Đề thi cuối học kỳ I năm học 2016-2017 môn Hàm biến phức và biến đổi laplace

Đề thi cuối học kỳ I năm học 2016-2017 môn Hàm biến phức và biến đổi laplace gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm và 3 bài tập tự luận bao quát toàn bộ kiến thức môn học. Bài tập trong đề thi này sẽ giúp các các bạn sinh viên biết được những kiến thức mình còn yếu để có sự đầu tư phù hợp nhằm nâng cao kiến thức về khía cạnh đó.

Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 2016-2017 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã môn học: MATH 121201 Thời gian : 90 phút (21/12/2016) Đề thi gồm trang Được phép sử dụng tài liệu Mã đề: 0001-0010-1100-2016-2112-0402 (Nộp lại đề này) PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm) (Chọn câu A, B, C, D điền vào BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM trang 6) Câu Ảnh đường thẳng y = qua phép biến hình w = e3- iz = u +iv A) Đường tròn u2 + v2 = e6 C) Đường tròn u2 + v2 = e3 Câu Khẳng định sau sai? B) Đường thẳng u = D) Đường thẳng v = A) Nếu hàm u(x,y) v(x,y) điều hịa thỏa điều kiện (C-R) hình trịn mở D  z : z  3i  9 hàm f (z ) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích D B) Nếu hàm phức f ( z ) = u(x,y) + iv(x,y) khoâng khả vi miền D hàm u(x,y) v(x,y) khoâng thỏa điều kiện Cauchy – Reimann miền D C) Hàm phức f (z ) = u(x,y) + iv(x,y) liên tục miền D hàm u(x,y), v(x,y) liên tục miền D D) Nếu hàm v(x,y) khơng điều hịa miền D f(z) = u(x,y)+iv(x,y) khơng giải tích D -8i Câu Cho số phức z =  i + e Khi đó: 2i C) Rez = + cos8, Imz = sin8 D) Rez = 2+ cos8, Imz = -2 – sin8 A) Rez = + cos8, Imz = -sin8 B) Rez = 10 + cos8, Imz = sin8 Câu Trong mặt phẳng phức cho caùc F  z : z   5i  6 Khẳng định sau sai? tập hợp ñieåm E  z : z   i  z  6i  , A) Tập E không bị chặn C) Tập F hình tròn đóng tâm -1+5i bán kính B) Tập F là tập compact D) Tập E đường trung trực đoạn thẳng nối -i với 6i Câu Hàm phức f(z) = z  = u + iv có phần thực phần ảo là: z z2 7x 7y ,v= 2 x y x  y2 5x  5y ,v= B) u = 2 x y x  y2 A) u = C) u = 7x  7y ,v= 2 x y x  y2 D) kết khác Câu Khẳng định sau sai? A) Nếu a điểm bất thường cô lập hàm f(z) lim f ( z )   , lim( z  a) m f ( z )  A z a z a (với  A   ) a cực điểm cấp m hàm f(z) B) z  cực điểm cấp hàm f ( z )  C) e z  12 z dz = 2i (e3  12)  ( z  3) z 2 4 e z  12 z ( z  3) D)  e z  12 z  e z  12 z dz =  i s Re  ( z  3) ,3  z (  )   z  4i  -1-  x'3 y  , với điều kiện x(0)= y(0)= ta làm sau:  x  y '4 y  Câu Để giải hệ phương trình vi phaân:  XP  3Y     Ñaët X  L x , Y  L y  biến đổi Laplace hai vế ta được:  X  P  4Y     p   X  p p  1 p  3 Giải hệ phương trình với X, Y ẩn ta  Y   p  1 p  3 A B C   X  p  P   P  Phân tích thành phân thức đơn giản ta  với A, B, C, D, E  Y D  E  P 1 P  số mà ta không tìm   x  A  Bet  Ce3t Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm  t 3t  y  De  Ee Khẳng định sau đúng? C) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai B) Cách làm đúng, tính toán sai, kết D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết quaû sai Câu Giả sử L f(t) = F(p) Khẳng định sau sai? A) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết A)Nếu f(t) hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T L f(t) = 1  e Tp T  pt f (t )dt e  t   sin t f(t+2) = f(t) L f(t) =    t  2   2p B)Neáu f (t )   t  0  C) L   f (u )du   F ( p) p   t e 2π e  pt sin tdt p3 3u D) L   e ch2udu   p(( p  3)  4)  0 Câu Trong mặt phẳng phức, cho hàm số u ( x, y )  x  y  y  , v  12 xy  x  Khẳng định sau đúng? A) u điều hịa, v khơng điều hịa C) u, v điều hịa khơng hàm điều hòa liên hợp B) u, v hàm điều hịa liên hợp D) v điều hịa, u khơng điều