Giải tích ngẫu nhiên ngày nay đóng một vai trò hết sức quan trọng trong lý thuyết xác suất thống kê hiện đại, nó có ứng dụng hết sức rộng rãi ở tất cả các lĩnh vực khác nhau như trong công nghệ thông tin, công nghệ viễn thông, kinh tế, thị trường chứng khoán, bảo hiểm, dự báo rủi ro, nông nghiệp,... Và hiện nay đang được giảng dạy ở hầu hết các trường đại học trong và ngoài nước, nó thu hút rất nhiều nhà khoa học không ngừng nghiên cứu và phát triển về nó. Luận văn chia làm 3 chương cụ thể: chương 1: Những khái niệm cơ bản của tích phân ngẫu nhiên chương 2: Quá trình Itô và các tính chất chương 3: Tích phân Wiener Itô bội
Lời cảm ơn Luận văn thạc só toán học LỜI CẢM ƠN Đầu tiên xin gửi lời tri ân đến bậc sinh thành Người nuôi dưỡng, giáo dục, tạo điều kiện tốt để học tập tới ngày hôm Tôi xin gửi đến thầy hướng dẫn − Tiến só Dương Tôn Đảm lòng kính trọng biết ơn sâu sắc Thầy hướng dẫn, giúp đỡ nhiều trình học tập trình thực luận văn Thầy bảo khó khăn trở ngại, truyền đạt ý tưởng, hướng dẫn cách tìm tài liệu, động viên lúc khó khăn để hoàn thành luận văn cách tốt Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô khoa Toán−Tin học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, thầy cô môn Xác Suất Thống Kê, thầy PGS.TS Nguyễn Bác Văn, Tiến só Tô Anh Dũng tận tình giảng dạy, hướng dẫn, cung cấp cho kiến thức quý báo năm học cao học Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, phòng đào tạo Sau Đại Học, thư viện trường quý thầy cô, cán công nhân viên trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên giúp đỡ, tạo điều kiện tốt cho suốt thời gian học trường thời gian thực luận văn Cuối cùng, tỏ lòng biết ơn đến cán bạn lớp Cao học Toán khoá 17, đặc biệt bạn chuyên ngành Xác Suất Thống Kê khoá 17 sẵn sàng giúp đỡ, động viên, chia khó khăn , tạo điều kiện thuận lợi cho thời gian học trình thực luận văn Tp Hồ Chí Minh, tháng năm 2010 Nguyễn Thành Tâm Mục lục Luận văn thạc só toán học MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Muïc luïc Lời giới thiệu Bảng kí hiệu Chương I: Một số khái niệm tích phân ngẫu nhiên §1.1 Tích phân Wiener 1.1.1 Tích phân Wiener hàm số đơn giản 1.1.2 Caùc tính chất tích phân Wiener hàm đơn giản 10 1.1.3 Tích phân Wiener hàm số bình phương khả tích 12 1.1.4 Ví dụ 13 §1.2 Tích phân ngẫu nhiên Itô 14 1.2.1 Đònh nghóa tích