TÍCH PHÂN ITÔ – WIENER NHIỀU CHIỀU . LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHI ÊN   NGUYỄN VĂN CẦN TÍCH PHÂN ITƠ – WIENER NHIỀU CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS.DƯƠNG TƠN ĐẢM TP.HỒ CHÍ MINH – 2009 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHI ÊN NGUYỄN VĂN CẦN TÍCH PHÂN ITÔ – WIENER NHIỀU CHIỀU Chuyên ngành: XÁC SUẤT – THỐNG KÊ Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS DƯƠNG TÔN ĐẢM TP.HỒ CHÍ MINH – 2009 LỜI CẢM ƠN Lời xin dành cho bậc sinh thành gia đình, người ni dưỡng, giáo dục, động viên tinh thần vật chất suốt q tr ình học tập Tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Thầy hướng dẫn – Tiến Sĩ Dương Tôn Đảm tận tình hướng dẫn, bảo khó khăn, trở ngại q trình thực luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn đến Ban Giám hiệu quý Thầy, Cơ Khoa Tốn – Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên đặc biệt Thầy: TS Tô Anh Dũng, PGS.TS Nguyễn Bác Văn, GS.TSKH Nguyễn Duy Tiến , GS.TSKH Nguyễn Văn Thu tận tình giảng dạy, giúp đỡ, tạo điều kiện tốt cho suốt thời gian theo học Cao học trường thời gian thực luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy hội đồng chấm luận văn Thầy phản biện đọc đóng góp cho tơi ý kiến quý báu Tôi không kể đến giúp đỡ nh iệt tình bạn Cao học chuyên ngành Xác Suất Thống Kê khóa 16 Tp.Hồ Chí Minh, tháng 03 năm 2009 Tác giả Nguyễn Văn Cần LỜI MỞ ĐẦU Trong luận văn này, chủ yếu nghiên cứu tích phân ngẫu nhi ên Itơ – Wiener chiều, tích phân ngẫu nhi ên Itơ – Wiener nhiều chiều lớp tích phân ngẫu nhiên theo q trình Lévy Trong tích phân ng ẫu nhiên Itô - Wiener chiều tích phân ngẫu nhiên Itơ – Wiener nhiều chiều xây dựng dựa tính chất q trình Wiener (hay trình chuy ển động Brown) Luận văn gồm chương: Chương I: Phần đầu trình bày kiến thức sở để chuẩn bị cho việc sử phần luận văn nh là: khơng gian xác suất sở, q trình ngẫu nhiên liên tục, trình ngẫu nhiên đo được, định lý hội tụ xác suất, vv… Phần l nội dung nghiên cứu luận văn, phần n ày ta xây dựng tích phân ngẫu nhiên Itơ – Wiener chiều hàm dựa vào việc xấp xỉ hàm dãy hàm sơ cấp (hay hàm bậc thang), trình bày số tính chất tích phân ngẫu nhi ên Itơ – Wiener chiều Tiếp theo, ta nghiên cứu số tính chất vi phân ngẫu nhi ên Itơ, phần ta đưa số công thức vi phân ngẫu nhi ên Itơ đặc biệt, cơng cụ tuyệt vời cho việc tính tích phân ngẫu nhiên hay phương trình vi phân ngẫu nhiên thường gặp tốn tài kĩ thuật ngày lý thuyết giải tích ngẫu nhiên xâm nhập vào tất lĩnh vực Chương II: Phần đầu trình bày việc xây dựng tích phân ngẫu nhi ên Itô – Wiener