Luận văn thạc sĩ toán học tích phân stratonocvich

LỜI NÓI ĐẦU Tích phân ngẫu nhiên là một công cụ quan trọng trong giải tích ngẫu nhiên, trong đó phương trình vi phân ngẫu nhiên có rất nhiều ứng dụng trong thực tế.. Tích phân ngẫu nhiên

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu cùng quý thầy cô, cán bộ công nhân viên tại trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên nói chung, và các thầy cô thuộc bộ môn Xác Suất Thống Kê nói riêng đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ, tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt thời gian theo học tại trường cũng như trong thời gian thực hiện luận văn này

Đặc biệt, tôi hết lòng biết ơn Thầy hướng dẫn, TS Dương Tôn Đảm, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi về chuyên môn, kinh nghiệm để hoàn thành luận văn này một cách tốt nhất

Tôi cũng không quên gửi lời biết ơn đến bố mẹ, anh chị em cùng các đồng nghiệp

đã luôn sẵn sàng giúp đỡ động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này đúng thời hạn quy định

Sau cùng vì kiến thức bản thân còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu xót, tôi rất mong được sự chỉ bảo của quý Thầy, Cô và sự góp ý chân thành của các bạn bè đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn

Tp Hồ Chí Minh, tháng 6 năm 2011

Hà Mạnh Linh

LỜI NÓI ĐẦU

Tích phân ngẫu nhiên là một công cụ quan trọng trong giải tích ngẫu nhiên, trong

đó phương trình vi phân ngẫu nhiên có rất nhiều ứng dụng trong thực tế Tích phân ngẫu nhiên có nhiếu loại: Tích phân Wiener, tích phân Itô, tích phân Stratonovich…

Trong luận văn này, chúng ta nghiên cứu về tích phân Stratonovich; năm 1960 nhà vật lý người nga R.L.Stratonovich đã đưa ra một lọai tích phân ngẫu nhiên mới được gọi là tích phân ngẫu nhiên Stratonovich và sử dụng cách kí hiệu “o” để phân biệt với tích phân Itô

Một điều khá thú vị khi nghiên cứu về tích phân Stratonovich là sự liên hệ giữa tích phân Stratonovich với tích phân Itô và tích phân cổ điển Điều này thể hiện ở chỗ, tích phân Stratonovich cũng được tính giống như công thức tích phân Leibniz-Newton Không những vậy, ta cũng có thể tính được tích phân Itô thông qua tích phân Stratonovich và ngược lại

Ngoài ra, trong chương IV chúng ta sẽ thấy được mối liên hệ rất đặc biệt giữa phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô và phương trình vi phân ngẫu nhiên Stratonovich Luận văn gồm có 4 chương

 Chương I Kiến thức cơ sở

 Chương II Tích phân Stratonovich

 Chương III Tích phân theo lớp các quá trình ngẫu nhiên

 Chương IV Phương pháp số để giải phương trình vi phân ngẫu nhiên

MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn……….1

Lời nói đầu……….2

Mục lục………3

Chương I Kiến thức cơ sở……….……4

1.1 Tích phân ngẫu nhiên……….………4

1.2 Tích phân Wienner……….…7

1.3 Tích phân ngẫu nhiên Itô……….11

Chương II Tích phân Stratonovich……….14

2.1 Tích phân Stratonovich……….……14

2.2 Biến phân bậc hai của quá trình ngẫu nhiên……….………15

2.3 So sánh tích phân Stratonovic với tích phân Itô và tích phân cổ điển……16

Chương III Tích phân theo lớp các quá trình ngẫu nhiên……….……….20

3.1 Tích phân ngẫu nhiên theo quá trình Levy……….…………22

3.2 Tích phân Wiener-Itô……….…26

Chương IV Phương pháp số để giải phương trình vi phân ngẫu nhiên……… ….41

4.1 Khai triển Itô-Taylor………41

4.2 Xấp xỉ tích phân ngẫu nhiên……….………45

4.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên Stratonovich……….………49

Kết luận-hướng phát triển ……… ……….54

Bảng các ký hiệu đặc biệt……….………55

Tài liệu tham khảo……….…………56

CHƯƠNG I

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong phần này chúng ta nói về hai khái niệm cơ bản khi nghiên cứu về tích phân ngẫu nhiên; đó là tích phân Wiener và tích phân Itô