phân Itô hàm ngẫu nhiên 14 1.2.2 Caùc tính chất tích phân ngẫu nhiên Itô 15 1.2.3 Ví dụ 16 §1.3 Tích phân Stratonovitch 18 1.3.1 Các đònh nghóa 18 1.3.2 Ví dụ 19 1.3.3 Liên hệ tích phân Stratonovitch tích phân Itô 19 §1.4 P−Tích phân 21 1.4.1 Đònh nghóa 21 1.4.2 Chuù yù 21 1.4.3 Ví dụ 22 §1.5 Martingale 23 1.5.1 Đònh nghóa ( Bộ lọc) 23 1.5.2 Đònh nghóa ( Martingale) 23 1.5.3 Đònh lyù 23 1.5.4 Đònh lý 25 Chương II: Quá trình Itô tính chất 28 Mục lục Luận văn thạc só toán học §2.1 Quá trình Itô 28 2.1.1 Đònh nghóa ( trình Itoâ) 28 2.1.2 Công thức Itô trường hợp chiều 29 2.1.3 Ví dụ 29 2.1.4 Công thức Itô tổng quát 30 2.1.5 Ví dụ 31 2.1.6 Đònh lý ( mối liên hệ trình Itô martingale) 34 §2.2 Khai triển Itô−Taylor 36 2.2.1 Khai trieån Taylor cho trường hợp biễu diễn tích phân tất đònh 36 2.2.2 Khai triển Itô−Taylor cho trình Itô 37 §2.3 Phương pháp số xấp xỉ trình Itô 43 2.3.1 Một số tiêu chuẩn hội tụ 43 2.3.1 Đònh nghóa ( xấp xỉ mạnh) 44 2.3.2 Đònh nghóa ( xấp xỉ yếu) 44 2.3.3 Phương pháp xấp xỉ mạnh 44 2.3.3.1 Phương pháp Euler−Maruyama mạnh 45 2.3.3.2 Phương pháp Milstein mạnh 45 2.3.3.3 Phương pháp Taylor mạnh 46 2.3.3.4 Phương pháp xấp xỉ mạnh Runge−Kutta 47 2.3.4 Phương pháp xấp xỉ yeáu 48 2.3.4.1 Phương pháp Euler yếu 48 2.3.4.2 Phương pháp Taylor yeáu 48 2.3.4.3 Phương pháp Runge−Kutta yếu 49 Chương III: Tích phân Wiener−Itô bội 50 §3.1 Tích phân Wiener−Itô kép 50 3.1.1 Đònh nghóa ( Hàm bậc thang đường chéo) 50 3.1.2 Đònh nghóa ( Hàm đối xứng hoaù) 50 3.1.3 Đònh lý 51 3.1.4 Đònh lý 51 3.1.5 Bổ đề 53 3.1.6 Đònh nghóa ( Tích phân Wiener−Itô kép) 53 3.1.7 Ví dụ 53 3.1.8 Đònh lý 54 Mục lục Luận văn thạc só toán học 3.1.9 Đònh lý 55 3.1.10 Ví dụ 56 §3.2 Tích phân Wiener−Itô bội 57 3.2.1 Tích phân Itô lặp 57 3.2.1.1 Đònh nghóa ( Hàm đối xứng) 57 3.2.1.2 Đònh nghóa ( Hàm đối xứng hoá) 57 3.2.1.3 Đònh nghóa ( Tích phân Wiener−Itô lặp) 58 3.2.1.4 Đònh lý 59 3.2.1.5 Đònh lý 59 3.2.2 Tích phân Wiener−Itô bội 60 A Xây dựng tích phân bội cho hàm bậc thang đường chéo 61 3.2.2.1 Đònh nghóa ( Hàm bậc thang đường chéo) 61 3.2.2.2 Đònh lý 61 3.2.2.3 Đònh lý 62 B Xấp xỉ tích phân bội dãy hàm bậc thang đường chéo 64 3.2.2.4 Đònh lý 64 3.2.2.5 Đònh nghóa ( Tích phân bội) 64 3.2.2.6 Đònh lý ( Tính chất tích phân bội) 65 3.2.2.7 Đònh lý ( Mối quan hệ tích phân bội với tích phân lặp) 65 3.2.2.8 