luận văn thạc sĩ tích phân bochner

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH HUỲNH VĂN HOÀI TÍCH PHÂN BOCHNER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH HUỲNH VĂN HOÀI TÍCH PHÂN BOCHNER Ngành : Toán Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRẦN ĐÌNH THANH THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2012 Lời cảm ơn  Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cố PGS TS Đậu Thế Cấp, PGS TS Nguyễn Bích Huy TS Trần Đình Thanh tận tình hướng dẫn, tạo điều kiện thuận lợi giúp em hoàn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô giảng dạy em suốt trình học cao học quý thầy cô hội đồng khoa học đọc có ý kiến đóng góp quý báu giúp luận văn hoàn chỉnh Sau cùng, em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô làm việc phòng KHCN – SĐH giúp đỡ em nhiều trình học tập thực luận văn Huỳnh Văn Hoài MỤC LỤC MỞ ĐẦU MỘT SỐ KÝ HIỆU Chương 1: ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN LEBESGUE 1.1 σ- ĐẠI SỐ BOREL CỦA n : 1.2 ĐỘ ĐO LEBESGUE 1.3 TÍCH PHÂN LEBESGUE 11 Chương 2: TÍCH PHÂN BOCHNER CỦA HÀM ĐƠN GIẢN 15 2.1 HÀM ĐƠN GIẢN, HÀM ĐO ĐƯỢC : 15 2.2 TÍCH PHÂN BOCHNER CỦA HÀM ĐƠN GIẢN: 22 Chương 3: TÍCH PHÂN BOCHNER 25 3.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA : 25 3.2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA CÁC HÀM KHẢ TÍCH BOCHNER VÀ CỦA TÍCH PHÂN BOCHNER 37 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 MỞ ĐẦU Tích phân khái niệm giải tích toán học Ngay từ ngày đầu làm quen với giải tích toán học, làm quen với tích phân Riemann Tích phân Riemann có nhiều mở rộng cho hàm số xác định tập hợp sau : tập hợp không gian nhiều chiều, đường cong mặt cong tham số hóa tương đối tốt Tuy nhiên, để định tích phân mặt cong tham số hóa toàn cục, cần lý thuyết tích phân tổng quát Đầu kỷ XX, Lebesgue số nhà toán học phát triển vấn đề Họ tách kết hợp vấn đề đo đạc tập hợp với vấn đề tích phân hàm số Trong luận văn này, người thực muốn giới thiệu tích phân xây dựng không gian Banach, tích phân Bochner Điều đặc biệt kết mà ta biết tích phân Lebesgue thích ứng tích phân Bochner Trong luận văn này, Chương nhắc lại khái niệm tính chất độ đo Lebesgue, tích phân Lebesgue Chương 2, luận văn giới thiệu hàm đơn giản hàm đo theo nghĩa Bochner Từ đó, định nghĩa tích phân Bochner hàm đơn giản Chương 3, luận văn giới thiệu tích phân Bochner hàm đo được; tính chất hàm khả tích Bochner tích phân Bochner MỘT SỐ KÝ HIỆU (Sử dụng chương chương 3) •= I • [ a1 ,b1 ] × × [ am ,bm ] ⊂ X không gian Banach với chuẩn ⋅ • B( X ) = {x ∈ X ; x •  m compact với độ đo Lebesgue µ X X ≤ 1} cầu đơn vị không gian Banach X X * không gian đối ngẫu X Chương ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN LEBESGUE 1.1 σ- ĐẠI SỐ BOREL CỦA  n : Định nghĩa 1.1.1 Cho X tập khác rỗng Một