Tiếp cận tích phân ngẫu nhiên từ di động ngẫu nhiên và quá trình wiener

B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH BI TH C ANH TIP CN TCH PHN NGU NHIấN T DI NG NGU NHIấN V QU TRèNH WIENER LUN VN THC S TON HC CHUYấN NGNH XC SUT THNG Kấ TON VINH-2010 B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH BI TH C ANH TIP CN TCH PHN NGU NHIấN T DI NG NGU NHIấN V QU TRèNH WIENER CHUYấN NGNH XC SUT THNG Kấ TON M S: 60.46.15 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: TS Nguyn Trung Hũa VINH-2010 Lời mở đầu Quá trình wiener trình ngẫu nhiên quan trọng nhất, lý thuyết ứng dụng Trong trình phát triển lý thuyết xác suất trình wiener công cụ cho nhiều định lý giới hạn mô hình tự nhiên nhiều tợng liên quan đến tính ngẫu nhiên, giống nh tiếng ồn, dao động ngẫu nhiên nhiễu loạn Quá trình wiener ban đầu đợc giới thiệu nh mô hình toán học chuyển động Brown, chuyển động ngoằn ngoèo ngẫu nhiên hạt nhỏ lơ lửng chất lỏng, phát nhà thực vật học ngờ Anh Brown năm 1827 Các nhà khoa học lớp nh Bachelier, Einstein, Smoluchowski, wiener, Levy, có nhiều đóng góp vào lý thuyết chuyển động Brown Quá trình wiener mô hình tự nhiên chuyển động Brown Nó mô tả cách ngẫu nhiên, nhng liên tục chuyển động hạt, chịu ảnh hởng số lợng lớn phần tử chuyển động hỗn loạn chất lỏng Một thay đổi hạt khoảng thời gian tổng nhiều thành phần nhỏ gần nh độc lập có phân bố chuẩn với kỳ vọng phơng sai không tỉ lệ thuận với độ dài khoảng thời gian Sự thay vị trí khoảng thời gian độc lập Trong luận văn sử dụng dãy thích hợp du động ngẫu nhiên đơn giản hội tụ trình wiener Sau đó, định nghĩa sơ cấp thảo luận tích phân ngẫu nhiên đợc đa ra, dựa [8], sử dụng chuỗi du động ngẫu nhiên Luận văn gồm ba chơng Chơng Trình bày số kiến thức trình ngẫu nhiên khái niệm có liên quan Chơng Nghiên cứu số tính chất trình wiener du động ngẫu nhiên Chơng Nghiên cứu trình wiener tích phân ngẫu nhiên Luận văn đợc thực trờng Đại Học Vinh di s hng dn trc tip ca Tin s Nguyn Trung Ho Tỏc gi xin by t lũng bit n sõu sc ti Thy ó dnh cho tỏc gi sut quỏ trỡnh hc v nghiờn cu ti trng Nhõn dp ny tỏc gi xin chõn thnh cm n PGS TS Nguyn Vn Qung, PGS TS Trn Xuõn Sinh, PGS TS Phan c Thnh, cựng cỏc thy cụ giỏo, bạn học viên k16 chuyên nghành xỏc sut thng kờ v ng dng, Khoa Toỏn, Khoa sau i hc Vinh, thỏng 12 nm 2008 Vinh, thỏng 12 nm 2010 tác giả MC LC Trang M U QU TRèNH NGU NHIấN V DI NG NGU NHIấN .8 1.1.Quỏ trỡnh ngu nhiờn l gỡ? 1.1.1.nh ngha v kớ hiu 1.1.2.Phõn phi hu hn chiu 1.1.3.Qu o v khụng gian qu o 10 1.1.4.nh lý tn ti Kolmogov 11 1.1.5.Bn liờn tc 13 1.2.Di ng ngu nhiờn 14 1.2.1.Khỏi nim di ng ngu nhiờn v mt s tớnh cht ca nú 14 1.2.2.ỏnh giỏ biờn dao ng ca mt im (ht) sau mt thi gian t 18 QU TRèNH WIENER V DI NG NGU NHIấN 20 2.1.Quỏ trỡnh Wiener v di ng ngu nhiờn 20 2.1.1.Thi gian ch 20 2.1.2.T di ng ngu nhiờn n quỏ trỡnh Wiener 25 2.1.3.T quỏ trỡnh wiener n nhng di ng ngu nhiờn 41 2.2.Mt s tớnh cht ca quỏ trỡnh Wiener 54 2.2.1.Tớnh khụng kh vi 54 2.2.2.Tớnh cú bin phõn khụng b chn ca quỏ trỡnh Wiener 55 QU TRèNH WIENER V TCH PHN NGU NHIấN .60 3.1.Tng quan v tớch phõn ngu nhiờn .60 3.2.Mt cụng thc Ito ri rc 64 3.3.Tớch phõn ngu nhiờn v cụng thc Ito 67 KT LUN 72 TI LIU THAM KHO 73 M U Quỏ trỡnh Wiener l mt nhng quỏ trỡnh ngu nhiờn quan trng nht, c lý thuyt v cỏc ng dng Trong quỏ trỡnh phỏt trin ca lý thuyt xỏc sut quỏ trỡnh Wiener l mt cụng c c bn cho rt nhiu cỏc nh lý gii hn v cng l mt mụ hỡnh t nhiờn ca nhiu hin tng liờn quan n tớnh ngu nhiờn, ging nh ting n, dao ng ngu nhiờn hoc nhiu lon Quỏ trỡnh Wiener ban u c gii thiu nh l mt mụ hỡnh toỏn hc v chuyn ng Brown, mt chuyn ng ngon ngoốo ngu nhiờn ca cỏc ht nh l lng cht lng, phỏt