Bài giảng Xử lý ảnh - Chương 14: Biến đổi sóng con

[r]

Chương 14

BIẾN ĐỔI SÓNG CON

14.1 GIỚI THIỆU

Những quan tâm thời gian gần việc phát triển kỹ thuật biến

đổi Nhận biết địa vấn đềđối với việc nén ảnh, cạnh đặc trưng cần nhận biết khác, việc phân tích cấu trúc ảnh Các kỹ thuật biết đến phân tích đa giải pháp, phân tích phổ thời gian, thuật tốn hình chóp, biến đổi sóng (Wavelet)

Trong chương này, xem lại vài giới hạn biến đổi cổ điển Fourier biến đổi tương tự Fourier định nghĩa ba loại biến đổi sóng biến đổi sóng mở triển vọng cải thiện cho chương trình ứng dụng Chúng ta sơ qua lịch sử phát triển dẫn tới phép phân tích sóng con, nên nhớ biến đổi tương tự có khuynh hướng thống cách tiếp cận khác với mục đích quan trọng biến đổi sóng Phần sau chương này, minh hoạ

một vài ứng dụng biến đổi sóng

Chúng ta hạn chế biến đổi sóng với giá trị thực, tính tốn được, hàm tính tích phân hai chiều, bao gồm tín hiệu ảnh mà quan tâm Như trước, đểđơn giản giới thiệu khái niệm chiều sau

đó tổng qt hố hai chiều cho chương trình ứng dụng Chúng ta bắt đầu cách giới thiệu ba loại biến đổi sở sóng Sau minh hoạ

một vài trường hợp cụ thể sóng vài chương trình ứng dụng sóng

14.1.1 Sóng sóng

Trở lại biến đổi Fourier mà sử dụng, hàm sở, sóng hình sin Chúng gọi với tên giống sóng đại dương truyền phương tiện khác Đối với biến đổi tích phân mà hai cận vơ Các vec tơ biến đổi Fourier rời rạc số khác toàn miền xác định; tức là, chúng khơng hỗ trợ trọn gói

Ngược lại, thành phần tín hiệu tức thời khác khoảng thời gian ngắn, nhiều đặc điểm quan trọng ảnh (các biên chẳng hạn) định vị

trong không gian Các thành phần kể không giống hàm sở biến đổi Fourier chúng đầy đủ hệ số biến đổi (chẳng hạn phổ tần số), đề cập đến sau Việc làm cho biến đổi Fourier biến đổi sóng khác, nhưđã đề cập phần trước chương, tuỳ chọn cho phép nén phân tích tín hiệu ảnh thành phần tạm thời hay cốđịnh

Bạn hiểu cách khơng đầy đủ, nhà tốn học kỹ sưđã mở rộng vài cách tiếp cận sử dụng biến đổi với hàm sở với khoảng tồn giới hạn Các hàm sở có nhiều loại chẳng hạn tần số Chúng sóng giới hạn bị

chặn biết đến với tên sóng con (Wavelet) Biến đổi dựa chúng gọi biến đổi sóng Chúng gọi việc thực xoá lượng

đáng quan tâm ngôn ngữ tiếng pháp chủ thể

Hình 14-1 minh hoạ khác biệt sóng sóng Hai sóng sóng cosin sóng sin khác tần số, khơng bền Hai sóng sóng khác tần số vị trí theo trục

HÌNH 14-1

Hình 14-1 Sóng sóng

Phép biến đổi Haar ví dụ đơn giản biến đổi sóng Nó khác biến đổi khác chương 13 vec tơ sở sinh phép chuyển đổi lấy tỷ lệ hàm đơn Hàm Haar, cặp xung chữ nhật lẻ, biến đổi cổ điển đơn giản biến đổi sóng

14.1.2 Phân tích phổ thời gian

Trong tài liệu xử lý tín hiệu bao gồm cơng việc nhận phân tích tín hiệu thuật ngữ biến đổi hai chiều theo không gian tần số thời gian Các tiếp cận thực trước biến đổi Sóng con, phải cải tạo cho thích hợp cơng việc Tuỳ thuộc vào nó, thành phần tức đồ tín hiệu

