Tiếp cận tích phân ngẫu nhiên từ di động ngẫu nhiên và quá trình wiener

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH BÙI THỊ ĐỨC ANH TIẾP CẬN TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN TỪ DI ĐỘNG NGẪU NHIÊN VÀ QUÁ TRÌNH WIENER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN VINH-2010 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH BÙI THỊ ĐỨC ANH TIẾP CẬN TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN TỪ DI ĐỘNG NGẪU NHIÊN VÀ Q TRÌNH WIENER CHUN NGÀNH XÁC SUẤT THỐNG KÊ TỐN Mà SỐ: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS Nguyễn Trung Hòa VINH-2010 Lời mở đầu Quá trình wiener trình ngẫu nhiên quan trọng nhất, lý thuyết ứng dụng Trong trình phát triển lý thuyết xác suất trình wiener công cụ cho nhiều định lý giới hạn mô hình tự nhiên nhiều t-ợng liên quan đến tính ngẫu nhiên, giống nh- tiếng ồn, dao động ngẫu nhiên nhiễu loạn Quá trình wiener ban đầu đ-ợc giới thiệu nh- mô hình toán học chuyển ®éng Brown, mét chun ®éng ngo»n ngo ngÉu nhiªn cđa hạt nhỏ lơ lửng chất lỏng, phát nhà thực vật học ng-ờ Anh Brown năm 1827 Các nhà khoa học lớp nh- Bachelier, Einstein, Smoluchowski, wiener, Levy, đà có nhiều đóng góp vào lý thuyết chuyển động Brown Quá trình wiener mô hình tự nhiên chuyển động Brown Nó mô tả cách ngẫu nhiên, nh-ng liên tục chuyển động hạt, chịu ảnh h-ởng số l-ợng lớn phần tử chuyển động hỗn loạn cđa chÊt láng Mét sù thay ®ỉi bÊt kú cđa hạt khoảng thời gian tổng nhiều thành phần nhỏ gần nh- độc lập có phân bố chuẩn với kỳ vọng ph-ơng sai không tỉ lệ thuận với độ dài khoảng thời gian Sự thay vị trí khoảng thời gian độc lập Trong luận văn sử dụng dÃy thích hợp du động ngẫu nhiên đơn giản hội tụ trình wiener Sau đó, định nghĩa sơ cấp thảo luận tích phân ngẫu nhiên đ-ợc đ-a ra, dựa [8], sử dụng chuỗi du động ngẫu nhiên Luận văn gồm ba ch-ơng Ch-ơng Trình bày số kiến thức trình ngẫu nhiên khái niệm có liên quan Ch-ơng Nghiên cứu số tính chất trình wiener du động ngẫu nhiên Ch-ơng Nghiên cứu trình wiener tích phân ngẫu nhiên Luận văn đ-ợc thực tr-ờng Đại Học Vinh di s hng dẫn trực tiếp Tiến sỹ Nguyễn Trung Hoà Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy dành cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu trƣờng Nhân dịp tác giả xin chân thành cảm ơn PGS TS Nguyễn Văn Quảng, PGS TS Trần Xuân Sinh, PGS TS Phan c Thnh, cựng cỏc thy cụ giỏo, bạn học viên k16 chuyên nghành xỏc sut thng kờ v ng dụng, Khoa Toán, Khoa sau đại học Vinh, tháng 12 nm 2008 Vinh, thỏng 12 nm 2010 tác giả MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU CHƢƠNG QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ DI ĐỘNG NGẪU NHIÊN 1.1 Quá trình ngẫu nhiên gì? 1.1.1 Định nghĩa kí hiệu 1.1.2 Phân phối hữu hạn chiều 1.1.3 Quỹ đạo không gian quỹ đạo 1.1.4 Định lý tồn Kolmogov 1.1.5 Bản liên tục 11 1.2 Di động ngẫu nhiên 12 1.2.1 Khái niệm di động ngẫu nhiên số tính chất 12 1.2.2 Đánh giá biên độ dao động điểm (hạt) sau thời gian t 15 CHƢƠNG QUÁ TRÌNH WIENER VÀ DI ĐỘNG NGẪU NHIÊN 17 2.1 Quá trình Wiener di động ngẫu nhiên 17 2.1.1 Thời gian chờ 17 2.1.2 Từ di động ngẫu nhiên đến trình Wiener 22 2.1.3 Từ trình wiener đến di động ngẫu nhiên 37 2.2 Một số tính chất q trình Wiener 50 2.2.1 Tính khơng khả vi 50 2.2.2 Tính có biến phân khơng bị chặn