BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG. LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Đặng Minh Thế BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Đặng Minh Thế BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN CAM Thành phố Hồ Chí Minh 2012 MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục PHẦN MỞ ĐẦU Chương BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN 1.1 Định nghĩa biến đổi Laplace ví dụ 1.2 Điều kiện tồn cho biến đổi Laplace 1.3 Các tính chất biến đổi Laplace 1.4 Định lý tích chập 12 1.5 Đạo hàm tích phân biến đổi Laplace 14 1.6 Biến đổi Laplace ngược ví dụ 17 1.7 Định lý giá trị đầu, định lý giá trị cuối 32 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BIẾN ĐỔI LAPLACE .34 2.1 Nghiệm phương trình vi phân thường 34 2.2 Phương trình đạo hàm riêng 56 2.3 Nghiệm phương trình tích phân 73 2.4 Nghiệm toán giá trị biên 77 2.5 Nghiệm phương trình sai phân vi sai phân 82 2.6 Hàm chuyển hàm đáp ứng xung hệ thống tuyến tính 90 PHỤ LỤC MỘT SỐ KIẾN THỨC ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN 95 A Các hàm đặc biệt 95 A.1 Hàm Gamma 95 A.2 Hàm Dirac Delta 98 B Một số định lý quan trọng 99 KẾT LUẬN 105 TÀI LIỆU THAM KHẢO 106 PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Biến đổi Laplace phép biến đổi tích phân quan trọng Ứng dụng lớn để giải phương trình vi phân tốn liên quan (bài toán giá trị biên toán điều kiện đầu) Nguồn gốc ứng dụng chỗ biến đổi Laplace cho phép chuyển từ phép tính vi tích phân hàm sang phép tính đại số ảnh hàm qua biến đổi Laplace Các phép biến đổi cho phép chuyển gọi chung phép tính tốn tử (operational calculus) Biến đổi Laplace đặt theo tên nhà toán học thiên văn học tiếng người Pháp Pierre Simon Laplace (1749-1827) Laplace nghiên cứu vấn đề vào năm 1782 Tuy nhiên tính hữu dụng phương pháp không công nhận Kỹ thuật thực tế để áp dụng biến đổi Laplace hiệu phát triển khoảng trăm năm sau kỹ sư điện người Anh Oliver Heaviside (1850-1925) Vì biến đổi Laplace cịn gọi phép tính Heaviside (Heaviside calculus) Việc tìm hiểu lý thuyết Laplace số ứng dụng đề tài có ý nghĩa cho học viên cao học Vì giúp đỡ hướng dẫn thầy Ts Nguyễn Cam, định chọn đề tài “ Biến đổi Laplace số ứng dụng” làm đề tài nghiên cứu Mục tiêu đề tài Trình bày lý thuyết biến đổi Laplace định nghĩa, tính chất, biến đổi Laplace ngược số phương pháp tìm biến đổi Laplace thông dụng Ứng dụng biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân thường, phương trình vi phân đạo hàm riêng, phương trình sai phân vi sai phân,…và toán liên quan thường xuất vật lí khoa học kĩ thuật 2 Phương pháp nghiên cứu Thu thập báo khoa học, sách có liên quan đến đề tài luận văn, tìm hiểu chúng trình bày kết đề tài theo hiểu biết mình, theo hệ thống khoa học với chứng minh chi tiết Sử dụng kết Hàm biến phức, Biến đổi tích phân,… Bố