hịa Câu 10 Cho phương trình vi phân: y '3 y = u (t  2 )e5(t  2 ) (1) với điều kiện ban đầu y(0) = Để giải phương trình vi phân ta làm sau: Đặt Y = Y(p)= L y(t)  Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: pY  3Y =  Giải phương trình (2) với Y ẩn ta : Y= e 2p +4 p5 e 2p + ( p  3)( p  5) p3  Phân tích vế phải (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = B)Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai (3)  2p  1   + e    p 5 p  3 p   ( t   ) ( t  2 e e u (t  2 ) + e3t C) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết  Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm: y = A) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai  (2) D)Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai -2- PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Câu 11 (1 điểm) Khai triển Laurent hàm f ( z )  ( z  i) e z  i quanh điểm bất thường cô lập z  i Phân loại điểm bất thường lập z  i Tính tích phaân I   ( z  i) e z i dz z  3i  Câu 12 (2 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phân t y(t)=  e 5t   y (u ) cos 2(t  u )du Tính lim y (t ) dựa vào kết xác định giá trị (gần đúng) y (t ) sau khoảng thời gian t t   đủ lớn Câu 13 (2 điểm) a) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y ' '7 y '6 y   sin 3t với điều kiện y (0)  y ' (0)  b) Chứng tỏ sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm phương trình vi phân, y (t ) , biểu diễn xấp xỉ dao động điều hòa theo thời gian t Xác định vị trí cân biên độ dao động Ghi : Cán coi thi không giải thích đề thi CHUẨN ĐẦU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 Từ câu đến câu 10 Câu 11: Khai triển chuỗi Laurent, tính thặng dư áp dụng tính tích phân Câu 12, Câu 13: p dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân ứng dụng vào đời sống G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Ngày 19 tháng 12 năm 2016 Thông qua Bộ môn Toán -3- -4- -5- TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN Họ, tên sinh viên: Mã số sinh viên: THI CUỐI KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 2016-2017 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Số báo danh (STT): Phòng thi: … Thời gian : 90 phút (21/12/2016) Lưu ý: Sinh viên làm thi trang 6, 5, 4,3 Đối với hệ phương trình đại Mã đề: 0001-0010-1100-2016-2112-0402 Giám thị Giám thị số tuyến tính cần ghi kết vào làm mà không cần trình bày cách giải Giáo viên chấm thi 1&2 Sinh viên nộp lại đề thi với làm ĐIỂM BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu hỏi Trả lời BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN -6- 10 Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 2016-2017 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã môn học: MATH 121201 Thời gian : 90 phút (21/12/2016) Đề thi gồm trang Được phép sử dụng tài liệu Mã đề: 0010-0010-1100-2016-2112-0402 (Nộp lại đề này) PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm) (Chọn câu A, B, C, D điền vào BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM trang 6) Câu Trong mặt phẳng phức, cho hàm số u ( x, y )  x  y  y  , v  12 xy  x  Khẳng định sau đúng? A) u điều hịa, v khơng điều hịa C) u, v điều hịa khơng hàm điều hòa liên hợp B) u, v hàm điều hòa liên hợp D) v điều hòa, u khơng điều hịa Câu Cho phương trình vi phân: y '3 y = u (t  2 )e5(t  2 ) (1) với điều kiện ban đầu y(0) = Để giải phương trình vi phân ta làm sau: Đặt Y = Y(p)= L y(t)  Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: pY  3Y =  Giải phương trình (2) với Y ẩn ta : Y= e 2p +4 p5 e 2p + ( p  3)( p  5) p3  Phân tích vế phải (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = B)Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai Câu Hàm phức f(z) =  2p  1   + e    p 5 p  3 p    D)Caùch làm đúng, tính toán sai, kết sai z = u + iv có phần thực phần ảo laø:  z z2 7x 7y ,v= 2 x y x  y2 5x  5y ,v= B) u = 2 x y x  y2 A) u = (3) ( t   ) ( t  2 e e u (t  2 ) + e3t C) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết  Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm: y = A) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai (2) C) u = 7x  7y ,v= 2 x y x  y2 D) kết khaùc Câu Ảnh đường thẳng y = qua phép biến hình w = e3- iz = u +iv A) Đường tròn u2 + v2 = e6 C) Đường tròn u2 + v2 = e3 Câu Khẳng định sau sai? B) Đường thẳng v = D) Đường thẳng u = A) Nếu hàm u(x,y) v(x,y) điều hịa thỏa điều kiện (C-R) hình trịn mở D  z : z  3i  9 hàm f (z ) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích D B) Nếu hàm phức f ( z ) = u(x,y) + iv(x,y) không khả vi miền D hàm u(x,y) v(x,y) khoâng thỏa điều kiện Cauchy – Reimann miền D C) Hàm phức f ( z ) = u(x,y) + iv(x,y) liên tục miền D hàm u(x,y), v(x,y) liên tục miền D D) Nếu hàm v(x,y) khơng điều hịa miền D f(z) = u(x,y)+iv(x,y) khơng giải tích D Câu Cho số phức z =  i + e-8i Khi đó: 2i -1- A) Rez = + cos8, Imz = -sin8 B) Rez = 10 + cos8, Imz = sin8 Câu Trong mặt phaúng C) Rez = + cos8, Imz = sin8 D) Rez = 2+ cos8, Imz = -2 – sin8 phức cho F  z : z   5i  6 Khẳng định sau sai? tập hợp E  z : z   i  z  6i  , điểm A) Tập E không bị chặn C) Tập F hình tròn đóng tâm -1+5i bán kính B) Tập F là tập compact D) Tập E đường trung trực đoạn thẳng nối -i với 6i Câu Khẳng định sau sai? A) Nếu a điểm bất thường cô lập hàm f(z) lim f ( z )   , lim( z  a) m f ( z )  A z a z a (với  A   ) a cực điểm cấp m hàm f(z) B) z  cực điểm cấp haøm f ( z )  e z  12 z ( z  3)  e z  12 z  e z  12 z dz =  i s Re  ( z  3) ,3  z (  )   z  4i   x'3 y  , với điều kiện x(0)= y(0)= ta làm sau: Câu Để giải hệ phương trình vi phaân:   x  y '4 y  C) e z  12 z dz = 2i (e3  12)  ( z  3) z 2 4 D) XP  3Y     Ñaët X  L x , Y  L y  biến đổi Laplace hai vế ta được:  X  P  4Y     p   X  p p  1 p  3 Giải hệ phương trình với X, Y ẩn ta  Y   p  1 p  3 A B C   X  p  P   P  Phân tích thành phân thức đơn giản ta  với A, B, C, D, E  Y D  E  P 1 P  số mà ta không tìm   x  A  Bet  Ce3t Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm  t 3t  y  De  Ee Khẳng định sau đúng? C) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai B) Cách làm đúng, tính toán sai, kết D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết quaû sai Câu 10 Giả sử L f(t) = F(p) Khẳng định sau sai? A) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết A)Nếu f(t) hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T L f(t) = 1  e Tp T  pt f (t )dt e  t   sin t f(t+2) = f(t) L f(t) =    t  2   2p B)Neáu f (t )   t  F ( p) C) L   f (u )du   p 0  e   3u p3 e ch udu   D) L   p(( p  3)  4) 0 t -2- 2π e  pt sin tdt PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Câu 11 (1 điểm) Khai triển Laurent haøm f ( z )  ( z  i) e z  i quanh điểm bất thường cô lập z  i Phân loại điểm bất thường lập z  i Tính tích phân I   ( z  i) e z i dz z  3i  Caâu 12 (2 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phân t y(t)=  e 5t   y (u ) cos 2(t  u )du Tính lim y (t ) dựa vào kết xác định giá trị (gần đúng) y (t ) sau khoảng thời gian t t   đủ lớn Câu 13 (2 điểm) a) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y ' '7 y '6 y   sin 3t với điều kiện y (0)  y ' (0)  b) Chứng tỏ sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm phương trình vi phân, y (t ) , biểu diễn xấp xỉ dao động điều hòa theo thời gian t Xác định vị trí cân biên độ dao