Bài giảng Xử lý ảnh - Chương 13: Biến đổi ảnh rời rạc

[r]

Chương 13

BIẾN ĐỔI ẢNH RỜI RẠC

13.1 GIỚI THIỆU

Biến đổi Fourier rời rạc (DFT), giới thiệu chương 10, phép biến đổi tuyến tính rời rạc hữu ích xử lý ảnh số Trong chương này, nghiên cứu chủ đề tổng quát hơn, trình bày vài biến đổi khác vài tính chất ứng dụng chúng

Ảnh mà quan tâm thường dạng liên tục phải cảm nhận dạng Bởi bắt buộc phải làm việc với biểu diễn rời rạc ảnh liên tục, nên nhiều q trình xử lý ảnh số địi hỏi tuân thủ nguyên tắc lấy mẫu nội suy xử lý liệu rời rạc Tuy nhiên, vài ứng dụng cho phép xem xét ảnh số thực thể rời rạc mà không đề cập chi tiết đến lịch sử nguồn gốc ảnh hay ảnh liên tục

Một ứng dụng điển hình nén ảnh Ởđây, người ta muốn mã hoá ảnh thành dạng liệu nhỏ gọn hơn, mà không làm mát hay mát thông tin không cần thiết Bình thường, lẽ quang học, lấy mẫu nội suy số hoá hiển thịảnh khơng liên quan trực tiếp ảnh số xem xét đơn tệp liệu

Biểu diễn ảnh biểu đặc biệt liệu ảnh Đây thể liệu ảnh theo dạng hay khuôn dạng đặc biệt Một ảnh số có thểđược biểu diễn ma trận hay vec tơ hàng

13.2 BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH

13.2.1 Biến đổi tuyến tính rời rạc chiều

Định nghĩa. Nếu x vec tơN  1 T ma trận N  N,

Tx y x

t y

N

j j j i

i  

 

hay

0

, (1)

trong đói = 0, , N-1 biến đổi Fourier vec tơx Ma trận T gọi ma trận hạt nhân (kernel matrix) phép biến đổi Lưu ý cách sử dụng từ hạt nhân khác với cách sử dụng thuật ngữhạt nhân tích chậpđã đề cập phần 9.3.4

Kết phép biến đổi làmột vec tơy, N  1 khác Phép biến đổi tuyến tính y thực phép tổng bậc phần tử đầu vào Mỗi phần tửyi tích vec tơđầu vào x với hàng thứi ma trận T

Ví dụ Một ví dụđơn giản phép biến đổi tuyến tính phép quay vec tơ hệ thống toạđộ hai chiều (Xem chương 8) Ởđây,

   

    

       



 

      

2

2

cos sin

sin cos

y

x x

y  

 

(2) Quay vec tơx quanh gốc toạđộ góc 

Phép nghịch đảo Sau phép biến đổi, vec tơ ban đầu khôi phục phép biến đổi ngược

x T

Chứng tỏ T không Như trên, phần tử x lại tích, tích y hàng T-1 Với ví dụ trước đây, điều chẳng khác phép quay góc theo chiều ngược lại

13.2.1.1 Biến đổi đơn vị

Đối với vec tơ chiều dài N cho, có nhiều ma trận biến đổi sử dụng Tuy nhiên, ma trận hữu ích liên quan đến lớp thuộc tính

Nếu T ma trận đơn vị,

I T T TT t  t  T vµ * *

T-1 *t (4)

Trong * ký hiệu liên hợp phức cho phần tử T t ký hiệu phép chuyển vị Nếu T ma trận đơn vị có thành phần thực ma trận trực giao, biểu diễn sau

I T T TTt  t  T vµ

T-1 t (5)

Chú ý phần tửi, j TTt tích hàng i j T Biểu thức (5) chứng tỏ phần tửđều 0, trừ phần tửi = j, trường hợp đơn vị Vì thế, hàng T tập vec tơ trực giao

Ví dụ: DFT một chiều. DFT ví dụ biến đổi đơn vị,

hay



 

   

   

1

0

2 exp

1 N

i i k

N i k j f

N

F  F = Wf (6)