Đònh nghóa ( Tích phân bội theo tích phân lặp) 66 §3.3 Đa thức Hermite trình Hermite 67 A Đa thức Hermite theo biến x 67 3.3.1 Đònh nghóa 67 3.3.2 Đònh nghóa ( Đa thức Hermite biến) 67 B Đa thức Hermite bậc n biến x, tham số t 69 3.3.3 Đònh nghóa ( Đa thức Hermite chưa chuẩn hoá bậc n, biến x, tham số t) 71 3.3.4 Đònh lý 71 3.3.5 Đònh lý 72 3.3.6 Một vài kết rút từ đa thức Hermite 73 C Quá trình ngẫu nhiên daïng Hermite 74 3.3.7 Đònh nghóa ( Đa thức Hermite bậc n, biến x, tham số t chuẩn hoá) 74 3.3.8 Đònh nghóa ( Quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite) 74 3.3.9 Đònh lý 75 Mục lục Luận văn thạc só toán học 3.3.10 Bổ đề 75 3.3.11 Hệ 76 3.3.12 Đònh lý ( Các tính chất trình Hermite) 77 3.3.13 Đònh nghóa (Quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite suy rộng) 79 3.3.14 Đònh lý 79 §3.4 Khai triển Wiener−Itô Chaos 81 3.4.1 Đònh nghóa ( Tích tenxô) 81 3.4.2 Đònh lyù 81 3.4.3 Đònh lý ( Phép biểu diển Itô đại lượng ngẫu nhiên) 83 3.4.4 Khai triển Wiener−Itô Chaos 85 3.4.5 Ví duï 89 3.4.5.1 Ví dụ 89 3.4.5.2 Ví duï 89 3.4.5.3 Ví dụ 90 Kết luận 91 Taøi liệu tham khảo 92 Lời giới thiệu Luận văn thạc só toán học LỜI GIỚI THIỆU Giải tích ngẫu nhiên ngày đóng vai trò quan trọng lý thuyết xác suất − thống kê đại, có ứng dụng rộng rãi tất lónh vực khác công nghệ thông tin, công nghệ viễn thông, kinh tế, thò trường chứng khoán, bảo hiểm, dự báo rủi ro, nông nghiệp Và giảng dạy hầu hết trường đại học nước, thu hút nhiều nhà khoa học không ngừng nghiên cứu phát triển Trong vi tích phân Itô khái niệm quan trọng giải tích ngẫu nhiên Từ khái niệm người ta xây dựng nên lớp trình ngẫu nhiên Itô, chúng có ý nghóa mặt lý thuyết ứng dụng Do nhà toán học nhà kinh tế nghiên cứu phát triển Phạm vi luận văn hệ thống lại số kết có tìm hiểu thêm tính chất trình Itô, xem xét số ứng dụng vi tích phân Itô, khái quát lại kiến thức giải tích ngẫu nhiên sở bước đầu tìm hiểu giải tích Malliavin Luận văn chia làm chương cụ thể sau: Chương I: Những khái niệm tích phân ngẫu nhiên Chương trình bày kiến thức sở cần cho chương bao gồm: tích phân Wiener tính chất, tích phân Itô tính chất, tích phân Stratonovitch, P− tích phân, ta có xét đến liên hệ loại tích phân, ta tìm hiểu sơ lược Martingale với đònh lý quan trọng từ dẫn tới việc ta xét mối quan hệ trình Itô martingale chương II Chương