hin bi cỏc nh thc vt hc ngi Anh Brown nm 1827 Cỏc nh khoa hc lp u tiờn nh Bachelier, Einstein, Smoluchowski, Wiener, v Levy, ó cú nhiu úng gúp vo lý thuyt v chuyn ng Brown Quỏ trỡnh Wiener l mt mụ hỡnh t nhiờn ca chuyn ng Brown Nú mụ t mt cỏch ngu nhiờn, nhng liờn tc chuyn ng ca mt ht, chu nh hng ca mt s lng ln cỏc phn t chuyn ng hn lon ca cht lng Mt s thay i bt k ca mt ht mt khong thi gian l mt tng ca nhiu thnh phn nh gn nh c lp cú phõn b chun vi k vng v phng sai khụng t l thun vi di ca khong thi gian S thay i v trớ nhng khong thi gian l c lp Chỳng tụi s dng mt dóy thớch hp cỏc di ng ngu nhiờn n gin hi t v cỏc quỏ trỡnh Wiener Sau ú, a mt nh ngha s cp v vic tho lun v tớch phõn ngu nhiờn c a ra, da trờn [8], ú s dng cựng mt chui cỏc di ng ngu nhiờn Lun c chia thnh chng Chng trỡnh by cỏc khỏi nim v quỏ trỡnh ngu nhiờn v di ng ngu nhiờn Chng trỡnh by v cỏc di ng ngu nhiờn v quỏ trỡnh Wiener Chng trỡnh by v tớch phõn ngu nhiờn v cụng thc I tụ mi liờn h vi di ng ngu nhiờn v quỏ trỡnh Wiener Vỡ thi gian v kh nng cú hn nờn lun khụng th trỏnh c cỏc sai sút Tỏc gi xin c s gúp ý ca cỏc Thy, cỏc bn v xin c lng th Lun c thc hin ti Trng i hc Vinh di s hng dn trc tip ca Tin s Nguyn Trung Ho Tỏc gi xin by t lũng bit n sõu sc ti Thy, ngi ó dnh cho tỏc gi s ch bo tn tỡnh sut quỏ trỡnh hc v nghiờn cu ti trng Nhõn dp ny tỏc gi xin chõn thnh cm n PGS.TS Nguyn Vn Qung, PGS.TS Trn Xuõn Sinh, PGS.TS Phan c Thnh, cựng cỏc thy cụ giỏo, cỏc bn hc viờn khúa 16 chuyờn nghnh Xỏc sut Thng kờ toỏn Tỏc gi cng xin trõn trng cỏm on cỏc Thy, Cụ giỏo Khoa Toỏn, Khoa Sau i hc v cỏc ng nghip ti Phũng giỏo dc huyn Yờn Thnh ó nhit tỡnh giỳp tỏc gi quỏ trỡnh hc Vinh, thỏng 12 nm 2010 Tỏc gi CHNG QU TRèNH NGU NHIấN V DI NG NGU NHIấN 1.1 Quỏ trỡnh ngu nhiờn l gỡ? 1.1.1 nh ngha v kớ hiu Mt quỏ trỡnh ngu nhiờn l mt X(t) (tT) ca cỏc bin ngu nhiờn c xỏc nh trờn mt khụng gian mu Thụng thng T l mt hp ca ng thng thc v t c gi l "thi gian" Mt khỏi nim quan trng l hm-mu (qu o), cú ngha l, mt th hin ngu nhiờn ca mt quỏ trỡnh ngu nhiờn Mt qu o ca mt quỏ trỡnh ngu nhiờn X(t) cú th c ký hiu l X(t;), ú l c nh, nhng thi gian "t" bin thiờn Nh vy, i tng nghiờn cu ca quỏ trỡnh ngu nhiờn l h vụ hn cỏc bin ngu nhiờn ph thuc tham s t T no ú Ta s dng nh ngha sau: nh ngha Gi s T l vụ hn no ú Nu vi mi t T , Xt l bin ngu nhiờn thỡ ta kớ hiu = { X t , t T } , v gi X l hm ngu nhiờn (Vi tham bin t T ) + Nu T l m c thỡ ta gi X = { X t , t T } l quỏ trỡnh ngu nhiờn vi tham s ri rc + Nu T = Ơ thỡ ta gi X = { X n , n Ơ } l dóy cỏc bin ngu nhiờn (mt phớa) + + Nu T = Â thỡ ta gi X = { X n , n Â} l dóy cỏc bin ngu nhiờn hai phớa Nu T l mt khong ca ng thng thc, tc l, T thuc mt cỏc sau: (, ), [a, ), (, b], [a, b), [a, b], (a, b], (a, b), thỡ ta gi X = { X t , t T } l quỏ trỡnh ngu nhiờn vi tham s liờn tc trng hp nh th, tham s t úng vai trũ thi gian + d Nu T l ca Ă , thỡ ta gi X = { X t , t T } l trng ngu nhiờn Núi chung, di õy ta thng nghiờn cu quỏ trỡnh ngu nhiờn cú dng X = { X n , n Ơ } ; X = { X t , t [0, )} , X = { X t , t [0, 1]} 1.1.2 Phõn phi hu hn chiu Gi s X = { X t , t T } l quỏ trỡnh ngu nhiờn, v I = (t1,,tn) l hu hn ca T Hm phõn phi ng thi ca X t , , X t : { n F1 ( x1 , , xn ) = F ( x1 , , xn ; t1 , , tn ) = P X t x1 , , X t xn n } c gi l phõn phi hu hn chiu ca X ng vi I, v {F1} c gi l h cỏc phõn phi hu hn chiu ca X y l mt nhng khỏi nim then cht ca lý thuyt quỏ trỡnh ngu nhiờn Nhiu tớnh cht quan trng ca quỏ trỡnh c xỏc nh bi cỏc tớnh cht ca h cỏc phõn phi hu hn chiu ca nú Rừ rng h cỏc phõn phi hu hn chiu tho cỏc iu kin sau: (i) iu kin i xng, tc l, F ( x1, , xn ; t1 , , tn ) khụng thay i hoỏn v cỏc cp ( xk , tk ) (ii) iu kin nht quỏn