Trong W ma trận đơn vị (nhưng không trực giao) với phần tử (phức)

   

   

N i k j

N i

k

i 

, exp (7)

Nội suy. Bình thường, ma trận biến đổi T khơng đơn (chẳng hạn, rank(T) = N), để có thểđảo ngược biến đổi, biểu thức (3) Các hàng T tạo thành sở trực giao (một tập vec tơ sở trực giao hay vec tơđơn vị) không gian vec tơN chiều tất vec tơN  1 Điều có nghĩa chuỗi N  1 xem biểu diễn vec tơ ban đầu thành điểm không gian N chiều Hơn nữa, biến đổi dạng biểu thức (1) xem biến đổi toạđộ, quay vec tơ không gian N chiều mà không thay đổi độ dài vec tơ

Theo giả thiết biến đổi tuyến tính đơn vị sinh vec tơ y, vec tơN hệ số

biến đổi, hệ sốđược tính tích vec tơ vào x với hàng ma trận biến đổi T Biến đổi ngược tính tốn tương tự, giống tập tích thành phần vec tơ hệ số biến đổi với hàng ma trận biến đổi ngược

Biến đổi tiến nói chung coi q trình phân tích, việc phá vỡ vec tơ tín hiệu thành thành phần Các thành phần thường thấy dạng vec tơ sở Các hệ số biến đổi rõ tìm thấy vec tơ thành phần thể tập vec tơ riêng biệt phân tích

Biến đổi ngược, nói cách khác, thường coi trình tổng hợp (synthesis), tập hợp thành vec tơ ban đầu từ thành phần theo phép tổng Ở đây, hệ số biến đổi rõ khối lượng xác vec tơ sở phải thêm vào tập hợp để tái tạo lại vec tơđầu vào đầy đủ xác

vec tơ Vì thế, số bậc tự trước sau biến đổi trình khơng tạo hay phá huỷ thơng tin

Một vec tơđược biến đổi biểu diễn vec tơ ban đầu Vì chứa số lượng phân tử (và có số bậc tự do) vec tơ gốc vec tơ gốc khơi phục từ mà khơng sai sót, nên có thểđược coi dạng lựa chọn việc biểu diễn vec tơ ban đầu Chương xem xét vài phương pháp lựa chọn cho việc biểu diễn tín hiệu ảnh số, lợi ích mối phương pháp 13.2.2 Biến đổi tuyến tính rời rạc hai chiều

Biến đổi tuyến tính hai chiều nói chung biến đổi ma trận F, N  N thành ma trận biến đổi G (cũng là N  N)

i k m n F

G

N

i N

k k i

m,n , , ,

0

0 ,  

 

 



 (8)

trong i, k, m n biến rời rạc nằmg khoảng từ đến N - 1 (i,k,m,n) hàm hạt nhân phép biến đổi

Có thể xem (i,k,m,n) ma trận khối N2  N2 có N hàng, hàng có N khối, khối lại ma trận N  N Các khối đánh số m, n phần tử ma trận con N  Nđược đánh sối, k (Xem hình 13-1)

Nếu tách (i,k,m,n) thành tích hàm thành phần hàng cột-tức là,

i,k,m,nTri,m Tc k,n

 (9)

Thì biến đổi gọi tách được (separable) Nghĩa tiến hành hai bước-một phép tốn theo hàng phép toán theo cột (hay ngược lại):

k nT i m

T F

G r

N

i N

k k i n

m , ,

1

0

0 ,

,  

 

 

   

 

 (10)

Hơn nữa, hai hàm thành phần giống biến đổi gọi đối xứng (không nhầm lẫn vpí ma trận đối xứng) Và

i,k,m,nTi,m T k,n

 (11)

Và biểu thức (8) viết lại sau

i m F T k n G TFT

T G

N

k c k i N

i n

m  

  

 

 

  



hay

0 ,

0

, , , (12)

Trong đóT ma trận đơn vị, gọi ma trận hạt nhân biến đổi Chúng ta sử dụng ký hiệu cho toàn chương này, để biểu thị cho biến đổi đơn vịđối xứng, tách tổng quát