cục luận văn Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm có ba phần CHƯƠNG BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN Trong chương chúng tơi trình bày vấn đề biến đổi Laplace định nghĩa, tính chất, điều kiện tồn biến đổi Laplace số phương pháp tìm biến đổi Laplace ngược hàm ảnh cho CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BIẾN ĐỔI LAPLACE Trong chương này, chúng tơi trình bày ứng dụng biến đổi Laplace vào việc giải phương trình • Phương trình vi phân thường, • Phương trình đạo hàm riêng, • Phương trình tích phân, • Phương trình sai phân phương trình vi sai phân Ngồi ra, chúng tơi trình bày ứng dụng biến đổi Laplace vào việc nghiệm toán giá trị biên, tìm hàm chuyển đáp ứng xung hệ thống tuyến tính PHỤ LỤC MỘT SỐ KIẾN THỨC ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN Chương BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN 1.1 Định nghĩa biến đổi Laplace ví dụ Biến đổi Laplace hàm số f ( t ) với ≤ t < ∞ hàm phức định nghĩa tích phân suy rộng L (s) ( t )} f= { f= ∞ ∫e − st f ( t ) dt (1.1.1) Phép biến đổi Laplace hàm f ( t ) tồn tích phân (1.1.1) hội tụ với giá trị s thuộc miền Trường hợp ngược lại ta nói phép biến đổi Laplace hàm số f ( t ) không tồn Ta gọi hàm f ( t ) định nghĩa hàm gốc hàm biến đổi f ( s ) hàm ảnh Sử dụng định nghĩa (1.1.1) ta có biến đổi Laplace số hàm sau Ví dụ 1.1.1 Nếu f ( t ) = với t > = L {1} ∞ e dt ∫= − st T lim ∫ e − st dt T →∞   T 1  lim  − e − st  lim  − e − sT  = = T →∞ T →∞  s t=0 s s  Do Re s > giới hạn tồn L {1} = s Ví dụ 1.1.2 Nếu f ( t ) = e at , a số thực ta có (1.1.2 ) L {= e } at f= (s) ∞ ∫e − ( s − a )t dt = − ( s − a )t ∞ , = e t =0 a−s s−a Re s > a (1.1.3) Ví dụ 1.1.3 Nếu f ( t ) = t n , n số nguyên dương ta có f ( s ) L= = {t n } n! s n +1 (1.1.4 ) Thật vậy, ta có ∞ 1∞ n I n = ∫ e t dt = − ∫ t d ( e − st ) s0 − st n ∞ n∞ = − ( t n e − st ) + ∫ t n −1e − st dt t =0 s s0 n ∞ n −1 − st n t e dt I n −1 = = ∫ s0 s Do L {t } = I n n = n n!  n!  I n −1 = ⋅ ⋅ ⋅ =  n  I = n +1 , s s s  với I = s Ví dụ 1.1.4 Nếu f ( t ) = sin at , a số thực ta có L {sin at} = a , s2 + a2 Thật vậy, ta đặt I L= = {sin at} ∞ ∫e Ta có − st sin atdt (1.1.5) ∞ s∞ I= − e − st cos at − ∫ e − st cos atdt a a0 t =0 ∞  s  − st s ∞ − st = −  e sin at + ∫ e sin atdt  a a  a a0  t =0 s ∞ − st s2 = − ∫ e sin atdt = − I a a a a2 Do s2 I= − I a a2  s2  ⇔ 1 +  I = a  a  Suy L {sin at}= I= a s + a2 1.2 Điều kiện tồn cho biến đổi Laplace Hàm f gọi hàm gốc thỏa mãn ba điều kiện sau i) f bị triệt tiêu t < , ii) f liên tục khúc (piecewise continous) [ 0,∞ ) , iii) f không tăng nhanh hàm mũ t → ∞ nghĩa tồn số M > α > cho f ( t ) ≤ Meα t , ∀t ≥ Số α = inf α , với tất α thỏa mãn (iii) gọi số tăng hàm f Chú ý số α khơng thỏa (iii) Hàm số f gọi liên tục khúc [ 0,∞ ) hàm f liên tục điểm thuộc [ 0,∞ ) ngoại trừ số hữu hạn điểm