theo ngha lim F ( x1 , , xn ; t1, , tn ) = F ( x1, , xn1; t1, , t n1 ) xn Hai quỏ trỡnh trờn cựng tham s (nhng cú th xỏc nh trờn cỏc khụng gian xỏc sut khỏc nhau) c gi l tng ng ngu nhiờn yu, nu chỳng cú cựng h cỏc phõn phi hu hn chiu Hai quỏ trỡnh ngu nhiờn X = { X t , t T } v Y = { Yt , t T } trờn cựng khụng gian xỏc sut ( , , P) c gi l: + Tng ng ngu nhiờn hay Y l bn ca X, nu vi mi t T ta cú 10 P { | X t ( ) = Yt ( )} = + Bng nhau, nu P { | X t ( ) = Yt ( ), t T } = Hin nhiờn hai quỏ trỡnh bng thỡ tng ng ngu nhiờn; hai quỏ trỡnh tng ng ngu nhiờn thỡ tng ng ngu nhiờn yu Vớ d Tp ph thuc t T , v At = { | X t ( ) = Yt ( )} At { | X t ( ) = Yt ( ), t T } = t T Vỡ th, nu T m c thỡ hai quỏ trỡnh tng ng v ch chỳng bng nhiờn, Nu T khụng m c thỡ iu khng nh va ri khụng ỳng Chng hn, vi = [0, 1], l - trng Borel ca [0, 1], P l o Lebesgue thụng thng, T = [0, 1], v X t ( ) = 0, [ 0,1] , t [ 0,1] voi t Yt ( ) = voi t = D dng thy rng hai quỏ trỡnh ny tng ng, nhng khụng bng 1.1.3 Qu o v khụng gian qu o Cho quỏ trỡnh ngu nhiờn X = { X t , t T } trờn khụng gian xỏc sut ( ,,P) Khi c nh , thỡ X( ) = X.( ) : T Ă l hm s ca t T Ta gi X.( ) l qu o (th hin hay hm chn) ca quỏ trỡnh ngu nhiờn X = { X t , t T } ng vi Cỏc tớnh cht ca qu o cho phộp ta phõn loi quỏ trỡnh ngu nhiờn Chng hn, T l khong no ú, ta núi: + X = { X t , t T } l quỏ trỡnh liờn tc, nu hu ht cỏc qu o ca nú l hm 59 h h0 ( K , , u ) cho n n1 ( K , , u ) Khi ú n u2 log K ữ tha 2 log 2h u2 + log K v cng cú Vi n ny ta cú: 4n log 2h ( P { ( max s ,t[ 0, k ] , t s h 6+h K2 )e ) } W ( t ) W ( s ) u 6e u2 2h + KhK e u2 2 2h ( ) u2 ( ) 2h Nu K 1, thỡ h/K2 v kộo theo (82) Nu K < 1, giỏ tr ln nht (82) khụng th vt quỏ giỏ tr ln nht trờn [0,1] Thỡ ly h0 ( K , , u ) = h0 ( 1, , u ) , li suy (82) 60 CHNG QU TRèNH WIENER V TCH PHN NGU NHIấN 3.1 Tng quan v tớch phõn ngu nhiờn ch tớch phõn ngu nhiờn l cụng c t nhiờn lm vic vi phng trỡnh vi phõn, bao gm hiu ng ngu nhiờn mun xỏc nh v chỳng Chỳng ta hóy bt u vi phng trỡnh vi phõn n gin nht x' ( t ) = f ( t ) ( t ) õy f l hm liờn tc Nu x ( ) ó c xỏc nh trc, nghim nht ca phng trỡnh cú th xỏc nh c bng phộp ly tớch phõn: t x ( t ) x ( ) = f ( s ) ds, ( t ) Bõy gỡ ta thay i dng n gin trờn bng cỏch gii thiu thut ng ngu nhiờn, rt tựy bin mt s ng dng x' ( t ) = f ( t ) + g ( t ) W ( t ) ( t ) õy f , g l cỏc hm ngu nhiờn liờn tc v W ( t ) c gi l quỏ trỡnh ting n trng ' T nh lý (5), chỳng ta bit W ( t ) khụng tn ti (ớt nht theo ngha thụng thng) nhng sau ly tớch phõn ta c nghim t t 0 x ( t ) x ( ) = f ( s ) ds + g ( s ) dW ( s ) ( t 0) Tớch phõn th hai biu thc trờn c gi l tớch phõn ngu nhiờn nu nú cú th c xỏc nh mt cỏch phự hp Mt ý tng t nhiờn xỏc nh mt tớch phõn ngu nhiờn nh vy l xỏc nh nú nh l mt tớch phõn Riemann-Steltjes [7chng6] vi mi hm 61 mu riờng bit C th, vi mt cỏch phõn chia = s0 < s1 < sn1 < sn = t , tng Riemann-Stieltjes xỏc nh l n g ( u ) ( W ( s ) W ( s ) ) k =1 k k k õy uk [ sk , sk ] tu ý (b i s theo hm m gim bt ký hiu) Sau ú cn hi vng l phõn hoch P = max1 k n S k S k t ú tng Rimenn-steltjes hi t v cựng gii hn c nh mt im c th khụng gian mu Mt l s hi t khụng th xy i vi tt c cỏc hm ngu nhiờn liờn tc g Lý l s bin i y W ( s ) khụng b chn trờn on [ 0,t ] nh ó gp b Khi ú hm ngu nhiờn g cú th c chn cho tng Riemann-Stieltjes tin sỏt tu ý ti bin phõn tng th Tuy nhiờn trng hp ny xy khụng ch vi quỏ trỡnh Wiener m cũn vi bt k quỏ trỡnh no m hm mu ca nú cú bin phõn khụng b chn Xem vớ d [5mc7] Nhng cú mt khỏc liờn quan ti vic la chn cỏc im u tng Riemann-Stieltjes trờn S la chn ny l mt , khụng ging nh trng hp tớch hp thụng thũng Lý mt ln na li s khụng b chn ca bin hm mu Cỏch d nht minh nú l s dng tớch phõn ngu