 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trước áp dụng nghiên cứu vào giảng dạy tiến hành khảo sát chất lượng học tập học sinh hai lớp 11A6 11A8 trường THPT Hậu Lộc với đề thi tự luận sau: KIỂM TRA 45 PHÚT Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Biết AB = a, AD = a , cạnh bên SA ⊥ ( ABCD ) SA = a Tính góc giữa: SC ( SBD ) ( SBC ) ( SCD ) b) Hai mặt phẳng KẾT QUẢ THU ĐƯỢC NHƯ SAU Giỏi Khá TB Yếu Kém Sĩ Lớp Số SL % SL % SL % SL % SL % 11A6 38 2,6 13,1 16 42,1 12 31,6 10,6 11A8 40 7,5 20,0 18 45,0 22,5 5,0 Tôi nhận thấy đa phần học sinh khơng xác định góc cần tìm, số em xác định góc cách dựng hình, nhiên cách trình bày dài dịng tính tốn nhiều, kỹ vẽ hình cịn kém, tính tốn cịn nhiều sai sót a) Đường thẳng 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Giải pháp 1: Vận dụng khoảng cách để tính góc đường thẳng mặt phẳng Khi a khơng vng góc với ( P ) a cắt ( P ) điểm I, ta lấy điểm M tùy ý a khác với điểm I Gọi H hình chiếu vng góc M ( P ) ϕ góc a · ( P ) MIH = ϕ (00 ≤ ϕ ≤ 900 ) Khi MH d ( M , ( P ) ) sin ϕ = = MI MI Như vậy, bước để tính tính góc đường thẳng a mặt phẳng ( P) thông qua khoảng cách bao gồm: Bước 1: Lấy điểm M a tính độ dài đoạn thẳng MI , với I giao điểm a ( P ) Bước 2: Tính khoảng cách d ( M ,( P) ) (Sử dụng tính chất khoảng cách để tính, khơng thiết phải xác định hình chiếu H M ( P ) ) Bước 3: Tính góc ϕ a ( P ) theo công thức sin ϕ = MH d ( M , ( P ) ) = MI MI Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có SA = 2a 2, BC = 2a Tính sin góc đường thẳng SB ( SCD ) Phân tích: Theo tư thơng thường, học sinh xác định hình chiếu B′ B mặt phẳng ( SCD ) Sau quy tính góc SB hình chiếu SB′ mặt phẳng ( SCD ) Tuy nhiên khó khăn tốn việc xác định hình chiếu B′ B mặt phẳng ( SCD ) không đơn giản, giả sử có xác định tính độ dài BB′ phức tạp Chính thế, ta tính khoảng cách từ B đến ( SCD ) mà khơng cần phải xác định hình chiếu B mặt phẳng ( SCD ) Lời giải Gọi O = AC ∩ BD , M trung điểm CD H hình chiếu O lên SM Khi CD ⊥ ( SOM ) , suy ( SCD ) ⊥ ( SOM ) Vì OH ⊥ SM nên OH ⊥ ( SCD ) ⇒ OH = d ( O, ( SCD ) ) Gọi α góc SB ( SCD ) Khi sin α = = d ( B, ( SCD ) ) SB 2d ( O, ( SCD ) ) SB Ta có SB = SA = a , = 2OH SB SO = SA2 − OA2 = ) ( − a ) =a , OM = a a 2OH 21 sin α = = Suy OS + OM SB Lại có Nhận xét: Thơng thường để dễ dàng tính khoảng cách hay OH = OS OM ( 2a = dựng hình chiếu từ chân đường vng góc đỉnh xuống mặt bên Tuy nhiên nhiều tốn phụ thuộc vào cách nhìn nhận người, vấn đề chọn điểm tơi trình bày phần nhận xét sau tập cụ thể Ví dụ Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác cạnh a AA′ = 2a Gọi M trung điểm CC ′ Gọi α góc BM mặt ′ phẳng ( A BC ) Tính sin α [4] Lời giải Gọi O = A′C ∩ AC ′ , I trung điểm BC H hình chiếu A lên A′I Khi BC ⊥ ( AIA′ ) suy ( A′BC ) ⊥ ( AIA′ ) Vì AH ⊥ A′I nên AH ⊥ ( A′BC ) Do AH = d ( A, ( A′BC ) ) CM = CC ′ Lại C ′O = OA nên: sin α = d ( M , ( A′BC ) ) BM d ( C ′ , ( A′BC ) ) = BM d ( A , ( A′BC ) ) AH = = BM BM AH = Ta có a AA′ AI 57 = = a 19 AA′2 + AI 2 4a + a 2a BM = BC + CM = a Suy 2 sin α = AH 114 = BM 38 Nhận xét: Trong này, ta chuyển từ việc xác định hình chiếu điểm M ′ A¢BC ) mặt phẳng ( A BC ) tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( A¢BC ) Lúc quy tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( toán quen thuộc A chân đường cao hạ từ đỉnh A′ xuống mặt ′ đáy ( A BC ) Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, AD = 2cm , DC = 1cm , ·ADC = 120° Cạnh bên SB = cm , hai mặt phẳng ( SAB ) ( SBC ) vng góc với mặt phẳng đáy Gọi α góc tạo SD mặt phẳng ( SAC ) Khi cos α A B 15 C D Lời giải Gọi H hình chiếu B lên AC K hình chiếu B lên SH Khi BK ⊥ ( SAC ) , suy ra: BK = d ( B, ( SAC ) ) = d ( D, ( SAC ) ) Ta có hai mặt phẳng ( SAB ) ( SBC ) vng góc với mặt phẳng đáy nên suy SB ⊥ ( ABCD ) BD = AB + AD − AB AD.cos 60° = AC = AD + DC − DA.DC.cos120° = 2 S∆ABC = BH AC = BC.BA.sin120° = 1.2 Ta có BK = BS BH BS + BH = 3 ⇒ BH = = AC d ( D, ( SAC ) ) 6 1 sin α = = = Ta có SD ⇒ cos α = − sin α = 15 Vậy chọn phương án A Nhận xét: Rõ ràng này, ta xác định góc đường thẳng SD mặt phẳng ( SAC ) cách máy móc xác định hình chiếu SD lên mặt phẳng ( SAC ) phức tạp Ở ta khéo léo chuyển tốn tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( SAC ) cách sử dụng tính d ( B, ( SAC ) ) chất d ( D, ( SAC ) ) = BO = OD Ví dụ Cho hình lăng trụ ABCD A′B′C ′D′ có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = a Hình chiếu A′ lên mặt phẳng ( ABCD ) trùng với giao ′ điểm AC BD Tính góc đường thẳng B′A′ mặt phẳng ( A BD ) A 30 B 45 C 60 D 90 Lời giải Gọi O giao điểm AC BD , I giao điểm A′B B′A , A′O ⊥ ( ABCD ) Gọi H hình chiếu A lên BD , ta có  AH ⊥ BD ⇒ AH ⊥ ( A′BD )  AH ⊥ A ' O  Do I trung điểm AB′ nên: d ( B′, ( A′BD ) ) = d ( A, ( A′BD ) ) = AH = AB AD AB + AD = a ′ Gọi α góc đường thẳng B′A′ mặt phẳng ( A BD ) Khi sin α = d ( B′, ( A′BD ) ) = B′A′ Suy α = 60 Vậy chọn phương án C Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) SA = 3a Mặt phẳng ( P ) chứa cạnh BC cắt hình chóp S ABCD theo thiết diện tứ giác có diện tích 2a Tính góc SD mặt phẳng ( P ) [8] Lời giải 10 Ta có BC // ( SAD ) nên ( P ) cắt ( SAD ) theo giao tuyến MN song song với BC ( M ∈ SD, N ∈ SA) Đặt AN = x ( < x < 3a ) Ta có AD ⊥ ( SAB ) , MN / / AD nên MN ⊥ ( SAB ) ⇒ MN ⊥ BN ⇒ Tứ giác BCMN hình thang vng B N MN SN SN AD x = ⇒ MN = =a− 2 SA BN = x + a Mặt khác, ta có AD SA Do S BCMN BC + MN ) BN 2a 2a ( = ⇔ = 3 ⇔ ( a − x ) x + a = 4a Kẻ AH ⊥ BN Giải phương trình ta x = 2a ( H ∈ BN ) , ta chứng minh ⇒ d ( A, ( P ) ) = AH , mà AH ⊥ ( BCMN ) hay AH ⊥ ( P ) AD // ( P ) ⇒ d ( D, ( P ) ) = d ( A, ( P ) ) = AH 1 2a = + = ⇒ AH = 2 AB AN 4a Mặt khác, ta có AH 2 10 MD = SD = SA2 + AD = a 3 Ta có P Gọi α góc SD mặt phẳng ( ) , α góc DM mặt P phẳng ( ) sin α = Ta có d ( D, ( P ) ) DM 2a 5 = = ⇒ α ≈ 250 10 10 a · Ví dụ Cho