Biến đổi ngược

t t

GT T GT T

F  1 1  * * (13)

và khơi phục lại F cách xác

Ví dụ: DFT hai chiều. DFT hai chiều biến đổi đơn vị dc tách Trong trường hợp này, T biểu thức (12) trở thành ma trận W biểu thức (7)

DFT ngược sử dụng W-1, chuyển vị liên hợp W Cặp biến đổi Fourier rời rạc biểu diễn sau

HÌNH 13-1

Hình 13-1 Ma trận hạt nhân 13.2.2.1 Phép biến đổi trực giao

Không giống biến đổi Fourier, nhiều biến đổi có thành phần thực ma trận hạt nhân T chúng Một ma trận đơn vị với thành phần thực trực giao phép biến đổi ngược trở nên đơn giản

t t

GT T

F  (15)

Nếu T ma trận đối xứng, thường gặp, biến đổi xuôi ngược nhau,

TGT F TFT

G vµ  (16)

13.3 HÀM VÀ ẢNH CƠ SỞ

Khác hai biến đổi đơn vị lựa chọn hàm sở, tức là, hàng ma trận T Ở đây, xem xét hàm sở chi tiết

13.3.1 Hàm sở

Các hàng ma trận hạt nhân tạo thành tập vec tơ sởđối với không gian vec tơN chiều Các hàng trực chuẩn; tức

k j N

i

i k i j t

T T I

TT ,

1

0

, , *

* 

 

 

hay

(17)

Trong đój,k del ta Kronecker

Trong tập vec tơ trực chuẩn có lợi cho biến đổi tuyến tính, bình thường tồn tập xuất phát từ dạng hàm sở Ví dụ, biến đổi Fourier sử dụng thành phần mũ phức hàm sở nguyên mẫu Các hàm sở riêng lẻ khác tần số

Một vec tơ khơng gian biểu diễn tổng trọng số vec tơ đơn vị sở Một biến đổi đơn vị chiều (N  1) tương ứng với phép quay vec tơ không gian vec tơN chiều Hơn nữa, ma trận ảnh N  N xếp để tạo thành vec tơ N2  1, biến đổi hai chiều, đối xứng, tách tương ứng với phép quay vec tơ không gian N2 chiều

13.3.2 Ảnh sở

Biến đổi hai chiều ngược có thểđược coi trình tái tạo ảnh cách cộng tập ảnh sở thích hợp Mỗi phần tử ma trận biến đổi G hệ số, nhân với ảnh sở tương ứng phép cộng

 i pj q

q p

G   , 

,

 (18)

Trong đói j số hàng cột, p q số nguyên xác định vị trí phần tử khác Biến đổi ngược [biểu thức (13)]

i m Tk n Tp m T q n

T F

N

i

N

k

q k p i n

m , , , ,

1

0

1

0 ,

,  

  

 

 

 

 

 

 (19)

Vì thế, biến đổi đơn vị tách được, ảnh sở tích hai hàng ma trận biến đổi

Giống tín hiệu chiều, coi ảnh sở tập thành phần sởđể phân tích ảnh Chúng tạo nên khối để tái tạo ảnh Biến đổi xi thực phân tích cách xác định hệ số Biến đổi ngược thực khôi phục lại cách cộng ảnh sở,căn hệ sốđó

Bởi tồn nhiều tập ảnh sở, tồn nhiều phép biến đổi Vì vậy, tập ảnh sởđặc trưng quan trọng ngữ cảnh biến đổi đặc biệt

13.4 BIẾN ĐỔI ĐIỀU HOÀ

Với nguyên nhân đề cập đến chương 10, biến đổi Fourier lên biến đổi đơn quan trọng xử lý ảnh số Tuy nhiên, có vài quan hệ sử dụng hàm sởđiều hoà Chúng sẽđược đưa phần này, sau thảo luận ngắn gọn biến đổi Fourier

13.4.1 Biến đổi Fourier rời rạc

Đã giới thiệu chương 10, DFT lại xem xét ởđây, nội dung biến đổi đơn vị tách biệt, cho phép nêu so sánh biến đổi khác kiểu

