Trong chương chương 9 và 10, chúng ta đã đặt nền móng cho việc phân tích và thiết kế các phép toán lọc tuyến tính. Trong chương này, chúng ta sẽ đề cập đến kỹ thuật đối với việc thiết kế các bộ lọc để thực hiện các mục đích đặc thù. Để trình bày sự hiểu biết rõ bên trong quá trình, đầu tiên chúng ta nghiên cứu hoạt động của một vài bộ lọc đơn giản, nhưng hữu ích trong miền thời gian và miền tần số. Mời các bạn cùng tham khảo.
Ch¬ng 11 THIẾT KẾ BỘ LỌC 11.1 GIỚI THIỆU Trong chương chương 10, đặt móng cho việc phân tích thiết kế phép tốn lọc tuyến tính Trong chương này, đề cập đến kỹ thuật việc thiết kế lọc để thực mục đích đặc thù Để trình bày hiểu biết rõ bên trình, nghiên cứu hoạt động vài lọc đơn giản, hữu ích miền thời gian miền tần số Phần sau chương này, tiếp cận vấn đề thiết kế lọc tối ưu dùng việc thực công việc đặc biệt Theo chương chương 10, thực việc phân tích tín hiệu (thời gian) chiều, cho vấn đề toán học đồ hoạ đơn giản Tổng quát trường hợp hai chiều điều dễ hiểu Như thảo luận lọc đơn giản, gắn bó với phép nhân chập hệ thống tuyến tính giới thiệu chương trước (Xem lại hình 10-3) Tuy nhiên, tập tên biến khác dùng việc thảo luận lọc tối ưu Trong phần đây, xem xét vài lọc mà ta quan niệm đơn giản để minh hoạ đặc tính miền thời gian miền tần số lọc kết xử lý tín hiệu chúng 11.2 CÁC BỘ LỌC THƠNG THẤP (LOWPASS) Một tín hiệu hay ảnh thường hay tập trung lượng vùng tần số thấp trung bình phổ biên độ Tại tần số cao, thông tin cần thiết thường bị nhiễu phá huỷ Vì thế, lọc làm giảm biên độ thành phần tần số cao làm giảm ảnh hưởng nhìn thấy nhiễu 11.2.1 Các lọc thông thấp đơn giản Bộ lọc hộp Cách đơn giản để làm giảm nhiễu tần số cao cách lấy trung bình chỗ Cách thực cách nhân chập tín hiệu với xung vng, (x), minh hoạ hình 9-16 Nó gọi lọc trung bình-di chuyển (movingaverage) Mức xám điểm ảnh thay trung bình mức xám bên hình vng hay hình chữ nhật điểm lân cận Nhắc lại chương 10, biến đổi Fourier xung vng có dạng sin(x)/x (Hình 10-2) Hình 11-1 minh hoạ kết vấu sườn âm hàm truyền đạt lọc hộp Bảng kiểm tra chứa dọc tần số biến thiên Đáp ứng xung xung vng có chiều rộng khác đặt theo hướng ngang Theo định lý đồng dạng (chương 10), độ rộng hàm truyền đạt tỷ lệ nghịch với bề rộng đáp ứng xung Miễn lọc hộp không rộng hai điểm ảnh, điểm zero giao hàm truyền đạt nằm hay tần số cao liệu lấy mẫu (xem thêm chương 12) Tuy nhiên, lọc hộp rộng hai điểm ảnh gây nguy hiểm phân cực đảo cho cấu trúc nhỏ ảnh, thấy hình 11-1 166 HÌNH 11-1 Hình 11-1 Ảnh đảo ngược lọc hộp: bảng kiểm tra nhân chập với xung vuông Bộ lọc tam giác Chúng ta sử dụng lọc tam giác, (x), đáp ứng xung lọc thơng thấp Đơi gọi lọc trung bình có trọng số (weighted-average) Trong khơng gian hai chiều, xuất dạng hình chóp Phổ xung tam giác có dạng [sin(x)/x]2, khơng âm tắt dần với tần số nhanh nhiều so với lọc hộp Vì thế, vấu sườn nhỏ (âm) tập trung ảnh đầu Bộ lọc dùng an tồn kích thước lớn mà khơng lo ngại phân cực đảo Người ta tạo kết tương tự lọc tam giác hai ứng dụng liên tiếp lọc vng Bởi tính đơn giản lọc hộp nên có hiệu mặt tính tốn việc sử dụng (x) Thực tế, việc dùng từ ba ứng dụng trở lên (x) mô (emulate) lọc, giống hàm Gauss, có tác dụng làm nhẵn miền tần số Ngưỡng tần số cao (High-Frequency Cutoff) Một phương pháp lọc thơng thấp có phần “bắt ép thơ bạo” (brute force) dùng để (a) tính biến đổi Fourier tín hiệu hay ảnh, (b) đặt phần phổ biên độ có tần số cao 0, (c) tính biến đổi Fourier ngược kết Điều tương đương với việc nhân phổ với xung vuông tương đương với việc nhân chập tín hiệu hay ảnh với hàm sin(x)/x Việc nhân chập với hàm sin(x)/x khiến cho ringing (phần 9.5.2) xuất vùng lân cận đỉnh nhọn cạnh Vì lý mà ngưỡng nhọn miền tần số có ích bị giới hạn 11.2.2 Bộ lọc thơng thấp Gauss Bởi biến đổi Fourier hàm Gauss hàm Gauss nên hàm tạo thành lọc thông thấp với tác dụng làm nhẵn hai miền Dĩ nhiên thực phép nhân chập miền thời gian hay không gian phép nhân miền tần số 11.3 CÁC BỘ LỌC THÔNG DẢI VÀ CHẮN DẢI Trong vài trường hợp, thành phần tín hiệu hay ảnh mong muốn khơng mong muốn xảy chủ yếu vùng phổ có