σ- đại số tập X (hoặc σ- đại số X ) họ khác rỗng  ⊂  ( X ) (tập tập X ) đóng với phép hợp đếm phép lấy phần bù, tức : i) {E } ∞ j ∞ E ⊂  j ∈ ; ii) E ∈  E C ∈  Nhận xét 1.1.2: a)= Ej (UE ) C C j ∈; j b) ∅ = Ε ∩ ΕC ∈ ; c) X =E ∪ E C ∈  ; d) Một hợp phần tử σ-đại số thay hợp rời Thật vậy, { E j } ⊂  đặt : ∞  k −1   k −1  F= Ek \   E j= k  Ek ∩   E j      C Khi dãy {Fk } ⊂  tập rời ∞ ∞ E = F j k Định nghĩa 1.1.3: Cho ξ họ tập X σ-đại số (ξ) giao tất σ-đại số chứa ξ σ-đại số (ξ) gọi σ-đại số sinh ξ Định nghĩa 1.1.4: Cho X không gian mêtric tôpô Ta gọi σ-đại số Borel X σ-đại số sinh họ tập mở X , kí hiệu X Mỗi phần tử thuộc X gọi tập Borel Nhận xét 1.1.5:  sinh họ tập sau  : a) Họ khoảng = mở ξ1 {(a, b) | a < b} b) Họ khoảng đóng = ξ2 {[a, b] | a < b} c) Họ khoảng nửa mở = ξ3 = ξ4 {(a, b] | a < b} {[a, b) | a < b} {(a, ∞) | a ∈ } d) Họ nửa đường thẳng mở ξ= ξ6= {(−∞; a) | a ∈ } e) Họ nửa đường thẳng đóng ξ7= ξ8= {[a, ∞) | a ∈ } {(−∞; a] | a ∈ } Định nghĩa 1.1.5: Cho { X α }α∈I họ tập khác rỗng, X = ∏ X α α∈I πα : X → X α ánh xạ tọa độ thứ α Với α, cho α σ-đại số Xα Ta gọi σ- đại số tích σ-đại số α σ- đại số X sinh họ tập {π −1 α ( Eα ) | Eα ∈ α , α ∈ I } Ta kí hiệu σ-đại số ⊗ α , I = {1, , n} ta kí hiệu α∈I n ⊗ j Định lí 1.1.6: Nếu I tập đếm ⊗ α σ-đại số sinh họ tập α∈I   ∏ Eα | Eα ∈ α   α∈I  Định lí 1.1.7: ⊗ Cho α sinh ξα , α ∈ I Khi 1 = {π ⊗ α α∈I −1 α α∈I α sinh ( Eα ) | Eα ∈ ξα , α ∈ I } Nếu I đếm X α ∈ ξα với α   sinh 2 ∏ Eα | Eα ∈ ξα  =  α∈I  Định lý 1.1.8: n Cho X , , X n không gian mêtric X = ∏ X j không gian mêtric tích Khi n ⊗ Xj ⊂ X Nếu tất không gian X j khả li n ⊗ Xj = X Ta gọi gian  n tập dạng G1 × × Gn , G j khoảng mở, khoảng đóng khoảng nửa mở  Từ nhận xét n 1.1.5, định lí 1.1.7 định lí 1.1.8 ta có n = ⊗ n σ-đại số sinh gian  n 1.2 ĐỘ ĐO LEBESGUE Định nghĩa 1.2.1: Giả sử  σ-đại số tập hợp tập hợp X Hàm µ :  → [0, ∞] gọi độ đo : 1) µ(∅) =0 2) µ σ- cộng tính, tức A1 , A2 , họ đếm tập hợp đôi rời thuộc  : ∞  ∞ µ   An  = ∑ µ( An )  n=1  n=1 Bộ ba ( X , , µ)  σ-đại số tập hợp tập hợp X , µ :  → [0; ∞] độ đo, gọi không gian độ đo Nếu A∈  số µ( A) gọi độ đo tập hợp A Độ đo µ gọi ∞ hữu hạn µ( X ) < ∞ Độ đo µ gọi σ- hữu hạn X =  X n , n =1 X n ∈  , µ( X n ) < ∞ , ∀n ∈ N Hiển nhiên độ đo hữu hạn σ-hữu hạn Định nghĩa 1.2.2: Độ đo µ gọi đủ tập hợp tập có độ đo không tập hợp đo Nếu µ độ đo không đủ thác triển thành độ đo đủ Định nghĩa 1.2.3: Gọi  ( R) σ-đại số Borel không gian  , µ :  () → [0; ∞] độ đo Borel  Bổ sung Lebesgue   () gọi σ-đại số Lebesgue không gian  , độ đo thác triển Lebesgue  :  → [0; ∞] µ gọi độ đo Lebesgue không gian  Mỗi tập hợp thuộc  gọi tập hợp đo theo nghĩa Legesgue, gọi tắt đo (L) Như vậy: ∫ Dẫn đến hqs (t ) M \Z X εµ( M \ Z ) ≤ ε , với s ≥ s0 µ( I ) < Với s ≥ s0 , ta có : ∫ Z hqs (t ) X ≤ ∫ hqs (t ) − hN (t ) X Z + ∫ hN (t ) Z X ≤ hqs − hN + sup hN (t ) X µ( Z ) có N ε ∈  cho : f n − f q < ε , với n, q > N ε (3.1.9) Ta cố định n > N ε đặt g q = f n − f q ∈ , với q ∈ Thì lim g q (t ) = f n (t ) − f (t ) ∈  g − gk = f − fk Và Nên h.k.n I q →∞ ( g q ) dãy L-Cauchy xác định f n − f ∈  Do Vì f −= f n lim= gq lim f q − f n < ε q →∞ q →∞ 1 lim f n − f =  n→∞ Hệ 3.1.8 : Nếu f ∈  với ε > có hàm đơn giản g ε ∈ cho f − gε < ε (3.1.10) Có nghĩa tập  hàm đơn giản trù mật  theo nửa chuẩn Định lý 3.1.9: Không gian  trang bị nửa chuẩn đầy đủ Chứng minh : Giả sử g q ∈  , q ∈ dãy Cauchy theo nửa chuẩn Theo hệ 3.1.8, với q ∈ , tồn hàm đơn giản f q ∈ cho : gq − fq < Do : q fq − fr ≤ fq − gq + gq − gr + gr − fr 1 < 1 + + gq − gr q r 1 Nên : ( f q ) dãy L-Cauchy Theo định lý 3.1.2, dãy ( f q ) chứa dãy ( f qs ) hội tụ hầu khắp nơi I hàm f : I → X dãy L-Cauchy Do f ∈ Với dãy ( f qs ) , ta có : g qs − f ≤ g qs − f qs + f qs − f 1 < +ε qs (do định lý 3.1.7) ( ) Do đó, dãy g qs ( g q ) hội tụ theo nửa chuẩn hàm f ∈ Mà ( g q ) dãy Cauchy  nên ( g q ) hội tụ f ∈  theo nửa chuẩn Vậy  đầy đủ  Hệ 3.1.10: Cho f : I → X , f ∈  có dãy f n ∈ , n ∈  cho : lim f n (t ) = f (t ) h.k.n I n→∞ Và lim f n − = f lim ∫ f n − f= X n→∞ n→∞ I Định nghĩa 3.1.11: f : I → X gọi khả tính Bochner có dãy hàm đơn giản f n : I → X , n ∈ cho : lim f n (t ) = f (t ) n→∞ Và lim f n − f = lim f n − f = X n→∞ n→∞ h.k.n I Định lý 3.1.12: Nếu f : I → X cho f (t ) = hầu khắp nơi I f ∈  ∫f = I Chứng minh : Ta chọn dãy hàm đơn giản ( f q ) , q ∈ cho hàm f q đồng với Khi : lim f q (t ) − f (t ) q →∞ X = h.k.n I Do f ∈  Và = = ∫ f lim= ∫ f q lim ∫0 I q →∞ I q →∞  I Hệ 3.1.13 : Nếu f : I → X khả tích Bochner g : I → X cho f (t ) = g (t ) hầu khắp nơi I g khả tích Bochner ∫ f = ∫g I I Chứng minh: Đặt h = f – g Khi : h(t ) = h.k.n I Theo định lý 3.1.12 h ∈ ∫ h = I Hay ∫ ( f − g) = I Vậy ∫ f = ∫g I  I Nhận xét 3.1.14 : Trong trường hợp X =  , nghĩa f : I →  khái niệm khả tích Bochner tích phân Bochner tương đương với khái niệm khả tích Lebesgue tích phân Lebesgue Nghĩa f : I →  khả tích Bochner f khả tích Lebesgue hai tích phân hàm f có giá trị 3.2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA CÁC HÀM KHẢ TÍCH BOCHNER VÀ CỦA TÍCH PHÂN BOCHNER Cho f : I → X , f ∈  f đo (theo định nghĩa 2.12) Theo định lý 2.1.6 (Pettis), f ∈ f đo yếu có giá trị tách hầu khắp nơi Cho tập đo E ⊂ I f ∈  , ta định nghĩa : = ∫f  f ∫= E E I lim ∫  E f n n→∞ I Với f n ∈  , n ∈  dãy hàm đơn giản xác định hàm f Định nghĩa hoàn toàn xác định,  E f n , n ∈  hiển nhiên dãy hàm đơn giản xác định hàm  E f Cho f : I → X hàm đo có giá trị đếm dạng : f (t ) = ∞ ∑y  m =1 m En (t ) , t∈I (3.2.1) Với Em ⊂ I , m ∈  đo được, Em ∩ E = ∅ m ≠  , ym ∈ X , m∈ Định lý 3.2.1 : Hàm f : I → X đo có giá trị đếm dạng (3.2.1) khả tích Bochner : ∞ ∑ m =1 ym X µ( En ) < ∞ Chứng minh :  Với  ∈  , đặt f  (t ) = ∑ ym En (t ) , t ∈ I f  ∈  , với  ∈ I m =1 Và lim f  (t ) = f (t ) , t ∈ I  →∞ Với t ∈ I k <  , ta có :  f  (t ) − f k (t )  Và : ∑ X = ∑ ym En (t ) m= k +1  ∑ = y  (t ) X  (t ) y m En m X En m= k +1 m= k +1 X Do : f  (t ) − f k (t ) ∫ Nên : f  − f k =  X = ∑ ym X  En (t ) m= k +1 f  (t ) − f k (t ) X I  = ∑ m= k +1 ym X µ( En ) Ta thấy ( f  ) dãy L-Cauchy chuỗi : ∞ ∑ m =1 Nghĩa ∞ ∑ m =1 ym X µ( En ) hội tụ ym X µ( En ) < ∞ ∞ ∑y  Trong trường hợp chuỗi m =1 m En hội tụ X f Do f ∈  Và = ∫ f lim= ∫ f I  →∞ I ∞ ∑ y µ( E ) m =1 m n Ngoài : = ∫ f X lim= ∫ f X I  →∞ I ∞ ∑ m =1 ym X µ( En ) Hệ 3.2.2: Một hàm f : I → X đo có giá trị đếm dạng (3.2.1) f (t ) X ≤ g (t ) hầu khấu khắp nơi I với g ∈ f khả tích Bochner Chứng minh : Với  ∈  , f  (t ) =  ∑y  m =1 m En (t ) , t ∈ I Theo phần chứng minh định lý 3.2.1, ta có : lim ∫ = f X  →∞ I ∫ f ≤ ∫g [...]... trên A hội tụ đến f Số lim ∫ sn d µ n→∞ A gọi là tích phân của hàm số đo được không âm f trên tập hợp A đối với độ đo µ , kí hiệu là ∫ fdµ hoặc ∫ f ( x)d µ( x) A A Định nghĩa 1.3.5: Giả sử f : A →  là một hàm số đo được bất kì trên tập hợp A Nếu một trong hai tích phân ∫f + d µ và A ∫f A + ∫f − d µ hữu hạn thì hiệu A d µ − ∫ f − d µ được gọi là tích phân của hàm số f trên tập hợp A đối A với độ đo... hàm f ∈  Giá trị ∫f được xác định bởi hệ thức (3.1.2) được gọi là tích phân I Bochner của hàm f Đôi khi ta cũng có thể dùng kí hiệu ( ) ∫ f I Tập  được gọi là tập các hàm khả tích Bochner Dễ dàng thấy rằng tập  là tuyến tính Định lý 3.1.6 Nếu f ∈ và ( f q ) là một dãy L-Cauchy các hàm đơn giản xác định hàm f , thì f X khả tích và dãy ( f ) xác định hàm thực q X f X Trong trường hợp này, ta... Chứng minh : Vì X là không gian Banach tách được nên { f (t ); t ∈ I } ⊂ X là tách được Do đó, theo định lý Pettis 2.1.6 ta được đpcm 2.2 TÍCH PHÂN BOCHNER CỦA HÀM ĐƠN GIẢN: Giả sử f : I → X là hàm đơn giản p f ( t ) = ∑ ym χ Em ( t ) , t∈I m =1 Định nghĩa 2.2.1 Tích phân của hàm f : I → X là ∫ f = p ∑ ymµ( Em ) = p ∑ f (E = m 1= m 1 I m )µ( Em ) (2.2.1) Nếu A ⊂ I là tập đo được và f ∈  thì ta định... } là một dãy đơn điệu những hàm số đo được và f1 là hàm số khả tích Định lý 1.3.12: (Định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn) Nếu { fn} là một dãy hàm số đo được hội tụ hầu khắp nơi đến một hàm f đo được trên A và f n ≤ g h.k.n trên A với mọi n , trong đó g là một hàm số khả tích trên A thì lim n→∞ ∫ n→∞ µ f n d= ∫ fd µ A Chương 2 TÍCH PHÂN BOCHNER CỦA HÀM ĐƠN GIẢN 2.1 HÀM ĐƠN GIẢN, HÀM ĐO ĐƯỢC : Định nghĩa... Nghĩa là f A = f  A Dễ dàng thấy rằng f A cũng là một hàm đơn giản và ta đặt : ∫ f =∫ f A A I Với cách định nghĩa tích phân của hàm đơn giản f ∈  như vậy thì ta thấy rằng ∫ :  → X là một ánh xạ tuyến tính Nếu A , B là các tập đo