Giả sử f là một hàm (có thể là hàm phức) của biến số thực t (t ≥ 0) sao cho tích phân hội tụ ít nhất với một số phức s = a + ib, thì khi đó ảnh của hàm f qua biến đổi Laplace là hàm F[r]
(1)Phép biến đổi Laplace
Biến đổi Laplace là biến đổi tích phân với biến đổi Fourier hai biến đổi hữu ích thường
sử dụng giải toán vật lý Qua biến đổi Laplace, phép toán giải tích phức tạp đạo hàm, tích phân đơn giản hóa thành phép tính đại số (giống cách mà hàm logarit chuyển phép toán nhân số thành phép cộng logarit chúng) Vì đặc biệt hữu ích giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, phương trình thường xuất tốn vật lý, phân tích mạch điện, xử lý số liệu, dao động điều hòa, hệ học Bởi qua biến đổi Laplace phương trình chuyển thành phương trình đại số đơn giản Giải nghiệm hàm ảnh không gian p, dùng biến đổi Laplace ngược để có lại hàm gốc khơng gian thực t
Lịch sử
Từ năm 1744, Leonhard Euler đưa tích phân
để giải phương trình vi phân
Joseph Louis Lagrange, người ngưỡng mộ Euler, nghiên cứu cách tính tích phân hàm mật độ xác suất, ông đưa biểu thức tích phân
Những dạng tích phân thu hút ý Laplace vào năm 1782 ơng tiếp tục cơng trình Euler sử dụng phép tính tích phân để giải phương trình Năm 1785, vượt khỏi giới hạn giải phương trình phương pháp tích phân, ơng bắt đưa biến đổi mà sau trở nên phổ biến Ơng sử dụng tích phân
- tương tự với biến đổi Mellin, để biến đổi phương trình sai phân để tìm lời giải cho phương trình biến đổi Với cách tương tự vậy, ơng suy tính chất biến đổi Laplace
Laplace nhận phương pháp Joseph Fourier chuỗi Fourier để giải phương trình khuếch tán áp dụng vùng không gian giới hạn
Định nghĩa
Giả sử f hàm (có thể hàm phức) biến số thực t (t ≥ 0) cho tích phân hội tụ với số phức s = a + ib, ảnh hàm f qua biến đổi Laplace hàm F định nghĩa tích phân sau
(2)Biến đổi Laplace hai phía
Một nói "biến đổi Laplace" mà khơng ý thêm gì, thường ta nói đến biến đổi phía Biến đổi Laplace định nghĩa biến đổi Laplace hai phía cách mở rộng giới hạn tích phân đến âm vô cực
Nếu vậy, biến đổi Laplace phía đơn giản trở thành trường hợp đặc biệt biến đổi Laplace hai phía, xác định cách lấy hàm chuyển đổi nhân với hàm bước nhảy Heaviside than
Biến đổi Laplace ngược
Biến đổi Laplace ngược giúp tìm lại hàm gốc f(t) từ hàm ảnh F(p) Biến đổi Laplace ngược định nghĩa tích phân sau
Nhưng thơng thường dùng đến tích phân để tính hàm gốc mà dùng bảng "các hàm gốc – hàm ảnh tương ứng" có sẵn để tìm lại hàm gốc f(t)
Tính chất hàm gốc
Tập hợp hàm f biến số thực t cho tích phân hội tụ với số phức p gọi lớp hàm gốc Trong tập hợp giá trị p cho tích phân tồn gọi miền hội tụ (hay miền qui tụ)
Ta chứng minh lớp hàm gốc phải thỏa mãn tính chất sau • f(t) = 0, với t <
• Khi t ≥ 0, hàm f(t) liên tục với đạo hàm cấp đủ lớn toàn trục t, trừ số hữu hạn điểm gián đoạn loại
• Khi hàm f(t) có cấp tăng bị chặn, tức tồn số s>0 M>0 cho
Khi so = inf {s} gọi số tăng hàm f (Tức hàm f(t) không tăng nhanh hàm est để đảm bảo tích phân Laplace hội tụ)
Tính chất biến đổi Laplace
•• Cho hàm f(t) g(t), hàm ảnh tương ứng F(s) G(s):
(3)Tính chất Miền thời gian Miền tần số Tuyến tính
Đạo hàm miền tần số Đạo hàm bậc n miền tần số
Đạo hàm miền thời gian Đạo hàm bậc 2
Tổng quát Tích phân miền tần số
Tích phân miền thời gian Đồng dạng
Biến đổi miền tần số Biến đổi miền thời gian
Tích chập Hàm tuần hồn
•• Định lý giá trị ban đầu: (Định lý giới hạn)
•• Định lý giá trị cuối: (Định lý giới hạn)
, nửa mặt phẳng (Re.s > so)