nhiều chiều dựa vào công thức tích phân Itơ lặp nghĩa tích phân Itơ – Wiener nhiều chiều tích phân Itơ lặp có mối liên hệ qua lại với nhau, để tính tích phân Itơ – Wiener nhiều chiều thực chất tính tích phân Itơ lặp Tiếp theo, trình bày cách xác định đa thức Hermite v tính chất quan trọng Phần cuối kết đặc biệt, l mối liên hệ tích phân ngẫu nhiên Itơ – Wiener nhiều chiều đa thức Hermite nghĩa đa thức Hermite biểu diễn thành tích phân ngẫu nhiên Itơ – Wiener nhiều chiều Chương III: Phần đầu trình bày tích phân ngẫu nhiên theo q trình Lévy, để xây dựng tích phân trước hết ta đưa khái niệm, tính chất q tr ình Lévy sau ta tiến hành xây dựng tích phân ngẫu nhiên theo trình Lévy đưa tính chất tích phân Tiếp theo trình bày phần ứng dụng trình Lévy tài b ằng việc sử dụng biến đổi Esscher (biến đổi Esscher biến đổi từ độ đo xác suất sở P tương đương địa phương độ đo Q theo trình mật độ Z t  dQ ) dP Ft Mục luc Trang Lời cảm ơn……………………………………………………………………… …1 Lời nói đầu………………………………………………………………… ………2 Mục lục…………………………………………………………………… ……….4 Bảng ký hiệu……………………………………………………………… ……….8 Chương I: Tích Phân Itơ – Wiener Một Chiều …………………….…… 10 §1.1 Những khái niệm bản……………………………………………… ……10 1.1.1 Định nghĩa   đại số………………………………………… … 10 1.1.2 Định nghĩa không gian xác suất……… …………………………… 10 1.1.3 Định nghĩa biến ngẫu nhiên…………………………………… … 11 1.1.4 Định nghĩa trình ngẫu nhiên……………………………… …….11 1.1.5 Định nghĩa liên tục ngẫu nhiên………………………………… ……12 1.1.6 Định nghĩa trình ngẫu nhiên đo được………………………… 12 1.1.7 Định nghĩa lọc……………………………………………… ……12 1.1.8 Định nghĩa matingale…………………………………………… … 13 1.1.9 Định nghĩa trình ngẫu nhiên đo dần………………………13 1.1.10.Định nghĩa hội tụ theo xác suất………………………………… … 14 1.1.11.Định nghĩa hội tụ hầu chắn………………………………… ….14 1.1.12.Định lý hội tụ bị chặn (hội tụ bị trội)……………………………… 14 §1.2 Tích phân Itơ – Wiener chiều………… ………………………… 15 1.2.1 Định nghĩa lịch sử tương lai trình Wiener… ………… 15 1.2.2 Định nghĩa……………………………………………… ………… 16 1.2.3 Định nghĩa…………………………………………… …………… 16 1.2.4 Định nghĩa khơng gian hàm bình phương khả tích ……………… 16 1.2.5 Định nghĩa hàm sơ cấp.…………………………………………… 17 1.2.6 Định nghĩa tích phân ngẫu nhi ên Itơ hàm sơ cấp……………… 17 1.2.7 Bổ đề xấp xỉ hàm hàm sơ cấp………………… .17 1.2.8 Định nghĩa tích phân ngẫu n hiên Itô hàm bất kỳ……………… 18 1.2.9 Các tính chất tích phân ngẫu nhiên Itơ……………………… … 18 1.2.10.Ví dụ……………………………………………………… …………21 §1.3 Vi phân ngẫu nhiên Itô………………………………………………… … 23 1.3.1 Định nghĩa………………………………………………… ……… 23 1.3.2 Định lý công thức vi phân Itô chiều………………………… ….24 