động Ghi : Cán coi thi không giải thích đề thi CHUẨN ĐẦU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 Từ câu đến câu 10 Câu 11: Khai triển chuỗi Laurent, tính thặng dư áp dụng tính tích phân Câu 12, Câu 13: p dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân ứng dụng vào đời sống G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Ngày 19 tháng 12 năm 2016 Thông qua Bộ môn Toán -3- -4- Để giải phương trình vi phân ta làm sau: Đặt Y = Y(p)= L y(t) e 2p  Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: pY  3Y = +4 p5  Giải phương trình (2) với Y ẩn ta : Y= (2) e 2p + ( p  3)( p  5) p3  Phân tích vế phải (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = (3)  2p  1   + e    p 5 p  3 p    ( t   ) ( t  2 e e u (t  2 ) + e3t C) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết  Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm: y = A) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai D)Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai B)Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai  x'3 y  , với điều kiện x(0)= y(0)= ta làm nhö sau:  x  y '4 y  Câu Để giải hệ phương trình vi phân:  XP  3Y     Đặt X  L x , Y  L y  vaø biến đổi Laplace hai vế ta được:  X  P  4Y     p   X  p p  1 p  3 Giải hệ phương trình với X, Y ẩn ta  Y   p  1 p  3 A B C   X  p  P   P  với A, B, C, D, E Phân tích thành phân thức đơn giản ta   Y D  E  P 1 P  số mà ta không tìm   x  A  Bet  Ce3t Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm  t 3t  y  De  Ee Khẳng định sau đúng? C) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai B) Cách làm đúng, tính toán sai, kết D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai Câu Giả sử L f(t) = F(p) Khẳng định sau sai? A) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết A)Nếu f(t) hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T L f(t) = 1  e Tp T  pt f (t )dt e  t   sin t f(t+2) = f(t) L f(t) =    t  2   2p B)Neáu f (t )   t  F ( p) C) L   f (u )du   p 0  e 2π e  pt sin tdt   3u p3 e ch udu   D) L   p(( p  3)  4) 0 t Câu 10 Trong mặt phẳng phức, cho hàm số u ( x, y )  x  y  y  , v  12 xy  x  Khẳng định sau đúng? A) u điều hịa, v khơng điều hịa C) u, v điều hịa khơng hàm điều hịa liên hợp B) u, v hàm điều hòa liên hợp D) v điều hịa, u khơng điều hịa -2- PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Caâu 11 (1 điểm) Khai triển Laurent hàm f ( z )  ( z  i) e z  i quanh điểm bất thường cô lập z  i Phân loại điểm bất thường cô lập z  i Tính tích phân I   ( z  i) e z i dz z  3i  Câu 12 (2 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phân t y(t)=  e 5t   y (u ) cos 2(t  u )du Tính lim y (t ) dựa vào kết xác định giá trị (gần đúng) y (t ) sau khoảng thời gian t t   đủ lớn Câu 13 (2 điểm) a) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phaân y ' '7 y '6 y   sin 3t với điều kiện y (0)  vaø y ' (0)  b) Chứng tỏ sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm phương trình vi phân, y (t ) , biểu diễn xấp xỉ dao động điều hòa theo thời gian t Xác định vị trí cân biên độ dao động Ghi : Cán coi thi không giải thích đề thi CHUẨN ĐẦU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 Từ câu đến câu 10 Câu 11: Khai triển chuỗi Laurent, tính thặng dư áp dụng tính tích phân Câu 12, Câu 13: p dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân ứng dụng vào đời soáng G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Ngày 19 tháng 12 năm 2016 Thông qua Bộ môn Toán -3- -4- -5- TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN Họ, tên sinh viên: Mã số sinh viên: THI CUỐI KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 