hình thoi ABCD có BAD = 60 , AB = 2a Gọi H trung điểm AB , đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) H lấy điểm S 11 thay đổi khác H Biết góc SC ( SAD ) có số đo lớn m m SH = a n ( với m, n số tự nhiên n phân số tối giản) Khi tổng m + n bằng: A B 25 C 23 D [4] Lời giải Gọi ϕ góc SC ( SAD ) Vì BC / / ( SAD ) Suy d ( C ; ( SAD ) ) = d ( B; ( SAD ) ) = 2d ( H; ( SAD ) ) Gọi E hình chiếu H AD , F hình chiếu H SE , ta có d ( H; ( SAD ) ) = HF Khi sin ϕ = Đặt SH = x ( x > 0), tam giác d ( C; ( SAD ) ) SHC SC = HF SC vuông H nên · SC = SH + CH = SH + BC + BH − BC.BH cos CBH = x + 7a Tam giác vng EHA có · sin HAE = HE a ⇒ HE = AH Do HF đường cao tam giác vuông HSE nên HF = sin ϕ = Khi ⇒ sin ϕ ≤ HE.HS HE + HS = ax 3a + x HF 3ax 3ax = = SC (4 x + 3a )( x + a ) (4 x + 21a ) + 31a x 3ax 21.a x + 31.a x ⇒ sin ϕ ≤ 12 21 + 31 12 Dấu đẳng thức xảy 4 21 a lớn sin ϕ Vậy ϕ SH = x= lớn 21 a ⇒ m = 21, n = 4 Khi m + n = 21 + = 25 Vậy chọn phương án B 2.3.2 Giải pháp 2: Vận dụng khoảng cách để tính góc hai mặt phẳng Giả sử hai mặt phẳng ( α ) ( β ) cắt theo giao tuyến D Lấy M ∈ ( α ) , M Ï D Dựng MI ⊥ ∆, ( I ∈ ∆ ) , MH ⊥ ( β ) , ( H ∈ ( β ) ) Khi đó, ∆ ⊥ ( MHI ) suy HI ⊥ ∆ · · Do góc ( α ) ( β ) góc ( MI , HI ) = MIH = ϕ Từ suy : sin ϕ = MH d ( M , ( β ) ) = MI d ( M , ∆) ( *) Như vậy, bước để tính tính góc hai mặt phẳng thơng qua khoảng cách bao gồm: Bước 1: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng Bước 2: Chọn điểm M thuộc hai mặt phẳng không nằm giao tuyến, sau tính khoảng cách từ điểm M đến giao tuyến mặt phẳng lại Bước 3: Thay vào cơng thức ( *) tính kết luận Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AD = 2a, AB = a Hai mặt bên (SAB) (SAC) vng góc với đáy Cạnh SA = a Tính sin góc hai mặt phẳng ( SAC ) ( SCD ) 13 Phân tích: Ở việc xác định góc hai mặt bên (SAC) (SCD) khơng thuận lợi, có xác định góc chúng việc tính tốn góc lại phức tạp Do đó, ta định hướng học sinh vận dụng khoảng cách để d ( A, ( SCD ) ) sin ϕ = d ( A, SC ) tính góc Theo cơng thức ta có , với ϕ góc SAC ) ( SCD ) Như toán quy việc tính khoảng cách hai mặt phẳng ( từ A đến SC đến mặt phẳng ( SCD ) đơn giản nhiều Lời giải H , K Gọi hình chiếu A lên SD, SC ϕ góc hai mặt phẳng ( SAC ) ( SCD ) Ta có: d ( A, ( SCD ) ) = AH = SA AD = 2a SA2 + AD SA AC a 10 d ( A, SC ) = AK = = SA2 + AC Lại có ( SAC ) ∩ ( SCD ) = SC ⇒ sin ϕ = d ( A, ( SCD ) ) d ( A, SC ) = AH 2 = AK Nhận xét: Trong nhiều toán, việc xác định định tính góc hai mặt phẳng tương dối khó khăn Khi giải pháp tỏ vô hiệu không cần xác định cụ thể góc cần tìm tính góc hai mặt phẳng Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B , SA vng góc với mặt đáy, AB = BC = a, AD = 2a Nếu góc SC mặt phẳng ( ABCD ) 45 góc mặt phẳng ( SAD ) ( SCD ) A ϕ = 60° B ϕ = 45° C ϕ = 30° D ϕ = 90° Lời giải 14 Gọi I trung điểm AD Dễ có ABCI hình vng nên IA = ID = IC Gọi H , K hình chiếu A lên SC , SD Ta có CD ⊥ AH , AH ⊥ SC ⇒ AH ⊥ ( SCD ) Suy SA AC d ( A, ( SCD ) ) = AH = AS AD AK = AS + AD SA + AC = d ( A, ( SCD ) ) = a a Lại có ( SAD ) ∩ ( SCD ) = SD nên AH = d ( A, SD ) AK ⇒ ϕ = 600 Vậy chọn phương án A sin ϕ = = Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA ⊥ ( ABCD ) , SA = x Xác định x để góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( SDC ) 600 [2] Lời giải Gọi H , K hình chiếu A, B SD, SC α góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( SDC ) d ( A,( SDC ) ) = AH Dễ có d ( B, SC ) = BK Ta có ( SBC ) ∩ ( SDC ) = SC Khi đó: sin α = d ( B, ( SDC ) ) d ( B, SC ) AH = Ta có Từ suy = d ( A, ( SDC ) ) AB.SA AB + SA2 sin α = d ( B, SC ) = = ax a2 + x2 , AH BK BK = BC.SB BC + SB = a a2 + x2 2a + x AH x 2a + x = BK a2 + x2 15 Để hai mặt phẳng ( SBC ) ( SDC ) tạo với góc 600 x 2a + x = ⇔ ( a + x ) = x ( 2a + x ) ⇔ x + 2a x − 3a = 2 a +x ⇔ ( x − a ) ( x + 3a ) = ⇔ x − a = ⇔ x = a Nhận xét: Ở việc xác định tính AH , BK dễ dàng, vận dụng khoảng cách vào tính góc giải gọn nhẹ nhanh chóng Thay lựa chọn điểm B trên, chọn điểm D với vai trị hồn tồn tương tự Qua cách giải trên, dễ dàng nhận thấy khơng cần góc mà tính thơng qua khoảng cách Ví dụ Cho hình lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có AB = AA¢= Gọi M , N , P trung điểm cạnh A¢B ¢, A¢C ¢ BC Cơsin ′ ′ góc tạo hai mặt phẳng ( AB C ) ( MNP ) 13 A 65 13 B 65 17 13 C 65 18 13 65 D [6] Lời giải Vì P Ỵ BC , BC / / MN nên mặt phẳng ( MNP) mặt phẳng ( MNCB ) Gọi I = AB Âầ BM , J = AC Âầ CN Q, H hình chiếu vng góc B ¢ lên MN BQ Khi ( AB′C′ ) ∩ ( MNP ) = IJ ( IJ / / BC / / MN ) Vì ABC A′B′C ′ lăng trụ tam giác nên tam giác AB¢C ¢ cân A Suy AK ^ B¢C ¢(K trung điểm B'C') 2 2 Ta có AB′ = AB + BB′ = 4, AK = AB′ − B′K = 13 16 B′I = B′A Dễ thấy I trọng tâm tam giác BB′A′ Suy 13 KE = AK = B ¢Q = A¢K = 3 , 2 Từ ta có d ( B′, ( MNP ) ) = B′H = Khi B′Q.B′B = B′Q + B′B ′ ′ Gọi α góc tạo hai mặt phẳng ( AB C ) ( MNP ) Ta có d ( B′, ( MNP ) ) B′H 18 13 13 = = ⇒ cos α = d ( B′, IJ ) KE 65 65 sin α = Vậy chọn phương án B Nhận xét: Vai trị B ¢ C ¢ nên lựa chọn điểm C ¢để thực bước hồn tồn tương tự Ví dụ Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ Gọi M trung điểm cạnh BC Tính góc hai mặt phẳng ( B′AM ) ( A′B′CD ) A 30 B 45 C 60 D 75 Lời giải Gọi α góc hai mặt phẳng ( B′AM ) ( A′B′CD ) Kẻ AM cắt DC N Ta có ( B′AM ) ∩ ( A′B′CD ) = B′N Khi sin α = d ( C , ( B′AM ) ) d ( B, ( B′AM ) ) = d ( C , B′N ) d ( C , B′N ) Kẻ BH ⊥ AM Suy ( H ∈ AM ) , BK ⊥ SH d ( B, ( B′AM ) ) = BK Xét tam giác B′BH vng B , đường cao BK , ta có 17 1 1 1 a = + = + + = + + = ⇒ BK = 2 2 2 BK BB′ BH BB′ BM BA a a a a Kẻ CP ⊥ B′N ( P ∈ B′N ) Khi d ( C , B′N ) = CP CP = Trong tam giác B′CN vuông C : CB′.CN CB′2 + CN = a a BK sin α = = = ⇒ α = 300 CP a Vậy Vậy chọn phương án A Ví dụ Cho tứ diện D.ABC có DA vng góc với mặt phẳng (ABC) Hai mặt · phẳng (DBA) (DBC) vng góc với nhau, DB = a , góc BCD = 45 , góc π 