Ma trận hạt nhân DFT (biểu thức (6) (7))

W

     

    

  



1 ,

,

1 , 0

,

N N N

N

w w

w w

   



(20)

Trong

N ik j k

i e

N

w,   2 (21)

Bởi tính tuần hồn thành phần mũ phức, W Các DFT xuôi ngược chiều

F = Wf f = W*t F (22) Trong đóf F vec tơ tín hiệu phổ Nếu f thực, nói chung, F có thành phần phức Chỉ fđối xứng hồn tồn F thực

13.4.1.1 Vec tơ phổ

còn lại N/2 - 1 phần tử sau thuộc nửa bên trái Tần số tương ứng với phần tử thứi F

 

      

    



  

1

2 /

2 /

2

N i N

f N

i N

N i f

N i s

N N

i

(23)

Trong đófN tần số Nyquist (tần số bản, nửa tần số lấy mẫu) Nếu N/2 - 1 phần tử sau f tạo thành ảnh chép lại phần tử từ đến N/2 - 1, F chẵn có giá trị thực

HÌNH 13-2

Hình 13-2 Vị trí thành phần tần số khác vec tơ phổ

Ta quay phần tử Fđi lượng N/2, sử dụng phép toán dịch phải (hay trái) vòng tròn, để tạo vec tơ thích hợp cho việc vẽ phổ Trong trường hợp đó, phần tử tần số định vị N/2, tần số tăng theo hai chiều Phần tử tần số Nyquist xuất F0

Lý thuyết dịch biến đổi Fourier (Xem phần 10.2.3) cung cấp cách khác đạt đến kết Việc áp dụng lý thuyết dịch miền tần số cho ta

      f x j x      f x f x

N u x j u

u F x f u

F exp exp x

0    

  

    

   (24)

Trong lượng dịch u0 = N/2 Nghĩa chỉđổi dấu phần tử đánh số lẻ f(x) trước thực DFT

13.4.1.2 DFT hai chiều

Các DFT hai chiều xuôi ngược

G = WFW F = W*tGW*t (25) Trong đóF ảnh dạng ma trận G ma trận phổ

Hình 13-3 cho thấy vị trí mà thành phần tần số khơng gian khác định vị ma trận phổ G xếp lại bốn góc phần tư, cho hình, khiến cho việc hiển thị phổ thuận tiện Theo cách đó, tần số nằm tâm ma trận, từđây tần số tăng dần Biểu thức (24) tổng quát hoá cho trường hợp hai chiều thành

u v fx y Fu N v N    fx y

13.4.2 Biến đổi cosin rời rạc

Biến đổi cosin rời rạc (Discrete Cosin Transform-DFT) hai chiều định nghĩa sau

                              1 2 cos 2 cos , , N i N k c N n k N m i k i g n m n m

G     (27)

Và biến đổi ngược

                                1 2 cos 2 cos , , N m N n c N n k N m i n m G n m k i

g     (28)

Trong hệ số

    m N

N m

N   



0 vµ  víi

 (29)

Giống DFT, DCT biểu diễn phép toán ma trận đơn vi dạng

CgC

Gc  (30)

Trong ma trận hạt nhân có phần tử

            N m i m Ci,m 1 

 cos (31)

Cũng giống DFT, DCT có thểđược tính thuật giải nhanh Khác với DFT, DCT thực Nó sử dụng rộng rãi nén ảnh

13.4.3 Biến đổi sin

Jain đưa định nghĩa biến đổi sin rời rạc sau

                                1 1 sin 1 sin , , N i N k s N n k N m i k i g N n m

G   (32)

Và                                  1 1 sin 1 sin , , N m N n s N n k N m i n m G N k i

g   (33)

DST có phần tử ma trận hạt nhân

             1 sin , N k i N

Tik  (34)

Không giống biến đổi điều hồ khác, DST tính tốn tiện lợi với N = 2p, đóp số nguyên Nó thực phần ảo FFT (2N + 2) điểm có cấu trúc đặc biệt

DSt có thuật giải thực nhanh tính chất hay dùng toán nén ảnh

13.4.4 Biến đổi Hartley