1.1 TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN

1.1.1 Khái niệm về độ đo ngẫu nhiên trực giao

Cho T là một khoảng hữu hạn hoặc vô hạn của trục thực và các nửa khoảng có dạng  ( , ]s t T

Xét hàm tập  ( )nhận các giá trị trong khoảng không gian Hilbert L và thỏa các 2

hoặc viết dưới dạng: E( )dt 2 dt Và ta gọi  ( )là độ đo ngẫu nhiên trực giao

1.1.2 Tích phân theo độ đo ngẫu nhiên trực giao

Ta xác định tích phân ngẫu nhiên ( ) ( )

Trước hết ta xét tích phân của các hàm hằng số từng đoạn, tức là các hàm

chỉ nhận giá trị là hằng số trên các khoảng không giao nhau

Nghĩa là dãy các tích phân đó là dãy cơ bản trong không gian Hilbert L 2

Vậy tồn tại giới hạn

(1.4)

(1.5)

(1.6)

(1.7) (1.8)

Trong đó f t( )L a b2[ , ] Trước tiên ta định nghĩa tích phân trên cho các hàm

đơn giản Nếu f là hàm đơn giản tức là f có dạng

Trong đó at0t1t2 t nblà một phân hoạch hữu hạn của [a,b], ( )c k là

các số thực A k [ ,t t k k1] còn I ký hiệu hàm chỉ tiêu của tập hợp A Trong trường hợp A f

có dạng (4.2) trên thì

Gọi S là không gian các hàm đơn giản trên [a,b] Ta đã biết rằng S là một không

gian tuyến tính con của L a b2[ , ] Ký hiệu

1

0

k n

k A k





2 2

( ) W( ) : lim ( )[W( ) W( )],

t a

i

n

i t t i

lim ( )[W( ) W(t )] ( ) W( )

b n

1 0

t n

lim W( )[ (t ) ( )] W( ) ( )

b n

1.3.TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ITÔ

Ta muốn mở rộng tích phân Wiener cho phép hàm dưới dấu tích phân là một hàm

ngẫu nhiên Chúng ta sẽ định nghĩa tích phân

0

( ) T ( , ) t

I f  f t w dW

Cho một lớp nào đó các hàm ngẫu nhiên

Ký hiệu F là t -trường bé nhất sinh bởi các đại lượng ngẫu nhiên

{W ,s st}.Chúng ta quan niệm rằng F là các thông tin về lịch sử của t Wscho tới thời

điểm t Ta có Fs  Ft nếu s<t tức là họ ( F t) là một bộ lọc Ta gọi đó là lọc tự nhiên sinh

từ quá trình (W t)

Định nghĩa 1.3.1

Giả sử f(t,w) là một hàm ngẫu nhiên xác định trên [0, )   Ta nói rằng f(t,w) là

phù hợp ( đối với lọc ( F t ) ) nếu đối với mỗi t ánh xạ

Thỏa mãn điều kiện

1 ( , w)t a f(t,w)là đo được đồng thời theo cả hai biến nghĩa là  Fđo được, ở

đó B là  -trường Borel của [0, )

4 Tư tưởng của việc xây dựng tích phân ngẫu nhiên Itô cũng tương tự như tư tưởng

xây dựng tích phân Wiener Trước hết ta định nghĩa I(f) cho các hàm sơ cấp

5 Một hàm f N được gọi là sơ cấp nếu có dạng

trong đó A i( ,t t i i1] và ( )A lập thành một phân hoạch hữu hạn của [0,T] Chú ý rằng vì i

f(t,w) là phù hợp nên ta có c ilà

i t

2 2

   và r k (1)t k t k1, k {0,1, ,m1},[0,1] khi đó ta định nghĩa

0

1

1 0

2.2 BIẾN PHÂN BẬC HAI CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

Định nghĩa

Cho ( X và ( ) t) Y là hai quá trình liên tục, xác định với t t  Ta gọi biến phân bậc 0

hai của hai quá trình ấy và kí hiệu là [X,Y] là một quá trình ngẫu nhiên xác định bởi một

giới hạn hầu chắc chắn sau đây, nếu nó tồn tại:

1

1

với mọi phân hoạch 0t0t1 t n t

Nếu X=Y thì ta dùng kí hiệu [X,X]=[X]