được định vị miền tần số thời gian mà đảm nhận cho tính trội cho thành phần tần số thời gian xảy (hình 14-2)

Hình 14-2 Khơng gian tần số- thời gian: (a) tín hiệu; (b) biểu diễn Trong phân tích ảnh, khơng gian ba chiều xem ngăn xếp ảnh Vị trí thành phần xuất chủ yếu mức cao ngăn xếp sẽđảm nhận cho tính trội thành phần tần số Trong hình 14-3 ảnh chứa hai thành phần định vị đưa cho hai lọc thông Trong trường hợp hai

lọc hồn tồn lập hai thành phần

Phương pháp tiếp cận bắt đầu với biến đổi Fourier cửa sổ Gabor, dẫn

đến biến đổi Fourier thời gian ngắn mã hố băng con

14.1.2.1 Sóng âm nhạc

Hãy ý nốt nhạc hình 14-4, xem việc mô tả

không gian hai chiều tần số thời gian Tần số tăng từ lên, thời gian tăng theo chiều trái sang phải nốt khn nhạc đảm nhận cho thành phần sóng (âm tần) mà xuất thực hát Độ bền sóng mã hố loại nốt, khơng theo độ rộng

Nếu ta phân tích việc thực nhạc viết điểm nó, có loại biến đổi sóng Tương tự, việc ghi hát xem phép biển sóng rời rạc, xây dựng lại tín hiệu từ việc đặt lại tần số

và thời gian

HÌNH 14-3

Hình14-3 Phân tích khơng gian-tần sốảnh

14.1.3 Các biến đổi

Nhắc lại hệ số biến đổi xác định tích hàm

đầu vào hàm sở Trong vài trường hợp, giá trị biểu diễn mức độ giống hàm đầu vào hàm sở Nếu hàm sở trực giao (hay trực chuẩn), tích nhận hai hàm sở 0, nghĩa chúng hoàn toàn giống hệt Vì vậy, tín hiệu hay ảnh tạo thành từ thành phần tương tự với hay vài hàm sở, tất trừ hay vài hệ số

nhỏ

Tương tự, biến đổi ngược xem khơi phục lại tín hiệu ban đầu hay ảnh cách tính tổng hàm sở có biên độ lớn biến đổi hệ

số Vì tín hiệu hay ảnh xây dựng từ thành phần mà tương tự hay vài hàm sở, sau phép tính tổng cần thiết có vài thuật ngữ biên

độ tín hiệu Rất nhiều thuật ngữ sau bỏ qua tín hiệu hay ảnh đưa lại vài biến đổi hệ số

Thêm vào đó, thành phần quan tâm tín hiệu hay ảnh tương tự

một hay vài hàm sở, sau thành phần rõ ràng hệ số

lớn hàm sở Do chúng dễ dàng tìm thấy biến đổi Cuối thành phần không nhận biết tương tự hay vài biến đổi sở, sau dễ dàng tìm thấy Nó dễ dàng bỏđi, đơn giản cách giảm hệ sốđối với đáp ứng biến đổi

Chúng ta bao gồm tất giá trị tiềm ẩn sử dụng biến đổi với hàm sở mà mở rộng thành phần tín hiệu hay ảnh thực việc biến đổi Chúng ta nhớđó thành phần tức thời tương tự với hàm

sở biến đổi Fourier hay biến đổi sóng khác

14.1.3.1 Các loại biến đổi

Trở lại chương 10 có ba loại biến đổi khác nhau, có kỹ thuật liên quan đến biến đổi Fourier biến đổi tích phân Fourier, biến đổi chuỗi Fourier, biến

đổi Fourier rời rạc

Phép biến đổi Fourier tích phân thiết lập với hàm liên tục hai chiều (một tín hiệu phổ nó) Nó rời rạc đưa tích phân chiều là:

            

 

  





 f x e dx f x F xe ds x

F j2 xs vµ j2 xs (1)