trình Wiener 52 CHƢƠNG QUÁ TRÌNH WIENER VÀ TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN 56 3.1 Tổng quan tích phân ngẫu nhiên 56 3.2 Một công thức Ito rời rạc 60 3.3 Tích phân ngẫu nhiên cơng thức Ito 63 KẾT LUẬN 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO 69 MỞ ĐẦU Quá trình Wiener trình ngẫu nhiên quan trọng nhất, lý thuyết ứng dụng Trong trình phát triển lý thuyết xác suất q trình Wiener cơng cụ cho nhiều định lý giới hạn mơ hình tự nhiên nhiều tƣợng liên quan đến tính ngẫu nhiên, giống nhƣ tiếng ồn, dao động ngẫu nhiên nhiễu loạn Quá trình Wiener ban đầu đƣợc giới thiệu nhƣ mô hình tốn học chuyển động Brown, chuyển động ngoằn ngoèo ngẫu nhiên hạt nhỏ lơ lửng chất lỏng, phát nhà thực vật học ngƣời Anh Brown năm 1827 Các nhà khoa học lớp nhƣ Bachelier, Einstein, Smoluchowski, Wiener, Levy, có nhiều đóng góp vào lý thuyết chuyển động Brown Q trình Wiener mơ hình tự nhiên chuyển động Brown Nó mơ tả cách ngẫu nhiên, nhƣng liên tục chuyển động hạt, chịu ảnh hƣởng số lƣợng lớn phần tử chuyển động hỗn loạn chất lỏng Một thay đổi hạt khoảng thời gian tổng nhiều thành phần nhỏ gần nhƣ độc lập có phân bố chuẩn với kỳ vọng phƣơng sai không tỷ lệ thuận với độ dài khoảng thời gian Sự thay đổi vị trí khoảng thời gian độc lập Chúng tơi sử dụng dãy thích hợp di động ngẫu nhiên đơn giản hội tụ trình Wiener Sau đó, đƣa định nghĩa sơ cấp việc thảo luận tích phân ngẫu nhiên đƣợc đƣa ra, dựa [8], sử dụng chuỗi di động ngẫu nhiên Luận văn đƣợc chia thành chƣơng Chƣơng trình bày khái niệm trình ngẫu nhiên di động ngẫu nhiên Chƣơng trình bày di động ngẫu nhiên trình Wiener Chƣơng trình bày tích phân ngẫu nhiên cơng thức I tơ mối liên hệ với di động ngẫu nhiên q trình Wiener Vì thời gian khả có hạn nên luận văn tránh đƣợc sai sót Tác giả xin đƣợc góp ý Thầy, bạn xin đƣợc lƣợng thứ Luận văn đƣợc thực Trƣờng Đại học Vinh dƣới hƣớng dẫn trực tiếp Tiến sỹ Nguyễn Trung Hoà Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, ngƣời dành cho tác giả bảo tận tình suốt trình học tập nghiên cứu trƣờng Nhân dịp tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Văn Quảng, PGS.TS Trần Xuân Sinh, PGS.TS Phan Đức Thành, thầy cô giáo, bạn học viên khóa 16 chuyên nghành Xác suất Thống kê toán Tác giả xin trân trọng cám on Thầy, Cơ giáo Khoa Tốn, Khoa Sau đại học đồng nghiệp Phòng giáo dục huyện Yên Thành nhiệt tình giúp đỡ tác giả trình học tập Vinh, tháng 12 năm 2010 Tác giả CHƢƠNG QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ DI ĐỘNG NGẪU NHIÊN 1.1 Quá trình ngẫu nhiên gì? 1.1.1 Định nghĩa kí hiệu Một q trình ngẫu nhiên tập X(t) (tT) biến ngẫu nhiên đƣợc xác định không gian mẫu  Thông thƣờng T tập hợp đƣờng thẳng thực t đƣợc gọi "thời gian" Một khái niệm quan trọng hàm-mẫu (quỹ đạo), có nghĩa là, thể ngẫu nhiên trình ngẫu nhiên Một quỹ đạo q trình ngẫu nhiên X(t) đƣợc ký hiệu X(t;),    cố định, nhƣng thời gian "t" biến thiên Nhƣ vậy, đối tƣợng nghiên cứu q trình ngẫu nhiên họ vơ hạn biến ngẫu nhiên phụ thuộc tham số t  T Ta sử dụng định nghĩa sau: Định nghĩa Giả sử T tập vô hạn Nếu với t  T , Xt biến ngẫu nhiên ta kí hiệu    X t , t  T  , gọi X hàm ngẫu nhiên (Với tham biến t  T )  Nếu T tập đếm đƣợc ta gọi X   X t , t T  trình ngẫu nhiên với tham số rời rạc  Nếu T  ¥ ta gọi X   X n , n ¥  