Tính chất

1 [X,Y]0 0

2 [ , ] [ ,X Y  Y X]

3 [a1X1a X Y2 2, ]=a [ , ]1X Y a X Y2[ 2, ]

Biến phân bậc hai của một số quá trình

1 Nếu W là một chuyển động Brown tiêu chuẩn thì [W ]t t

2 Nếu X là một quá trình Poisson tiêu chuẩn thì mac-tin-gan Poisson Y t X t có t

biến phân bậc hai là [Y]t  t

3 Nếu X và Y là hai quá trình Itô cho bới:

trong lớp của quá trình Itô

Ta có định lý tiếp theo sau:

Định lý 2.3.2 Nếu X , t Y là những quá trình Itô, khi đó quá trình ngẫu nhiên t

( , ( )) ( )

1( , ( )) ( ) ( , ( )) ( ( ))

2 2

1( , ( )) ( , ( )) ( , ( )) ( ) ( , ( ))

Từ phương trình này ta có định lý tiếp theo sau:

Định lý 2.3.4.Cho F(t,x) là một nguyên hàm của f(t,x).Giả sử F, f , f

Công thức này cho thấy tích phân Stratonovich cũng được tính giống như công

thức tích phân Leibniz-Newton Ngoài ra ta cũng có thể tính được tích phân Itô thông qua

tích phân Stratonovich

1( , ( )) ( ) ( , ( )) ( ) ( ( ))

21

cos ( ) cos ( ) cos ( )

2

b a

1 ( ) 2

B t t t

Y e  là một nghiệm của phương trình

CHƯƠNG III

TÍCH PHÂN THEO LỚP CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

3.1 TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN THEO QUÁ TRÌNH LEVY

Trước hết ta sẽ tìm hiểu về quá trình Levy

(3) X là liên tục ngẫu nhiên t

(4) X t(w)có giới hạn trái khi t  và liên tuc phải khi 0 t  0

 Nếu điều kiện (4) không được thỏa thì ta nói rằng {X t:t 0}là quá trình cộng tính theo luật ( an additive process in law )

Định nghĩa 3.1.2 (Quá trình Levy)

Quá trình ngẫu nhiên {X t:t 0} với không gian pha R , được gọi là quá trình Levy nếu n

nó thỏa các điều kiện (1),(2),(3),(4) trong định nghĩa 2.4.1 nêu trên và kèm theo điều kiện: (5) Phân phối của X s1X s không phụ thuộc vào s ( hay còn gọi là có số gia dừng hoặc thuần nhất theo thời gian )

 Nếu quá trình { X t:t 0} chỉ thỏa điều kiện (1),(2),(3),và (5) thì ta gọi nó là quá trình Levy theo luật (a Levy process in law)

 Tóm lại ta có thể nói gọi rằng quá trình Levy là quá trình liên tục ngẫu nhiên có số gia dừng và độc lập

Tính chất 3.1.3.Cho {X t:t 0}là quá trình Levy trên n

R với phân phối L X( 1)0ta sẽ có:

1 Với mỗi (R0) quá trình M t: %N t B( , )là martingale

2 Nếu  0; L ta gọi ( )t là martingale Lêvy

3 Nếu E( )t    ; t 0khi đó nếu chọn L   ta sẽ có phân tích:

R t

 Quá trình Lêvy thuần bước nhảy:

Nếu trong phân tích (3.1.2) có  0, thì quá trình ( )t được gọi là quá trình Lêvy thuần bước nhảy Hay nói một cách khác quá trình Lêvy thuần bước nhảy là quá trình

Chứng minh

1

1 00

t

j n

Tính chất 3.1.5

Cho f(s) là hàm đo được bị chặn , xác định trên t t và nhận giá trị thực sao cho 0,1

tồn tại những hàm bậc thang bị chặn đều f s n( ) n1,n trên t t và 0, 1 f n f

hầu chắc chắn khi đó 1

0( )

  theo xác suất bởi vậy nó sẽ tiến về 0 theo metric Do

đó tồn tại một đại lượng ngẫu nhiên X là giới hạn theo xác suất của các đại lượng ngẫu

Để chứng minh giới hạn X không phụ thuộc vào cách chọn dãy f s n( ) f

Ta giả sử g s n( ) f (s) hầu chắc chắn ( cả f s và n( ) g s đều bị chặn ) Khi đó n( )