nhiờn ri rc, tc l tng ca cỏc bin ngu nhiờn t S0 = 0, Sn = k =1 X K =k l mt di ng ngu nhiờn ging nh phn n Trong vớ d sau Sn úng vai trũ ca hm g ( t ) trờn v quỏ trỡnh n trng W ' ( t ) c thay th bi cỏc s gia X n Trong trng hp u tiờn (tng ng mt tớch phõn ngu nhiờn Itụ-type) chỳng ta dnh ngha tớch phõn ngu nhiờn ri rc l n k =1 Sk X k Trong trng hp ny ta quan sỏt c rng tớch phõn nguyờn luụn c ly ti im cui bờn trỏi ca khong (subinterval) Mt lý lun 62 thụng thng cho vic la chn ny l X k cho ''thụng tin mi" mi s hng, tớch phõn nguyờn Sk ch ph thuc vo quỏ kh, tc l c lp vi nhng giỏ tr mi X k , X k +1 , Tớch phõn ngu nhiờn ri rc ny cú th c ỏnh giỏ nh sau: n n k =1 k =1 Sk X k = Sk ( Sk Sk ) = = n n 2 S S ( Sk Sk ) k k k =1 k =1 ( ) S2 n 2 õy chỳng tụi ó s dng: tng u tiờn lng v S02 = , mi mt s hng ( Sk Sk ) tng th hai l bng Tớnh nng thỳ v ca kt qu l nú cha s hng non-classical n Cm t "non-classical" nhm ỏm ch Sn thc t l sds = sn Nhỡn chung cụng thc ny l mt trng hp c bit ca cụng thc quan trng Itụ, mt nhng ch c bn ca chỳng ta t thi im ny tr i Tt nhiờn, cng thỳ v nhỡn thy iu gỡ s xy nu hm b tớch phõn luụn c c lng ti cỏc im cui bờn phi ca khong con: n n k =1 k =1 Sk X k = Sk ( Sk Sk ) = = n n 2 S S + ( Sk Sk ) k k k =1 k =1 ( ) S n2 n + 2 Lu ý, s hng non-classcial õy l + ữ Ly trung bỡnh s hc ca hai cụng n thc trờn ta c mt tớch phõn ngu nhiờn Stratonovich-type m khụng cha mt s hng non-classical n S k + S k S n2 X = S k X = k ữ k 2 k =1 k =1 n 63 Mt khỏc, loi tớch phõn ny cú cỏc bt li khỏc so sỏnh vi Itụ, t thc t õy hm b tớch l ph thuc, khụng c lp vi tng lai Sau hin th vớ d ny mt bui seminar, P Rev'esz t cõu hi l nu cú mt phng phỏp chung ỏnh giỏ tớch phõn ngu nhiờn ri rc ca kiu n k =1 f ( S k ) X k dng úng, ú f l mt hm cho trc xỏc nh trờn cỏc s nguyờn Z Núi cỏch khỏc cú tn ti hay khụng mt cụng thc Ito ri rc tng quỏt? Cõu tr li l cú v may mn l nú khỏ c bn Nhng trc i vo chi tit, chỳng ta cựng xem mi liờn h ca mt cụng thc nh vy ti mt cỏch khỏc xỏc nh cỏc tớch phõn ngu nhiờn Loi k tớch phõn ngu nhiờn quan trng ny l f ( W ( s ) ) dW ( s ) õy k > v f l hm kh vi liờn tc Núi cỏch khỏc, hm ly tớch phõn l hm trn nhn ca quỏ trỡnh Wiener nh ngha cú ca tớch phõn Itụ-type trng hp ny tng t nh tớch phõn RiemannStieltjes Ly tu ý mt phõn hoch : p = { = s0 , s1 , , sn1 , sn = k } trờn trc thi gian v mt tng Riemann-Stieltjes tng ng , ỏnh giỏ im luụn cui bờn trỏi khong con, n f ( W ( S ) ) ( W ( S ) W ( S ) ) k =1 k k k Tng ny l mt bin ngu nhiờn, tng ng vi s phõn hoch ó chn Cú th chng minh c rng cỏc bin ngu nhiờn ny hi t Vớ d, bng xỏc sut hi t n mt bin ngu nhiờn I, tiờu chun ca s phõn hoch i ti Bin ngu nhiờn I ny c gi l tớch phõn Itụ Chỳng tụi nhn mnh rng "bng xỏc sut" hi t cú ngha l bt k > ,thỡ tn ti mt > cho n P I f ( W ( sk ) ) ( W ( sk ) W ( sk ) ) < , p < k =1 64 Phng phỏp khỏc m chỳng tụi i theo bi vit ny ỏp ng tt hn mi quan h gia quỏ trỡnh Wiener v di ng ngu nhiờn ó tho lun trờn Mt cỏch toỏn hc, nú l cỏi gỡ ú gi cho chỳng ta nh v tớch phõn Lebesgue Stieltjes [7, Chapter 11] í tng l u tiờn ta ly mt cp phõn hoch trờn trc khụng gian, mi mt khong cú chiu di m õy m l mt s nguyờn khụng õm Sau ú ta xỏc nh thi gian tng ng u tiờn sm ( 1) , sm ( ) , ca phộp nhỳng Skorohod nh c gii thớch nh trờn Nhng khong thi gian ny cú th coi nh mt phõn hoch ngu nhiờn trờn trc thi gian m núi chung ph thuc vo hm mu c xem xột Theo b 7b v nh lý 4, vi xỏc sut 1, vi bt k K ' > v vi mi hu hn m, mi ( ) mt sm ( k ) nm 0, K ' khong v W ( sm ( k ) ) = Bm k 22 m , k 22 m K Di ng ngu nhiờn rỳt gn Bm ( t ) cú th c biu din di dng cỏc s hng ca di ng ngu nhiờn thụng thng bi m m (40) bi Bm ( k ) = S m ( k ) Bõy gi nh ngha ca tớch phõn Ito ca