1.3.3 Ví dụ…………………………………………………… ……………28 1.3.4 Tính chất cơng thức vi phân tích hai q trình ngẫu nhiên…… 28 1.3.5 Ví dụ………………………………………………………… ………30 1.3.6 Tính chất cơng thức vi phân……………………………………… …31 1.3.7 Ví dụ…………………………………………………………… ……31 1.3.8 Tính chất cơng thức vi phân……………………………………… …32 1.3.9 Ví dụ……………………………………………………………… …33 1.3.10.Tính chất cơng thức tích phân phần………………………… …34 1.3.11.Ví dụ………………………………………………………… ………34 1.3.12.Tính chất cơng thức vi phân vec tơ – Itơ………………………… ….34 1.3.13.Tính chất công thức vi phân Itô nhiều chiều…………………… … 35 §1.4 Ứng dụng tài chính………………………………………………… 36 1.4.1 Đạo hàm bậc công thức Black – Scholes……………… 37 1.4.2 Ví dụ…………………………………………………………… ……39 1.4.3 Kỳ vọng phương sai q trình Cox – Ingersoll – Ross………41 Chương II: Tích Phân Itơ - Wiener Nhiều Chiều …………………… 44 §2.1 Tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener nhiều chiều… …………………… 44 2.1.1 Định nghĩa hàm đối xứng……………………………………………44 2.1.2 Định nghĩa………………………………………………………… 44 2.1.3 Ví dụ………………………………………………………… ………45 2.1.4 Định nghĩa tích phân Itơ lặp……………………………………… …45 2.1.5 Định nghĩa tích phân Itơ – Wiener nhiều chiều ……………………47 §2.2 Đa thức Hermite………………………………………………………… ….48 2.2.1 Tính chất cơng thức đa thức hermite……………………………… 48 2.2.2 Tính chất đệ qui…………………………………………………… 49 2.2.3 Tính chất………………………………………………………… 50 2.2.4 Tính chất trực giao………………………………………………… 52 2.2.5 Tính chất đa thức Hermite biểu diễn thành tích phân Itơ – Wiener nhiều chiều………………………………………………… …… 55 Chương III: Khái Niệm Mở Rộng Về Tích Phân Ngẫu Nhiên…………58 §3.1 Q trình Levy…………………………………………………………… 58 3.1.1 Định nghĩa trình Levy……………………………………… … 58 3.1.2 Định lý tính chất q trình Levy………………………… ….58 3.1.3 Định lý biểu diễn Levy – Khintchine…………………………… … 60 §3.2 Tính chất Markov mạnh trình Levy……………………………… 60 3.2.1 Định nghĩa thời điểm dừng………………………………………… 61 3.2.2 Bổ đề…………………………………………………………… ……61 3.2.3 Bổ đề……………………………………………………… …………62 3.2.4 Tính chất………………………………………………… ………… 63 3.2.5 Tính chất……………………………………………… …………… 64 3.2.6 Định lý……………………………………………… ……………….65 §3.3 Tích phân ngẫu nhiên theo q trình Levy………………………………… 66 3.3.1 Định nghĩa tích phân hàm bậc thang……………………………… 66 3.3.2 Tính chất……………………………………………… …………… 67 3.3.3 Định nghĩa tích phân ngẫu nhi ên theo trình Levy…………… …69 3.3.4 Tính chất……………………………………………………… …… 69 3.3.5 Tính chất cơng thức tích phân phần…………………………… 70 3.3.6 Ví dụ…………………………………………………………… ……71 §3.4 Ứng dụng tài chính………………………………………………… 71 3.4.1 Định nghĩa biến đổi Esscher………………………………………… 72 3.4.2 