2016-2017 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Số báo danh (STT): Phòng thi: … Thời gian : 90 phút (21/12/2016) Lưu ý: Sinh viên làm thi trang 6, 5, 4,3 Đối với hệ phương trình đại Mã đề: 0011-0010-1100-2016-2112-0402 Giám thị Giám thị số tuyến tính cần ghi kết vào làm mà không cần trình bày cách giải Giáo viên chấm thi 1&2 Sinh viên nộp lại đề thi với làm ĐIỂM BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu hỏi Trả lời BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN -6- 10 Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 2016-2017 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã môn học: MATH 121201 Thời gian : 90 phút (21/12/2016) Đề thi gồm trang Được phép sử dụng tài liệu Mã đề: 0100-0010-1100-2016-2112-0402 (Nộp lại đề này) PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm) (Chọn câu A, B, C, D điền vào BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM trang 6) Câu Trong mặt phẳng phức, cho hàm số u ( x, y )  x  y  y  , v  12 xy  x  Khẳng định sau đúng? A) v điều hòa, u khơng điều hịa C) u điều hịa, v khơng điều hòa B) u, v hàm điều hòa liên hợp D) u, v điều hịa khơng hàm điều hòa liên hợp Câu Khẳng định sau sai? A) Nếu hàm u(x,y) v(x,y) điều hịa thỏa điều kiện (C-R) hình trịn mở D  z : z  3i  9 hàm f (z ) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích D B) Nếu hàm phức f ( z ) = u(x,y) + iv(x,y) khoâng khả vi miền D hàm u(x,y) v(x,y) không thỏa điều kiện Cauchy – Reimann miền D C) Hàm phức f (z ) = u(x,y) + iv(x,y) liên tục miền D hàm u(x,y), v(x,y) liên tục miền D D) Nếu hàm v(x,y) không điều hịa miền D f(z) = u(x,y)+iv(x,y) khơng giải tích D -8i Câu Cho số phức z =  i + e Khi ñoù: 2i A) Rez = + cos8, Imz = -sin8 B) Rez = 10 + cos8, Imz = sin8 C) Rez = + cos8, Imz = sin8 D) Rez = 2+ cos8, Imz = -2 – sin8 Caâu Cho phương trình vi phân: y '3 y = u (t  2 )e5(t  2 ) (1) với điều kiện ban đầu y(0) = Để giải phương trình vi phân ta làm sau: Đặt Y = Y(p)= L y(t)  Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: pY  3Y =  Giải phương trình (2) với Y ẩn ta : Y= e 2p +4 p5 e 2p + ( p  3)( p  5) p3  Phân tích vế phải (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = B)Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai Câu Hàm phức f(z) =  2p  1   +  e   p 5 p  3 p    D)Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai z = u + iv có phần thực phần ảo là:  z z2 7x 7y ,v= 2 x y x  y2 5x  5y ,v= B) u = 2 x y x  y2 A) u = (3) ( t   ) ( t  2 e e u (t  2 ) + e3t C) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết  Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm: y = A) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai (2) C) u = 7x  7y ,v= 2 x y x  y2 D) kết khác Câu Ảnh đường thẳng y = qua phép biến hình w = e3- iz = u +iv -1- A) Đường tròn u2 + v2 = e6 B) Đường thẳng v = 2 C) Đường tròn u + v = e D) Đường thẳng u = Câu Giả sử L f(t) = F(p) Khẳng định sau sai? A)Nếu f(t) hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T L f(t) = 1  e Tp T  pt f (t )dt e  t   sin t B)Nếu f (t )   f(t+2) = f(t) L f(t) =    t  2   2p Trong maët e  pt sin tdt   3u p3 e ch udu    D) L  p(( p  3)  4) 0 t t  F ( p) C) L   f (u )du   p 0  Câu e 2π phẳng phức cho F  z : z   5i  6 Khẳng định sau sai? tập hợp điểm E  z : z   i  z  6i  , A) Taäp E không bị chặn C) Tập F hình tròn đóng tâm -1+5i bán kính B) Tập F là tập compact D) Tập E đường trung trực đoạn thẳng nối -i với 6i Câu Khẳng định sau sai? A) Nếu a điểm bất thường cô lập hàm f(z) lim f ( z )   , lim( z  a) m f ( z )  A z a z a (với  A   ) a cực điểm cấp m hàm f(z) B) z  cực điểm cấp haøm f ( z )  