chỳng ta s l lim m k 22 m f ( W ( s ( k 1) ) ) ( W ( s ( k ) ) W ( s ( k ) ) ) k =1 m m m (85) Chỳng ta s chng t sau ny l tng ny tng m chỳng ta cú th c c lng cho mi hm mu riờng bit - hi t vi xỏc sut Phng phỏp ca chỳng tụi s l tỡm mt dng khỏc ca tng ny bi mt cụng thc Ito ri rc v ỏp dng gii hn ti dng tng ng t c 3.2 Mt cụng thc Ito ri rc Gi s f l mt hm c nh ngha trờn s nguyờn Z u tiờn ta nh ngha tng hỡnh thang ca f bi k 1 T jk=0 f ( j ) = k f ( ) + f ( k j ) + f ( k ) j =1 (86) 65 õy k Z (cho nờn k cng cú th õm) v neu k > k = neu k = neu k < (87) Lý ca h s -1 k < l s tng t vi phộp ly tớch phõn: gii hn trờn ca phộp ly tớch phõn hn gii hn di, cú th thay i chỳng bng vic nhõn tớch phõn vi -1 B tip theo m chỳng ta s gi cụng thc Ito ri rc l mt cụng thc i s thun tuý Nú c phn ỏnh bi thc t l mc dự chỳng tụi s ỏp dng nú riờng cho di ng ngu nhiờn, b gi cho bt k dóy s X r = , bt chp bt kỡ xỏc sut no c gỏn ti chỳng B 10 Ly bt k hm f xỏc nh trờn Z , bt k dóy X r = 1, ( r 1) v t S0 = 0, S n = X + X + + X n ( n 1) Khi ú ta cú phỏt biu sau: + Cụng thc Ito ri rc T Sn j =0 n f ( j ) = f ( Sr ) r =1 n f ( Sr ) f ( Sr ) Xr + r =1 Xr + V cụng thc Stratonovich ri rc T Sn j =0 n f ( j) = f ( S r ) + f ( S r ) r =1 Xr Chng minh Theo nh ngha ca tng hỡnh thang T jS=n0 f ( j ) T jS=r01 f ( j ) = X r f ( S r ) + f ( S r ) (88) t nu Sr Sr = X n = , phi thờm mt lng ( f ( Sr ) + f ( Sr ) ) , nu X r = thỡ phi tr i lng ú T X r = ,v phi ca (88) cú th vit c bng 66 T jS=n1 f ( j ) = T jS=r01 f ( j ) = f ( S r ) X r + f ( Sr ) f ( S r ) Xr (89) Bng phộp tng hp (89), tng ng (88) cho r = 1,2,,n ta c phỏt S biu ca b , t tng lng v T j =1 f ( j ) = : n ( T r =1 Sr j =0 ) f ( j ) T jS=r01 f ( j ) = T jS=n0 f ( j ) W Chỳng ta cn mt phiờn bn ca b 10 cú th ỏp dng vi di ng ngu nhiờn rỳt gn Bm ( t ) Do ú chỳng ta nh ngha tng hỡnh thang ca mt hm f trờn s phõn hoch u vi im x = j x , õy x > v j thay i trờn hp s nguyờn Z õy hm f c gi s l c nh ngha trờn s thc R Vỡ vy mt tng hỡnh thang tng ng l a x =0 T ( a x ) f ( x ) x = a x f ( ) + f ( a j x ) + f ( a ) j =1 (90) õy gi s a l mt bi s nguyờn ca x v a c xỏc nh theo (87) Trong phn tip theo nh ngha ny s c ỏp dng vi x = m Chỳng tụi vit phiờn bn tng ng ca b (10) trc tip cho di ng ngu nhiờn rỳt gn B m(t) , mc du b ny l dng i s thun tỳy B 11 Ly bt k hm f xỏc nh trờn R, bt k s thc K > ,v c nh s m m nguyờn m khụng õm Xột di ng ngu nhiờn rỳt gn Bm ( r ) = S m ( r ) ( r ) m m Khi ú cú s phỏt biu ( x = , t = ) : + Trng hp Ito TxB=m0( Km ) f ( x ) x = K t f ( B ( ( r 1) t ) ) ( r =1 m ( ) K t f ( Bm ( r t ) ) f Bm ( ( r 1) t ) Bm ( r t ) Bm ( ( r 1) t ) + t r =1 Bm ( r t ) Bm ( ( r 1) t ) (91) + V trng hp Stratonovich ) 67 TxB=m0( Km ) f ( x ) x = K t ( ) f Bm ( ( r 1) t ) + f ( Bm ( r t ) ) r =1 (B m ( r t ) Bm ( ( r 1) t ) ) (92) õy Km = K t t Chng minh Chng minh tng t b 10 Bõy gi nhc li b 7b v nh lý Vi xỏc sut ,vi bt k K ' > K ' v tt c vi mi hu hn m , tn ti thi gian ngu nhiờn Sm ( r ) 0, K cho m W ( Sm ( r ) ) = Bm ( r t ) v max S m ( r ) r t 27 Km (93) dn ti m r t K Trong quan nim ny di dng ngu nhiờn rỳt gn B m(t) cú th c thay th bi quỏ trỡnh Wienrtrong (91) v (92) Khi ú tng u tiờn v phi ca (91) - hi t m tin v vụ cựng - tr thnh chớnh xỏc l nh ngha ca chỳng ta v tớch phõn Ito bi (85) Tng t, v phi ca (92) tr thnh v m gii hn ca nú s l nh ngha ca chỳng ta v tớch phõn Stratonovich Tớnh nng quan trng nht ca b 11 l nhng gii hn ny cú th c ỏnh giỏ bng lng hu hn gii hn khỏc, cỏc tng n gin hn Mt li ớch khỏc l sau thc hin nhng gii hn ny, ta cú th lp tc nm c cụng thc Ito v Stratonovich cho cỏc loi tng ng ca tớch phõn ngu nhiờn 3.3 Tớch phõn ngu nhiờn v cụng thc Ito nh lý Gi s f l hm kh vi trờn hp