Định lý 3 trờn đõy chỉ ra rằng cỏc hàm mẫu của quỏ trỡnh Wiener được xấp xỉ tựy ý hàm mẫu củaB tn( )nếu n đủ lớn, với xỏc suất 1. Cỏc hàm mẫu của
Bn(t) là cỏc đướng gấp khỳc cú một thay đổi 1/2 để rẽ và cú một gúc ở bất kỳ một thới điếm là bội của 1 2
2 n, như vậy ngày càng nhiều cỏc mốc thời gian khi
n→ ∞. Hơn nữa, biờn độ của cỏc khỳc thẳng tạo nờn đồ thị của Bn(t) là
2 1 2 2 , 1 2 n n n n = → ∞ → ∞.
Do đú người ta sẽ nghi ngờ rằng cỏc hàm mẫu của quỏ trỡnh Wiener thường khụng khả vi. Như chỳng ta sẽ thấy bờn dưới, đõy thực sự là đỳng. Vỡ vậy, hàm mẫu điển hỡnh của quỏ trỡnh Wiener thuộc về lớp "lạ" của cỏc hàm liờn tục ở khắp mọi nơi, nhưng hàm khụng đõu khả vi.
Định lý 5. Với xỏc suất 1, cỏc hàm mẫu của quỏ trỡnh Wiener khụng khả vi.
Chứng minh.
Chỉ cần chứng tỏ rằng với xỏc suất 1, cỏc hàm mẫu là khụng khả vi trờn bất kỳ khoảng [0, K]. Đặt 0 ( )3 0
2
K = K > . Với xỏc suất 1, với mọi hàm mẫu và mọi số nguyờn m đủ lớn nhưng hữu hạn tồn tại cỏc mốc thời gian
( )( 2 )
0
0 2 m
m
t k ≤k − ≤k với cỏc thuộc tớnh được mụ tả trong Bổ đề 7(b). Núi riờng,
( ) 2 0 0 0 0 max2 m 27 2 m m k k t k k k m k − − ≤ ≤ ≥ − > nếu m đủ lớn.
Cố định một tập hợp con ω cú xỏc suất 1 của khụng gian mẫu. Điều này ấn định một hàm mẫu của W(t) và ấn định cỏc giỏ trị của cỏc mốc thời điểm
ngẫu nhiờn t km( ). (Để đơn giản húa ký hiệu, trong chứng minh này, ta bỏ qua cỏc đối sốω.) Sau đú, chọn một điểm t bất kỳ, t∈[ ]0,k , với mỗi m đủ lớn, cú
( 1) ( )
m m
t k− ≤ ≤t t k với k nào đú, 0 < k2-2m≤ K0. Lấy δ = ẳ trong Bổ đề 7(b), ta nhận được ( ) ( ) ( )3 2