nhiên độc lập đôi một, cùng phân phối. Khi đó nếu E X1 thì E X1
Ngược lại, nếu (Xn, n 1) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi một cùng phân phối và hội tụ hầu chắc chắn đến hằng số nào đó thì E X1 và C = EX1
Chứng minh. Giả sử E X1 , vì (Xn, n 1) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi
một, nên nếu đặt:
: = max (Xn, 0) và : = max ( Xn, 0) thì các dãy
, ) cũng độc lập đôi một và thỏa mãn giả thiết của định lý Đặt Yj = XjI{Xj ≤ j}, Tn = Với >1, đặt k(n) = [ ], khi đó 1 k(n) + 1 2 Suy ra ) 4 Với , áp dụng bất đẳng thức Chebyshev : = │ E > k(n)} c1 = c1
c1 c1 ( ) Ta có 4 { } c2i-2 Suy ra c3 = c4 = c4 = c4 c4 = c4 (vì ) c5 (vì và ) Do đó h.c.c (khi n ∞) (1) Mặt khác, khi n ∞ thì nên Hay
Kết hợp với (1) ta được h.c.c (khi n ∞) Vì
Nên h.c.c, khi j đủ lớn . Do đó h.c.c (khi n ∞)
Vì (khi n ∞) nên 1 2 khi n đủ lớn Cho k(n) k(n+1) thì 2 4 4 4 Do đó , k(n + 1) Do đó ( ) Cho ta được :
Ngược lại, giả sử ( , n là dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối và hội tụ hầu chắc chắn đến hằng số C hữu hạn nào đó thì
Do đó với xác suất 1, chỉ có hữu hạn biến cố ( xảy ra Áp dụng Bổ đề Borel-Cantelli ta được
và C = . Kết thúc chứng minh.
KẾT LUẬN
Mục đích của Khóa luận này là nghiên cứu một số luật số lớn đối với các biến ngẫu nhiên. Trình bày các tính chất của biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm và điều kiện để nó tuân theo luật số lớn.
Khóa luận đã làm được các công việc sau:
Trình bày các kiến thức cơ bản về biến ngẫu nhiên như: khái niệm, tính chất cảu các biến ngẫu nhiên, các biến ngẫu nhiên độc lập, kì vọng, phương sai của các biến ngẫu nhiên.
Trình bày khái niệm và tính chất của các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm và các biến cố phụ thuộc âm.
Trình bày về các luật yếu số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một.
Trình bày về các luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên không âm và dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi một.
Kết quả nghiên cứu trên của Khóa luận đang được nghiên cứu để mở rộng cho mảng hai chiều và lớn hơn…
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Văn Quảng, Xác suất nâng cao,Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội, 2008.
[2] Đặng Hùng Thắng, Lý thuyết xác suất, Nhà xuất bản giáo dục, 2002.
[3] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Việt Yên, Lý thuyết xác suất, Nhà xuất bản giáo dục, 2001.
[4] Đào Thị Hồng Thủy, Khóa luận tốt nghiệp đại học , trường Đại học vinh, 2005 [5] ETEMADI, An elemantery proof of the strong law of large numbers.
MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU ... 4
PHẦN I. KIẾN THỨC CƠ BẢN ... 6
1.1. Biến ngẫu nhiên ... 6
1.2. Các dạng hội tụ. ... 7
1.3. Tính độc lập của dãy BNN ... 9
1.4. Kì vọng của biến ngẫu nhiên ... 10
1.5. Phương sai của biến ngẫu nhiên ... 11
PHẦN II.TÍNH PHỤ THUỘC ÂM CỦA CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC BIẾN CỐ ... 13
2.1. Các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm ... 13
2.2. Các biến cố phụ thuộc âm ... 15
PHẦN III. LUẬT YẾU SỐ LỚN ... 19
3.1. Định nghĩa ... 19
3.2. Bất đẳng thức Chebyshev ... 19
3.3. Luật yếu số lớn cho biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm ... 20
PHẦN IV. LUẬT MẠNH SỐ LỚN ... 23
4.1. Định nghĩa ... 23
4.2. Các bổ đề ... 23
4.3. Các định lý ... 25
4.4. Luật số lớn cho dãy cùng phân phối. ... 26
KẾT LUẬN ... 29