tần số khác Khi thành phần phân biệt theo cách hàm truyền đạt, mà hàm cho qua hay chặn lại tần số riêng biệt có ích 11.3.1 Bộ lọc thông dải lý tưởng Giả sử mong muốn thực hiện, phép nhân chập, lọc cho nămg lượng tần số f1 f2, f2 > f1, qua Hàm truyền đạt mong muỗn cho 167 1 G( s) 0 f1 s f cßn l¹i (1) Và trình bày hình 11-2 Bởi G(s) cặp xung vng chẵn nên xem xung vng nhân chập với cặp xung chẵn Nếu đặt HÌNH 11-2 Hình 11-2 Hàm truyền đạt thơng dải lý tưởng s0 ( f1 f ) vµ s ( f f ) (2) viết hàm truyền đạt lọc thông dải sau G( s) ( s ) (s s ) (s s ) s (3) Với dạng biểu diễn hàm truyền đạt, dễ dàng có đáp ứng xung: g (t ) s sin(st ) sin(st ) cos(2s t ) 2s cos(2s t ) st st (4) Bởi s < s0, nên biểu thức (4) diễn tả hàm cosin tần số f0 bao bọc hàm sin(x)/x có tần số s/2 Đáp ứng xung vẽ hình 11-3 Số chu kỳ hàm cosin giao điểm zero bao quanh phụ thuộc vào mối quan hệ s0 s Chú ý f0 số s nhỏ dần (dải thơng hẹp chẳng hạn), đường bao mở rộng thêm nhiều chu kỳ cosin giao điểm zero Khi s tiến đến đáp ứng xung tiến đến hàm cosin Trong trường hợp hạn chế, phép nhân chập thực tế trở thành tương quan chéo (cross-correlation) đầu vào với hàm cosin tần số s0 HÌNH 11-3 168 Hình 11-3 Đáp ứng xung thông dải lý tưởng 11.3.2 Bộ lọc chắn dải lý tưởng Hàm truyền đạt lọc cho nămg lượng tần số qua, ngoại trừ tần số nằm dải tần từ f1 đến f2 cho 1 G( s) 0 f1 s f lại (5) V th hình 11-4 Để thuận lợi, lại đặt s0 tần số trung tâm s độ rộng dải chắn (stopband) [biểu thức (2)] Bây viết hàm truyền đạt giống ta trừ lọc thông dải, chẳng hạn, G( s) ( s ) ( s s ) (s s ) s (6) Từ đó, ta có đáp ứng xung g (t ) (t ) 2s sin(st ) cos(2s t ) st (7) HÌNH 11-4 Hình 11-4 Hàm truyền đạt chắn dải lý tưởng Đáp ứng xung thể hình 11-5 Hoạt động thay đổi độ rộng dải (bandwidth) tần số trung tâm tương tự hoạt động lọc thơng dải mà tương đồng Nếu s nhỏ, lọc gọi lọc mức (notch filter) HÌNH 11-5 169 Hình 11-5 Đáp ứng xung chắn dải lý tưởng 11.3.3 Bộ lọc thông dải tổng quát Bây xem xét lớp lọc thông dải cấu trúc theo cách đây: Chúng ta chọn hàm đơn thức (unimodal) K(s) khơng âm nhân chập với cặp xung chẵn tần số s0 Hành động cho ta hàm truyền đạt, hình 11-6 Hàm truyền đạt có dạng G ( s ) K ( s ) ( s s ) (s s ) (8) Và đáp ứng xung g (t ) 2k (t ) cos(2s t ) (9) HÌNH 11-6 Hình 11-6 Bộ lọc thông dải tổng quát Đáp ứng xung hàm cosin tần số s0 đường bao nghịch đảo biến đổi Fourier K(s) Ví dụ, giả sử K(s) hàm Gauss G ( s) Ae s / 2 ( s s ) (s s0 ) (10) Khi đáp ứng xung trở thành 2 g (t ) 2A 2 e t / 2 cos(2s t ) (11) Đáp ứng xung này, hàm cosin đường bao Gauss, thể hình 11-7 Chú ý dễ dàng tạo lớp lọc chắn dải kỹ thuật HÌNH 11-7 170 Hình 11-7 Bộ lọc thơng dải tổng qt 11.4 CÁC BỘ LỌC TĂNG CƯỜNG TẦN SỐ CAO Thuật ngữ lọc tăng cường tần số cao (high-frequency enhancement filter), hay lọc thông cao (highpass filter) dùng đến để mô tả cách tổng quát hàm truyền đạt, đơn vị tần số tăng lên với gia tăng tần số Một hàm truyền đạt có mức vượt ngồi giá trị lớn giá trị đơn vị hoặc, phổ biến hơn, rơi trở tần số cao Trong trường hợp sau, bộlọc tăng cường tần số cao thực chất kiểu lọc thông dải với giới hạn số gia đơn vị tần số không Thực tế, người ta mong muốn có số gia đơn vị bé tần số không, để giảm tương phản thành phần không ổn định tương đối lớn ảnh Nếu hàm truyền đạt qua gốc toạ độ, gọi lọc Laplace 11.4.1 Bộ lọc hiệu hàm Gauss (Difference of Gaussians) Chúng ta tạo hàm truyền đạt tăng cường tần số cao cách biểu diễn hiệu hai hàm Gauss có độ rộng khác nhau: G ( s ) Ae s / 212 Be s / 2 22 A B, (12) Điều trình bày rtong hình 11-8 Đáp ứng xung lọc g (t ) A 2 12 e t / 2 12 B 2 22 e t / 2 22 i 2 i (13) thể hình 11-9 Chú ý hàm Gauss miền tần số tạo hàm Gauss hẹp miền thời gian ngược lại Đáp ứng xung cho hình 11-9 đặc trưng lọc thông cao thơng dải, có xung dương vị trí lõm âm HÌNH 11-8 Hình 11-8 Hàm truyền đạt tăng cường tần số cao Gauss Nếu cho tiến đến vô cực, hàm Gauss hẹp miền thời gian thu hẹp thành xung, lọc có dạng hình 11-10 Chú ý khác lọc chạy lại (quay phía 0) tần số cao lọc không chạy lại độ rộng xung trung tâm miền thời gian Thực