Phép biến đổi chuỗi Fourier mở rộng đưa hàm tuần hoàn (hay hàm tức thời tính chu kỳ hàm tuần hoàn) liên tục hệ

số Fourier (hữu hạn vô hạn) rời rạc thơng thường tạo với s = ns biến rời rạc, vậy:

         

 





 



  

 

0

2

n

sx n j n L j n sx

n F n s f x e dx f x s F e

F  vµ  (2) Trong đóL quãng thời gian với s = 1/L

Phép biến đổi Fourier rời rạc đưa hàm mẫu phổ mẫu, số mẫu độc lập hai miền Nó thơng thường tạo với x = ix biến rời rạc g(x) giới hạn giải mẫu nhưđòi hỏi thuyết lấy mẫu, sau gi =

 



 

 

 

1

2

0

2 1 N

k

N k i j k i

N

i

N i

πk

j i

k G e

N g

e g N

G vµ  (3) Trong tất ba kỹ thuật biến đổi, sin cosin tần số khác tạo thành tập hàm sở trực chuẩn Hơn nữa, hệ số biến đổi xác định tích hàm biến đổi hàm sở DFT sử dụng tích rời rạc hàm rời rạc sở, biến đổi khác sử dụng tích nguyên hàm sở liên tục Trong trường hợp, biến đổi ngược bao gồm tổng hàm

sở mà biên độ thay đổi tuỳ thuộc vào hệ số biến đổi Tổng trở

thành số nguyên biến đổi Fourier liên tục

Biến đổi Fourier rời rạc chương trước sử dụng hàm rời rạc trực chuẩn sở Vì thế, chúng thực theo cách chung thông thường biến đổi Fourier rời rạc Hầu hết trường hợp, hàm sở thực biến đổi xuôi ngược giống

14.1.3.2 Các loại biến đổi sóng

Như với biến đổi Fourier, sóng có ba loại biến đổi: biến đổi sóng liên tục (CWT), khai triển chuỗi sóng con, biến đổi sóng rời rạc (DWT) Tuy nhiên, phức tạp chút, hàm sóng sở khơng thể hàm trực chuẩn

Tập hàm sở hỗ trợ cho biến đổi chí hàm khơng trực chuẩn Điều có nghĩa là, cho ví dụ, khai triển chuỗi sóng mở rộng phải thể hàm nhiều hệ số Nếu dãy hệ số bị cắt để có độ dài hữu hạn, khơi phục phần gần hàm ban đầu Cũng thế, biến đổi sóng rời rạc có thểđịi hỏi nhiều hệ số điểm mẫu hàm ban đầu để khơi phục lại cách xác, hay mức gần giống

chấp nhận

14.1.3.3 Các ký hiệu định nghĩa

Tiếp theo đưa sốđịnh nghĩa để làm sáng tỏ khái niệm biến

đổi sóng Chúng ta giới hạn điểm quan tâm hàm biến đổi chiều

Mục đích làm cho phù hợp với phần lớn tài liệu biến đổi sóng sử

dụng j số nguyên chương Như vài phần khác sách, sử dụng jđể biểu diễn đơn vịảo 1, phải lưu ý không sử

dụng hai phương pháp biểu thức Điểm phân biệt rõ ràng nội dung

Lớp hàm tìm kiếm để thể biến đổi sóng tích hàm bình phương trục thực (chẳng hạn tập số thực trục x) Lớp ký hiệu L2(R) Do ký hiệu f(x) L2(R) nghĩa

 

 f x dx

2

14.2 BIẾNĐỔI SÓNG CON LIÊN TỤC

Phép biến đổi sóng liên tục (cịn gọi biến đổi sóng tích phân)

được đưa hai ông Grossman Morlet

14.2.1 Định nghĩa

Nếu (x) hàm thực phổ Fourier,(x), thoả mãn tiêu chuẩn chấp nhận

 



 ds

s s C

2

) (

 (5)

và (x) gọi sóng sở Chú ý rằng, s thuộc mẫu số tích phân nên cần có



 

(0) (x)dx (6)

Hơn nữa, () nên nhận thấy phổ biên độ sóng chấp nhận tương tự hàm truyền đạt lọc thông dải Thực tế,