e z  12 z ( z  3)  e z  12 z  e z  12 z s dz =  i Re  ( z  3) ,3  ( z  3)2   z  4i   x'3 y  , với điều kiện x(0)= y(0)= ta làm Câu 10 Để giải hệ phương trình vi phân:   x  y '4 y  C) e z  12 z dz = 2i (e3  12)  z (  ) z 2 4 D) sau:  XP  3Y    Đặt X  L x , Y  L y  biến đổi Laplace hai vế ta được:  X  P  4Y     p   X  p p  1 p  3 Giải hệ phương trình với X, Y ẩn ta  Y   p  1 p  3 A B C   X  p  P   P  Phân tích thành phân thức đơn giản ta  với A, B, C, D, E D E  Y   P 1 P  caùc số mà ta không tìm  x  A  Bet  Ce3t t 3t  y  De  Ee  Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm  Khẳng định sau đúng? A) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết B) Cách làm đúng, tính toán sai, kết C) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai -2- PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Caâu 11 (1 điểm) Khai triển Laurent hàm f ( z )  ( z  i) e z  i quanh điểm bất thường cô lập z  i Phân loại điểm bất thường lập z  i Tính tích phân I   ( z  i) e z i dz z  3i  Câu 12 (2 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phân t y(t)=  e 5t   y (u ) cos 2(t  u )du Tính lim y (t ) dựa vào kết xác định giá trị (gần đúng) y (t ) sau khoảng thời gian t t   đủ lớn Câu 13 (2 điểm) a) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y ' '7 y '6 y   sin 3t với điều kiện y (0)  vaø y ' (0)  b) Chứng tỏ sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm phương trình vi phân, y (t ) , biểu diễn xấp xỉ dao động điều hòa theo thời gian t Xác định vị trí cân biên độ dao động Ghi : Cán coi thi không giải thích đề thi CHUẨN ÑAÀU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 Từ câu đến câu 10 Câu 11: Khai triển chuỗi Laurent, tính thặng dư áp dụng tính tích phân Câu 12, Câu 13: p dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân ứng dụng vào đời sống G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Ngaøy 19 tháng 12 năm 2016 Thông qua Bộ môn Toán -3- -4- -5- TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN Họ, tên sinh viên: Mã số sinh viên: THI CUỐI KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 2016-2017 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Số báo danh (STT): Phòng thi: … Thời gian : 90 phút (21/12/2016) Lưu ý: Sinh viên làm thi trang 6, 5, 4,3 Đối với hệ phương trình đại Mã đề: 0100-0010-1100-2016-2112-0402 Giám thị Giám thị số tuyến tính cần ghi kết vào làm mà không cần trình bày cách giải Giáo viên chấm thi 1&2 Sinh viên nộp lại đề thi với làm ĐIỂM BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu hỏi Trả lời BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN -6- 10 ĐÁP ÁN MÔN HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE (Ngày thi: 21/12/2016) PHẦN TRẮC NGHIỆM Mã đề: 0001-0010-1100-2016-2112-0402 Câu hỏi 10 Trả lời A B A D C D A B B D Mã đề: 0010-0010-1100-2016-2112-0402 Câu hỏi 10 Trả lời B D C A B A D D A B Mã đề: 0011-0010-1100-2016-2112-0402 Câu hỏi 10 Trả lời C D A B A D D A B B Maõ đề: 0100-0010-1100-2016-2112-0402 Câu hỏi 10 Trả lời B B A D C A B D D A BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN Nội dung Câu hỏi Câu 11 Khai triển Laurent ( z1i ) n = n! n 0  Ta coù: e z i =  f ( z )  ( z ) e z i Điểm điểm   n!( z  i) n 0 0,25ñ n   1 =  n n 2 n  n!( z  i ) n  n!( z  i ) = ( z  i)  -1- 1 zi  ( z  i)       2! 3!( z  i ) 4!