tế, rộng xung trung tâm nhanh hàm truyền đạt lọc 171 11.4.2 Các quy tắc ngắn gọn thiết kế lọc thông cao Trong phần này, trình bày hai quy tắc áp dụng gần cho việc đánh giá hoạt động lọc tăng cường tần số cao Giả sử đáp ứng xung lọc biểu diễn xung hẹp trừ xung rộng, ví dụ, g (t ) g1 (t ) g (t ) (14) Như minh hoạ hình 11-11 Chúng ta biết hàm truyền đạt G(s) hình thành trạng thái lọc tăng cường tần số cao Chúng ta đánh giá hàm truyền đạt tần số để xác định ảnh hưởng tương phản đối tượng lớn bên ảnh Chúng ta đánh giá giá trị hàm truyền đạt cực đại đạt tần số HÌNH 11-9 Hình 11-9 Đáp ứng xung tăng cường tần số cao Gauss Giá trị cực đại Nếu ta viết biến đổi Fourier biểu thức (14) thay giá trị s = vào, ta G (0) g (t )dt g (t )dt g (t )dt A1 A2 (15) Trong A1 A2 biểu diễn diện tích bên hai hàm thành phần Chúng ta thay biên độ lớn hàm truyền đạt giả thiết G2(s) tiến đến trước G1(s) từ giá trị cực đại giảm xuống; tức là, G max G1 (0) g1 (t )dt A1 (16) Bây có hai quy tắc đơn giản lọc tăng cường tần số cao bao gồm hiệu hai xung: G (0) A1 A2 vµ G max A1 (17) HÌNH 11-10 172 Hình 11-10 Bộ lọc thơng cao Gauss HÌNH 11-11 Hình 11-11 Bộ lọc thơng cao tổng qt Nếu g1(t) xung (Xem hình 11-10), tiến hành hai quy tắc biểu thức (17) Đáp ứng tần số thấp Bây xem xét ảnh hưởng lọc tác động lên đối tượng lớn vùng mức xám không đổi bên ảnh Giả sử đáp ứng xung g(t) bị giới hạn thời gian-tức là, giá trị khơng nằm bên ngồi khoảng hữu hạn Cũng giả thiết tín hiệu vào f(t) khơng đổi khoảng rộng khoảng thời gian g(t) Tình trình bày hình 11-12 Đầu hệ thống tích phân phép nhân chập h( x ) f ( ) g ( x )d (18) Tuy nhiên, toàn khoảng xét, tín hiệu vào số, biểu thức (18) trở thành h( x) cg ( x )d c g ( )d (19) Chú ý ta thay s = vào định nghĩa phép biến đổi Fourier, ta có G (0) g (t )dt Nghĩa h( x) cG (0) (20) Vì thế, G(0) = 1, lọc không thay đổi biên độ diện tích rộng số f(x) Tổng quát hố cho trường hợp hai chiều, điều có nghĩa lọc không thay đổi tương phản vùng phẳng, rộng lớn phạm vi ảnh đầu vào Nếu G(0) 1, lọc trở thành hệ số gia tăng việc điều khiển toàn biên độ mối quan hệ thành phần lớn h(t) f(t) 173 HÌNH 11-12 Hình 11-12 Đáp ứng tần số thấp 11.5 THIẾT KẾ BỘ LỌC TUYẾN TÍNH TỐI ƯU Trong phần này, trình bày kỹ thuật để thiết kế lọc mà, ý nghĩa đó, tối ưu việc thực công việc đặc biệt Đầu tiên, tiến hành cách thiết lập đặc tính tiêu chuẩn sau mở rộng tiêu chuẩn cách chọn đáp ứng xung thích hợp (hay hàm truyền đạt) cho lọc Lịch sử xử lý ảnh số xem việc thiết kế lọc, giống chuyến bay thực Chiến tranh Thế giới I, “bằng đũng quần” (by the seat of the paints) Các lọc chọn nguyên nhân đơn giản, thành công khứ, thuận lợi, lôi thẩm mỹ, lời đồn đại ý thích bất chợt, nhờ sử dụng máy tính Bộ lọc thiết kế chứng minh thành cơng, mang tiếng xấu gần điểm cực thuận (suboptimal) Nó không tạo lọc tốt nguy hiểm Các lọc gần điểm cực thuận-những lọc riêng biệt dễ dàng thực máy tính-có thể đưa đồ tạo tác (artifact) vào ảnh, thường khơng có dấu hiệu báo trước Các lọc bao gồm xung vuông miền, người lập trình máy tính ưa chuộng, hoạt động không kết miền ngược lại chuyển động sóng vơ hạn hàm sin(x)/x Những người sử dụng lọc có cạnh vng miền thường bị quấy rầy ringing tượng đồ tạo tác khác miền khác Đơi họ nhìn nhận cách sai lầm đặc tính khơng mong muốn vốn có xử lý số, hay họ than vãn thiếu máy tính có đủ khả cần thiết để thực công việc cách xác Trong phần này, trình bày kỹ thuật thiết kế lọc tối ưu chứng minh, cách tổng quát, chúng hoạt động tốt Trang bị kiến thức này, người sử dụng lựa chọn cách thơng minh tính tối ưu tính tốn dễ dàng mà không chuốc lấy đồ tạo tác tai hại Đầu tiên xem lại khái niệm biến ngẫu nhiên sau trình bày kỹ thuật thiết kế hai lọc tối ưu: ước lượng Wiener, tối ưu việc khơi phục tín hiệu chưa biết từ nhiễu cộng tách đối sánh (match detector), tối ưu cho việc tách lấy tín hiệu biết bị lẫn vào nhiễu cộng Dù người chưa thực trình thiết kế lọc tối ưu, hai luận điểm làm tăng hiểu biết người thiết kế lọc lên cách đáng kể 11.5.1 Biến ngẫu nhiên Trong chương trước, đề cập đến khái niệm biến ngẫu nhiên, đặc