dãy biến ngẫu nhiên (một phía)  Nếu T  ¢ ta gọi X   X n , n ¢  dãy biến ngẫu nhiên hai phía  Nếu T khoảng đƣờng thẳng thực, tức là, T thuộc tập sau: (, ), [a, ), (, b], [a, b), [a, b], (a, b], (a, b), ta gọi X   X t , t T  trình ngẫu nhiên với tham số liên tục trƣờng hợp nhƣ thế, tham số t đóng vai trị thời gian d  Nếu T tập ¡ , ta gọi X   X t , t T  trường ngẫu nhiên Nói chung, dƣới ta thƣờng nghiên cứu q trình ngẫu nhiên có dạng X   X n , n ¥  ; X   X t , t  [0, ) , X   X t , t [0, 1] 1.1.2 Phân phối hữu hạn chiều Giả sử X   X t , t T  trình ngẫu nhiên, I = (t1,…,tn) tập hữu hạn T Hàm phân phối đồng thời X t , , X t : n  F1 ( x1, , xn )  F ( x1, , xn ; t1, , tn )  P X t1  x1, , X tn  xn  đƣợc gọi phân phối hữu hạn chiều X ứng với I, tập {F1} đƣợc gọi họ phân phối hữu hạn chiều X Đấy khái niệm then chốt lý thuyết trình ngẫu nhiên Nhiều tính chất quan trọng q trình đƣợc xác định tính chất họ phân phối hữu hạn chiều Rõ ràng họ phân phối hữu hạn chiều thoả mãn điều kiện sau: (i) Điều kiện đối xứng, tức là, F ( x1, , xn ; t1, , tn ) khơng thay đổi hốn vị cặp ( xk , tk ) (ii) Điều kiện quán theo nghĩa lim F ( x1, , xn ; t1, , tn )  F ( x1, , xn1; t1, , tn1 ) xn  Hai trình tập tham số (nhƣng xác định khơng gian xác suất khác nhau) đƣợc gọi tương đương ngẫu nhiên yếu, chúng có họ phân phối hữu hạn chiều Hai trình ngẫu nhiên X   X t , t T  Y  Yt , t T  không gian xác suất (  , , P) đƣợc gọi là:  Tƣơng đƣơng ngẫu nhiên hay Y X, với t  T ta có P   | X t ( )  Yt ( )   Bằng nhau, P   | X t ( )  Yt ( ), t T   Hiển nhiên hai trình tƣơng đƣơng ngẫu nhiên; hai trình tƣơng đƣơng ngẫu nhiên tƣơng đƣơng ngẫu nhiên yếu Ví dụ Tập At =   | X t ( )  Yt ( ) phụ thuộc t  T , At   | X t ()  Yt (), t T   t T Vì thế, T đếm đƣợc hai trình tƣơng đƣơng chúng nhiên, Nếu T khơng đếm đƣợc điều khẳng định vừa không Chẳng hạn, với   [0, 1], là  - trƣờng Borel [0, 1], P độ đo Lebesgue thông thƣờng, T = [0, 1], X t    0,   0,1 , t  0,1 voi t     Yt     voi t     Dễ dàng thấy hai trình tƣơng đƣơng, nhƣng khơng 1.1.3 Quỹ đạo khơng gian quỹ đạo Cho q trình ngẫu nhiên X   X t , t T  không gian xác suất (  ,,P) Khi cố định  , X(  ) = X.(  ) : T ¡ hàm số t  T Ta gọi X.(  ) quỹ đạo (thể hay hàm chọn) trình ngẫu nhiên X   X t , t T  ứng với  Các tính chất quỹ đạo cho phép ta phân loại trình ngẫu nhiên Chẳng hạn, T khoảng đó, ta nói:  X   X t , t T  trình liên tục, hầu hết quỹ đạo hàm liên tục, tức là: P{   | X.() hàm liên tục t  T } =  X   X t , t T  trình bƣớc nhảy, hầu hết quỹ đạo hàm bậc thang  X   X t , t T  q trình khơng có gián đoạn loại hai, hầu hết quỹ đạo hàm khơng có gián đoạn loại hai Ta kí hiệu ¡ T không gian tất hàm thực xác định T Mỗi phần tử ¡ T đƣợc kí hiệu x Ta gọi ¡ T khơng gian quỹ đạo Nhƣ vậy, ta xem trình ngẫu nhiên X   X t , t T  không gian xác suất (  , , P) ánh xạ từ  vào không gian quỹ đạo: X :   ¡ T , X(  ) = X g(  ) Nói chung, miền giá trị ánh xạ không gian E ¡ T Chẳng hạn, Nếu X trình liên tục, với xác suất 1, miền giá trị X không gian E = C(T) gồm hàm liên tục T; X q trình khơng có gián đoạn loại hai, với xác suất 1, miền giá trị X không gian E = D(T) gồm hàm khơng có gián đoạn loại hai T Trong trƣờng hợp nhƣ thế, ta xem q trình ngẫu nhiên X   X t , t T  không gian xác suất (  , , P) ánh xạ từ  vào không