được, tách rời nhau trên I thì từ sự tuyến tính của tích phân và f A∪= f A + f B ta được : B ∫ =f ∫ f + ∫ f A∪ B A (2.2.2) B Nhận xét :  Trong trường hợp đặc biệt X =  và... } hội tụ theo độ đo đến một hàm số f trên một tập hợp A đều có một dãy con hội tụ h.k.n đến f trên A 1.3 TÍCH PHÂN LEBESGUE Định nghĩa 1.3.1: s Giả sử ( X , , µ) là một không gian độ đo, A∈  và = m ∑α  i =1 i Ai là một hàm đơn giản đo được trên tập hợp A m Số ∑ α µ( A ) i i =1 i gọi là tích phân của hàm đơn giản đo được s trên tập hợp A đối với độ đo µ , kí hiệu là ∫ sdµ hoặc ∫ s ( x)d µ( x) A... (2.2.7) (2.2.8) (2.2.9) là nửa chuẩn trên  Vì nếu ta chọn A ⊂ I sao cho µ( A) = 0 và một hàm f sao cho f (t ) = 0 với t ∉ A , khi đó với f 1 = 0 ta không thể suy ra f (t ) = 0 với mọi t ∈ I Chương 3 TÍCH PHÂN BOCHNER 3.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA : Xét các dãy hàm đơn giản ( f n ) ⊂  , n ∈  với nửa chuẩn 1 đã được xác định ở chương 2 Định nghĩa 3.1.1 Một dãy ( f q ) , f q ∈  , q = 1, 2, được gọi là L-zero nếu... một hàm khả tích trên A A Định lý 1.3.6: Nếu f là một hàm số đo được trên một tập hợp A và µ( A) = 0 thì : ∫ fdµ =0 A Định lý 1.3.7: Giả sử f , g là hai hàm số đo được trên A , c ∈  Khi đó : a) µ c ∫ fd µ ∫ cfd= A A b) Nếu f ≤ g thì ∫ fd µ ≤ ∫ gd µ A A Định lý 1.3.8: Giả sử A và B là hai tập hợp đo được không giao nhau và f là một hàm số đo được trên A ∪ B Nếu ∫ fdu tồn tại thì hai tích phân A∪ B... A∪ B ∫ fd µ + ∫ fd µ A (1) B Đảo lại, nếu tổng ở vế phải của (1) có nghĩa thì ∫ fd µ tồn tại và ta A∪ B có đẳng thức (1) Định lý 1.3.9: Nếu f ≤ g h.k.n trên một tập hợp A , f đo được, g khả tích trên A thì f khả tích trên A Định lý 1.3.10: (Đính lý Lebesgue về hội tụ đơn điệu đối với một dãy hàm số đo được không âm) Nếu { f n } là một dãy đơn điệu tăng những hàm số đo được không âm trên một tập hợp... không gian đo được và A∈  Khi đó : a/ Nếu f là một hàm số đo được trên A và c ∈  thì cf cũng là một hàm số đo được trên A b/ Tổng của hai hàm số đo được hữu hạn trên A là một hàm đo được trên A c/ Tích của hai hàm số đo được hữu hạn trên A là một hàm số đo được trên A Nếu f là hàm số đo được hữu hạn trên A và α là một số dương thì f α là một hàm số đo được trên A ; nếu f ( x) ≠ 0 với mọi x ∈ A ... gin v hm o c theo ngha Bochner T ú, nh ngha tớch phõn Bochner ca hm n gin Chng 3, lun gii thiu tớch phõn Bochner ca hm o c; cỏc tớnh cht ca hm kh tớch Bochner v ca tớch phõn Bochner MT S Kí HIU... BOCHNER CA HM N GIN 15 2.1 HM N GIN, HM O C : 15 2.2 TCH PHN BOCHNER CA HM N GIN: 22 Chng 3: TCH PHN BOCHNER 25 3.1 CC NH NGHA : 25 3.2 CC TNH CHT CA CC HM KH TCH BOCHNER. .. vy, theo nh lý 3.2.1 thỡ f kh tớch Bochner nh lý 3.2.3: Mt hm s o c f : I X l kh tớch bochner nu v ch nu f X : I l kh tớch Bochner Chng minh : ) Nu f kh tớch Bochner thỡ f Do ú, theo nh lý