đáp ứng xung lọc thơng dải với trung bình 0, suy giảm đủ

nhanh với tốc độ tăng tần số, thoả mãn sóng sởđối với biến đổi

Hình 14-5 Một sóng

Tập hàm sóng bản, {a,b(x)}, có thểđược tạo cách tịnh tiến

lấy tỷ lệ sóng bản,

       

a b x a x b

a 

 , ( ) (7)

trong a > 0 b số thực Biến a phản ảnh tỷ lệ hàm sóng bản, cịn b xác định rõ vị trí tịnh tiến hàm theo trục x Thơng thường, sóng sở, (x), đặt gốc toạđộ cho a,b(x)đặt x = b

 2 2/2

1

2 )

(x  x ex



 (8)

Biến đổi sóng liên tục f(x) liên quan đến sóng (x)

0

x

0.5





 f f x x dx

b a

Wf( , ) ,a,b ( )a,b( ) (9)

Grossman Morlet chứng minh biến đổi sóng liên tục ngược

  



0 ( , ) , ( )

1 ) ( a da db x b a W C x

f f ab



(10)

Hệ số tỷ lệ trước vế phải biểu thức (7) bảo đảm tiêu chuẩn tất hàm sóng sởđều nhau,

 x f a dx a b x f a b x

f  

               (11)

14.2.2 CWT hai chiều

Biến đổi sóng liên tục W(a,b) hàm f(x) chiều hàm hai biến

Đối với hàm nhiều biến, biến đổi làm tăng số chiều thêm Nếu f(x,y) hàm hai chiều biến đổi sóng

  

 

 f x y x y dxdy b b a W y xb b a y x

f( , , ) ( , ) , , ( , ) (12)

trong đóbx by xác định biến đổi theo hai chiều Biến đổi sóng ngược liên

tục hai chiều

    

 



0 ( , , ) , , ( , )

1 ) , ( a da db db y x b b a W C y x

f f x y abxby x y



(13)

           a b x a b x a y

x x y

b b

a x y ,

1 ) , ( , , 

 (14)

và (x,y) sóng sở hai chiều Tổng quát hoá mở rộng để kiểm soát hàm có nhiều hai biến

14.2.3 Giải thích khối lọc (Filter Bank)

Ví dụ minh hoạ cách để xem xét biến đổi sóng liên tục Chúng ta định nghĩa hàm sở chung với tỷ lệa

         a x a x a 

 (15)

Đây hàm sóng sở tỷ lệa thơng thường a-1/2 Nó định nghĩa tập hàm trở nên rộng rãi với việc tăng a Chúng ta định nghĩa

 x  *x * x

~ 1

 

    a  a f a b f x b x dx f W

~ ~

,     



 (17)

Với phần khơng đổi a, sau Wf(a,b) tích chập f(x) với sóng liên hợp

theo tỷ lệa

Hình 14-6 cho thấy biến đổi sóng tích phân khối (bank) lọc tuyến tính (tích chập) thực f(x) giá trị a định nghĩa lọc thông dải khác nhau, đầu tất lọc, thực đồng thời, bao gồm biến đổi sóng Thêm vào biểu thức 10 trở thành

        2

0

~

0

~ 1

1

a da x f

C a da db x b b f

C x

f    a a  a a



 

 



  

 

 

 

    

 

(18) Nó ngụ ý đầu lọc, đầu lại lọc a(x) lấy tỷ lệ hợp

lý, kết hợp với để khôi phục f(x) Nó phát biểu Calderon, đời trước Grossman Morlet 20 năm

HÌNH 14-6

Hình 14-6 Sự giống khối lọc biến đổi sóng tích phân tín hiệu

Nhắc lại từ thuyết đồng dạng (Phần 10.2.5)

 

  

      

a s F a ax

f (19)

Có nghĩa

 s  a x a  as a   

  (20)