biệt việc khử nhiễu ảnh Bởi biến ngẫu nhiên đóng vai trò chủ yếu trình bày nên thảo luận chúng chi tiết Chúng ta dùng thuật ngữ nhiễu ngẫu nhiên để diễn tả tín hiệu làm bẩn chưa biết Từ ngẫu nhiên thực chất cách nói khác hiểu biết hạn chế Sự thiếu hiểu biết thái độ đối xử với trình, mà ý nghĩa vật lý khơng 174 hiểu rõ cho lắm, hay với q trình mà việc phân tích chi tiết q phức tạp Vì thế, có chút hiểu biết chung tín hiệu, thiếu chi tiết đặc biệt, xem tín hiệu ngẫu nhiên Khi xem xét tín hiệu suốt trình thu nhận ảnh, biết tín hiệu làm bẩn khơng mong đợi xuất chồng lên (thêm vào) tín hiệu cần thiết Mặc dù biết nguồn gốc nhiễu, biểu diễn dạng hàm tốn học Sau quan sát nhiễu chu kỳ thời gian, trình bày cách nhận biết phần nhiễu tiên đốn tường tận tác động Vì vậy, khái niệm biến ngẫu nhiên trở thành công cụ hữu ích xử lý nhiễu Chúng ta xem xét mọt biến ngẫu nhiên theo cách sau: Xem xét tồn vơ số hàm thành viên Khi thực việc thu nhận ảnh, hàm thành viên bật lên để làm bẩn ghi chúng ta, cách để biết hàm Tuy nhiên, tạo kê chung cho tồn nhóm Theo cách này, biểu diễn nhận biết phần tín hiệu nhiễu 11.5.1.1 Các biến ngẫu nhiên ergodic Trong phần lại sách, quan tâm đến biến ngẫu nhiên ergodic Dưới thể định nghĩa thuật ngữ Người ta tính trung bình biến ngẫu nhiên theo hai cách Chúng ta tính trung bình thời gian (time average) cách tích phân hàm thành viên riêng lẻ toàn trục thời gian, tính trung bình giá trị ước lượng tất hàm với thời điểm đặc biệt Kỹ thuật vừa nói đến tạo trung bình tồn (ensemble average) thời điểm Một biến ngẫu nhiên ergodic (1) trung bình thời gian tất hàm thành viên nhau, (2) trung bình tồn khơng đổi theo thời gian, (3) trung bình thời gian trung bình tồn số lượng Do vậy, biến ngẫu nhiên ergodic, trung bình thời gian trung bình tồn thay lẫn Trong chương 7, giới thiệu toán tử dự tính x(t) , biểu thị cho trung bình tồn biến ngẫu nhiên x tính thời điểm t Dưới tính chất ergodic, x(t) biểu thị cho giá trị thu mẫu đặc biệt biến ngẫu nhiên x(t) lấy trung bình theo thời gian; tức là, x(t ) x (t )dt (21) Biểu thức (142) chương 10 xác định hàm tự tương quan (autocorrelation) trung bình thời gian Đối với biến ngẫu nhiên ergodic, hàm tự tương quan tương đương với tất hàm thành viên, đặc tính tồn Ngồi nói n(t) biến ngẫu nhiên ergodic, muốn nói hàm chưa biết có hàm tự tương quan biết Điều thể nhận biết phần n(t) Bởi hàm tự tương quan n(t), Rn ( ) n(t )n(t )dt (22) biết nên phổ lượng nó, Pn ( s ) Rn ( ) (23) 175 f (t )dt g (t )dt f (t ) g (t )dt (84) Trong f(t) g(t) hàm thực tuỳ ý phép tích phân thực với giới hạn tuỳ ý Cách tiếp cận để xác định hàm f(t) g(t) tạo thừa số biểu thức (83) rút bất đẳng thức liên quan đến Tiếp theo, giả thiết dạng hàm truyền đạt chứng minh cực đại hố Tuy nhiên, phải chứng minh bất đẳng thức Schwartz Chúng ta bắt đầu cách xác định hàm theo biến không âm Q ( ) f (t ) g (t ) dt (85) Khai triển tích phân tập hợp thành phần ta f (t ) g (t ) dt f 2 (t )dt 2 f (t ) g (t )dt g (t )dt (86) Biểu thức (86) phương trình bậc hai theo biến Vì thế, 2 f (t ) g (t )dt 4 f 2 (t )dt g (t )dt (87) Hay f (t ) g (t )dt f (t )dt g (t )dt (88) Do biểu thức (84) chứng minh 11.5.5.3 Điều kiện cần Chúng ta sử dụng bất đẳng thức Schwartz để rút điều kiện xoay quanh tỷ số tín hiệu nhiễu Đầu tiên xác định hai hàm f (s ) K ( s) Pn ( s) (89) Và M (s) Pn ( s ) (90) f (s ) g (s) K ( s) M ( s) (91) g (s) Chúng tạo Và độ lớn bình phương chúng 2 f ( s ) K ( s ) Pn ( s ) (92) Và g (s ) M ( s) Pn ( s ) (93) Nếu thay hàm định nghĩa biểu thức (89) (90) vào bất đẳng thức Schwartz, dùng s biến tích phân, ta 189 M ( s) K ( s) M (s)ds K (s) Pn (s)ds Pn (s ) ds (94) Nếu ta chia hai vế cho (95) K ( s ) Pn ( s )ds Ta K ( s ) M ( s )ds K ( s ) Pn ( s )ds M ( s) Pn ( s ) ds (96) K ( s ) Pn ( s )ds K ( s ) Pn ( s )ds Nhắc lại biểu thức (83), thừa nhận vế trái bất đẳng thức Hơn nữa, mẫu số vế phải giản ước cho thành phần thứ tử số, cuối ta M ( s) Pn ( s ) ds (97) Là giới hạn tương đối đơn giản Vì thế, bất đẳng thức Schwartz dẫn đến biểu thức (97), biểu thức rõ nhỏ phương trình phổ lượng tín