TÍCH PHÂN NGẪU NGHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ KIM THOA TÍCH PHÂN NGẪU NGHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2013 Cơng trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS CAO VĂN NUÔI Phản biện 1: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Phản biện 2: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 14 tháng 12 năm 2013 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin- Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện truờng Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong trình học đại học, quen thuộc với mơn giải tích mà phép tính vi tích phân đóng vai trị quan trọng Với phát triển kỹ thuật đại, nhiều vấn đề đặt thúc đẩy toán học phát triển Gần ngày có nhiều tốn liên quan đến yếu tố ngẫu nhiên, nhà toán học phải nghiên cứu đầy đủ, chi tiết để tạo cơng cụ tốn học nhằm giải toán ngẫu nhiên Một cơng cụ phép tính vi tích phân ngẫu nhiên dùng để giải toán dự báo, lý thuyết thông tin, số lĩnh vực vật lý Với lí tinh thần ham tìm hiểu kiến thức nên tơi chọn đề tài “ Tích phân ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên” làm đề tài tốt nghiệp bậc cao học Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu luận văn nghiên cứu, tiếp cận để hiểu sâu sắc kiến thức lý thuyết xác suất mà cụ thể tích phân ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên nhằm phục vụ cho việc học tập giảng dạy sau Đối tượng phạm vi nghiên cứu a Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận văn tìm hiểu cách có hệ thống tính chất có liên quan đến tích phân ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên b Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu việc xây dựng tính chất phép biến đổi tích phân ngẫu nhiên, phương trình vi phân ngẫu nhiên ứng dụng chúng Nhiệm vụ nghiên cứu Cố gắng trình bày cách rõ ràng, mạch lạc phần lý thuyết tích phân ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên nhằm hồn thành tốt luận văn để trở thành tài liệu hữu ích phục vụ cho công việc học tập giảng dạy Phương pháp nghiên cứu · Sưu tầm tài liệu liên quan đến đề tài tích phân ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên · Phân tích tài liệu · Tổng hợp tài liệu · Thực suy luận tốn học để xem xét khía cạnh tích phân ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên Ý nghĩa khoa học thực tiễn luận văn Luận văn sử dụng tài liệu tham khảo dành cho học viên giáo viên giảng dạy phần tích phân ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên Dự kiến cấu trúc luận văn Nội dung luận văn dự kiến có chương: Chương Cơ sở lý thuyết xác suất 1.1 Đại cương xác suất 1.2 Quá trình ngẫu nhiên Chương Tích phân ngẫu nhiên 2.1 Định nghĩa tích phân ngẫu nhiên 2.2 Các tính chất tích phân ngẫu nhiên 2.3 Q trình xác định tích phân ngẫu nhiên 2.4 Tích phân ngẫu nhiên tổng quát Chương Phương trình vi phân ngẫu nhiên 3.1 Định nghĩa phương trình vi phân ngẫu nhiên 3.2 Các tính chất