s thc R,v K > ,vi m v k ly thi gian u Sm ( k ) ca phộp nhỳng Skorohod ca di ng ngu nhiờn rỳt gn vo quỏ trỡnh Wiener nh xỏc nh (65) Khi ú tng di õy hi t vi xỏc sut + Tớch phõn Ito 68 K K 22 m f ( W ( s ) ) dW ( s ) = lim f ( W ( s ( r 1) ) ) ( W ( s ( r ) ) W ( s ( r 1) ) ) m m r =1 m (94) m + V tớch phõn Stratonovich K f ( W ( s ) ) odW ( s ) = lim K 22 m m ( ) ( f W ( sm ( r 1) ) + f W ( sm ( r ) ) ) r =1 (W ( s m ( r ) ) W ( sm ( ( r 1) ) ) ) (95) i vi tớch phõn ngu nhiờn tng ng ta cú cụng thc sau õy + Cụng thc Ito W( K) f ( x ) dx = f ( W ( s ) ) dW ( s ) + K K ' f ( W ( s ) ) ds (96) + V Stratonovich integral W( K) f ( x ) dx = f ( W ( s ) ) odW ( s ) K (97) Chng minh Theo trng hp Ito ca b 11v li chỳ thớch c to sau b ,vi xỏc sut 1, vi mi hu hn m ta cú phng trỡnh tip theo ca tng (94) K t ( ) ( f W ( sm ( r 1) ) + f W ( sm ( r ) ) r =1 )= ( (W ( s m ( r ) ) W ( sm ( r 1) ) ) = t [ 0, K ] ) ( K t f W ( sm ( r ) ) f W ( sm ( r 1) ) W ( s ( K t ) ) = Tx =0 m f ( x ) x r =1 W ( sm ( r ) ) W ( sm ( r 1) ) ) (98) õy x = m v t = 22 m Vi t [ 0, K ] t tm = t t t Khi ú t tm t = 22 m Theo (93), tm sm ( t t ) 27 Km m vi xỏc sut nu m ln iu ny cú ngha l max t sm ( t t ) 0 t K (99) vi xỏc sut m Hn na t cỏc hm mu ca quỏ trỡnh Wiener liờn tc trờn [ 0, K ] vi xỏc sut 1, ta cú 69 max W ( t ) W ( sm ) ( t t ) (100) t K Núi riờng, nú kộo theo W ( sm ( K t ) ) W ( K ) vi xỏc sut m a Mt khỏc tng hỡnh thang Tx =0 f ( x ) x ca hm f liờn tc l mt tng Riemann tng ng vi phõn hoch 0; x, x, , a x, a x, a Do ú tng hỡnh thang hi t v W( K) a x =0 3 2 f ( x ) dx, x iu ny chng t rng vi bt k > W ( s ( K t ) ) f ( x ) dx Tx =0 m f ( x ) x + W( K) ( W sm ( K t ) ) f ( x ) dx < + = , 2 vi xỏc sut nu m ln Tng hỡnh thang (98) tin n tớch phõn nguyờn tng ng vi xỏc sut W( K) W ( s ( K t ) ) lim Tx =0 m f ( x ) x = f ( x ) dx m (101) Bõy gi chỳng ta quay li tng th hai (98) Theo nh ngha ca the first passage times W ( sm ( r ) ) W ( sm ( r 1) ) = m = x dần đến m Do ( ) ( f W ( sm ( r ) ) f W ( sm ( r 1) ) W ( sm ( r ) ) W ( sm ( r 1) ) ) = f (W ( s m ( r ) ) mx ) f ( W ( sm ( r ) ) ) mx (102) ' Chỳng tụi mun chng t rng thng ca hiu ny gn tựy ý ti f ( W ( r t ) ) nu m ln kt thỳc, chỳng ta cựng xem xột sau õy t quan im tớnh toỏn Nu f l hm kh vi liờn tc, xm x v xm 0, m , xột hiu s ca f ' ( x ) v ( f ( xm + xm ) f ( xm ) ) xm ' Theo nh lý giỏ tr trung bỡnh, thng hiu s sau bng f ( um ) õy um nm gia xm x v xm + xm x T f ' l liờn tc, ta cú f ( xm + xm ) f ( xm ) xm f ' ( x) (103) 70 m Hin ti x = W ( t ) v xm = W ( sm t t ) õy t K T cỏc hm mu ca W ( t ) l liờn tc vi xỏc sut 1, theo sau nh lý max phm vi ca chỳng c cha khong b chn Trờn mt khong b chn nh vy hm f ' l liờn tc ú t (99), (100), (103) ( ( ) ( ( ) f W sm ( t t ) mx f W sm ( t t ) max f ' ( W ( t ) ) )) mx 0t K (104) vi xỏc sut m (nh rng bõy gi x = m v t = 22 m ) Núi riờng, vi bt k > , ta cú max ( r t K = max ) ( f W ( sm ( r ) ) f W ( sm ( r 1) ) W ( sm ( r ) ) W ( sm ( r 1) ) ( ) ( )f f W ( sm ( r ) ) mx f W ( sm ( r ) ) mx r t K ' ( W ( r t ) ) )f (105) ' ( W ( rt ) ) < 3K vi xỏc sut vi gi thit m ln ' Hm f ( W ( s ) ) l liờn tc vi xỏc sut ú tng Riemann trờn [ 0, K ] hi t ti tớch phõn tng ng tiờu chun ca s phõn hoch dn ti Nh vy theo (105) f ' ( W ( s ) ) ds K K t r =1 + K Km K t ( r =1 f ' ( W ( rt ) ) f ' ( W ( s ) ) ds < ) ( f W ( sm ( r ) ) m x f W ( sm ( r 1) ) W ( sm ( r ) ) W ( sm ( r 1) ) ( ) ( f W ( sm ( r ) ) m x f W ( sm ( r ) ) m x ) t ) t + Km f ' ( W ( s ) ) ds K t f ( W ( rt ) ) t ' r =1 K+ + = 3K 3 vi xỏc sut nu m ln õy K m = K t t Do ú tng th hai (98) luụn tin ti tớch phõn tng ng vi xỏc sut ( ) ( ) K t f W ( sm ( r ) ) f W ( sm ( r 1) ) K t = f 