hiệu phổ lượng nhiễu Rõ ràng, cực đại điều kiện đẳng thức biểu thức (97) Bở muốn lớn tốt nên ta lấy p max M ( s) Pn ( s ) ds (98) Như điều kiện cần cho việc phóng đại 11.5.5.4 Hàm truyền đạt Tiếp theo, giả thiết dạng K(s) chứng minh thực phóng đại Giả sử hàm truyền đạt tối ưu K (s ) C M ( s) Pn ( s ) (99) Trong C số tuỳ ý Thay hàm giả thiết vào biểu thức tổng quát [biểu thức (83)] tạo M ( s) C Pn ( s) M ( s)ds M ( s) M (s) C Pn ( s) Pn (s) Pn ( s)ds (100) Giản ước số rút gọn biểu thức mẫu số Pn(s) thành 190 M (s ) Pn ( s) M ( s)ds M ( s) M (s) Pn* ( s) ds (101) Vì Pn(s) thực chẵn, P*n(s) = Pn(s), tử số bình phương mẫu số rút gọn thành M (s ) Pn ( s ) ds max (102) Thoả mãn điều kiện tối ưu biểu thức (98) Điều có nghĩa hàm truyền đạt giả thiết biểu thức (99) thực phóng đại tỷ lệ lượng tín hiệu nhiễu tai đầu lọc Chú ý độ lớn hàm truyền đạt K ( s) C M (s ) (103) Pn ( s ) Tỷ lệ với tỷ số lượng biên độ tín hiệu nhiễu giống hàm tần số Hằng số tuỳ ý C không làm ngạc nhiên, trước tiên cố gắng phóng đại tỷ số đầu 11.5.6 Các ví dụ phát tương xứng Để áp dụng hiểu biết sâu sắc vào hoạt động phát tương xứng, xem xét vài ví dụ với điều kiện đặc biệt 11.5.6.1 Nhiễu trắng Trường hợp thứ nhất, ta giả thiết nhiễu n(t) quang phổ trắng; tức Pn ( s ) N 02 (104) Bởi C biểu thức (99) số tuỳ ý, đặt N20 phát tương xứng trở thành K (s ) M ( s) (105) Đáp ứng xung miền thời gian k (t ) 1 K ( s ) M (s )e j 2st ds (106) Vì m(t) thực nên M(s) Hermite viết k (t ) M ( s )e j 2 ( s )( t ) ds m(t ) (107) Vì vậy, đáp ứng xung trường hợp nhiễu trắng đơn kiểu phản ánh tín hiệu Bộ lọc gọi làm tương xứng với tín hiệu thuật ngữ liền với phát biểu thức (99) Thành phần tín hiệu đầu cho 191 u (t ) m(t ) k (t ) m( )m(t )d Rm (t ) (108) Và thành phần nhiễu v(t ) n(t ) k (t ) n( )m(t )d R mn (t ) (109) Bởi k0(t) biểu thức (107) tín hiệu phản hồi mà cố gắng để phát nên lọc tương xứng k0(t) đơn tương quan chéo, lấy tương quan chéo tín hiệu vào pha lẫn nhiễu với dạng tín hiệu muong muốn biết Đầu y (t ) u (t ) v(t ) Rm (t ) Rmn (t ) (110) Đầu có thành phần tương quan chéo khắp nơi, có thành phần tự tương quan vị trí tín hiệu Nếu tương quan tín hiệu nhiễu nhỏ Rmn() nhỏ thành phần nhiễu đầu nhỏ Hơn nữa, hàm tự tương quan Rm() có đỉnh = Cho nên, u ( 0) v (t ) (111) Sẽ lớn t = 0, hay nơi tín hiệu xuất hiện, giơng mong muốn 11.5.6.2 Bộ phát xung vng Ví dụ, giả thiết m(t) = (t); tức là, lọc tương xứng thiết kế để phát xung vuông nhiễu trắng Giả sử đầu vào x(t) = s(t) + n(t), s(t) =(t-T) n(t) nhiễu trắng Nên nhớ hàm tự tương quan xung vuông cho R x ( ) (t ) (t ) ( ) (112) Bây đầu lọc y (t ) R xm (t ) Rsm (t ) R mn (t ) (t T ) R mn (t ) (113) Vì vậy, hệ thống trình bày hình 11-22, thành phần vào thể hình 11-23 HÌNH 11-22 Hình 11-22 Bộ phát xung vng 192 Từ hình 11-23, ta thấy cách mà lọc tương xứng tách nhiễu khỏi tín hiệu Đầu có đỉnh t = T, thời điểm xuất xung đầu vào, có biên độ tương đối nhỏ chỗ khác Vì thế, xem xét đơn giản tín hiệu đầu cho ta biết xung đầu vào xuất Chú ý khn dạng hay hình dạng tín hiệu khơng phát tương xứng bảo toàn giống trường hợp ước lượng Wiener Nguyên nhân thiết kế lọc để phát tín hiệu đầu vào đặc biệt biết có mặt hay khơng, khơng phải ước lượng hình dạng khơng có nhiễu 11.5.6.3 Phát đặc điểm ảnh Hình 11-24 cho thấy lọc tương xứng đặt lưới điểm giao lên đồ thị số hố Thơng tin sử dụng, ví dụ, để hướng dẫn phép biến đổi hình học nhằm sửa toạ độ cho thẳng trước tự hiệu chỉnh đồ thị Nhân phép nhân chập (Hình 11-24a) làm tương xứng phần ảnh nằm ngồi khu vực lưới điểm giao HÌNH 11-23 Hình 11-23 Các tín hiệu thành phần đầu vào đầu 11.5.7 So sánh ước lượng Wiener với phát tương xứng Bộ ước lượng Wiener phát tương xứng lọc tối ưu thiết kế để thực công việc đặc biệt Mặc dù chúng thiết kế cho chức khác nhau, cung cấp tài liệu để so sánh hai lọc Biểu thức (59) tín hiệu nhiễu khơng tương quan hàm truyền đạt ước lượng Wiener H (s) Ps ( s ) Ps ( s ) Pn (s ) (114) Và sai số bình phương trung bình mà ta nhận dược sử dụng lọc này, từ biểu thức (66), Ps ( s ) Pn (s ) ds Pn ( s ) H (s )ds P ( s ) P ( s ) s