II: Quá trình Itô tính chất Nghiên cứu phân tích kỹ trình Itô trường hợp chiều trường hợp nhiều chiều, công thức Itô trường hợp chiều công thức Itô tổng quát ví dụ Trong ta nghiên cứu tính chất quan trọng điều kiện để trình Itô trở thành martingale Tiếp theo nghiên cứu công thức khai triển Itô−Taylor , công thức quan trọng dùng để xây Lời giới thiệu Luận văn thạc só toán học dựng phương pháp số để giải phương trình vi phân ngẫu nhiên Từ khai triển Itô−Taylor tiếp đến ta xây dựng thuật toán xấp xỉ để giải phương trình vi phân ngẫu nhiên sở phương pháp số Chương III: Tích phân Wiener−Itô bội Bắt đầu từ tích phân Wiener−Itô kép trường hợp đặt biệt tích phân bội, ta xét tích phân lặp, tích phân Wiener−Itô bội xét mối quan hệ chúng Trong chương ta xét đa thức Hermite, trình Hermite tính chất đặc biệt chúng Từ dẫn đến kết cuối chương xây dựng khai triển Wiener−Itô Chaos số ví dụ áp dụng Bảng kí hiệâu Luận văn thạc só toán học BẢNG KÍ HIỆU R Tập số thực 1A Hàm tiêu tập A L2 (Ω) Không gian biến ngẫu nhiên bình phương khả tích L2 ([0, T ]) Không gian hàm số thực bình phương khả tích [0, T ] ||.||L2(Ω) Chuẩn L2 (Ω) l.i.m Giới hạn theo nghóa bình phương trung bình E(X) Kỳ vọng biến ngẫu nhiên X F σ− trường sinh Ω h.c.c Hầu chắn Lf Toán tử tác động lên hàm f O(∆) Vô bé có bậc cao bậc ∆ α(x) ∼ β(x) α tương đương với β n→∞ Tổng số ai Tích số i i I2(f ) Tích phân Wiener−Itô kép hàm f Jn (f ) Tích phân Wiener−Itô lặp n lần hàm f In (f ) Tích phân Wiener−Itô bội hàm f f Hàm đối xứng hoá f (2k − 1)!! Tích số lẽ 1.3 .(2k − 3)(2k − 1) ⊗ Tích tenxơ Chương I: Tích phân ngẫu nhiên Luận văn thạc só toán học CHƯƠNG I: MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN Trong chương nhắc lại sơ lược khái niệm, số tính chất, quan hệ số tích phân ngẫu nhiên quen thuộc § 1.1 TÍCH PHÂN WIENER Giả sử (Ω, F , P ) không gian xác suất sở Kí hiệu L2 (Ω) không gian biến ngẫu nhiên bình phương khả tích, tức : L2(Ω) = X : Ω −→ R |X(ω)|2 dP (ω) < ∞ Ω Cho T số thực không âm Ký hiệu không gian hàm số đơn giản [0, T ] S Wt , t ≥ trình Wiener, trình thỏa điều kiện sau: • Xuất phát từ 0, nghóa W0 = • Có số gia độc lập • Gia soá Wt − Ws , ≤ s ≤ t có phân phối chuẩn với kỳ vọng phương sai (t − s) • Hầu hết quỹ đạo Wt hàm liên tục 1.1.1 Tích phân Wiener hàm số đơn giản Hàm f : [0; T ] −→ R hàm số đơn giản [0, T ], có