phương trình vi phân ngẫu nhiên 3.3 Nhiễu trắng phép tính ngẫu nhiên 3.4 Phương trình khuyếch tán CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ XÁC SUẤT 1.1 ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT 1.1.1 Không gian xác xuất, dãy biến cố a Không gian đo Cho tập W a lớp tập W Lớp a gọi - đại số thỏa mãn điều kiện sau: · WỴ a · Nếu A Ỵ a Ac = W \ A Ỵ a · Vi mi dóy { An }nẻ è a thỡ Ơ * số ngun dương) An Ỵ a ( * tập hợp n=1 Ta gọi cặp ( W, a ) không gian đo hay không gian khả đo, (the measurable space) b Không gian xác suất Một hàm tập m từ - đại số a vào tập số thực gọi độ đo a thỏa mãn: · m (Ỉ ) = · Với A Ỵa m ( A) ³ · Hàm tập m s - cộng tính, nghĩa với tập An Ỵ a, n Ỵ * thỏa mãn Ai ầ Aj = ặ, "i j thỡ ổƠ Ơ m ỗ Ai ữ = m ( Ai ) è i =1 ø i=1 Nếu a - đại số tập tập W ¹ Æ m ( W ) = độ đo m gọi độ đo xác suất Khi đó, ba ( W, A, m ) gọi không gian xác suất c Dãy biến cố Trong không gian xác suất ( W, A, m ) ta gọi: · Các tập a gọi biến cố, đặc biệt {w} Ỵa ta gọi biến cố sơ cấp · Các biến cố A, B thỏa mãn A B = Ỉ ta gọi biến cố xung khắc · Nếu a , ta gọi Ac = W \ A biến cố đối biến cố A · Nếu biến cố A, B thỏa mãn A Ì B ta nói B biến cố kéo theo biến cố A · Ta gọi biến cố Ỉ biến cố khơng thể, biến cố W biến cố chắn · Nếu A biến cố ta gọi m ( A) xác suất biến cố A d Các tính chất xác suất Cho ( W, A, m ) khơng gian xác suất Độ đo xác suất m có tính chất sau: Định lý 1.1 [9] Nếu A Îa £ m ( A) £ Định lý 1.2 [9] Nếu A, B Ỵa A Ì B, m ( A) £ m ( B ) Định lý 1.3 [9] Với A, BỴ a , ta ln có cơng thức cộng xác suất sau: m ( A + B ) = m ( A ) + m ( B ) - m ( A.B ) Đặc biệt, A.B = Ỉ m ( A + B ) = m ( A) + m ( B ) Định lý 1.4 [9] Trong không gian xác suất ( W, A, m ) với { A , i = 1, n} họ đầy đủ biến cố với biến cố E, ta có: i n m ( E ) = å m Ai ( E ) m ( Ai ) (công thức xác suất toàn phần) i =1 m E ( Ai ) = m Ai ( E ) m ( Ai ) m (E) , với m ( E ) > (công thức Bayes) 1.1.2 Các đặc trưng số biến ngẫu nhiên a Kỳ vọng (Expectation) Cho x đại lượng ngẫu nhiên Ta gọi kỳ vọng x số kí hiệu E (x ) xác định E (x ) = ò x (w ) m ( dw ) W tích phân hội tụ tuyệt đối b Phương sai (variance) Nếu đại lượng ngẫu nhiên x có E (x - Ex ) ta gọi đại lượng phương sai x ký hiệu Var (x ) Vậy Var (x ) = E (x - Ex ) c Moment Nếu đại lượng ngẫu nhiên x tồn E (x - Ex ) , k > ta nói k đại lượng moment xuyên tâm bậc k x Đại lượng E (x - a ) gọi moment bậc k x a Trường hợp k a = ta nói moment monent qua gốc bậc k x thường ký hiệu n k (x ) Nếu khơng có nhầm lẫn ta gọi tắt moment qua gốc moment 1.1.3 Các khái niệm hội tụ xác suất a Hội tụ theo phân phối Giả sử F1 , F2 , dãy hàm phân phối tích lũy ứng với biến ngẫu nhiên X , X , , F hàm phân phối ứng với biến ngẫu nhiên X Khi đó, dãy X n hội tụ X theo phân phối nếu: lim Fn ( a ) = F ( a ) , vi mi a ẻ nđƠ m ti F liên tục D Sự hội tụ theo phân phi thng c ký hiu bi: X n ắắ đX b Hội tụ theo xác suất Dãy biến ngẫu nhiên { X n } gọi hội tụ theo xác suất X lim P ( X n - X ³ e ) = với e > Hi t theo xỏc sut nđƠ P hội tụ xác suất, ký hiờ bi X n ắắ đX c Hi tụ chắn Dãy biến ngẫu nhiên { X n } gọi hội tụ hầu chắn hay hầu khắp nơi hay với xác suất hay mạnh X nếu: ( ) P lim X n = X = nđƠ d Hi tụ theo trung bình bậc r Dãy biến ngẫu nhiên { X n } gọi hội tụ theo trung bình r bậc r X khơng gian định chuẩn Lr , r ³ 1, E X n < ¥ ( với n lim E X n - X nđƠ r ) = e Các mối liên hệ ngược hội tụ 1.2 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN BẬC HAI 1.2.1 Các khái niệm Biến ngẫu nhiên X thỏa mãn E X < +¥ gọi biến ngẫu nhiên bậc hai, (X nhận giá trị phức) Quá trình { X t , t Ỵ T } gọi trình bậc hai X t , "t biến ngẫu nhiên bậc hai Một trình ngẫu nhiên { X t , t Ỵ T } họ biến ngẫu nhiên, sinh tham số thực t xác định không gian xác suất ( W, A, m ) Với w Ỵ W { X t (w ) , t Ỵ T } hàm xác định T gọi hàm mẫu trình ngẫu nhiên a Quá trình ngẫu nhiên bậc hai thực Cho Xt : W ® ( W, A, m ) không gian xác suất Biến ngẫu nhiên , t tham số t Ỵ T Ì gọi trình ngẫu nhiên thực Nếu Tn = {t1 , t2 , , tn } tập hữu hạn T, ta kí hiệu PTn hàm { } phân phối đồng thời X t1 , X t2 , , X tn , nghĩa là: ( PTn ( x1 , x2 , , xn ) = P w ỴW : X t1 (w ) < x1 , X t2 (w ) < x2 , ; X tn (w ) < xn ) b Biến ngẫu nhiên Gauss Cho biến ngẫu nhiên Z, cho EZ < +¥ Đặt m = EZ s = E ( Z - m ) = Var Z Biến ngẫu nhiên Z gọi biến Gauss 2 s = E ( Z - EZ ) = ( Z = m với xác suất 1), Z có hàm phân x -¥ s 2p phối Fz = ị e ổ t -m - ỗ ố s ÷ø dt c Quá trình Gauss Nhiều tượng vật lý mô tả tốt q trình ngẫu nhiên mà thường gọi q trình Gauss, ví dụ chuyển động Brown hay trình Wiener dạng đặc biệt trình Gauss Một trình ngẫu nhiên { X t , t Ỵ T } gọi q trình Gauss n tổ hợp tuyến tính hữu hạn có dạng: Z = å a i X ti (n < ¥) i =1 biến ngẫu nhiên Gauss Định lý 1.5 [11] Một trình { X t , t Ỵ T } q trình Gauss khi: a EX t2 < ¥ , với t Ỵ T { } b Với họ hữu hạn ti , i = 1, n Ì T é n ù n ỉ n E exp ỗ i uk ữ X tk = exp êi å uk m ( tk ) - å uk ul R ( tk , tl ) ú k ,l =1 k =1 è k =1 ø Trong đó, m ( t ) = EX t , Rë ( t , s ) = E éë X t - m ( t ) ùû éë X s - m ( s )ûùû (hàm tương quan q trình { X t , t Ỵ T } ) 10 b Quá trình đo Quá trình {X t , t ỴT} với tập tham số T đo theo nghĩa Lebesgue gọi trình đo X t (w ) ( t , w ) - hàm đo tương ứng với s - đại số tích L Ä a , L s - đại số tập đo Lebesgue T, a s - đại số không gian xác suất ( W, A, m ) 1.2.3 Tính liên tục Q trình bậc hai { X t , t Ỵ T } gọi liên tục theo trung bình bình phương t nếu: lim E X t +h - X t = h®0 Định lý 1.7 [11] Cho { X t , t Ỵ T } trình bậc hai m ( t ) = EX t = 0, "t Ký hiệu R(t,s) hàm hiệp đoạn T Ì phương sai Khi đó: a { X t , t Ỵ T } liên tục trung bình bình phương t hàm R(t,s) liên tục điểm đường chéo (t,t) b Nếu { X t , t Ỵ T } liên tục trung bình bình phương t Î T R(t,s) liên tục điểm T ´ T c Nếu hàm xác định không âm T ´ T liên tục điểm đường chéo liên tục T ´ T 1.2.4 Quá trình dừng a Định nghĩa trình