n MSE (115) Nếu ta đặt C = vào biểu thức (99), hàm truyền đạt phát tương xứng trở thành 193 S ( s) Pn ( s ) K (s) (116) Và tỷ số lượng tín hiệu nhiễu đầu Ps ( s ) ds P ( s) n max (117) HÌNH 11-24 Hình 11-24 Ví dụ lọc tương xứng hai chiều: (a) hạt nhân phép nhân chập; (b) ảnh vào; (c) ảnh ra; (d) phác hoạ ảnh Đầu tiên, ý H0 (s) thực chẵn (và khơng chứa thơng tin pha), K0(s) Hermite có chứa thơng tin pha Cũng phải ý H0(s) nằm +1 Nghĩa khơng mở rộng thành phần phổ tín hiệu vào Tuy nhiên, K0(s) khơng có giới hạn dương giới hạn âm, hoạt động miền tần số bị hạn chế Chúng ta xác định tỷ số lượng tín hiệu nhiễu hàm tần số R( s) S (s) N ( s) 2 Ps (s ) Pn (s ) (118) Với dạng hàm này, độ lớn hàm truyền đạt phát tương xứng K (s ) R (s) R( s) S (s) N (s) (119) Và tỷ số tín hiệu nhiễu max R ( s )ds (120) Hàm truyền đạt lọc Wiener H (s ) H ( s) R( s) R( s) (121) Và sai số bình phương trung bình cho 194 MSE0 R( s ) Pn ( s ) R( s) (122) Chính lượng nhiễu qua lọc, tích luỹ tất tần số Hình 11-25 cho thấy ví dụ hàm miền tần số đề cập phần Chúng ta muốn lớn để phát tương xứng thực tốt Điều xảy Ps(s) lơn Pn(s) nhiều số tần số Nói cách khác, để lọc Wiener thực thành cơng diện tích bên tích phân MSE phải nhỏ MSE tập trung tối đa tần số mà Ps(s) Pn(s) xấp xỉ 11.5.7.1 Nghiên cứu thực tiễn Ước lượng công việc khó khăn phát hai nguyên nhân Thứ nhất, cần ước lượng để khơi phục tín hiệu thời điểm, cần phát để xác định thời điểm tín hiệu xuất Thứ hai, có thơng tin nhiều chu kỳ tốn phát mà biết xác dạng tín hiệu, thay biết phổ lượng Bởi cần phát để thực không nhiều thông tin nên trơng chờ vào thực tốt với điều kiện HÌNH 11-25 Hình 11-25 Hàm phổ lọc Wiener lọc tương xứng Dù sử dụng phát hay ước lượng, bình thường ta phải sai khiến vấn đề Bởi chúng thiết kế cho công việc khác nhau, chúng thường không đầy đủ cho việc nghiên cứu Tuy nhiên, cung cấp tài liệu để so sánh hoạt động chúng điều kiện tương tự Hình 11-26 trình bày trạng thái tính tốn minh hoạ cho ước lượng Wiener lẫn phát tương xứng tín hiệu xung Gauss bao lấy nhiễu trắng ngẫu nhiên Trong trường hợp này, tỷ số tín hiệu nhiễu Cả ước lượng [biểu thức (114)] lẫn phát [biểu thức (116)] lọc thông thấp, việc tạo thành chúng khác Đầu phát cho thấy rõ đỉnh thời điểm xung vào xuất Bộ ước lượng khôi phục xung từ nhiễu, có lỗi Các thành phần tần số thấp nhiễu lọt vào lọc Wiener cản trở việc khơi phục xác Người ta mong đợi thực tốt từ hai lọc cách tận dụng tỷ số tín hiệu nhiễu, ngược lại 195 HÌNH 11-26 Hình 11-26 So sánh lọc Wiener lọc tương xứng 11.5.8 Ví dụ cụ thể Chúng ta kết thúc chương ví dụ minh hoạ lý thuyết lọc tối ưu để thiết kế lọc cụ thể Hình 11-27 cho thấy ảnh X quang số hoá ống chứa đầy thuốc hấp thu tia X Ảnh mô chụp X quang mạch, kỹ thuật chẩn đoán mà thuốc nhuộm tiêm vào mạch máu suốt trình chụp X quang Ở đây, ống làm trơn thay cho mạch Mục đích ví dụ để phát triển kỹ thuật xử lý tìm cạnh ống ảnh nhiễu hình 11-27 đo lường xác đường kính ống dọc chiều dài ống Kỹ thuật dùng cho việc xác định số lượng đoạn mạch thu hẹp kèm theo chứng xơ vữa động mạch (atherosclesoris) tạo đau tim Bởi vấn đề ta phát biên nên phát tương xứng chọn lựa tự nhiên Tuy nhiên, ví dụ này, đưa vấn đề khó khăn Chúng ta giả thiết cạnh mạch xuất hiện, dòng ảnh, hai điểm sườn dốc cố gắng xác định vị trí chúng phép vi phân Tuy nhiên, trước vi phân, dùng lọc Wiener để ước lượng ảnh không nhiễu Hơn nữa, xử lý dòng quét ngang cách riêng biệt Điều không làm cho vấn đề trở thành toán chiều, mà cấp thủ tục đáp lại thay đổi xảy nhanh chóng Hình 11-28 cho thấy đồ thị mức xám dòng fi(x) từ hình 11-27 Nhiễu rõ rệt phổ biến kỹ thuật chụp X quang chủ yếu hạt film tính thống kê chùm phô tôn tới Rõ ràng, vi phân đường cong không tạo đỉnh đáng tin cậy điểm uốn nhiễu Giả thiết tín hiệu s(x) nhiễu n(x) không tương quan, lọc Wiener yêu cầu phổ lượng tín hiệu phổ lượng nhiễu Chúng ta ước lượng phhỏ lượng tín hiệu cách lấy trung bình dòng, vì, với ống làm trơn, tất dòng fi(x) khơng nhiễu Vì thế, Ps ( s ) s ( x ) 1 N f i ( x) i 1 (123) Sẽ làm giảm nhiễu với hệ số1 / N Hình 11-29 đưa