dạng : n−1 f = c0 1{0} + ck 1Ak (1.1.1) k=0 Trong đó: = t0 < t1 < < tn−1 < tn (tn = T neáu T hữu hạn ) phân hoạch hữu hạn [0, T ] 10 Chương I: Tích phân ngẫu nhiên Luận văn thạc só toán học ck , k = 0, 1, , n − số thực hữu hạn Ak = (tk , tk+1 ], k = 0, 1, , n − 1A hàm tiêu tập A, tức laø t ∈ A 1A (t) = t ∈ /A S không gian tuyến tính , tức f, g ∈ S af + bg ∈ S, ∀a, b ∈ R S tập trù mật không gian Hilbert hàm bình phương khả tích L2 ([0, T ]) T L2 ([0, T ]) = f : [0, T ] −→ R |f (t)|2 dt < ∞ T Tức , ∀f ∈ L2 ([0, T ]), tồn dãy fn ∈ S cho : lim |fn (t) − f (t)|2dt = n→∞ Với f ∈ S dạng (1.1.1) ta đặt n−1 I(f ) = ck (Wtk+1 − Wtk ) (1.1.2) k=0 Khi ta gọi I(f ) tích phân Wiener hàm f [0, T ], ký hiệu T I(f ) = n−1 f (t)dWt := ck (Wtk+1 − Wtk ) k=0 Với ≤ s ≤ t ≤ T , ta đặt : t t f (t)dWt = s s f (u)dWu − f (u)dWu Chú ý: I(f ) biến ngẫu nhiên số, chẳng hạn: t dWt = Wt − Ws s 1.1.2 Các tính chất tích phân Wiener hàm đơn giản 1.1.2.1 Tính chất Với f ∈ S I(f ) ∈ L2 (Ω) biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình phương sai ||f ||2L2 ([0,T ]), tức là: Chương III: Tích phân Wiener−Itô bội (ii) E Hn GδT , δ Luận văn thạc só toán học 80 δ =0 L2 ([0,T ]) ∀n = 2, 3, (3.3.37) Chứng minh Theo đònh nghóa đa thức Hermite, trước hết ta xét đến hàm: Hn (x, t) := xHn−1 (x, t) − tHn−1 (x, t) n Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh : ∂ Hn (x, t) = Hn−1 (x, t) ∂x ∂2 ∂ Hn (x, t) = Hn (x, t) + 2 ∂x ∂t Từ ta áp dụng công thức Itô cho hàm Hn GδT , δ L2 ([0,T ]) trình ngẫu nhiên dạng Hermite suy rộng xét đònh nghóa 3.3.13 ,ta có: T Hn GδT , δ L2 ([0,T ]) T Hn−1 Gδs , = δ L2 ([0,s]) dGδs Itô Hn−1 Gδs , δ L2 ([0,s]) δ(s)dWs Hơn từ (3.3.36) ta nhận thấy Hn GδT , δ L2 ([0,s]) Hn−1 Gδs , δ = L( [0,T ]) nhận từ tích phân , mà theo tính chất tích phân Itô kỳ vọng tích phân Itô 0, ta thu (3.3.37) Chương III: Tích phân Wiener−Itô bội Luận văn thạc só toán học 81 § 3.4 KHAI TRIỂN WIENER − ITÔ CHAOS 3.4.1 Đònh nghóa ( Tích tenxơ) Cho g1 , g2 , , gn ∈ L2 ([a, b]) Tích tenxơ g1 ⊗ g2 ⊗ ⊗ gn đònh nghóa hàm: g1 ⊗ g2 ⊗ ⊗ gn (t1, t2, , tn ) = g1 (t1 )g2 (t2) gn (tn ) (3.4.1) Tích Tenxơ f1⊗n1 ⊗ f2⊗n2 ⊗ ⊗ fk⊗nk tức fj nhân nj lần, ≤ j ≤ k Hàm tích tenxơ hiển nhiên đối xứng 3.4.2 Đònh lý Cho f1 , f2, , fk laø hàm trực giao khác L2 ([a, b]), n1 , n2, , nk số nguyên dương Khi đó: k In (f1⊗n1 ⊗ ⊗ fk⊗nk ) hnj I(fj ), fj = (3.4.2) j=1 với n = n1 + + nk Đặc biệt ∀f ∈ L2 ([a, b]), f = thì: In (f ⊗n ) = hn I(f ), f (3.4.3) Chứng minh Ta chứng minh (3.4.3) trước, ta chứng minh phương pháp quy nạp Với n = hệ thức (3.4.3) hiển nhiên Giả sử hệ thức (3.4.3) với n > Khi theo đònh lý 3.2.2.7 Ta có: b f (t1 ) f (tn+1 )dWt1 dWtn+1 = (n + 1)! T n+1 f (t1)Xt1 dWt1 a Chương III: Tích phân Wiener−Itô bội Luận văn thạc só toán học 82 Với Xt xác đònh bởi: t Xt = tn f (t2 ) f (tn+1 )dWtn+1 dWt2 a a Dựa vào đònh lý 3.2.2.7 quy nạp theo n ta có: t Xt = n! t = hn n! f (t2 ) f (tn+1 )dWt2 dWtn+1 [a,t]n f (s)2 ds f (s)dWs , a a Do ta có: f (t1) f (tn+1 )dWt1 dWtn+1 T n+1 b = (n + 1) t1 f (t1 )hn a t1 f (s)2 ds dWt1 f (s)dWs , a (3.4.4) a Mặt khác, ta áp dụng công thức Itô cho hn (x, t) ta được: t t f (s)2 ds f (s)dWs , dhn+1 a a = ∂2 ∂ ∂ hn+1 f (t)dWt + hn+1 f (t)2 dt hn+1 f (t)2 dt + ∂x ∂x ∂t Chuù ý : từ công thức đa thức Hermite ta coù: ∂ hn+1 (x, t) = (n + 1)hn (x, t) ∂x ∂ ∂2 hn+1 (x, t) = − hn+1 (x, t) ∂t ∂x2 Do ta được: t t f (s)2 ds = (n + 1)f (t)hn f (s)dWs , dhn+1 a t a t f (s)2 ds dWt f (s)dWs , a a Chương III: Tích phân Wiener−Itô bội b ⇔ hn+1 (I(f ), ||f || ) = (n + 1) Luận văn thạc só toán học 83 t f (t)hn t f (s)2 ds dWt f (s)dWs , a a (3.4.5) a Từ (3.4.4) (3.4.5) ⇒ (3.4.3) với n + Vậy (3.4.3) với số nguyên dương n Bây ta chứng minh (3.4.2) Ta có khai triển: ∞ zx− 12 tz e = n=0 hn (x, t) n z n! (3.4.6) Cho f ∈ L2 ([a, b]) Trong khai trieån (3.4.6) ta cho x = I(f ) t = ||f ||2 ta được: ∞ ezI(f )− ||f || 2z2 zn hn (I(f ), ||f ||2) n! = n=0 (3.4.7) Đặt f = I(f ) Với số thực r1 , r2, , rk , áp dụng (3.4.7) ta được: k ri fi − exp i=1 k k eri fi − ri ||fi || ri2 ||fi||2 = i=1 i=1 k = ∞ rini hni (fi , ||fi ||2) n! i=1 n =0 (3.4.8) i k Maët khác, (3.4.7) với z = f = ri fi i=1 k exp i=1 ri fi − k ∞ ri2 ||fi||2 i=1 hm = m! m=0 k i=1 ri fi , k ri2 ||fi ||2 (3.4.9) i=1 Ta áp dụng (3.4.3) vừa chứng minh cho hm vế phải (3.4.9) ta nhận được: k ri fi − exp i=1 k ∞ ri2 ||f ||2 = i=1 m! m=0 m k ri fi (tj ) dWt1 dWtm Tm j=1 (3.4.10) i=1 So sánh hệ số r1n1 , r2n2 , , rknk vế phải đẳng thức (3.4.8) với (3.4.10) ta suy (3.4.2) 3.4.3 Đònh lý ( Phép biểu diễn Itô đại lượng ngẫu nhiên) Chương III: Tích phân Wiener−Itô bội Luận văn thạc só toán học 84 Cho ξ = ξ(ω) đại lượng ngẫu nhiên Ft − đo L2 (P ), tồn