( z  i )     Phần 0,25đ Phần Vì phần có vô số số hạng nên z  i điểm bất thường cốt yếu z i giải tích \  i đường trịn 0,25đ z  3i  bao quanh điểm bất thường cô lập z  i nên áp dụng thặng dư ta 0,25ñ 1 πi z i z i I   ( z  i ) e dz = i Re s[( z  i ) e ,i ] = 2πi  Tính tích phân: Vì hàm số f (z )  ( z  i) e 3! z  3i  Caâu 12 p dụng tích chập, phương trình viết lại y(t)=  e 5t  y (t ) * cos 2t 2đ Đặt Y = Y(p) = L y(t) biến đổi Laplace hai vế phương trình, áp dụng tính chất tuyến tính định lý Borel ta   5L y(t) L cos2t p p5 p   5Y  Y= p p5 p 4 Y= 0.5đ 0.5đ Giải phương trình với Y ẩn ta Y= B C D (4 p  15)( p  4) (*) A     p ( p  5)( p  1)( p  4) p p  p 1 p  Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghieäm 1 1 ] B C D p p5 p 1 p4  y (t )  A  Be 5t  Ce t  De 4t y (t ) = L 1 [Y ] = L 1 [ A 0.75ñ lim y (t )  lim ( A  Be 5t  Ce 1t  De 94 )  A  (tính A bên dưới) nên sau khoảng thời gian t   t   t đủ lớn y (t )  Tìm A, B, C , D dựa vào đẳng thức (*) 0.25đ B C D (4 p  15)( p  4) (*) A     p ( p  5)( p  1)( p  4) p p  p 1 p  29 55 A  3, B  , , C D 12 Vậy nghiệm phương trình tích phân y (t )   -2- 29 5t 55 t  4t e  e  e 12 Câu 13 1,5đ Đặt Y  Y ( p) = L y(t ) Biến đổi Laplace hai vế phương trình, áp dụng tính chất tuyến tính tính chất đạo hàm hàm gốc ta được: p 2Y  py (0)  y ' (0)  7 pY  y (0)   6Y = L 1  sin 3t   Y ( p  p  6)  Y  p p 9 0.5ñ 0.5ñ p2  3p  p( p  1)( p  6)( p  9) Phân tích thành phân thức đơn giản Y (*) p2  3p  A B C Dp  3E     2 p ( p  1)( p  6)( p  9) p p  p  p 9 Biếi đổi Laplace ngược hai vế áp dụng tính chất tuyến tính ta y (t )  L 1 [Y ] = L 1 [ A 1 p ] B C D E p p 1 p6 p 9 p 9  y (t )  A  Be t  Ce 6t  D cos 3t  E sin 3t 0.5đ Tìm A, B, C , D dựa vào đẳng thức: (*) p2  3p  A B C Dp  3E     2 p ( p  1)( p  6)( p  9) p p  p  p 9 02    (1)   (1)  B   ,  2 50 (0  1)(0  6)(0  9) (1)(1  6)((1)  9) A C (6)   (6)   (6)(6  1)((6)  9) 50 Từ đẳng thức (*)  Cho   Cho  A B C D  3E 13     140 1  1   A B C  D  3E p  2 :     104      (2)  p  1: Thay A  , B   D vào hệ giải tìm D, E ta ,C  50 50 ,E   150 150 Vậy nghiệm phương trình vi phân y (t )  t  t  e  e  cos 3t  sin 3t 150 50 150 150 -3- b) Vì lim ( t   t  t e  e )  nên sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm 150 50 phương trình vi phân, y (t )  y (t )   cos 3t  sin 3t 150 150 1 7 1  cos 3t  sin 3t   ( cos 3t  sin 3t )   sin(3t  α ) 150 150 30 30 (trong sin α   , cos α   ) Vậy sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm phương trình vi phân, y (t ) , xấp xỉ dao động điều hịa theo thời gian t có biên độ dao động cân có tọa độ y o  quanh điểm 30 …………………………………………………………………………… Cách giải tổng quát sau: y (t )  A  Be t  Ce 6t  D cos 3t  E sin 3t Vì lim ( Be t  Ce 6t )  nên sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm phương t   trình vi phân y (t )  A  D cos 3t  E sin 3t  A  D  E ( Đặt sin   D D E 2 , cos   D D E 2 cos 3t  D D  E2 sin 3t ) D D  E2 y (t )  A  D  E (sin α cos 3t  cos α sin 3t )  A  D  E sin(3t  α ) Vậy sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm phương trình vi phân, y (t ) , xấp xỉ dao động điều hịa theo thời gian t có biên độ dao động điểm cân có tọa độ y o  A *** HEÁT*** -4- D  E quanh 0.5ñ ... TP.HCM BỘ MÔN TOÁN Họ, tên sinh viên: Mã số sinh viên: THI CU? ?I KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 2016-2017 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN Đ? ?I LAPLACE Số báo danh (STT): Phòng thi: … Th? ?i gian : 90... TP.HCM BỘ MÔN TOÁN Họ, tên sinh viên: Mã số sinh viên: THI CU? ?I KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 2016-2017 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN Đ? ?I LAPLACE Số báo danh (STT): Phòng thi: … Th? ?i gian : 90... TP.HCM BỘ MÔN TOÁN Họ, tên sinh viên: Mã số sinh viên: THI CU? ?I KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 2016-2017 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN Đ? ?I LAPLACE Số báo danh (STT): Phòng thi: … Th? ?i gian : 90