dừng Quá trình { X t , t Î } gọi trình dừng với ( t1 , t2 , , tn ) Î {X t1 +t0 n , ( n < +¥ ) hàm phân phối đồng thời , X t2 +t0 , , X tn +t0 {Xt ,t Ỵ } } khơng phụ thuộc vào t0 Do đó, trình dừng hàm phân phối đồng thời hữu hạn chiều P{t1 ,t2 , ,tn } thỏa mãn: P{t1 ,t2 , ,tn} ( x1 , x2 , , xn ) = P{0,t2 -t1 , ,tn -t1} ( x1 , x2 , , xn ) 11 Trong đó, P{t1 ,t2 , ,tn} ( x1 , x2 , , xn ) = P w Ỵ W; X t1 < x1 , X t2 < x2 , , X tn < xn ( ) b Quá trình dừng theo nghĩa rộng Một trình ngẫu nhiên { X t , t Ỵ } gọi q trình dừng theo nghĩa rộng nếu: · EX t2 < ¥ "t Î · EX t =m số "t · E ( X t - m ) ( X s - m ) phụ thuộc vào t - s Từ định nghĩa, suy trình dừng dừng theo nghĩa rộng ch EX t2 < Ơ, "t ẻ Rừ ràng, trình bậc hai dừng trình dừng theo nghĩa rộng 12 CHƯƠNG TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN 2.1 ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ( W, a , P ) không gian xác suất cố định Cho {at , t Ỵ } họ không giảm s - đại số a , giả sử {Wt , t Ỵ } trình chuyển động Brown (quá trình Gauss) cho với s, {Wt - Ws , t ³ s} độc lập với a s w tn at - đo Cho với t, với s ³ suy rằng: E at Wt + s = Wt hầu chắn E at ( Wt + s - Wt ) = s Xét hàm j (w ,t ) hàm đo theo (w ,t ) (với biến w s đại số at , với biến t s - đại số s - đại số Borel ).(2.1) Với t, hàm j (w ) = j (w ,t ) đo với s - đại số at Giả sử j thỏa mãn ò b a E jt dt < +¥ (2.2) Nếu tồn thời gian t0 , t1 , , tn cho a = t0 < t1 < < tn = b j (w , t ) = jn (w ) tn £ t < tn +1 ,n = 0, n - Và j thỏa mãn (2.1) (2.2) ta gọi j (w ,t ) - hàm bước nhảy (hàm đơn giản) Và ta định nghĩa tích phân ngẫu nhiên hàm j sau: n-1 ò j (w , t ) dW (w, t ) = å j (w ) éë W (w, t ) - W (w , t ) ùû b a n =0 n n +1 n (2.3) Nếu j thỏa mãn (2.1) (2.2) ta tồn dãy hàm (w ,t ) - bước nhảy {j n (w , t )} thoả mãn (2.1) (2.2) cho: j - jn b = ò E j ( , t ) - j n ( , t ) dt ắắắ đ0 nđƠ a Khi ú, ta nh ngha tớch phõn ngẫu nhiên hàm j là: 13 b b a a ò j (w, t ) dW (w , t ) = lim in q.m ò j (w , t ) dW (w, t ) nđƠ n 2.2 CC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN Định lý 2.1 [11] Cho {Wt , t Ỵ } q trình chuyển động Brown cho j (w ,t ) thỏa mãn (2.1) (2.2) Khi đó: a Tồn dãy hàm (w ,t ) - bước nhảy thỏa mãn (2.1) (2.2) cho: j - j n b = ò E j ( , t ) - j n ( , t ) dt ¾¾¾ ®0 (2.4) n®¥ a b b Với n, I (j n ) = ò j n (w , t ) dW (w , t ) định nghĩa a (2.3) { I (j n )} hội tụ theo trung bình bình phương n ® ¥ c Nếu {j n } {j 'n } dãy hàm (w ,t ) - bước nhảy thỏa mãn (2.1) (2.2) j - jn j - j 'n tiến đến n đ Ơ , thỡ lim in q.m I (j n ) = lim in q.m I (j 'n ) nđƠ nđƠ nh lý 2.2 [11] Cho j (w , t ) y (w , t ) thỏa mãn (2.1) (2.2) Thì E é ị j ( , t ) dWt ëê a b ò y ( , t ) dW ùûú = ò b t a b a Ejty t dt (2.5) 2.3 QUÁ TRÌNH XÁC ĐỊNH BỞI TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN Định lý 2.3 [11] Cho {Wt , at } chuyển động Brown cho j thỏa mãn (2.1) (2.2) Ta định nghĩa trình { X t , a £ t £ b} t X ( w , t ) = ò j ( w , s ) dW ( w , s ) a { X t , at , a £ t £ b} Thì đó, (2.7) martingale; nghĩa với t > s Þ E as X t = X s hầu chắn Định lý 2.4 [11] Cho X (w , t ) , X (w , t ) , , X n (w , t ) trình xác định từ chuyển động Brown đơn W (w ,t ) , sau, với k = 1, , n t t X k (w , t ) = ò f k (w , t ') dt ' + ò j k (w , t ') dW (w , t ') a a (2.9) 14 Cho Y (w , t ) = y ( X 1t , X 2t , , X nt , t ) , y khả vi liên tục theo t có đạo hàm riêng cấp hai theo biến X s' Khi đó, với xác suất 1, n Y (w, t ) = Y (w, a) + ò y ( X (w, t ') , t ') dt ' + åò y k ( X (w, t ') , t ') dXk (w, t ') t a n k=1 b a b òa y jk ( X (w , t ') , t ')j j (w , t ')j k (w , t ') dt ' k =1 n + åå j =1 đó, y = (2.10) ¶y ¶y ¶ 2y ,y k = ,y jk = ¶t ¶xk ¶x j ¶xk 2.4 TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN TỔNG QUÁT Cho trình Brown {Wt , at } , ta định nghĩa tích phân ngẫu b nhiên I (j , w ) = ò j (w , t ) dW (w , t ) a (2.13) thỏa mãn điều kiện sau: a j đo đồng thời theo (w ,t ) b Với t, jt at - đo c ò b a E jt dt < ¥ Tích phân ngẫu nhiên (2.13) tổng quát từ hai yếu tố quan trọng Đầu tiên, xác định a b.; thay điều kiện c điều kiện yếu b ò j (w , t ) a dt < ¥ hầu chắn (2.14) Tiếp theo, trình Brown {Wt , at } (2.13) thay lớp martingale { X t , at } Định lý 2.5 [11] Cho {Wt , at } trình Brown cho j (w ,t ) thỏa mãn: a j đo đồng thời theo (w ,t ) b Với t, jt at - đo c b ò j (w , t ) a dt < ¥ hầu chắn 15 Cho j m xác định ìïj (w , t ) t j (w , t ) dt £ m m òa (2.15) j (w , t ) = í ïỵ0 trường hợp ngược lại m cho I (j ) kí hiệu tích phân ngẫu nhiên ( ) b I j m = ò j m (w , t ) dW (w , t ) a { } Khi đó, I (j m ) , m = 1, hội tụ theo xác suất m đ Ơ , v ta nh ngha I (j ) = ò j (w , t ) dW (w , t ) = lim in p I (j m ) b a (2.16) mđƠ nh lý 2.6 [11] Cho {Zt , at , a £ t £ b} martingale bậc hai liên tục Thì ta có phân tích Z t2 = Z1t + Z t a £ t £ b (2.20) {Z 2t , at , a £ t £ b} martingale bậc liên tục, {Z1t , a £ t £ b} liên tục, không giảm với Z1a = Định lý 2.7 [11] Cho {Zt , at , a £ t £ b} martingale bậc hai liên tục Cho {Z1t , a £ t £ b} định nghĩa (2.20) Giả sử j (w , t ) , w ỴW, t Ỵ [ a, b ] , hàm đo đồng thời cho đó, b với t, jt at - đo được, ò jt2 dZ1t < ¥ với xác suất Khi a b tích phân ngẫu nhiên I (j , w ) = ò j (w , t ) dZ (w , t ) (2.21) a xác định suy hai điều sau: a Nếu j dãy hàm (w ,t ) - bước nhảy, I (j , w ) = å jn (w ) éë Z (w , tn +1 ) - Z (w , tn ) ùû n b Nếu b ® , ị j (w , t ) - j (w , t ) dZ (w , t ) ¾¾¾ a k in p ® I (j , w ) I (jk , w ) ắắắ k đƠ a.s k đƠ 16 nh lý 2.8 [7] Cho { X t , a £ t £ b} trình bậc hai liên tục mẫu Cho m ( x, t ) s ( x, t ) hàm Borel theo biến (x,t) thỏa mãn m ( x, t ) £ K + x (2.25) £ s ( x, t ) £ K + x Cho at kí kiệu s - đại số nhỏ cho X s , s £ t , đo được, giả sử { X t , a £ t £ b} thỏa mãn điều kiện sau: a Tồn {Z (w , t ) , a £ t £ b} mà Z t ³ 0, EZ t < ¥, sup E as X t2 £ Z s t >s b Tồn hàm f không giảm với lim f ( h) = với h¯ a £ t < t + h £ b , ta có với xác suất 1, E