trình ngẫu nhieân {ht = h(t, ω) : t ∈ [0, T ]} L2(àt ì P ) cho: T hs dWs ξ(ω) = Eξ(ω) + h.c.c (3.4.11) Trong ht xác đònh cách với khác biệt tập có độ đo ( Trong biểu thức µt độ đo Lebesgue [0, T ]) Chứng minh Trước hết ta giả đònh ξ(ω) có dạng: T T ϕ(t)dWt − ξ(ω) = exp ϕ2 (t)dt (3.4.12) với ϕ(t) hàm thực bình phương khả tích đoạn [0, T ] Ta áp dụng công thức Itô cho hàm : t t ϕ(t)dWt − Yt (ω) = exp ϕ2(t)dt Ta thu được: dYt = Yt ϕ(t)dWt − ϕ2(t)dt + Yt ϕ(t)dWt 2 = Yt ϕ(t)dWt Như : t Yt (ω) = + Ys ϕ(s)dWs , t ∈ [0, T ] T Từ suy ξ(ω) = YT (ω) = + Ys ϕ(s)dWs Trong Eξ = Vì tổ hợp tuyến tính đại lượng ngẫu nhiên dạng (3.4.12) trù mật L2 (P ) Từ suy ξ ∈ L2 (P ) xấp xỉ ξn dãy hàm có dạng (3.4.12), với n ta coù: T ξn = E(ξn ) + hn (s)dWs vụựi hn L2 (àT ì P ) Chửụng III: Tích phân Wiener−Itô bội Luận văn thạc só toán học 85 Mặt khác theo tính chất đẳng cự tích phân Itô: T E (ξn − ξm ) 2 =E E(ξn − ξm ) + (hn − hm )dWs T = E(ξn − ξm ) E (hn − hm )2 dt −→ + n, m → ∞ Vậy {hn } dãy cauchy nên noự seừ hoọi tuù ủeỏn h L2(àt ì P ) h(t, ) Ft −đo Ta lại sử dụng tính đẳng cự Itô được: T ξ = lim ξn = lim n→∞ E[ξn ] + n→∞ T = Eξ + hn dWt hdWt Từ suy biểu diễn (3.4.11) thực với ξ ∈ L2 (P ) Ta xét tính biểu diễn Itô, giả sử rằng: T ξ = Eξ + T h1 (t, ω)dWt = Eξ + h2 (t, ω)dWt Khi đó: T T = h1 (t, ω) − h2 (t, ω) dWt 0=E E h1 (t, ω) − h2(t, ω) dt Từ suy h1(t, ω) = h2 (t, ω), h.c.c 3.4.4 Khai triển Wiener−Itô Chaos Cho T > 0, ξ biến ngẫu nhiên Ft − đo L2 (P ) Khi tồn n dãy {fn }∞ n=0 hàm fn ∈ L ([0, T ] ) thoả: ∞ ξ= In (fn ) (3.4.13) n=0 Và ta có tính đẳng cự: ∞ ξ L2 (P ) n! fn = n=0 L2 ([0,T ]n ) (3.4.14) Chương III: Tích phân Wiener−Itô bội 86 Luận văn thạc só toán học Chứng minh Dựa vào đònh lý phép biểu diễn Itô đại lượng ngẫu nhiên ( đònh lý 3.4.3), tồn trình ϕ1(s1 ), ≤ s1 ≤ T thoaû T ϕ21(s1 )ds1 ≤ E(ξ ) E (3.4.15) vaø T ξ = E[ξ] + ϕ1(s1 )dWs1 (3.4.16) Đặt g0 = E[ξ] ∀s1 < T ta áp dụng đònh lý biểu diễn Itô cho ϕ1 (s1), tồn trình ϕ2 (s2, s1 ), ≤ s2 ≤ s1 thoaû: s1 ϕ22(s2 , s1 )ds2 ≤ E ϕ21(s1 ) < ∞ E (3.4.17) vaø: s1 ϕ1 (s1 ) = E ϕ1 (s1) + (3.4.18) Theá (3.4.18) vào (3.4.16) ta được: T s1 T ξ = g0 + ϕ2 (s2, s1 )dWs2 g1 (s1)dWs1 + ϕ2(s2 , s1 )dWs2 dWs1 (3.4.19) với g1 (s1 ) = E[ϕ1(s1)] Từ (3.4.15) (3.4.17) từ tính đẳng cự Itô ta có: T s1 T s1 ϕ2(s2 , s1 )dWs2 dWs1 E 0 E ϕ22 (s2, s1 ) ds2 ds1 ≤ E[ξ ] = 0 