Tính chất…………………………………………………………… 73 3.4.3 Tính chất………………………………………………………… … 74 3.4.4 Tính chất……………………………………………………… …… 76 3.4.5 Tính chất…………………………………………………… ……… 78 Kết luận………………………………………………………………………… 80 Tài liệu tham khảo 81 BẢNG KÝ HIỆU d không gian Euclide d  chiều B  d  Borel   đại số  d P   hội tụ theo xác suất h.c.c hầu chắn d  theo phân phối exp  x  ex 1A  x  hàm tiêu: = x  A = x  A Ft X   trường sinh biến ngẫu nhiên  toán tử Laplace: f   X t   , Ft X    X s ,0  s  t  d i  o  t  t0  B  F 2 f xi2  f f  toán tử Gradient: f   , ,  xd   x1 hàm vơ bé có bậc cao bậc t  t0   trường tích nhỏ chứa tập có dạng  0,t   A với t   , A  F  chuẩn không gian Banach loc  tương đương địa phương mgf    hàm sinh moment ˆ  z  hàm đặc trưng phân phối  T Thời điểm dừng:  : T     t  F , t  0,   t  kết thúc chứng minh Chương I 10 Luận văn thạc sĩ tốn học CHƯƠNG I TÍCH PHÂN ITƠ - WIENER MỘT CHIỀU §1.1 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trước vào nội dung luận văn, ta nhắc lại kiến thức dạng kết mà không chứng minh Đây kiến thức cần thiết sử dụng cho phần luận văn Định nghĩa 1.1.1: σ − đại số Giả sử A lớp tập Ω , A gọi σ − đại số (hay σ − trường) nếu: (i) Ω∈A ; (ii) A ∈ A ⇒ Ac ∈ A ; (iii) Ak ∈ A , k = 1, 2, ∞ ⇒ ∪ Ak ∈ A k =1 Định nghĩa 1.1.2: Không gian xác suất Cho Ω tập hợp, F σ − đại số tập Ω , P độ đo F Khi ba ( Ω, F , P ) gọi không gian đo Nếu P ( Ω ) = ( Ω, F , P ) gọi không gian xác suất Cho không gian xác suất ( Ω, F , P ) , tập A ∈F gọi biến cố (hay kiện) P [ A] gọi xác suất biến cố A Tập hợp tất tập Borel d , ký hiệu B ( d ) gọi Borel σ − đại số d Một hàm Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 11 thực f ( x ) gọi đo B ( d d độ đo xác suất d F độ đo xác suất ) − đo Ta nói F ( d ,B ( d )) Định nghĩa 1.1.3: Biến ngẫu nhiên Cho ( Ω, F , P ) không gian xác suất, ánh xạ X : Ω → d ngẫu nhiên B ∈B ( d d suất B ( d d d ) biến F − đo được, tức {ω : X ( ω) ∈ B} ∈ F cho ) , B ( ) Borel σ − đại số Cho B ∈ B ( d d ) , ta viết P ⎡ω ⎣ : X ( ω) ∈ B ⎤⎦ tương đương P ( X ∈ B ) Độ đo xác gọi phân phối d Nếu hai biến ngẫu nhiên X , Y d có phân phối, tức PX = PY ta viết X = Y Định nghĩa 1.1.4: Quá trình ngẫu nhiên Họ đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị d : { X t : t ≥ 0} xác định không gian xác suất ( Ω, F , P ) gọi trình ngẫu nhiên Để đơn giản ta thường ký hiệu X t (hoặc ký hiệu sau: X ( t ) , X t (ω ) , X ( t , ω ) ) • Nếu cố định thời điểm t , ≤ t1 < t2 < < tm đó: P ⎡⎣ X ( t1 ) ∈ B1 , , X ( tm ) ∈ Bm ⎤⎦ xác định độ đo xác suất B (( ) d m ) • Họ độ đo xác suất với cách chọn t1 , , tm ; m ∈ N , gọi phân phối hữu hạn chiều trình X t Ta ký hiệu là: Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 12 Ft1 , ,tm ( x1 , , xm ) = P ⎡⎣ X ( t1 ) < x1 , , X ( tm ) < xm ⎤⎦ (1.1) Định nghĩa 1.1.5: Liên tục ngẫu nhiên Quá trình ngẫu nhiên X t gọi liên tục ngẫu nhiên nếu: lim P ( X s − X t > ε ) = 0; s →t ∀ε > 0; ∀t ∈ [ 0, ∞ ) (1.2) Định nghĩa 1.1.6: Quá trình ngẫu nhiên đo Ta nói q trình X t đo ánh xạ: Xt : ( + × Ω, B + ⊗ F ) → ( , B ) đo σ − trường tích B + ⊗ F Trong B + ⊗ F σ − trường nhỏ chứa tập có dạng [ 0, t ] × A với t∈ + , A∈F • Mọi q trình X t liên tục đo Định nghĩa 1.1.7: Bộ lọc (1) Họ σ − trường Ft ⊂ F gọi lọc thỏa điều kiện sau: i Fs ⊂ Ft ii Ft = ∩ Ft +ε ε >0 ∀0 ≤ s ≤ t < ∞ (họ tăng) ∀ε > (họ liên tục phải) (1.3) (1.4) Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 13 iii Nếu A ∈ F P ( A ) = ⇒ A ∈ F0 (2) (1.5) Khi bổ sung vào không gian xác suất lọc {Ft } ta gọi khơng gian lọc ký hiệu ( Ω, F , ( Ft ) , P ) (3) Quá trình ngẫu nhiên {Ft : t ≥ 0} với t ≥ 0, X t { X t : t ≥ 0} gọi thích nghi với lọc Ft − đo Định nghĩa 1.1.8: Matingale Cho trình ngẫu nhiên {M t , t ≥ 0} thích nghi với lọc {Ft : t ≥ 0} thỏa điều kiện sau: E Mt < ∞ ∀t ≥ h c E ( M t / Fs ) = M s (1.6) ∀ 0≤s≤t 0, lim P ⎡⎣ X n − X > ε ⎤⎦ = n →∞ (1.9) P Ký hiệu là: X n → X Định nghĩa 1.1.11: Hội tụ hầu chắn Một dãy biến ngẫu nhiên { X n } gọi hội tụ hầu chắn đến X , ký hiệu: X n → X h.c.c P ⎡ lim X n ( ω) = X ( ω) ⎤ = ⎣ n→∞ ⎦ (1.10) Định lý 1.1.12: Hội tụ bị chặn (hội tụ bị trội) Nếu tất X n , với ω , bị trội giá trị tuyệt đối biến ngẫu nhiên dương Y có kỳ vọng hữu hạn: Xn ≤ Y ∀n, E (Y ) < ∞ (1.11) Chương I 15 X n → Z h.c.c Luận văn thạc sĩ toán học E ( X n ) → E ( Z ) n → ∞ (1.12) §1.2 TÍCH PHÂN ITƠ – WIENER MỘT CHIỀU Trong thực tế có nhiều tốn dẫn đến nhu cầu phải tính tốn loại tích b phân có dạng tạm ký hiệu I = ∫ f ( t , ω ) dWt , f ( t , ω ) hàm ngẫu a nhiên (hay trình ngẫu nhiên), cịn Wt q trình Wiener Do nhu cầu mà vào khoảng năm 1940 – 1941, nhà tốn học K Itơ đưa cách xây dựng tích phân ngẫu nhiên dựa theo nguyên tắc “ ánh xạ đẳng cự “, tích phân mang tên ơng Sau tích phân ngẫu nhiên Itơ nhà toán học giới quan tâm, nghiên cứu đặc biệt ứng dụng lĩnh vực tài chính, chứng khốn, vv… Năm 2006, K Itơ hội tốn học giới tặng giải thưởng Gauss Để xây dựng tích phân ngẫu nhiên Itơ – Wiener chiều trước tiên ta định nghĩa tích phân Itơ cho hàm sơ cấp L2 ( 0, T ) , ta xấp xỉ hàm ngẫu nhiên L2 ( 0, T ) dãy hàm sơ cấp L2 ( 0, T ) , sau qua phép tốn lấy giới hạn ta định nghĩa tích phân ngẫu nhiên Itơ – Wiener chiều hàm L2 ( 