Biến đổi Laplace phép đạo hàm hàm
Thường dùng phép tính vi phân biến đổi Laplace để tìm dạng đạo hàm hàm Ta thu từ biểu thức biến đổi Laplace sau:
(Từng phần)
(4)Liên hệ với biến đổi khác
Biến đổi Fourier
Biến đổi Fourier liên tục tương đương với giá trị biến đổi Laplace hai bên với argument số phức s = iω hay
Chú ý biểu thức không tính đến hệ số tỉ lệ , điều tính đến định nghĩa biến đổi Fourier Mối quan hệ biến đổi Laplace biến đổi Fourier thường dùng để xác định quang phổ tần số tín hiệu hay hệ thống động lực học (dynamic system)
Biến đổi Mellin
Biến đổi Mellin phép nghịch đảo liên hệ với biến đổi Laplace hai bên cách thay đổi biến Trong biến đổi Mellin
Ta đặt θ = e-t, ta thu biến đổi Laplace hai bên
Biến đổi Z
Biến đổi Z biến đổi Laplace tín hiệu thử lý tưởng cách thay
, với chu kỳ (đơn vị giây), tần số (đơn vị hertz) đặt
là xung lực thử (còn gọi lực Dirac)
là biểu diễn liên tục thời gian (continuous-time) x(t) biểu diễn rời rạc x(t) Biến đổi Laplace tín hiệu thử xq(t)
(5)(thay )
So sánh phương trình cuối ta thấy mối liên hệ biến đổi Z biến đổi Laplace tín hiệu thử
Biến đổi Borel
Dạng tích phân biến đổi Borel có liên hệ với biến đổi Laplace; thật sự, có số nhầm lẫn cho chúng tương tự Biến đổi Borel tổng quát tạo biến đổi Laplace cho hàm hàm mũ
Mối quan hệ bản
Từ biến đổi Laplace ban đầu xem trường hợp đặc biệt biến đổi hai bên, từ biến đổi hai bên xem tổng hai biến đổi bên, điểm khác biệt riêng biến đổi Laplace, Fourier, Mellin, Z liên quan biến đổi biến đổi tích phân
Bảng biến đổi Laplace
Vì biến đổi Laplace tốn tử tuyến tính nên
•• Biến đổi Laplace tổng tổng biến đổi Laplace số hạng
•• Biến đổi Laplace bội số hàm bội số nhân cho biến đổi Laplace hàm
Tính đơn ánh biến đổi Laplace t số không âm, hàm miền thời gian bảng bội hàm bậc thang Heaviside u(t)
•• Bảng cung cấp biến đổi Laplace hàm chung biến
STT Hàm Hàm gốc (miền t) Hàm ảnh (miền s) Miền hội tụ
1 trễ lý tưởng
1a xung đơn vị s
2 trễ mũ n
với dịch chuyển tần số
2a mũ n
(cho số nguyên n)
2a.1 mũ q
(cho số thực q)
2a.2
2b bậc thang đơn vị có trễ
2c
2d mũ n với dịch chuyển tần số
2d.1
(6)4 sine
5 cosine
6 hyperbolic sine hyperbolic cosine
8 hàm sine
suy giảm theo hàm mũ
9 hàm cosine
suy giảm theo hàm mũ
10 bậc n
11 logarith tự nhiên
12 hàm Bessel
of the first kind, of order n 13 hàm Bessel biến đổi
loại 1, bậc n
14 hàm Bessel
loại hai, bậc 15 hàm Bessel biến đổi
loại hai, bậc
16 hàm sai số
chú thích:
• hàm bậc thang Heaviside • hàm delta Dirac) • hàm Gamma • số Euler-Mascheroni
• , đặc trưng cho thời gian (số thực)
• tần số góc (số phức angular frequency Re(s) phần thực s) • , , , số thực
• , số mũ nguyên
Trở kháng sơ đồ mạch điện tương đương mạch miền s
Biến đổi Laplace sử dụng để biến đổi yếu tố mạch điện từ miền thời gian t sang mạch miền s
(7)Mối quan hệ dòng áp miền s yếu tố mạch điện RLC
Chú ý: điện trở R, mạch miền t mạch miền s giống Riêng cuộn cảm L tụ điện C cần phải kể đến nguồn điều kiện ban đầu (dòng ban đầu cuộn cảm áp ban đầu tụ điện)
Ứng dụng tính chất định lý biến đổi Laplace
Biến đổi Laplace sử dụng nhiều kỹ thuật vật lý học Việc tính tốn chuyển sang khơng gian Laplace nhằm chuyển phép nhân chập phép nhân thơng thường, ta giải vấn đề phương pháp đại số
Biến đổi Laplace sử dụng để giải phương trình vi phân ứng dụng rộng rãi kỹ thuật điện (electrical engineering) Phương pháp sử dụng biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân phát triển kỹ sư người Anh Oliver Heaviside
Những ví dụ sử dụng hệ đơn vị SI