Tương tự ∀s2 ≤ s1 ≤ T Ta áp dụng đònh lý biễu diễn Itô cho ϕ2(s2 , s1 ), tồn trình ϕ3 (s3 , s2, s1 ), ≤ s3 ≤ s2 ≤ s1 thoaû: s2 ϕ23(s3 , s2, s1 )ds3 ≤ E ϕ22 (s2, s1 ) < ∞ E vaø (3.4.20) s2 ϕ2 (s2, s1 ) = E ϕ2 (s2, s1 ) + ϕ3(s3 , s2 , s1)dWs3 (3.4.21) Chương III: Tích phân Wiener−Itô bội Luận văn thạc só toán học 87 Thế (3.4.21) vào (3.4.19) ta được: T ξ = g0 + T s1 g1 (s1 )dWs1 + T s1 s2 g2 (s2 , s1)dWs2 dWs1 + 0 ϕ3 (s3, s2 , s1)dWs3 dWs2 dWs1 0 với: g2 (s2 , s1 ) = E ϕ2 (s2, s1 ) , ≤ s2 ≤ s1 ≤ T Từ (3.4.15), (3.4.17), (3.4.20) tính đẳng cự Itô ta được: T s1 s2 E ≤ E(ξ ) ϕ3 (s3 , s2, s1 )dWs3 dWs2 dWs1 0 Lặp lại theo phương pháp sau n bước, ta có trình ϕn+1 (t1, t2, , tn+1 ), ≤ t1 ≤ t2 ≤ ≤ tn+1 ≤ T , n + hàm xác đònh g0 , g1 , , gn với g0 số gk xác đònh dựa vào Sk , với ≤ k ≤ n, Sn = {(t1 , , tn ) ∈ [0, T ]n : ≤≤ t1 ≤ t2 ≤ ≤ tn ≤ T } thoaû: n ϕn+1 dW ⊗(n+1) Jk (gk ) + ξ= k=0 Sn+1 Với: T tn+1 ϕn+1 dW ⊗(n+1) := Sn+1 t2 ϕn+1 (t1, t2, , tn+1 )dWt1 dWt2 dWtn+1 tích phân lặp (n + 1) lần ϕn+1 Và ta có: ϕn+1 dW ⊗(n+1) E ≤ E(ξ ) Sn+1 Đặc biệt , họ ϕn+1 dW ⊗(n+1) , ψn+1 := n = 1, 2, Sn+1 bò chặn L2 (P ) từ tính đẳng cự Itô : ψn+1 , Jk (fk ) L2 (P ) = 0, k ≤ n, fk ∈ L2 ([0, T ]k ) Do ta có được: n ξ L2 (P ) Jk (gk ) = k=0 L2 (P ) + ψn+1 L2 (P ) (3.4.22) Chương III: Tích phân Wiener−Itô bội Đặc biệt : 88 Luận văn thạc só toán học n L2 (P ) Jk (gk ) < ∞, n = 1, 2, k=0 ∞ Và Jk (gk ) hội tụ L2 (P ), ∃ψ L2(P ) để lim ψn+1 := ψ n→∞ k=0 Từ (3.4.22) ta có được: Jk (fk ), ψ = 0, L2 (P ) ∀k ∀fk ∈ L2([0, T ]k ) Dựa vào (3.4.3) ta suy rằng: E hk (θ, ||g||2), ψ = T ∀g ∈ L ([0, T ], ∀k ≥ 0, θ = I(g) = g(t)dWt Mặt khác từ đònh nghóa đa thức Hermite ta thaáy : E θk ψ = ∀k ≥ 0, kéo theo là: ∞ θ E e ψ = k=0 E[θk ψ] = k! Vì họ {eθ : g ∈ L2 ([0, T ]) tổng L2 (P ), ta kết luận ψ = Từ ta kết luận được: ∞ Jk (gk ) ξ= (3.4.23) k=0 vaø ∞ ξ = Jk (gk ) L2 (P ) (3.4.24) k=0 Cuối để có (3.4.14) (3.4.15) ta tiếp tục sau: Hàm gn xác đònh Sn , ta mở rộng gn [0, T ]n cách ñaët: gn (t1, , tn ) = 0, (t1 , , tn ) ∈ [0, T ]n \ Sn Bây ta đònh nghóa fn := gn hàm đối xứng hoá gn Khi đó: In (fn ) = n!Jn (fn ) = n!Jn (gn ) = Jn (gn ) Kết hợp (3.4.23), (3.4.24), (3.4.25) ta có (3.4.13) (3.4.14) (3.4.25) Chương III: Tích phân Wiener−Itô bội 89 Luận văn thạc só toán học 3.4.5 Ví dụ 3.4.5.1 Ví dụ Cho t ∈ [0, T ], ta coù: T T t2 1{t1