'W ( s ) ds m 2 W ( sm ( r ) ) W ( sm ( r 1) ) r =1 lim 71 iu ú chng t rng tng xỏc nh ca Ito ri rc (94) hi t vi xỏc sut m v vi gii hn ú ta cú cụng thc Ito (96) Ngoi cỏc trng hp Stratonovich ca b 11 v chỳ gii sau b , vi xỏc sut 1, vi mi hu hn m, ta cú phng trỡnh sau cho tng (95) K t ( ) ( f W ( sm ( r 1) ) + f W ( sm ( r ) ) r =1 ) (W ( s m ( r ) ) W ( sm ( r ) ) ) W ( s ( K t ) ) = Tx =0 m f ( x ) x Chỳng ta thy (101) rng tng hỡnh thang ny hi t ti tớch phõn tng ng vi xỏc sut m Do ú, tng xỏc nh ca tớch phõn Stratonovich (95) cng hi t v vi gii hn ú ta cú cụng thc (97) Vỡ cụng thc Ito v Stratonovich l ỳng i vi cỏc nh ngha ca cỏc tớch phõn ngu nhiờn tng ng thụng thng nờn iu ú ch rng cỏc nh ngha thụng thng phỳ hp vi cỏc nh ngha c a bi ny Khi ta ỏp vo trng hp c bit, im lý thỳ ca cụng thc Ito (96) l nú cha thnh phn non-classical K f ( W ( s ) ) ds Nu g l mt nguyờn hm ca f, thỡ cụng thc Ito cú th vit li l g ( W ( t ) ) g ( W ( 0) ) = g ( W ( s ) ) d ( W ( s ) ) + t t g ( W ( s ) ) ds, Hoc mt cỏch hớnh thc nh quy tc xớch non-classical sau i vi cỏc phng trỡnh vi phõn dg ( W ( t ) ) = g ( W ( t ) ) d ( W ( t ) ) + g ( W ( t ) ) dt Ta li lu ý tip, dng y hn ca cụng thc Ito cú th c cung cp bi cựng mt cỏch trờn, xem [8] Cng th, nh ó c ch [8], cỏc tớch phõn ngu nmhieen bi cú th c nh ngha tng t nh nh ngha tớch phõn ngu nhiờn trờn 72 KT LUN Chỳng tụi s dng mt dóy thớch hp cỏc di ng ngu nhiờn n gin hi t v cỏc quỏ trỡnh Wiener Sau ú, a mt nh ngha s cp v vic tho lun v tớch phõn ngu nhiờn c a ra, da trờn [8], ú s dng cựng mt chui cỏc di ng ngu nhiờn Mt hng nghiờn cu ang c t l tỡm hiu v cỏc tớnh cht tip theo ca quỏ trỡnh Wiener qua tip cn khỏi nim v cỏc tớnh cht ca di ng ngu nhiờn 73 TI LIU THAM KHO [1] Nguyn Duy Tin, Cỏc mụ hỡnh xỏc sut v ng dng, Nh xut bn i hc quc gia H ni, 2000 [2] Tamỏs Szabados, An Elementary Introduction to the Wiener Process and Stochastic Integrals, 2004 [3] W Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications , Volume I: Third Edition J Wiley, New York, 1968 [4] W Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume II J Wiley, New York, 1966 [5] F.B Knight Essentials of Brownian Motion and Diffusion American Mathematical Society, Providence, R.I (1981) [6] P.Rộvộsz Random Walk in Random and Non-Random Environments World Scientific, Singapore (1990) [7] W Rudin Principles of Mathematical Analysis: Third Edition McGrawHill, New York (1977) [8] T Szabados A Discrete Itụs Formula Colloquia Mathematica Societatis Jỏnos Bolyai 57 Limit Theorems in Probability and Statistics, Pộcs (Hungary) 1989, 491-502 North-Holland, Amsterdam (1990) [...]... môment hàm sinh 19 của di động ngẫu nhiên Sn là Vì coshu là một hàm chẵn và cosh1 < 2, bất đẳng thức (10) nói rằng 20 CHƯƠNG 2 QUÁ TRÌNH WIENER VÀ DI ĐỘNG NGẪU NHIÊN 2.1 Quá trình Wiener và di động ngẫu nhiên 2.1.1 Thời gian chờ Trong phần tiếp theo, chúng ta cần chỉ ra phân phối (của) thời gian ngẫu nhiên τ khi một di động ngẫu nhiên đầu tiên va chạm hoặc đến điểm x = 2 hoặc 2: Để tìm phân bố xác suất của... nó Mô hình đơn giản nhất (và thô thiển nhất) về chuyển động Brown là một 15 di động ngẫu nhiên đối xứng 1 chiều, sau đây gọi ngắn gọn là di động ngẫu nhiên Một chất điểm bắt đầu từ gốc và bước một đơn vị hoặc bên trái hoặc bên phải với xác suất bằng 1/2, trong mỗi đơn vị thời gian Một cách toán học, chúng ta có một dãy X1, X2, các biến ngẫu nhiên độc lập và đồng nhất về phân phối với P { X n = 1}... vài phương pháp đã biết là rất tự nhiên và sơ cấp Ta sẽ xác định một dãy các xấp xỉ của quá trình Wiener, mà mỗi một trong chúng là một di động ngẫu nhiên “xoắn” và “co” ("Twisted and shrunk") của một thể hiện trước đó