gian E: X :   E, X(  ) = X g(  )  Ví dụ cuối mục 1.1.2 chứng tỏ tồn hai trình X, Y tƣơng đƣơng ngẫu nhiên, nhƣng X có tất quỹ đạo liên tục, tất quỹ đạo Y gián đoạn 1.1.4 Định lý tồn Kolmogov Bây ta quan tâm đến toán ngƣợc lại: Cho trước họ phân phối hữu hạn chiều (PI ) (trên ¡ I ) thoả mãn điều kiện đối xứng qn Tìm khơng gian xác suất (  , , P) trình X   X t , t T  xác định (  , , P) cho họ phân phối hữu hạn chiều (PI ), tức là, 55 Ở đƣợc giả thiết 2n2 n   2.2 n  u     , điều chắn đƣợc bảo đảm n  n1  K ,  , u   n0  K ,   Ngoài ta giả thiết u , xem(6), h đủ nhỏ, tuỳ thuộc vào 1   2 h  u Tiếp theo, ứng dụng ƣớc lƣợng thô (42) trở lại với (84) ta đƣợc P  max s ,t 0, k , t  s  h  6e     W t   W  s   u  k  log K  n log   Khe n log  2n  6   K h2 e 2n 2n   u2 1 2h  u2  (1 ) 2h Bây chọn số nguyên n  n1  K ,  , u  cho   log K  2n log     Việc chọn   u 2  n  log K      2log  2h6 u2 2h đƣợc thực h đủ nhỏ,  h  h0  K ,  , u  cho n  n1  K ,  , u   Khi n    u2   log K  thỏa  2log  2h  mãn Với n ta có: 4n log  P  u2   log K 3 có 2h  max s ,t 0, k , t  s  h   6h K2  e   W  t   W  s   u  6e   u2 2h 3  KhK e   u2 1  2 2h  u2 1  2h Nếu K ≥ 1, h/K2 ≤ kéo theo (82) Nếu K < 1, giá trị lớn (82) vƣợt giá trị lớn [0,1] Thì lấy h0  K ,  , u   h0 1,  , u  , lại suy (82) 56 CHƢƠNG QUÁ TRÌNH WIENER VÀ TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN 3.1 Tổng quan tích phân ngẫu nhiên Để tích phân ngẫu nhiên cơng cụ tự nhiên làm việc với phƣơng trình vi phân, bao gồm hiệu ứng ngẫu nhiên muốn xác định chúng Chúng ta bắt đầu với phƣơng trình vi phân đơn giản x'  t   f  t  t   f hàm liên tục Nếu x   đƣợc xác định trƣớc, nghiệm phƣơng trình xác định đƣợc phép lấy tích phân: t x  t   x     f  s ds,  t   Bây gìờ ta thay đổi dạng đơn giản cách giới thiệu thuật ngữ ngẫu nhiên, tùy biến số ứng dụng x'  t   f  t   g  t W t t  0 f , g hàm ngẫu nhiên liên tục W  t  đƣợc gọi trình tiếng ồn trắng Từ định lý (5), biết W '  t  khơng tồn (ít theo nghĩa thơng thƣờng) nhƣng sau lấy tích phân ta đƣợc nghiệm t t 0 x  t   x     f  s  ds   g  s  dW  s  t  0 Tích phân thứ hai biểu thức đƣợc gọi tích phân ngẫu nhiên đƣợc xác định cách phù hợp Một ý tƣởng tự nhiên để xác định tích phân ngẫu nhiên nhƣ xác định nhƣ tích phân Riemann-Steltjes [7chƣơng6] với hàm 57 mẫu riêng biệt Cụ thể, với cách phân chia  s0  s1  sn1  sn  t , tổng Riemann-Stieltjes xác định n  g  u  W  s   W  s  k 1 k k k 1 uk   sk 1 , sk  tuỳ ý (bỏ đối số theo hàm mũ để giảm bớt ký hiệu) Sau cần hi vọng phân hoạch P  max1k n Sk  Sk 1  từ tổng Rimenn-steltjes hội tụ giới hạn cố định điểm cụ thể không gian mẫu Một vấn đề hội tụ xảy tất hàm ngẫu nhiên liên tục g Lý biến đổi đầy đủ W  s  không bị chặn đoạn 0,t  nhƣ gặp bổ đề Khi hàm ngẫu nhiên g đƣợc chọn cho tổng Riemann-Stieltjes tiến sát tuỳ ý tới biến phân tổng thể  Tuy nhiên trƣờng hợp xảy khơng với q trình Wiener mà cịn với q trình mà hàm mẫu có biến phân khơng bị chặn Xem ví dụ [5mục7] Nhƣng có vấn đề khác liên quan tới việc lựa chọn điểm u tổng Riemann-Stieltjes Sự lựa chọn vấn đề, khơng giống nhƣ trƣờng hợp tích hợp thơng thƣịng Lý lần lại không bị chặn biến hàm mẫu Cách dễ để minh họa sử dụng tích phân ngẫu nhiên rời rạc, tức tổng biến ngẫu nhiên Đặt S0  0, Sn   k 1 X K k di động ngẫu nhiên giống nhƣ phần n Trong ví dụ sau S n đóng vai trò hàm g  t  trình ồn trắng W '  t  đƣợc thay số gia X n Trong trƣờng hợp (tƣơng ứng tích phân ngẫu nhiên Itơ-type) dịnh nghĩa tích phân ngẫu nhiên rời rạc  n k 1 Sk 1 X k Trong trƣờng hợp ta quan sát đƣợc tích phân ngun ln đƣợc lấy điểm cuối bên trái khoảng (subinterval) Một lý luận 58 thông thƣờng cho việc lựa chọn X k cho ''thông tin mới" số hạng, tích phân nguyên Sk 1 phụ thuộc vào khứ, tức độc lập với giá trị X k , X k 1 ,… Tích phân ngẫu nhiên rời rạc đƣợc đánh giá nhƣ sau: n S k 1  n k 1 X k   Sk 1  Sk  Sk 1   k 1 n n Sk2  Sk21     Sk  Sk 1    k 1 k 1 S n  2 Ở sử dụng: tổng lồng S02  , số hạng  Sk  Sk 1  tổng thứ hai Tính thú vị kết chứa số hạng “non-classical”  n Cụm từ "non-classical" nhằm ám thực tế Sn  sds  sn Nhìn chung cơng thức trƣờng hợp đặc biệt công thức quan trọng Itô, chủ đề từ thời điểm trở Tất nhiên, thú vị nhìn thấy điều xảy hàm bị tích phân ln đƣợc ƣớc lƣợng điểm cuối bên phải khoảng con: n S k 1 n k X k   Sk  Sk  Sk 1   k 1 n n Sk2  Sk21     Sk  Sk 1    k 1 k 1 S2 n  n  2 n Lƣu ý, số hạng non-classcial    Lấy trung bình số học hai công  2 thức ta đƣợc tích phân ngẫu nhiên Stratonovich-type mà khơng chứa số hạng non-classical n Sk 1  Sk Sn2 1  X  S k  X    k   k 2  k 1 k 1 n Mặt khác, loại tích phân có bất lợi khác so sánh với Itô, từ thực tế hàm bị tích phụ thuộc, không độc lập với tƣơng lai Comment [Doctor1]: 59 Sau hiển thị ví dụ buổi seminar, P R´ev'esz đặt câu hỏi có phƣơng pháp chung để đánh giá tích phân ngẫu nhiên rời rạc kiểu  n k 1 f  Sk 1  X k dạng đóng, f hàm cho trƣớc xác định tập số nguyên Z Nói cách khác có tồn hay không công thức Ito rời rạc tổng quát? Câu trả lời có may mắn Nhƣng trƣớc vào chi tiết, xem mối liên hệ công thức nhƣ tới cách khác để xác định tích phân ngẫu nhiên Loại tích phân ngẫu nhiên quan trọng k  f W  s   dW  s  k  f hàm khả vi liên tục Nói cách khác, hàm lấy tích phân hàm trơn nhẵn trình Wiener Định nghĩa vốn có tích phân Itơ-type trƣờng hợp tƣơng tự nhƣ tích phân Riemann–Stieltjes Lấy tuỳ ý phân hoạch : p  0  s0 , s1 , , sn1 , sn  k trục thời gian tổng Riemann-Stieltjes tƣơng ứng, đánh giá điểm cuối bên trái khoảng con, n  f W  S  W  S   W  S  k 1 k 1 k 1 k 1 Tổng biến ngẫu nhiên, tƣơng ứng với phân hoạch chọn Có thể chứng minh đƣợc biến ngẫu nhiên hội tụ Ví dụ, xác suất hội tụ đến biến ngẫu nhiên I, tiêu chuẩn phân hoạch tới Biến ngẫu nhiên I đƣợc gọi tích phân Itơ Chúng tơi nhấn mạnh "bằng xác suất" hội tụ có nghĩa   ,thì tồn   cho n   P  I   f W  sk 1   W  sk   W  sk 1        , p   k 1   Phƣơng pháp khác mà theo viết đáp ứng tốt mối quan hệ trình Wiener di động ngẫu nhiên thảo luận Một cách tốn học, gợi cho nhớ tích phân Lebesgue– Stieltjes [7, Chapter 11] Ý tƣởng ta lấy cặp phân hoạch 60 trục khơng gian, khoảng có chiều dài 2 m m số nguyên không âm Sau ta xác định thời gian tƣơng ứng sm 1 , sm  2 , phép nhúng Skorohod nhƣ đƣợc giải thích nhƣ Những khoảng thời gian coi nhƣ phân hoạch ngẫu nhiên trục thời gian mà nói chung phụ thuộc vào hàm mẫu đƣợc xem xét Theo bổ đề 7b định lý 4, với xác suất 1, với K '  với hữu hạn m, sm  k  nằm 0, K '  khoảng W  sm  k    Bm  k 22 m  ,0  k 22 m  K Di động ngẫu nhiên rút gọn Bm  t  đƣợc biễu diễn dƣới dạng số hạng di động ngẫu nhiên thông thƣờng (40) Bm  k 22m   2 m S m  k  