kết phép lấy trung bình 60 dòng hình 11-27 phổ biên độ kết tín hiệu 196 HÌNH 11-27 Hình 11-27 Ảnh X quang số hố ống làm trơn HÌNH 11-28 Hình 11-28 Dòng 100, hình 11-27 Một tín hiệu ước lượng, phổ lượng nhiễu ước lượng từ hình 11-27 cách lấy trung bình phổ lượng dòng sau trừ tín hiệu; tức là, Pn ( s ) N f i ( x ) s ( s ) i 1 (124) HÌNH 11-29 Hình 11-29 (a) Tín hiệu khơng nhiễu ước lượng cách lấy trung bình theo hình 11-17; (b) Fourier phổ biên độ (a) Theo hướng này, biểu thức (124) xem phổ lượng nhiễu ước lượng khơng đổi tần số 197 Hình 11-30(a) trình bày hàm truyền đạt H0(s) lọc Wiener tính biểu thức (59) Hàm truyền đạt có giá trị gần tần số thấp mà tín hiệu chiếm ưu tiến dần đến tần số cao Chúng ta biến đổi ngược hàm truyền đạt hình 11-30(a) để có đáp ứng xung q trình làm trơn tiền vi phân (predifferentiation) Tuy nhiên, có vài nghiên cứu thực tế đáng ý Các khe hàm truyền đạt hình 11-30(a) tạo chéo phổ tín hiệu [Hình 11-29(b)] Theo định lý đồng dạng, vị trí khe dịch chuyển tuỳ theo thay đổi bề rộng mạch (vessel) Điều vấn đề tín hiệu ta khơng thực q trình ngẫu nhiên ergodic giả thiết phát triển lọcWiener Các hàm thành viên toàn tín hiệu tương ứng với mạch có bề rộng khác khơng thực tồn tín hiệu có phổ lượng giống Khi xảy ra, bắt buộc phải vi phạm giả thiết đặt cho lọc Wiener Nếu tính đến khe phiền phức thiết kế, lọc nhạy với thay đổi ánh sáng theo độ rộng mạch Điều tối ưu độ rộng xác mạch dùng thiết kế nhanh chóng trở thành gần tối ưu độ rộng bị thay đổi Đây miền tần số hàm truyền đạt thay đổi đột ngột Chúng ta chọn thay bỏ qua khe cách lấp đường bao trơn nhẵn lên hàm truyền đạt Hình 11-30(b) cho thấy hàm làm trơn H(s) xấp xỉ với hàm truyền đạt lọc Wiener H(s) lựa chọn nhờ hai tính chất đáng kể: xấp xỉ cách hợp lý với đường bao hình 11-30(a) đáp ứng xung làm cho phép nhân chập số phép tính hiệu HÌNH 11-30 Hình 11-30 (a) Hàm truyền đạt loc Wiener; (b) làm trơn xấp xỉ với (a) Hình 11-31 cho thấy đáp ứng xung h(x) tương ứng phần parabol h’(s), đạo hàm bậc nó, tuyến tính đoạn Bởi phép vi phân giao hoán với phép nhân chập nên tốt kết hợp với việc làm trơn phép vi phân vào bước Hơn nữa, phép nhân chập số dùng đáp ứng xung tuyến tính đoạn lập trình để thực cách hiệu Hình 11-32 trình bày kết việc sử dụng hai đáp ứng xung hình 11-31 dòng ảnh hình 11-28 Đáp ứng xung thứ làm trơn giảm nhiễu, đáp ứng xung thứ hai kết hợp việc làm trơn với vi phân Trong trường hợp này, mức độ giảm nhiễu thật vừa ý Nên ý điểm uốn đồ thị bên tạo đỉnh phân biệt đồ thị bên dưới, ám phát biên mạch công việc đơn giản 198 Đáp ứng xung tuyến tính đoạn h’(x) kết tính tốn xấp xỉ với lọc Wiener vi phân ứng dụng Mặc dù tín hiệu phi ergodic, hàm truyền đạt khơng có khe H(s) phải hoạt động tốt điều kiện gần tối ưu, khơng có hành động đột ngột miền tần số Hơn nữa, hình 11-32 gợi ý rõ ràng có giải pháp đầy đủ cho toán phát biên Bộ lọc Wiener vi phân thiết kế ống làm trơn chứng minh tính hữu ích sơ đồ tia mạch thơng thường HÌNH 11-31 Hình 11-31 (a) Đáp ứng xung; (b) HÌNH 11-32 Hình 11-32 Kết việc làm trơn dòng hình 11-28: (a) với h(x); (b) với h’(x) 11.6 CÁC BỘ LỌC SẮP XẾP THỐNG KÊ (ORDER-STATISTIC) Theo định nghĩa, kiểm tra lọc khơng tuyến tính (chương 9) phi tuyến Nhiều kiểu lọc phi tuyến miêu tả, thử nghiệm sử dụng Người ta cho cách tiếp cận phi tuyến giải toán xử lý ảnh tốt lọc tuyến tính Tuy nhiên, chúng khơng đủ ảnh hưởng sâu rộng tảng lý thuyết tương đối dễ hiểu làm sở cho lọc tuyến tính Đối với nghiên cứu mở đầu, lớp hữu dụng nhất, lọc xếp thống kê (order-statistic filters), gọi chúng tính thống kê xuất phát từ việc xếp phần tử tập phương tiện tính tốn Bộ lọc trung vị (median) lọc kiểu 199 11.6.1 Bộ lọc trung vị Kỹ thuật lọc phi tuyến mà có lẽ sử dụng phổ biến khơng phải trung bình tổng trọng số Mà là, điểm ảnh lân cận xếp theo thứ tự mức xám chúng giá trị nhóm lưu vào điểm ảnh đầu Đối với lọc trung vị N N, N lẻ, mức xám đầu mức xám điểm ảnh đầu vào mà lớn hay mức xám (N2 - 1)/2 điểm ảnh lân cận bé hay mức xám (N2 - 1)/2 điểm ảnh cửa sổ lọc Bình thường lọc trung vị xử lý có phần chậm phép nhân