Và tần số trung tâm lọc thông dải giảm hàm truyền đạt trở

nên hẹp với việc tăng a

14.2.4 Các khối lọc hai chiều

Hình 14-7 minh hoạ tiếp cận khối lọctheo hai chiều Ở đây, lọc a(x,y)

một đáp ứng xung hai chiều, đầu ảnh chép lọc thông dải Ngăn xếp ảnh lọc bao gồm biến đổi sóng

phục ảnh ban đầu từ đầu lọc cách lọc ngược (giải chập) Nếu ảnh bị giới hạn dải khoảng mà tồn a(u,v) khác 0, f(x,y) có thểđược khơi phục từđầu lọc đơn lẻđó Phần cuối

là giá trị tiềm biến đổi sóng tích phân khơng cần trình bày đầy đủ, mà

để phân tích tín hiệu ảnh

Để minh hoạ việc này, giả sử lấy ảnh hình 14-7 làm ví dụ, đối tượng hình trịn có kích cỡ khác thành phần sóng sởđược chọn tương

ứng với đối tượng hình trịn có bán kính đơn vị Xem xét ngăn xếp ảnh phát vị trí đối tượng Hơn nữa, đối tượng xuất ảnh cụ

thể tương ứng với kích cỡ riêng biệt

HÌNH 14-7

Hình 14-7 Sự giống khối lọc biến đổi sóng tích phân ảnh

14.3 KHAI TRIỂN CHUỖI SÓNG CON

14.3.1 Cặp sóng (Dyadic Wavelet)

Kiểu biến đổi sóng thứ hai có vài điểm hạn chế so với kiểu thứ Ngồi ra, sóng sởđược lấy tỷ lệ tịnh tiến để tạo thành tập hàm

sở Tuy nhiên, tỷ lệ phép tịnh tiến định rõ số nguyên

không phải số thực

Trong định nghĩa thứ hai này, tự giới hạn để tạo hàm sở tỷ lệ nhị phân những cặp tịnh tiến sóng sở, (x) Một cặp tịnh tiến phép dịch lượng k/2j, phép nhân số nguyên hệ số tỷ lệ nhị

Hình 14-8 Tỷ lệ nhị phân cặp tịnh tiến biến đổi sóng

14.3.2 Định nghĩa

Hàm (x) sóng trực giao tập {j,k(x)} hàm định nghĩa

 x j  jx k k

j 2 

2 / , 

 (21)

Trong -<j, k< số nguyên, tạo thành co sở trực giao L2(R) Số

nguyên j xác định độ giãn, k rõ tịnh tiến

Tập sóng đề cập tạo thành sở trực giao nếu, đầu tiên,

m k l j m l k

j, , ,  , ,

  (22)

Trong l m số nguyên, j,k hàm delta Kronecker, , cho biết

tích; thứ hai hàm f(x)  L2(R) viết lại sau

     

 



 

 j k

k j k j x c

x

f , , (23)

Trong hệ số biến đổi cho tích; tức

        



 



 f x x f x x k dx

cj,k , j,k 2j/2  2j (24)

Biểu thức (23) (24) rõ khai triển chuỗi sóng con f(x) có liên quan tới sóng (x)

Chú ý hàm liên tục thể chuỗi vô hạn gấp hai lần, nói chung, biến đổi lại khắc phục Do hàm sở thường mở rộng vô hạn hạn theo hai hướng, nên việc khơi phục hồn chỉnh phải bao gồm tất số hạng

Tuy nhiên, chọn (x) thích hợp ta cắt chuỗi mà không gặp sai số

xấp xỉ nghiêm trọng Nếu f(x) bị chặn sóng sở định vị tốt, nhiều hệ số với |k| lớn không đáng kể Các hệ số với |j| lớn nhỏ, hàm sóng sở sau trở thành rộng hay hẹp

14.3.3 Cặp sóng đầy đủ (Compact Dyadic Wavelet)

Nếu ta giới hạn f(x) sóng sở thành hàm có gái trị bên ngồi khoảng [0,1], họ hàm sở trực chuẩn thường xác định sốđơn n; tức là,

 x j  jx k n 2 

2 /



 (25)

Trong đój k hàm thực n, sau: , , , ,

1 ,

2    

 j k j k j

n víi (26)

Đối với n, j số nguyên lớn ví dụ 2j n k = n - 2j Biến đổi ngược l

    





0

n n n x c x