Giải phương trình vi phân
Bài toán vật lý hạt nhân nguyên tử
Phương trình biểu diễn phân rã phóng xạ chất đồng vị phóng xạ (1) N=N(t): số ngun tử cịn lại khơng bị phân rã thời điểm t(s) : số phân rã
Ta sử dụng biến đổi Laplace để giải phương trình Từ (1) ta có
Thực biến đổi Laplace cho vế phương trình
Với
Giải phương trình ta có
(8)Tổng trở Z(s) tụ điện cuộn cảm
Ví dụ dựa vào lí thuyết giải tích mạch điện (electrical circuit) Quan hệ dòng áp phần tử RLC miền thời gian t
Với i(t) lượng điện tích chạy qua thành phần RLC đơn vị thời gian V(t) điện áp đầu thành phần RLC, hàm theo thời gian t
Dùng biến đổi Laplace để chuyển sang miền s
Với ,
: dòng điện ban đầu chạy qua cuộn cảm L : điện áp ban đầu qua tụ điện C
Tổng trở Z(s) định nghĩa tỷ số áp V dòng i điều kiện ban đầu
(9)Hàm truyền
Sự liên hệ miền thời gian t miền tần số biểu diễn thông qua bảng sau:
Chú ý ký hiệu * miền thời gian phép nhân chập Xét hệ tuyến tính bất biến theo thời gian với
(1)
: trễ pha Ta biến đổi (1)
Với : thời gian trễ hệ u(t) hàm bước nhảy Heviside
Hàm truyền H(s) suy cách dùng biến đổi Laplace hàm h(t)
(10)Phương pháp khai triển thừa số riêng phần
Xét hệ tuyến tính bất biến với thời gian hàm truyền
: biến đổi Laplace ngược hàm truyền H(s)
Để thực biến đổi Laplace ngược, ta bắt đầu khai triển H(s) cách sử dụng phương pháp khai triển riêng phần
P, R số chưa biết Để tìm số ta dùng đồng thức
Từ suy
và
Thay vào H(s) ta tìm
Cuối sử dụng tính chất bảng biến đổi Laplace, ta thực biến đổi Laplace ngược cho hàm H(s)
Tổng hợp hàm sin, cos hàm mũ
Hàm thời gian Biến đổi Laplace
Ta bắt đầu với hàm biến đổi Laplace
Ta tìm hàm ngược X(s) cách thêm bớt số vào tử số
(11)Cuối cùng, dùng biến đổi Laplace cho hàm sin cos, ta thu
Sự trễ pha
Hàm thời gian Biến đổi Laplace
Ta bắt đầu với hàm biến đổi Laplace
Suy
Thực biến đổi ngược cho X(s), ta có
Áp dụng hệ thức lượng tam giác (trigonometric identity)
Ta suy
(12)Liên kết ngồi
• Online Computation [1] of the transform or inverse transform, wims.unice.fr
• Tables of Integral Transforms [2] at EqWorld: The World of Mathematical Equations • Laplace Transform Module by John H Mathews [3]
• Good explanations of the initial and final value theorems [4] • Laplace and Heaviside [5] at Interactive maths
• Laplace Transform Table and Examples [6] at Vibrationdata • Laplace Transform Cookbook [7] at Syscomp Electronic Design
Chú thích
[1] http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?lang=en&+module=tool%2Fanalysis%2Ffourierlaplace.en [2] http://eqworld.ipmnet.ru/en/auxiliary/aux-inttrans.htm
[3] http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/LaplaceTransformMod.html [4] http://fourier.eng.hmc.edu/e102/lectures/Laplace_Transform/ [5] http://www.intmath.com/Laplace/1a_lap_unitstepfns.php [6] http://www.vibrationdata.com/Laplace.htm
(13)Nguồn người đóng góp vào bài
Phép biến đổi Laplace Nguồn: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?oldid=5695109 Người đóng góp: DHN, Dinhxuanduyet, Mekong Bluesman, Pq, Rungbachduong, TranSyHuy, sửa đổi vô danh
Nguồn, giấy phép, người đóng góp vào hình
Tập tin:S-domain_circuit_equivalents.png Nguồn: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tập_tin:S-domain_circuit_equivalents.png Giấy phép: GNU Free Documentation License Người đóng góp: Fresheneesz
Tập tin:LTI.png Nguồn: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tập_tin:LTI.png Giấy phép: Public Domain Người đóng góp: Flappiefh, Joelholdsworth, Ma-Lik, Maksim