0, T ) Cho W ( • ) q trình Wiener xác định không gian xác suất ( Ω, F , P ) Định nghĩa 1.2.1: Lịch sử tương lai trình Wiener (i) σ − đại số W ( t ) := F (W ( s ) | ≤ s ≤ t ) gọi lịch sử trình Wiener theo thời gian t Chương I (ii) 16 Luận văn thạc sĩ toán học σ − đại số W + ( t ) := F (W ( s ) − W ( t ) | s ≥ t ) gọi tương lai trình Wiener theo thời gian t Định nghĩa 1.2.2: Họ F ( • ) σ − đại số ⊆ F gọi thích nghi (đối với W ( • ) ) nếu: (i) F (t ) ⊇ F ( s ) (ii) F (t ) ⊇ W (t ) (iii) F ( t ) độc lập W + ( t ) ∀t ≥ s ≥ (1.13) ∀t ≥ (1.14) ∀t ≥ Định nghĩa 1.2.3: Quá trình ngẫu nhiên thực G ( • ) gọi thích nghi (đối với F ( • ) ) t ≥ , G ( • ) F ( t ) đo Định nghĩa 1.2.4: Khơng gian hàm bình phương khả tích (i) Ta ký hiệu L2 ( 0, T ) không gian tất hàm ngẫu nhiên G ( • ) bình ⎡T ⎤ phương khả tích nhận giá trị thực cho: E ⎢ ∫ G dt ⎥ < ∞ ⎣0 ⎦ (ii) Ngược lại, L1 ( 0, T ) không gian tất hàm F ( • ) đo liên tục nhận ⎡T ⎤ giá trị thực cho: E ⎢ ∫ F dt ⎥ < ∞ ⎣0 ⎦ Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 17 Định nghĩa 1.2.5: Hàm sơ cấp Hàm G ∈ L2 ( 0, T ) gọi hàm sơ cấp tồn khoảng Ρ = {0 = t0 < t1 < < tm = T } cho G ( t ) ≡ Gk , tk ≤ t < tk +1 ( k = 0,1, , m − 1) Thì Gk biến ngẫu nhiên đo F ( tk ) G thích nghi Định nghĩa 1.2.6: Tích phân ngẫu nhiên Itô hàm sơ cấp Cho G ∈ L2 ( 0, T ) hàm sơ cấp trên, ta định nghĩa tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener chiều sau: T m −1 k =0 ∫ G dW := ∑ Gk (W ( tk +1 ) − W ( tk ) ) (1.15) tích phân ngẫu nhiên Itơ G khoảng ( 0,T ) Bổ đề 1.2.7: Xấp xỉ hàm hàm sơ cấp Nếu G ∈ L2 ( 0, T ) tồn dãy hàm sơ cấp G n ∈ L2 ( 0, T ) cho ⎡T ⎤ E ⎢ ∫ G − G n dt ⎥ → ⎣0 ⎦ (1.16) Chứng minh Nếu t G ( t , ω ) liên tục hầu hết với ω ta đặt ⎛k⎞ G n ( t ) := G ⎜ ⎟ , ⎝n⎠ k k +1 , ≤t < n n k = 0, , [ nT ] (1.17) Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 18 Tổng quát, G ∈ L ( 0, T ) ta định nghĩa G t m ( t ) := ∫ m em( s −t )G ( s ) ds (1.18) Thì G m ∈ L2 ( 0, T ) , t G m ( t , ω ) liên tục hầu hết với ω T ∫G m − G dt → hầu chắn Định nghĩa 1.2.8: Tích phân ngẫu nhiên Itơ hàm Ta xét lớp hàm ngẫu nhiên bình phương khả tích F (t ) đo Đối với hàm lớp nêu tồn dãy hàm ngẫu nhiên hội tụ nó, ta định nghĩa tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener chiều biểu thức: T T ∫ G dW := lim ∫ G n →∞ n dW tồn L2 ( 0, T ) (1.19) Định lý 1.2.9: Các tính chất tích phân Itơ Cho a, b ∈ G , H ∈ L2 [ 0, T ] ta có: i Tính chất tuyến tính tích phân Itơ: T T T 0 ∫ ( a G + b H ) dW = a ∫ G dW + b ∫ H dW (1.20) ii Tính chất kỳ vọng khơng tích phân Itơ: ⎡T ⎤ E ⎢ ∫ G dW ⎥ = ⎣0 ⎦ (1.21)