Bây định nghĩa tích phân Ito k 22 m lim m  f W  s  k  1 W  s  k   W  s  k  k 1 m m m (85) Chúng ta chứng tỏ sau tổng – tổng mà đƣợc ƣớc lƣợng cho hàm mẫu riêng biệt - hội tụ với xác suất Phƣơng pháp chúng tơi tìm dạng khác tổng công thức Ito rời rạc áp dụng giới hạn tới dạng tƣơng đƣơng đạt đƣợc 3.2 Một công thức Ito rời rạc Giả sử f hàm đƣợc định nghĩa tập số nguyên Z Đầu tiên ta định nghĩa tổng hình thang f k 1 1    T jk0 f  j    k  f     f  k j   f  k  j 1 2    (86) k  Z (cho nên k âm)  neu k    k   neu k   1 neu k  (87) 61 Lý hệ số -1 k  tƣơng tự với phép lấy tích phân: giới hạn phép lấy tích phân bé giới hạn dƣới, thay đổi chúng việc nhân tích phân với -1 Bổ đề mà gọi công thức Ito rời rạc công thức đại số tuý Nó đƣợc phản ánh thực tế chúng tơi áp dụng riêng cho di động ngẫu nhiên, bổ đề giữ cho dãy số X r  1 , bất chấp xác suất đƣợc gán tới chúng Bổ đề 10 Lấy hàm f xác định Z , dãy X r  1,  r  1 đặt S0  0, Sn  X1  X   X n  n  1 Khi ta có phát biểu sau:  Công thức Ito rời rạc n T jSn0 f  j    f  Sr 1  X r  r 1 n f  Sr   f  Sr 1   r 1 Xr  Và công thức Stratonovich rời rạc n f  Sr 1   f  Sr  r 1 T jSn0 f  j    Xr Chứng minh Theo định nghĩa tổng hình thang T jSn0 f  j   T jSr01 f  j   X r f  Sr 1   f  Sr  (88) từ Sr  Sr 1  X n  1, phải thêm lƣợng  f  Sr 1   f  Sr   , X r  1thì phải trừ lƣợng Từ X r  1,vế phải (88) viết đƣợc T jSn1 f  j   T jSr01 f  j   f  Sr 1  X r  f  Sr   f  Sr 1  Xr (89) Bằng phép tổng hợp (89), tƣơng ứng (88) cho r = 1,2,…,n ta đƣợc phát biểu bổ đề, từ tổng lồng TjS1 f  j   : 62  T n r 1 Sr j 0  f  j   T jSr01 f  j   T jSn0 f  j  Chúng ta cần phiên bổ đề 10 để áp dụng với di động ngẫu nhiên rút gọn Bm  t  Do định nghĩa tổng hình thang hàm f phân hoạch với điểm x  jx ,ở x  j thay đổi tập hợp số nguyên Z Ở hàm f đƣợc giả sử đƣợc định nghĩa tập số thực R Vì tổng hình thang tƣơng ứng  a x 1 1    Txa0 f  x  x   a x  f     f  a jx   f  a  j 1   2  (90) giả sử a bội số nguyên x  a đƣợc xác định theo (87) Trong phần định nghĩa đƣợc áp dụng với x  2 m Chúng viết phiên tƣơng ứng bổ đề (10) trực tiếp cho di động ngẫu nhiên rút gọn B m(t) , bổ đề dạng đại số túy Bổ đề 11 Lấy hàm f xác định R, số thực K  ,và cố định số nguyên m không âm Xét di động ngẫu nhiên rút gọn Bm  r 22m   2 m S m  r  r  0 Khi có phát biểu  x  2 m , t  22m  :  Trường hợp Ito TxBm0 Km  f  x  x   K t   K t   f  B   r  1 t    B  r t   B   r  1 t     r 1 m m m r 1  f  Bm  r t    f Bm   r  1 t  Bm  r t   Bm   r  1 t  (91)  Và trường hợp Stratonovich TxBm0 Km  f  x  x     K t  f Bm   r  1 t   f  Bm  r t   r 1  Km   K t  t B m  r t   Bm   r  1 t   (92) t 63 Chứng minh Chứng minh tƣơng tự bổ đề 10 Bây nhắc lại bổ đề 7b định lý Với xác suất ,với K '  K tất với hữu hạn m , tồn thời gian ngẫu nhiên Sm  r   0, K '  cho W  Sm  r    Bm  r t  max Sm  r   r t  27 Km 2 m (93) dần tới m   0 r t  K Trong quan niệm di dộng ngẫu nhiên rút gọn B m(t) đƣợc thay q trình Wienrtrong (91) (92) Khi tổng vế phải (91) - hội tụ m tiến vô - trở thành xác định nghĩa tích phân Ito (85) Tƣơng tự, vế phải (92) trở thành mà giới hạn định nghĩa tích phân Stratonovich Tính quan trọng bổ đề 11 giới hạn đƣợc đánh giá lƣợng hữu hạn giới hạn khác, tổng đơn giản Một lợi ích khác sau thực giới hạn này, ta nắm đƣợc công thức Ito Stratonovich cho loại tƣơng