gián đoạn, đồng thời điểm t mà f không liên tục f ( t + ) f ( t − ) tồn 6 Định lý 1.2.1 Nếu f ( t ) hàm gốc với số tăng α biến đổi Laplace f ( t ) tồn với s thỏa Re s > α Chứng minh Do f hàm gốc với số tăng α nên tồn số M > cho f ( t ) ≤ Me(α +ε )t , ∀t ≥ Ta có ∞ ∞ −( x −α − st ∫ e f ( t ) dt ≤ M ∫ e 0 −ε )t dt ∞ Me −( x −α −ε )t M , = = x − α0 − ε − ( x − α − ε ) t =0 Chọn ε > cho Re s =x > α + ε Do biến đổi Laplace tồn tích phân (1.1.1) hội tụ tuyệt đối Re s > α Chú ý a) Tích phân (1.1.1) gọi hội tụ tuyệt đối ∞ ∫e − st f ( t ) dt < ∞ b) Tích phân (1.1.1) gọi hội tụ s miền xác định Ω mặt phẳng phức ε > , tồn số τ cho với τ ≥ τ ∞ ∫τ e − st f ( t ) dt < ε với s Ω Định lý 1.2.2 Cho f hàm gốc có số tăng α Khi biến đổi Laplace ∞ ∫e − st (1.1.6 ) f ( t ) dt hội tụ miền {s Re s > α } , α > α Chứng minh Ta sử dụng tiêu chuẩn weierstrass [Định lý B.3 – Trang 103] để chứng minh định lý Thật vậy, Do f hàm gốc có số tăng α nên tồn số M > cho f ( t ) ≤ Me(α +ε )t , t≥0 Khi e − st f ( t ) ≤ Me − ( x −α −ε )t ≤ Me − (α −α −ε )t , Re s= x ≥ α ta chọn ε đủ nhỏ để α > α + ε ∞ Do ∫ e − (α −α −ε )t dt hội tụ với α > α + ε nên theo tiêu chuẩn weierstrass ta có tích phân (1.1.6 ) hội tụ miền {s Re s ≥ α } , α > α Định lý 1.2.3 Cho f hàm gốc có số tăng α Khi f ( s ) hàm giải tích miền Re s > α Chứng minh Ta có ∂ − st f ( t ) ) dt ∫0 ∂s ( e = ∞ ∞ ∫ f ( t ) e ( −t ) dt , − st Do f hàm gốc có số tăng α nên ta có ( −t ) e− st f ( t ) ≤ tMe−( x−α −ε )t ≤ Me−(α −α −δ )t , Re s= x ≥ α1 δ > chọn đủ nhỏ để α1 > α + δ ∞ Do tích phân ∫e − (α1 −α −δ )t dt hội tụ nên theo tiêu chuẩn Weierstrass ta có tích ∞ phân ∂ ∫ ∂s ( e − st f ( t ) ) dt hội tụ miền {s Re s ≥ α1} , với α1 , α1 > α ∞ Như ta có tích phân ∫ e − st f ( t ) dt hội tụ tích phân ∞ ∂ ∫ ∂s ( e − st f ( t ) ) dt hội tụ miền {s Re s ≥ α1} , với α1 , α1 > α nên theo [Định lý B.4 – Trang 103] ta có hàm ảnh có đạo hàm ∂ − st ( e f ( t ) ) dt , ∂ s ∞ f ′( s) = ∫ điểm s thuộc miền Do f ( s ) giải tích miền Re s > α 1.3 Các tính chất biến đổi Laplace Định lý 1.3.1 (Tính chất tuyến tính) Cho hàm gốc f k với số tăng α k , biến đổi Laplace f k , k = 1, 2, , n Khi biến đổi Laplace hàm tổ hợp tuyến tính f hàm f k n f ( t ) = ∑ ck f k ( t ) , với ck số k =1 hàm f xác định n f ( s ) = ∑ ck f k ( s ) , k =1 (1.3.1) với miền xác định Re s > max α k Chứng minh Suy từ định nghĩa tính chất tuyến tính tích phân Ví dụ 1.3.1 Từ kết ví dụ 1.1.2 tính chất tuyến tính ta có biến đổi Laplace hàm sau a) Ta có L= {sin α t} L  ( eiα t − e−iα t )   2i  1 1  = − 2i  s − iα s + iα  = α s2 + α Re s > Im α , b) Tương tự ta có s 1  , t} L  ( eiα t + e − iα t )= L {cos α=  2 2  s +α s 1  c) L {cosh α= t} L  ( eα t + e −α t )= ,  2 2  s −α Re s > Im α Re s > Re α α 1  d) L {sinh α= , t} L  ( eα t − e −α t )=  2 2  s −α Re s > Re α Định lý 1.3.2 (Tính chất đồng dạng) Cho L { f ( t )} = f ( s ) , f hàm gốc có số tăng α c > số Khi s f  , c c L { f ( ct )} = Re s > cα (1.3.2 ) Chứng minh ∞ L { f ( ct )} = e − st f ( ct ) dt ∫= ∞ − su c s e= f ( u ) du f   ∫ c0 c c Định lý 1.3.3 (Tính chất dịch chuyển ảnh) Nếu L { f ( t )} = f ( s ) , L f có số tăng α {e f ( t )} = at f (s − a), Re s > α + Re a Chứng minh Theo định nghĩa ta có t )} L {e f (= at ∞ ∫e Ví dụ 1.3.2 −( s − a )t f (t = ) dt f ( s − a ) (1.3.3) 10 Các kết nhận dễ dàng từ công thức (1.3.3) L {t n e at } = n! ( s − a) = L {e at sin bt} = L {e at cos bt} b (s − a) + b2 s−a ( s − a) (1.3.4 ) Re s > Re a , n +1 + b2 Re s > Im b + Re a , (1.3.6 ) Re s > Im b + Re a , (1.3.5) Định lý 1.3.4 Nếu L L { f ( t )} = f ( s ) a )} { f (t − a ) H (t − = e − as f = ( s ) e− as L { f ( t )} , a>0 (1.3.7 ) hay L − a )} { f ( t ) H ( t= { f ( t + a )} , e − as L (1.3.8) H ( t − a ) hàm bước nhảy đơn vị Heaviside định nghĩa t>a t α (1.3.11) 12 Chứng minh Theo định nghĩa ta có L ∞ { f ′ ( t )} = ∫ e− st f ′ ( t ) dt , Giả sử f hàm gốc có số tăng α Khi lim f ( t ) e − st ≤ lim e − xt f ( t ) ≤ M lim e −( x −α t →∞ t →∞ −ε )t t →∞ Re s = x > ε + α = 0, Tích phân phần tích phân ta = L { f ′ ( t )}  e − st ∞ ∞ f ( t )  t =0 + s ∫ e − st f ( t ) dt = s f ( s ) − f ( 0) , Tương tự ta có L = { f ′′ ( t )} sL { f ′ ( t )} − f ′ ( ) = s ( sf ( s ) − f ( ) ) − f ′ ( ) = s f ( s ) − sf ( ) − f ′ ( ) Tổng quát Cho L { f ( t )} = f ( s ) Giả sử f ( t ) , f ′ ( t ) , , f ( ) ( t ) , f ( ) ( t ) n −1 n hàm gốc ta có L ) ( t )} { f (= n s n f ( s ) − s n −1 f ( ) − s n − f ′ ( ) − ⋅⋅⋅ − f n −1 ( ) 1.4 Định lý tích chập Định lý 1.4.1 (Định lý tích chập) Cho f g hàm gốc có số tăng α , β Khi L {= f ( t ) ∗ g ( t )} L )} L { g ( t )} { f ( t= f (s) g (s) (1.4.1) f ( t ) ∗ g ( t ) gọi tích chập f ( t ) g ( t ) định nghĩa tích phân f (t ) ∗ g (t ) = t ∫ f ( t − τ ) g (τ ) dτ (1.4.2 ) 13 Ta ghi tắt f ( t ) ∗ g ( t ) = ( f ∗ g )( t ) Chứng minh Với t > 0, ε > t) ( f ∗ g )(= t ∫ t f (τ ) g ( t − τ ) dτ ≤ ∫ f (τ ) g ( t − τ ) dτ t ≤ M ∫ e (α +ε )τ ( β0 +ε )( t −τ ) e 0 0 (α + ε ) t   M 1e ≤ (β   M 2e t dτ = Me( β +ε )t ∫ e(α − β )τ dτ +ε α ≥ β0 , )t β0 > α , , (1.4.3) bất đẳng thức sau có cách tính trực tiếp tích phân Vậy f ∗ g hàm gốc có số tăng γ ≤ max {α , β } Ta có  ∞ − sτ  ∞ − su  L { f ( t )}.L { g ( t )} =  ∫ e f (τ ) dτ  ∫ e g ( u ) du  0    ∞ − s(τ +u )  = ∫∫e f (τ ) g ( u ) du  dτ 00  ∞ Đặt t= τ + u , du = dt với τ cố định Khi ta có  ∞ − st  L { f= ( t )} L { g ( t )} ∫  ∫ e f (τ ) g ( t − τ ) dt  dτ 0τ  ∞ (1.4.4 ) Do g= ( t ) 0, t < g ( t − τ )= 0, t < τ ta viết lại (1.4.4 ) sau L ∞ ∞ ( t )}.L { g ( t )} ∫ ∫ e { f= − st f (τ ) g ( t − τ ) dt dτ 0 Do biến đổi Laplace f g hội tụ nên ta đổi thứ tự lấy tích phân [Định lý B.2 – Trang 102] 14 L ∞ ∞ ( t )} L { g ( t )} ∫ ∫ e {f= − st f (τ ) g ( t − τ ) dτ dt 0  t − st  = ∫  ∫ e f (τ ) g ( t − τ ) dτ  dt 00  ∞ t   = ∫ e − st  ∫ f (τ ) g ( t − τ ) dτ  dt 0  = L {( f ∗ g )( t )} ∞ 1.5 Đạo hàm tích phân biến đổi Laplace Định lý 1.5.1 (Đạo hàm biến đổi Laplace) Nếu L { f ( t )} = f ( s ) , f hàm gốc có số tăng α n n ∂ L {t n f ( t )} = − ( ) n f ( s ) , Re s > α ∂s (1.5.1) n = 0,1, 2,3, Chứng minh Theo định lý 1.2.2 biến đổi Laplace hàm f hội tụ điều kiện lại định lý thỏa mãn [Định lý B.4 – Trang 103] Khi đó, đạo hàm theo s bên dấu tích phân (1.1.1) cho phép ∂ ∂ ∞ − st = f (s) = e f ( t ) dt ∂s ∂s ∫0 ∞ ∫ ∂ − st e f ( t ) dt ∂s ∞ = − ∫ t f ( t ) e − st dt = − L {t f ( t )} (1.5.2 ) Tương tự, ta có Tổng quát ∂2 f (s) = ∂s ( −1) ∂3 f (s) = ∂s ( −1) L {t f ( t )} , (1.5.3) L {t f ( t )} (1.5.4 ) 15 ∂n f (s) = ∂s n ( −1) n L {t n f ( t )} (1.5.5) Định lý 1.5.2 (Tích phân biến đổi Laplace) Cho L { f ( t )} = f ( s ) Nếu f ( t ) t hàm gốc với số tăng α  f (t )  ∞ L   = ∫ f ( u ) du t   s (1.5.6 ) Chứng minh Đặt ∞ G ( s ) = ∫ e − st f (t ) dt t Theo định lý 1.5.1 ta có ∞ ∞ − ∫ e − st f ( t ) dt = − f ( s ) G′ ( s ) = ∫ e ( −t ) f ( t ) dt = − st 0 Ta có ∞ ∫ s ∞ (1.5.7 ) − ∫ G′ ( u ) du = f ( s ) ds = G ( s ) − G ( ∞ ) s Mặt khác ∞ G ( s ) ≤ ∫ e − xt ∞ f (t ) dt ≤ M ∫ e( − x +α t ∞ +ε )t dt e( − x +α +ε )t M = M = , − x + α + ε t =0 x − α0 − ε Chọn ε > cho Re s =x > α + ε Cho s → ∞ ta G ( ∞ ) =0 Thay vào (1.5.7 ) ta có  f (t )  ∞ L   = ∫ f ( u ) du  t  s Định lý chứng minh 16 Ví dụ 1.5.1  sin at  −1  a  Tính L   = tan   ,  t  s Ta có ∞ ds ds 1∞  sin at  L=   a= ∫ ∫ 2 a s 1+ (s a)  t  s s +a π s a tan −1   = − tan −1   = a s Định lý 1.5.3 (Biến đổi Laplace tích phân) Nếu L { f ( t )} = f ( s ) f hàm liên tục t  f (s) L  ∫ f (τ ) dτ  = s 0  (1.5.8) Chứng minh Đặt g (t ) = t ∫ f (τ ) dτ cho g ( ) = , g ′ ( t ) = f ( t ) g liên tục Gọi α số tăng hàm f , với < ε < Khi t t 0 g ( t ) ≤ ∫ f (τ ) dτ ≤ M ∫ e(α = M e (α α0 + ε +ε )τ t τ =0 +ε )τ dτ < M 1e(α +ε )t Vậy g hàm gốc Do = f (s) L ( t )} L { f= t  ′ = = g t sg s s L ( ) { ( )}  ∫ f (τ ) dτ  0  Chia hai vế cho s , ta (1.5.8 ) Định lý chứng minh Ví dụ 1.5.2 Hãy sử dụng kết (1.5.8 ) để tìm 17 t  (a) L  ∫ τ n e − aτ dτ  , 0  t Si ( at ) = ∫ sin aτ τ a  (b) L {Si ( at )} = tan −1   , s s dτ (a) Ta có L {t n e − at } = n! ( s + a) n +1 Theo (1.5.8 ) ta có t  n! L  ∫ τ n e − aτ dτ  = n +1 0  s (s + a) (b) Theo công thức (1.5.8 ) ví dụ 1.5.1, ta có  t sin aτ  a L ∫ dτ  = tan −1   s 0 τ  s 1.6 Biến đổi Laplace ngược ví dụ Cho hàm số g ( t ) xác định trục thực R Ta nói g biểu diễn tích phân Fourier với t ta có 1  g ( t + ) + g ( t − )  = 2π ∞ ∫ eiτ t −∞ ∞ ∫ g ( x) e − iτ x dxdτ (1.6.1) −∞ Phương trình (1.6.1) gọi công thức Fourier Định lý 1.6.1 Cho f hàm gốc liên tục khúc [ 0,∞ ) với số tăng α Khi = f (t ) c +i∞ st e f ( s ) ds, 2π i c −∫i∞ Công thức (1.6.2 ) gọi công thức Mellin Chứng minh c > α0 (1.6.2 )