at ( X t + h - X t ) - ò t +h t E at ( X t + h - X t ) - ò t m( X s , s )ds £ hf (h)(1 + X t2 ) t +h s ( X s , s)ds £ hf (h)(1 + X t2 ) (2.26) (2.27) Với điều kiện này, { X t , a £ t £ b} trình Markov thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên t t X t = X a + ò m( X s , s )ds + ò s ( X s , s)dWs a a đó, {Wt , a £ t £ b} chuyển động Brown (2.28) 17 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN 3.1 ĐỊNH NGHĨA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN Từ thực tế ứng dụng thúc đẩy việc nghiên cứu phương trình vi phân ngẫu nhiên có dạng: d (3.1) X t = m( X t , t ) + s ( X t , t )z t dt đó, z t nhiễu trắng Gauss Ít ta biết ò t z s ds có tất thuộc tính chuyển động Brown Wt Do đó, lần (3.1) tương đương với t t X t = X a + ò m( X s , s )ds + ò s ( X s , s)dWs a (3.2) a Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên dX (w , t ) = m ( X (w , t ) , t ) dt + s ( X (w , t ) , t ) dW (w , t ) có dạng: (3.3) Mà tương tự (3.2) Một trình { X t , t ³ a} gọi thỏa mãn (3.3) với điều kiện ban đầu X a = X nếu: t a Với t, ị s ( X s , s )dWs hiểu tích a phân ngẫu nhiên b Với t , X t hầu chắn biến ngẫu nhiên xác t t định X + ò m ( X s , s ) ds + ò s ( X s , s ) dWs a a Trước hết, ta phát biểu sau chứng minh định lý tồn theo Ito 3.2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN Định lý 3.1 [11] Cho {Wt , at , a £ t £ T < ¥} chuyển động Brown tách Cho X biến ngẫu nhiên đo tương ứng với quan hệ aa thỏa mãn EX < ¥ Cho 18 m( x, t ) s ( x, t ), - ¥ < x < ¥, a £ t £ T , hàm đo Borel theo cặp ( x, t ) Cho m s thỏa mãn điều kiện sau đây: m ( x , t ) - m ( y , t ) + s ( x, t ) - s ( y , t ) £ K x - y m ( x, t ) + s ( x, t ) £ K + x (3.4) (3.5) Với giả thiết này, tồn trình tách đo { X t , a £ t £ T } với tính chất sau đây: P1 : Với t [a,T], X t at - đo T P2 : ị EX t2 dt < ¥ a P3 : { X t , a £ t £ T } thỏa mãn (3.2) với X a = X P4 : Với xác suất 1, { X t , a £ t £ T } liên tục mẫu P5 : { X t , a £ t £ T } với xác suất P6 : { X t , a £ t £ T } trình Markov 3.3 NHIỄU TRẮNG VÀ PHÉP TÍNH NGẪU NHIÊN Trong phần này, ta cung cấp giải thích phương trình vi phân nhiễu trắng, kiểm tra mối liên hệ với phương trình vi phân ngẫu nhiên Phương trình mà ta muốn xét nằm dạng sau đây: d (3.19) X (w , t ) = m ( X (w , t ) , t ) + s ( X (w , t ) , t ) z (w , t ) dt đó, z t nhiễu trắng Gauss Do nhiễu trắng trừu tượng khơng phải q trình vật lý, thực có ý nghĩa thực hành (3.19), phương trình khảo sát trình Gauss dừng với mật độ phổ trãi miền rộng tần số Nếu ta lấy z t trình (3.19) khơng khó khăn để giải thích (3.19) phương trình vi phân thường cho hàm mẫu miễn mật độ phổ z t nhanh chóng tiến Nếu ta lấy z t trình với hàm mẫu tốt, ta số tính chất thống kê đơn giản X t , chúng tính chất Markov Lấy dãy trình Gauss 19 {z ( , t )} n hội tụ theo ý nghĩa phù hợp tới nhiễu trắng Gauss, với n, {z n ( , t )} có hàm mẫu có hành vi tốt Bây giờ, với n , a £ t £ T phương trình: d (3.20) X n (w , t ) = m ( X n (w , t ) , t ) + s ( X n (w , t ) , t ) z n (w , t ) dt với điều kiện ban đầu X n (w , a ) = X (w ) giải Ta giả sử m σ cho cho nghiệm tồn với hàm mẫu Vì vậy, ta có dãy q trình { X n ( , t ) , a £ t £ T } Gi s rng, n đ Ơ , {z n ( , t )} hội tụ theo nghĩa thích hợp tới nhiễu trắng, dãy { X n ( , t ) , a £ t £ T } hội tụ hầu chắn, hay hội tụ theo trung bình bình phương hay hội tụ theo xác suất, tới trình { X n ( , t ) , a £ t £ T } Khi X t · nghiệm của: X t = m ( X t , t ) + s ( X t , t ) z t đó, z t nhiễu trắng Gauss Đây giải thích xác cho (3.19) Ta phải xác định xem (3.19) có phải phương trình vi phân ngẫu nhiên định nghĩa phần cuối Để hiểu xác khái niệm hội tụ {z n ( , t )} tới nhiễu trắng, t ta định nghĩa: Wn (w , t ) = ò z n (w , s ) ds a Và (3.20) viết lại phương trình tích phân X n (w , t ) = X n (w , a ) + ò m ( X n (w , s ) , s ) ds t a + ò s ( X n (w , s ) , s ) dWn (w , s ) t a (3.21) Do nhiễu trắng Gauss đạo hàm hình thức chuyển động Brown, để làm xác hội tụ {z n ( , t )} đến nhiễu trắng Gauss, ta xét: a.s Wn ( , t ) ắắắ đ K ộở W ( , t ) - W ( , a ) ựỷ nđƠ đó, K số chuyển động Brown {W ( , t ) , a £ t £ T } n trình 20 Ta cần định nghĩa xấp xỉ {Wn (w , t )} đến chuyển động Brown W (w ,t ) sau: a s ® W ( , t ) Với n, hầu hết tất A1 : Vi mi t, Wn ( , t ) ắắắ nđƠ w , Wn (w , ) liên tục mẫu có biến phân bị chặn [a,T] A2 : A1 hầu hết tất w , Wn (w , ) bị chặn đều, nghĩa là: sup sup Wn (w , t ) < ¥ với w n tỴ[ a ,b] A3 : A2 với n, hầu hết tất w , Wn ( , t ) có đạo hàm liên tục W n ( , t ) A4 : Với n, Wn (w , t ) đa giác xấp xỉ W (w ,t ) định nghĩa ( Wn (w , t ) = W w , t j (n) ) ( ) (n) (n) ù t - t j é + W w , t j +1 - W w , t j ë û t ( n) - t ( n) j +1 j ( ) ( ) n t (j ) £ t £ t (j +1) n n đó, a = t0( ) < t1( ) < < tn( ) = T n ( Và max t (j +1) - t (j j n n n) n ) ắắắđ nđƠ nh lớ 3.2 [11] Cho j ( x, t ) có đạo hàm riêng liên tục ¶ ¶ j ' ( x, t ) = j ( x, t ) j ( x, t ) -¥ < x < ¥, a £ t £ b Cho ¶x ¶t {Wn (w , t )} thoả mãn A2 , thì: ® ị j ( W ( w , t ) , t ) dW ( w , t ) ò j ( W (w , t ) , t ) dW (w , t ) ¾¾¾ + ò j ' ( W (w , t ) , t ) dt (3.30) b a n n a s nđƠ b a b a Hn na, j ( x, t ) không phụ thuộc vào t, kết A1 A2 21 Định lí 3.3 [11] Cho m ( x, t ) , s ( x, t ) , s ' ( x, t ) = ¶ s ( x, t ) , v ảx ả -Ơ < x < ¥, a £ t £ b Cho s ( x, t ) liên tục ¶t m ( x, t ) , s ( x, t ) s ( x, t ) s ' ( x, t ) thoả mãn điều kiện Lipschitz đều,nghĩa f ba hàm số m, s , ss ' , thì: s ( x, t ) = f ( x, t ) - f ( y , t ) £ K x - y Cho { X n (w , t ) , t ³ a} thoả mãn (3.20), cho { X (w , t ) , t ³ a} phương trình vi phân ngẫu nhiên: dX (w , t ) = m ( X (w , t ) , t ) dt + s ( X (w , t ) , t ) dW (w , t ) (3.31) + s ( X (w , t ) , t ) s ' ( X (w , t ) , t ) dt Lấy X n (w , a ) = X (w ) = X (w , a ) , đó: X độc lập {Wt - Wa , t ³ a} a EX < ¥ Nếu {W (w , t )} thoả mãn s ( x, t ) ³ b > s ( x, t ) < K s ( x, t ) , A3 (trong phần trên) X n (w , t ) ¾¾¾ ® X (w , t ) a £ t £ b n a s nđƠ b Nu {Wn (w , t )} thoả mãn A4 EX < ¥ , thì: q m X n (w , t ) ắắắ đ X (w , t ) a Ê t Ê b nđƠ 3.4 PHNG TRèNH KHUYCH TN Trong phần này, ta xét xác suất chuyển đổi trình thoả mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên thu cách giải cặp phương trình đạo hàm riêng Các phương trình gọi phương trình tiến phương trình lùi Kolmogorov hay phương trình khuyếch tán Phương trình tiến đơi gọi phương trình Fokker- Planck Cho { X t , a £ t £ b} trình Markov, ký hiệu: ( P ( x, t x0 , t0 ) =à X t < x X t0 = x0 ) 22 Ta gọi P ( x, t x0 , t0 ) hàm chuyển q trình Nếu có hàm p ( x, t x0 , t0 ) cho P ( x, t x0 , t0 ) = ò p ( u, t x0 , t0 ) du x -¥ ta gọi p ( x, t x0 , t0 ) hàm mật độ chuyển Do { X t , a £ t £ b} trình Markov, P ( x, t x0 , t0 ) thoả mãn phương trình Chapman- Kolmogorov P ( x, t x0 , t0 ) = ò P ( x, t z , s ) dP ( z, s x0 , t0 ) ¥ -¥ Bây ta giả sử điều kiện quan trọng { X t , a £ t £ b} để lấy đạo hàm phương trình khuyếch tán Những điều kiện tương tự điều kiện (2.26) (2.27), biểu diễn cho trình lời giải phương trình vi phân ngẫu nhiên Với e dương cố định, ta định nghĩa: M k ( x, t ; e , D ) = k dP ( y, t + D x, t ) dP ( y, t + D x, t ) ò ( y - x) y - x £e M ( x, t ; e , D ) = ò ( y - x) k = 0, 1, (3.32) y - x £e Giả sử trình Markov { X t , a £ t £ b} thoả mãn điều kiện sau: é1 - M ( x, t; e , D ) ỷự ắắ ắ đ0 D0 Dë (3.33) M ( x, t ; e , D ) ắắ ắ đ m ( x, t ) D¯0 D (3.34) M ( x, t ; e , D ) ắắ ắ đ s ( x, t ) D¯0 D (3.35) M ( x, t ; e , D ) ¾¾ ¾ ®0 D¯0 D (3.36) 23 ¾ ® , Rõ ràng, - M ( x, t; e , D ) ¾¾ D¯0 Ã( X t +D - X t > e ) = ò éë1 - M ( x, t ; e , D ) ựỷ dP ( x, t ) ắắ ắ đ0 D¯0 -¥ ¥ Vì (3.33) mạnh tính liên tục theo xác suất Thêm vào đó, giả sử hàm chuyển P ( x, t x0 , t0 ) thoả mãn điều kiện: Với ( x, t ) , P ( x, t x0 , t0 ) khả vi lần theo t0 khả vi ba lần theo x0 , đạo hàm liên tục bị chặn theo ( x0 , t0 ) (3.37) Bây giờ, ta đạo hàm phương trình sau Phương trình Chapman-Kolmogorov viết dạng: P ( x, t x0 , t0 ) = ò P ( x, t z , t0 + D )dP ( z , t0 + D x0 , t0 ) Ơ -Ơ (3.38) Ta suy c: ả2 ¶ és ( x, t ) p ( x, t x0 , t0 ) ù p ( x, t x0 , t0 ) = ë û ¶t ¶x ¶ - éë m ( x, t ) p ( x, t x0 , t0 ) ùû b > t > t0 > a (3.47) ¶x Phương trình (3.47) phương trình tiến phương trình khuyếch tán, gọi phương trình Fokker-Planck Điều kiện ban đầu khơng thể là: ị ¥ -¥ f ( x ) p ( x, t x0 , t0 ) dx ắắđ f ( x0 ) t t0 "f ÎS (3.48) nghĩa p ( x, t0 x0 , t0 ) = d ( x - x0 ) Một nghiệm (3.47) thoả mãn (3.48 ) gọi nghiệm phương trình khuyếch tán 24 KẾT LUẬN Luận văn “Tích phân ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên” thực đề: a Xây dựng trình xác định tích phân ngẫu nhiên, tích phân ngẫu nhiên tổng quát phương trình vi phân ngẫu nhiên b Tìm hiểu nhiễu trắng phép tính ngẫu nhiên c Nghiên cứu phương trình khuyếch tán Hy vọng kết đề tài tiếp tục mở rộng hoàn thiện hơn, nhằm giải vấn đề tính ngẫu nhiên tích phân phương trình