ứng tích phân ngẫu nhiên 3.3 Tích phân ngẫu nhiên cơng thức Ito Định lý Giả sử f hàm khả vi tập hợp số thực R,và K  ,với m  k  lấy thời gian đầu Sm  k  phép nhúng Skorohod di động ngẫu nhiên rút gọn vào trình Wiener xác định (65) Khi tổng hội tụ với xác suất  Tích phân Ito K  f W  s   dW  s   lim m K 22 m  f W  s  r  1 W  s  r   W  s  r  1 r 1  Và tích phân Stratonovich m m m (94) 64  K f W  s   dW  s   lim m     K 22 m f W  sm  r  1   f W  sm  r   r 1  W  s m  r    W  sm   r  1    (95) Đối với tích phân ngẫu nhiên tương ứng ta có cơng thức sau  Công thức Ito  W K  f  x  dx   f W  s  dW  s   K K ' f W  s   ds 0 (96)  Và Stratonovich integral  W K  f  x  dx   f W  s   dW  s  K (97) Chứng minh Theo trƣờng hợp Ito bổ đề 11và lời thích đƣợc tạo sau bổ đề ,với xác suất 1, với hữu hạn m ta có phƣơng trình tổng (94)     K t  f W  sm  r  1   f W  sm  r   r 1    W  s m  r    W  sm  r  1    t  0, K    K t   f W  sm  r    f W  sm  r  1  W  s   K t     Tx 0 m   f  x  x   r 1 W  sm  r    W  sm  r  1   (98) x  2 m t  22m Với t  0, K  đặt tm  t t  t Khi t  tm  t  22 m Theo (93), tm  sm  t t    27 Km 2 m với xác suất m đủ lớn Điều có nghĩa max t  sm  t t    0t  K (99) với xác suất m   Hơn từ hàm mẫu trình Wiener liên tục 0, K  với xác suất 1, ta có max W  t   W  sm   t t    0 t  K (100) 65 Nói riêng, kéo theo W  sm   K t     W  K  với xác suất m   Mặt khác tổng hình thang Txa0 f  x  x hàm f liên tục tổng Riemann 3 tƣơng ứng với phân hoạch 0; x, x, , a  x, a  x, a  Do tổng hình  thang hội tụ  W K   a x 0 2  f  x  dx, x  Điều chứng tỏ với   W  s   K t    f  x  dx  Tx 0 m   f  x  x   W K   W sm   K t    f  x  dx      , với xác suất m đủ lớn Tổng hình thang (98) tiến đến tích phân nguyên tƣơng ứng với xác suất W K  W  s   K t    lim Tx 0 m   f  x  x   f  x  dx m (101) Bây quay lại tổng thứ hai (98) Theo định nghĩa the first passage times W  sm  r    W  sm  r  1   2 m x dần đến m Do ®ã    f W  sm  r    f W  sm  r  1  W  sm  r    W  sm  r  1    f W  s m  r    x  f W  sm  r   x  (102) Chúng muốn chứng tỏ thƣơng hiệu gần tùy ý tới f ' W  r t   m đủ lớn Để kết thúc, xem xét vấn đề sau từ quan điểm tính tốn Nếu f hàm khả vi liên tục, xm  x xm  0, m   , xét hiệu số f '  x   f  xm  xm   f  xm   xm Theo định lý giá trị trung bình, thƣơng hiệu số sau f '  um  um nằm xm  x xm  xm  x Từ f ' liên tục, ta có f  xm  xm   f  xm  xm m    f '  x (103) 66 Hiện x  W  t  xm  W  sm t t    t  K Từ hàm mẫu W  t  liên tục với xác suất 1, theo sau định lý max  phạm vi chúng đƣợc chứa khoảng bị chặn Trên khoảng bị chặn nhƣ hàm f ' liên tục từ (99), (100), (103) max f ' W  t      f W sm  t t    0t  K    x  f W sm  t t   x   (104) với xác suất m   (nhớ x  2 m t  22m ) Nói riêng, với   , ta có max  1 r t  K  max   f W  sm  r    f W  sm  r  1  W  sm  r    W  sm  r  1      f f W  sm  r   x  f W  sm  r   x 1 r t  K ' W  r t    f (105) ' W  r t    3K với xác suất với giả thiết m đủ lớn Hàm f ' W  s   liên tục với xác suất tổng Riemann 0, K  hội tụ tới tích phân tƣơng ứng tiêu chuẩn phân hoạch dần tới Nhƣ theo (105)  f ' W  s   ds  K   K t   r 1   K Km  K t    r 1 f ' W  r t    f ' W  s   ds    f W  sm  r   x  f W  sm  r  1  W  sm  r    W  sm  r  1     f W  sm  r   x  f W  sm  r   x  t  t   Km f ' W  s   ds   K t   f W  rt   t ' r 1    K    