Biến ngẫu nhiên X trong tính chất (3.1.3) gọi là tích phân ngẫu nhiên của hàm f(s)

đo được bị chặn trên [ , ]t t0 1 theo quá trình Levy {X t:t 0}và ta ký hiệu:

t g s d t f u dX  f u dX g s d

    h.c (3.1.9)

Hệ quả 3.1.9 (Công thức tích phân từng phần )

 Từ tính chất 3.1.8 ta có thể thu được công thức tích phân từng phần của tích phân

(a)Ý tưởng của Wiener

Quá trình để định nghĩa tích phân trên bao gồm hai bước Bước đầu tiên là xác định tích phân cho hàm số Bước thứ hai là xấp xỉ một hàm số trong L2[a,b]và cho một giới hạn

tương ứng trong tích phân Giả sử f là hàm được xác định bởi:

Với {at t0, , ,1 t n1,t nb}và là những phân vùng của [a,b] Ta xác định tích phân

bội hai của f bởi:

(b) Ý tưởng của Itô

Cũng có hai bước để xác định tích phân Wiener-Itô bội hai, ta xem xét ví dụ để

định nghĩa tích phân bội hai Bước đầu tiên ta định nghĩa tích phân cho “hàm bậc thang ngoài đường chéo” Bước thứ hai là xấp xỉ hàm 2 2

([ , ] )

L a b bằng “hàm bậc thang ngoài đường chéo ” và cho một giới hạn tương ứng trong tích phân

Để có khái niệm về một “ hàm bậc thang ngoài đường chéo ” chúng ta xem xét ví

dụ để định nghĩa tích phân bội hai 1 1

Ở đây giá trị của tích phân Wiener bội hai được xác định trong (3.2.1.1) Bỏ đi các đường chéo hình vuông [0,1)2trong phương trình (3.2.1.3),

Chú ý rằng giới hạn cuối cùng của tổng là sự biến đổi bậc hai của quá trình Brown

B(t) trên đoạn [0,1] và có giá trị bằng 1 Do đó

 không được định nghĩa như một tích phân Itô vì

hàm lấy tích phân B(1) không phù hợp với điều kiện { ;0F t  t 1}, với { ( ); 0 }

Do đó f 1 là một xấp xỉ của dãy f của “ hàm bậc thang ngoài đường chéo” n

Đây là ý tưởng quan trọng cho tích phân Wiener-Itô Ta sẽ bắt đầu với tích phân Wiener-Itô bội hai trong phần tiếp theo

3.2.2 Tích phân Wiener –Itô bội hai

Mục tiêu của phần này là xác định tích phân Wiener bội hai:

( , ) ( ) ( )

b b

a a f t s dB t dB s

  , fL2([ , ] ).a b 2

Cho D{( , ) [ , ] ;t s  a b 2 ts}biểu thị các đường chéo của hình vuông [ , ]a b Bằng 2

một hình chữ nhật, trong phần này ta sẽ xác định một tập con của [ , ]a b 2 của

[ , ) [ ,t t  s s )

Bước 1 Hàm bậc thang ngoài đường chéo

Định nghĩa 3.2.2.1 Một hàm bậc thang ngoài đường chéo trên hình vuông [ , ]a b được 2

Lưu ý rằng một hàm bậc thang ngoài đường chéo không tồn tại trên đường chéo D

Do đó hàm f 1trên [ , ]a b 2không là một hàm bậc thang ngoài đường chéo Nếu A=[ , ) [ ,t t1 2  s s1 2)là một hình chữ nhật phân chia từ đường chéo D ,khi đó 1Acó thể được viết dưới dạng phương trình (3.2.2.1) bằng cách tập hợp { , , , }t t s s1 2 1 2 như những điểm phân hoạch của [a,b] Do đó 1Alà một hàm bậc thang ngoài đường chéo Không những vậy, giả

sử A A1, 2, ,A nlà những hình chữ nhật được phân chia từ đường chéo D Khi đó hàm

hợp các hàm bậc thang ngoài đường chéo là một không gian vectơ Cho một hàm bậc

thang ngoài đường chéo f được biểu diễn bởi phương trình (3.2.2.1), định nghĩa

Lưu ý rằng sự diễn tả của một hàm bậc thang ngoài đường chéo f bởi phương trình

(3.2.2.1) không phải là duy nhất Nhưng rất dễ dàng để thấy rằng I2( )f là xác định duy nhất Không những vậy I2 là tuyến tính I2(af bg)aI2( )f bI g2( )cho mọi hàm bậc

thang ngoài đường chéo f và g và a b, R

Sự đối xứng hóa ˆ ( , )f t s của hàm f(t,s) được xác định bởi phương trình:

1

ˆ ( , ) ( ( , ) ( , ))

2

f t s  f t s  f s t

Rõ ràng ˆf là một hàm đối xứng Nếu f là một hàm đối xứng khi đó ˆf f Thông

thường ˆf  f Các bất đẳng thức nghiêm ngặt có thể xảy ra ,ví dụ cho hàm f t s( , )t

3

f   f t s dt 

1 1 2

Bổ đề 3.2.2.2 Cho f là một hàm bậc thang ngoài đường chéo Khi đó

Vì vậy I2( )f =I2( )f và bổ đề được chứng minh ˆ W

Bổ đề 3.2.2.3 Nếu f là hàm bậc thang ngoài đường chéo ,khi đó E I[ ( )]2 f 0 và

[ ( ) ]=2 ( , ) s

b b a a

E I f   f t s dtd (3.2.2.3)

Chứng minh

Giả sử f được biểu diễn bởi phương trình (3.2.2.1) Khi đó I được cho bởi 2

(3.2.2.2) Vì khoảng [t i1, )t i và [t j1, )t j được phân chia với i , kỳ vọng của mỗi tổng j

trong phương trình (3.2.2.2) là bằng 0 Do đó E I[ ( )]=02 f

Để chứng minh bổ đề trên trước hết ta thừa nhận f là đối xứng Trong trường hợp

này aij a ji với mọi i Để thuận tiện ta cho j i B t( )i B t(i1) Khi đó

Cuối cùng, vì với mọi hàm bậc thang ngoài đường chéo f , do bổ đề 3.2.2.2 ta có

Bước 2.Xấp xỉ bằng hàm bậc thang ngoài đường chéo

Nhớ lại rằng f được xác định trên hình vuông [ , ]a b2, 2 ( , ) s

E I f   f cho mọi hàm bậc thang ngoài đường chéo

f Nhưng ˆf  f Do đó E I[ ( ) ]2 f 2 2 f 2cho mọi hàm bậc thang ngoài đường chéo

Các bất phương trình này cho ta thấy ta có thể mở rộng I tới 2 L2([ , ])a b 2 Để quy dịnh mỗi

hàm trong L a b2([ , ])2có thể được xấp xỉ bởi một dãy các hàm bậc thang ngoài đường chéo

Giả sử f là một hàm trong L2([ , ])a b 2.Cho Dbiểu thị tập hợp các điểm trong

2

[ , ]a b có khoảng cách < từ đường chéo D Với   ,ta chọn 0 >0 đủ nhỏ để

(3.2.2.5) Mặt khác, cho c [ , ] \2

Chú ý rằng hàm  là một hàm bậc thang ngoài đường chéo, như đã chỉ ra trong

định nghĩa 3.2.2.1 Vì vậy ta sẽ chứng minh bổ đề gần đúng tiếp theo

Bổ đề 3.2.2.4.Cho f là một hàm trong L2([ , ] )a b2 .Khi đó sẽ tồn tại một dãy  f n của hàm

bậc thang ngoài đường chéo để

Bây giờ ta sẽ mở rộng I2 tới không gian 2 2

([ , ] )

([ , ] )

fL a b Chọn một dãy  f n của hàm bậc thang ngoài đường chéo hội tụ tới f trong L2([ , ] )a b2 Sự tồn tại của dãy được xác định trong bổ đề 3.2.2.4 Với sự tuyến tính của I2 và do bổ đề 3.2.2.3 ta có ,

 , trong không gian L 2( ) (3.2.2.8)

Dễ dàng nhận thấy I2( )f là xác định, cụ thể nó không phụ thuộc vào sự lựa chọn

dãy hàm  f n lấy trong (3.2.2.8)

Định lý 3.2.2.8 Cho f t s( , )L2([ , ] )a b 2 khi đó