chập, đòi hỏi phải xếp điểm ảnh lân cận theo mức xám Tuy nhiên, có thuật giải làm tăng tốc độ xử lý Bộ lọc trung vị phổ biến chứng tỏ khả làm giảm nhiễu ngẫu nhiên mà không làm mờ cạnh nhiều lọc thơng thấp tuyến tính Điều minh hoạ hình 11-33 Ở đây, tín hiệu cạnh thêm vào tín hiệu sin 1/4 tần số lấy mẫu trung vị tính dựa ba điểm lân cận Trong ví dụ này, lọc trung vị loại bỏ tín hiệu sin hồn tồn, mà bảo tồn cạnh Nói chung, đối tượng sáng hay tối chiếm nửa diện tích lọc trung vị cần phải loại bỏ, đối tượng lớn bảo toàn nguyên vẹn Vì thế, phạm vi khơng gian lọc trung vị phải “điều chỉnh” với vấn đề tới Có q lý thuyết hướng dẫn thiết kế lọc trung vị so với lý thuyết hướng dẫn thiết kế lọc tuyến tính Thử nghiệm thường thay cho phân tích Hiệu giảm nhiễu lọc trung vị ảnh phụ thuộc vào hai vấn đề liên quan, hoàn toàn tách biệt: phạm vi không gian điểm lân cận (mặt nạ), đề cập, số điểm ảnh dùng để tính tốn trung vị Trường hợp đơn giản mặt nạ vng N N (trong N thường lẻ), dùng tất N2 điểm để tính Tuy nhiên, người ta dùng mặt nạ có mật độ thưa, trình bày hình 11-44, để tiết kiệm thời gian Với mặt nạ lớn, hiệu giảm nhiễu việc sử dụng nhiều điểm ảnh tính tốn trung vị bị ảnh hưởng Hình 11-35 trình bày hiệu giảm nhiễu lọc trung vị phụ thuộc vào số lượng điểm ảnh sử dụng tính tốn Ở đây, mặt nạ lọc trung vị có mật độ thưa khác sử dụng ảnh có nhiễu trắng ngẫu nhiên Đồ thị độ lệch quân phương (standard deviation) ảnh ngược với số lượng điểm ảnh dùng để tính trung vị Trường hợp nhiều 13 điểm, thời gian đòi hỏi thêm để xếp lượng lớn điểm ảnh chứng minh cải tiến vấn đề giảm nhiễu Vì thế, toán yêu cầu lọc lớn khơng gian, ta thu kết mặt nạ trung vị phân bố thưa 11.6.2 Các lọc xếp thống kê khác Bộ lọc trung vị thành viên lớp lọc xếp thống kê Nếu điểm ảnh vào lân cận xếp trung vị kết nhóm thứ 50, nhóm lại sử dụng 0% 100% tương ứng với lọc cựu tiểu cực đại Việc sử dụng nhóm ngồi 50% ngả phía ảnh tối hay ảnh sáng Mặc dù lọc sử dụng rộng rãi, chúng có ích vài ứng dụng 200 HÌNH 11-34 Hình11-34 Các lọc trung vị mật độ thưa HÌNH 11-35 Hình11-35 Kết lọc trung vị nhiễu trắng: độ lệch quân phương ảnh ngược với số điểm ảnh mặt nạ dùng để tính trung vị 11.7 TỔNG KẾT NHỮNG ĐIỂM QUAN TRỌNG Đáp ứng xung lọc tăng cường tần số cao thiết kế xung dương hẹp trừ xung âm rộng Hàm truyền đạt lọc tăng cường tần số cao tiến dần đễn giá trị cực đại, giá trị diện tích bên xung dương hẹp Hàm truyền đạt lọc tăng cường tần số cao có đáp ứng tần số với hiệu diện tích bên hai xung thành phần Đáp ứng tần số lọc xác định tương phản tính chất lớn bị ảnh hưởng Các lọc thiết kế để làm nhẹ việc tính tốn khơng phải để thực tối ưu Quá trình ngẫu nhiên ergodic tín hiệu mà ta biết phổ lượng hàm tự tương quan biểu thị tất hiểu biết có tín hiệu Ước lượng Wiener tối ưu, theo nghĩa sai số bình phương trung bình, việc khơi phục tín hiệu có phổ lượng biết từ nhiễu cộng biết phổ lượng Hàm truyền đạt lọc Wiener nhận giá trị gần dải tần có tỷ lệ tín hiệu nhiễu cao gần dải bị nhiễu Bộ phát tương xứng tối ưu việc phát xuất tín hiệu biết nhiễu cộng 10 Trong trường hợp nhiễu trắng, đầu vào lọc tương xứng tương quan với dạng biết tín hiệu 201 11 Hàm truyền đạt lọc Wiener thực, chẵn bị chặn 12 Hàm truyền đạt lọc phát tương xứng, nói chung, phức, Hermite không bị chặn 13 Các lọc xếp thống kê phi tuyến hoạt động cách xếp điểm ảnh lân cận 14 Một lọc trung vị khử đối tượng nửa kích thước nó, bảo tồn đối tượng lớn Điều cần thiết cho việc giảm nhiễu mà phải giữ lại biên 15 Mặt nạ mật độ thưa làm giảm thời gian tính tốn cho lọc trung vị lớn không gian BÀI TẬP Chứng minh biểu thức (48) Một tín hiệu có phổ lượng Ps(s) = 10/|s|, nhiễu trắng không tương quan với biên độ phổ Phác hoạ hàm truyền đạt H(s) lọc Wiener tỷ lệ lượng tín hiệu nhiễu R(s) với |s| < 20 Đây lọc thông thấp, thông dải hay thông cao? Một mẫu gần tín hiệu s(x) = a sech(ax) phổ lượng nhiễu trắng với biên độ N0 Phác hoạ hàm truyền đạt lọc Wiener với < s < a Một mẫu gần tín hiệu s(x) = a sech(ax) phổ lượng nhiễu xấp xỉ N(s) = exp(-|s|/2a) Phác hoạ hàm truyền đạt lọc Wiener với 0< s