3K 3 với xác suất m đủ lớn Ở Km   K t  t Do tổng thứ hai (98) ln tiến tới tích phân tƣơng ứng với xác suất     K t   f W  sm  r    f W  sm  r  1  K t   f 'W  s  ds  m 2 W  sm  r    W  sm  r  1  r 1 lim 67 điều chứng tỏ tổng xác định Ito rời rạc (94) hội tụ với xác suất m   với giới hạn ta có cơng thức Ito (96) Ngồi trƣờng hợp Stratonovich bổ đề 11 giải sau bổ đề, với xác suất 1, với hữu hạn m, ta có phƣơng trình sau cho tổng (95)     K t  f W  sm  r  1   f W  sm  r   r 1  W s   m  r    W  sm  r    W  s   K t     Tx 0 m   f  x  x Chúng ta thấy (101) tổng hình thang hội tụ tới tích phân tƣơng ứng với xác suất m   Do đó, tổng xác định tích phân Stratonovich (95) hội tụ với giới hạn ta có cơng thức (97) Vì công thức Ito Stratonovich định nghĩa tích phân ngẫu nhiên tƣơng ứng thơng thƣờng nên điều định nghĩa thông thƣờng phú hợp với định nghĩa đƣợc đƣa Khi ta áp vào trƣờng hợp đặc biệt, điểm lý thú công thức Ito (96) chứa thành phần non-classical K f   W  s   ds Nếu g ngun hàm f, 0 cơng thức Ito viết lại g  W  t   g  W  0   g   W s  d  W s   t t g   W  s  ds, 0 Hoặc cách hính thức nhƣ quy tắc xích non-classical sau phƣơng trình vi phân dg  W  t    g   W  t   d  W  t    g   W  t   dt Ta lại lƣu ý tiếp, dạng đầy đủ cơng thức Ito đƣợc cung cấp bới cách trên, xem [8] Cũng thế, nhƣ đƣợc [8], tích phân ngẫu nmhieen bội đƣợc định nghĩa tƣơng tự nhƣ định nghĩa tích phân ngẫu nhiên 68 KẾT LUẬN Chúng tơi sử dụng dãy thích hợp di động ngẫu nhiên đơn giản hội tụ trình Wiener Sau đó, đƣa định nghĩa sơ cấp việc thảo luận tích phân ngẫu nhiên đƣợc đƣa ra, dựa [8], sử dụng chuỗi di động ngẫu nhiên Một hƣớng nghiên cứu đƣợc đặt tìm hiểu tính chất q trình Wiener qua tiếp cận khái niệm tính chất di động ngẫu nhiên 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Duy Tiến, Các mơ hình xác suất ứng dụng, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà nội, 2000 [2] Tamás Szabados, An Elementary Introduction to the Wiener Process and Stochastic Integrals, 2004 [3] W Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications , Volume I: Third Edition J Wiley, New York, 1968 [4] W Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume II J Wiley, New York, 1966 [5] F.B Knight Essentials of Brownian Motion and Diffusion American Mathematical Society, Providence, R.I (1981) [6] P.Révész Random Walk in Random and Non-Random Environments World Scientific, Singapore (1990) [7] W Rudin Principles of Mathematical Analysis: Third Edition McGrawHill, New York (1977) [8] T Szabados A Discrete Itô’s Formula Colloquia Mathematica Societatis János Bolyai 57 Limit Theorems in Probability and Statistics, Pécs (Hungary) 1989, 491-502 North-Holland, Amsterdam (1990) ... Chƣơng trình bày khái niệm trình ngẫu nhiên di động ngẫu nhiên Chƣơng trình bày di động ngẫu nhiên trình Wiener Chƣơng trình bày tích phân ngẫu nhiên công thức I tô mối liên hệ với di động ngẫu nhiên. .. 17 2.1 Quá trình Wiener di động ngẫu nhiên 17 2.1.1 Thời gian chờ 17 2.1.2 Từ di động ngẫu nhiên đến trình Wiener 22 2.1.3 Từ trình wiener đến di động ngẫu nhiên 37... QUÁ TRÌNH WIENER VÀ DI ĐỘNG NGẪU NHIÊN 2.1 Quá trình Wiener di động ngẫu nhiên 2.1.1 Thời gian chờ Trong phần tiếp theo, cần phân phối (của) thời gian ngẫu nhiên  di động ngẫu nhiên va chạm đến