Điều đó nói lên rằng dãy này hội tụ tới một quá trình có các tính chất đặc trưng cho quá trình Wiener Giả sử ta đang quan sát một chất điểm dưới chuyển động Brown Trong 26 quan sát đầu... thấy τ=2Y, trong đó Y có phân bố hình học với tham số p=1/2 Vì vậy, Một hệ quả quan trọng là với xác suất 1, một bước đi ngẫu nhiên sớm hay muộn sẽ chạm tới 2 hoặc -2: Khá rõ ràng rằng: 21 Điều này suy ra từ tính đối xứng của di động ngẫu nhiên Nếu chúng ta phản ánh S(t) với trục thời gian, quá trình kết quả S*(t) cũng là một di động ngẫu nhiên τ* tương ứng của nó là bằng τ, và biến cố { S * (τ ) =... ở trên được gọi là quá trình chính tắc Theo định lý này thì đối với mỗi quá trình ngẫu nhiên, tồn tại quá trình chính tắc tương đương ngẫu nhiên yếu với nó Chú ý Định lý tồn tại Kolmogorov rất tổng quát: ngoài điều kiện tự 13 nhiên: đối xứng và nhất quán, không đòi hỏi bất cứ một điều kiện nào khác Tuy nhiên, ta cần lưu ý những điểm sau đây: Thứ nhất là, không gian quỹ đạo ¡ T quá lớn Thứ hai là, σ... m ( t ) ( t ≥ 0) là một di động ngẫu nhiên, thì X m (1) , ~ X m ( 2 ) ,… là một dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối sao cho { } { } ~ ~ Ρ X m ( n ) = 1 = Ρ X m ( n ) = −1 = 1 / 2 ( n ≥ 1) ( 34) Chứng minh Sử dụng phương pháp quy nạp với m ≥ 0 Với m = 0 thì S±0 ( t ) = S0 ( t ) là một di động ngẫu nhiên (theo định nghĩa) Giả sử rằng S° m −1 ( t ) là một di động ngẫu nhiên, ta sẽ chứng minh với... minh rằng: Mỗi quá trình chỉ có duy nhất một bản sao liên tục Chính xác hơn, nếu hai quá trình ngẫu nhiên liên tục xác định trên cùng một không gian xác suất và tương đương ngẫu nhiên thì bằng nhau Hệ quả 1 Cho X = { X t , t ∈ [ 0,1] } là quá trình ngẫu nhiên trên không gian xác suất đủ ( Ω , Α, P) Giả sử với tất cả t , t + h ∈ [ 0,1] E X t +h − X t p ≤ Kh ln h 1+ r , trong đó p < r và K là các hằng... với Tk j (và cũng độc lập với bất kỳ τi, i ≤ k), vậy, Ρ{τ k +1 = 2 j} = 1 / 2 ( j ≥ 1) Ta cũng cần phân phối của thời gian ngẫu nhiên Tk để có được k thay đổi biên độ 2 theo di động ngẫu nhiên Nói cách khác, S(t) đạt được các giá trị nguyên chẵn (sai khác một giá trị trước đó) một cách duy nhất tại các khoảng thời gian T1, T2,… Để tìm phân phối xác suất của Tk, tưởng tượng di động ngẫu nhiên như là... u < 2 log 2 và k ≥ 0 Vì (28) bé hơn 2k với u = ±1/2, bất đẳng thức mũ Chebyshev (10) trở thành { } Ρ Tk − 4k / 8 ≥ t ≤ 2.2 k e −t / 2 ( t > 0, k ≥ 0) ( 29) 2.1.2 Từ di động ngẫu nhiên đến quá trình Wiener Việc giải thích quá trình Wiener dựa trên giải thích của P.Révész [6,6.2] đó là một trường hợp đơn giản trong giải thích của F.B Knight [4,1.3] Ưu điểm của phương pháp này so với một vài phương pháp... minh: Suy trực tiếp từ bất đẳng thức Markov: p E X t +h − X t P { X t +h − X t ≥ a} ≤ , ap và lấy g(h) = ln h −b , 1 < b < r / p Bằng cách chứng minh tương tự ta có kết quả sau: Hệ quả 2 (của Kolmogorov) Nếu với tất cả t , t + h ∈ [ 0,1] p E X t +h − X t ≤ K h 1+ε trong đó p, ε và K là các hằng số dương, thì X có bản sao liên tục 1.2 Di động ngẫu nhiên 1.2.1 Khái niệm di động ngẫu nhiên và một số tính ... trình ngẫu nhiên khái niệm có liên quan Chơng Nghiên cứu số tính chất trình wiener du động ngẫu nhiên Chơng Nghiên cứu trình wiener tích phân ngẫu nhiên Luận văn đợc thực trờng Đại Học Vinh di. .. hợp du động ngẫu nhiên đơn giản hội tụ trình wiener Sau đó, định nghĩa sơ cấp thảo luận tích phân ngẫu nhiên đợc đa ra, dựa [8], sử dụng chuỗi du động ngẫu nhiên Luận văn gồm ba chơng Chơng Trình. .. Smoluchowski, wiener, Levy, có nhiều đóng góp vào lý thuyết chuyển động Brown Quá trình wiener mô hình tự nhiên chuyển động Brown Nó mô tả cách ngẫu nhiên, nhng liên tục chuyển động hạt, chịu