Về ứng dụng của lý thuyết tập hợp, đường cong phẳng và đa thức trong số học

Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học Vinh - Ngun ThÞ Quý ứng dụng lý thuyết tập hợp, đ-ờng cong phẳng đa thức số học Chuyên ngành đại số Lý thuyết số Mà số: 60 46 05 Luận văn thạc sĩ toán học Ng-ời h-ớng dẫn khoa häc PGS.TS Ngun Thµnh Quang Vinh 2010 mơc lục Trang mở đầu Ch-ơng NG DNG CA LÝ THUYẾT TẬP HỢP TRONG SỐ HỌC 1.1 Nguyên tắc bù trừ ……………………………………… 1.2 Tồn số siêu việt ……………………………………… Ch-¬ng ỨNG DỤNG CỦA ĐƯỜNG CONG PHẲNG VÀ ĐA THỨC TRONG SỐ HỌC 10 2.1 Đường cong phẳng ……………………………………… 10 2.2 Đường cong hữu tỉ …………………………… 13 2.3 Ứng dụng đa thức tổ hợp Số học ………… 25 KÕt luËn 29 Tài liệu tham khảo 30 M U Ngy nay, thời đại công nghệ thông tin, nhiều thành tựu Số học có ứng dụng trực tiếp vào vấn đề đời sống kinh tế, xã hội, thong tin, mật mã, kỹ thuật máy tính Vì vậy, phương hướng số học đời phát triển mạnh mẽ: Số học thuật toán Khi làm việc với số học, người ta thường làm việc với số thực, số nguyên, số hữu tỉ, số siêu việt,… Vì loại số ln đối tượng công cụ nghiên cứu số học nói chung tốn học nói riêng Luận văn trình bày ứng dụng lý thuyết tập hợp, đường cong phẳng đa thức nghiên cứu Số học Nội dung luận văn gồm: Dùng lý thuyết tập hợp đếm để tồn số thực siêu việt Hơn nữa, rõ tập hợp số siêu việt có lực lượng đếm Dùng lý thuyết đường cong phẳng để diễn đạt tính vơ nghiệm hữu tỉ nghiệm nguyên phương trình Diophante Dùng lý thuyết đa thức để giải số tập số học Qua nội dung trình bày luận văn, chúng tơi có ý tưởng minh hoạ thống ngành Toán học: Đại số, Số học Hình học trường hợp cụ thể Luận văn tiếp tục nghiên cứu vấn đề sâu Số học: Tính hữu hạn nghiệm hữu tỉ phương trình Diophante hay tính hyperbilic Brody đa tập đại số phức Luận văn thực hướng dẫn nghiêm túc chu đáo PGS.TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn tới PGS.TS Ngơ Sỹ Tùng, PGS.TS Lê Quốc Hán, TS Mai Văn Tư, TS Nguyễn Thị Hồng Loan thầy cô giáo Bộ mơn Đại số Khoa Tốn, Khoa Đào tạo Sau Đại học tận tâm dạy bảo chúng em thời gian học tập vừa qua Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới người bạn học viên cao học khoá 16 chuyên ngành Đại số Lý thuyết số tận tình giúp đỡ trình học tập hồn thành luận văn Luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận bảo thầy cô giáo bạn đồng nghiệp Tác giả CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT TẬP HỢP TRONG SỐ HỌC 1.1 Nguyên tắc bù trừ 1.1.1 Định lí Ký hiệu lực lượng tập X X Xét tập A1,…,An với lực lượng hữu hạn Khi đó, ta có: n i 1 n Ai   Ai   Ai  Aj  i 1  1i j k  n Ai  Aj  Ak   (1) n 1 n A i 1 Chứng minh Ta chứng minh phương pháp qui nạp + Trước tiên ta thấy n = kết luận + Với n = 2, xét hai tập hợp A, B với lực lượng hữu hạn Nếu A  B   hiển nhiên A  B  A  B Nếu C  A  B   ta có A  B   A \ B  C  B \ A Vì tập đơi giao rỗng; nên A  B  A \ B  C  B \ A Vì A \ B  A  C B \ A  B  C , nên A  B  A  B  C (1) + Khi n > ta giả thiết kết luận cho n - tập Đặt A = A n 1 i i 1 Theo cơng thức (1) ta có: n A i  A  An  A  An  A  An i 1 Sử dụng giả thiết qui nạp cho A A  An , ta có cơng thức cần chứng minh 1.1.2 Hệ (Xây dựng cơng thức tính giá trị hàm Eleur) Nếu số nguyên dương n > có phân tích tắc thành thừa số nguyên tố s n = p1 pn  (n)  n  (1  P1 ) i1 i n   Chứng minh Cho số  i  s , ta định nghĩa Ai=  Pi ,2 Pi , , Pn Pi  Khi i   Ai tập T = 1,2, ,n  Ai  n Cho cặp i, j, i  j Pi tập Ai  A j bao gồm tất số thuộc T bội PiPj với A i  A j  n Tương tự tính lực lượng tập giao khác Theo nguyên Pi P j tắc bù trừ ta có:  ( n)  n  | s s n s s n n n Ai | n        (1) s  p p p p p p p p i  1  i  j  s i1 i i j 1i jk s i j k s s Vì  (n)  n  (1  ) pi i1 Ví dụ Giả thiết n sinh viên có n khác để ngồi giảng đường Tìm số khả để khơng có sinh viên lấy lại Giải Kí hiệu Dn số khả để khơng có sinh viên lấy lại Ta thay n sinh viên qua {1, 2,…, n-1, n} Kí hiệu A tập tất khả lấy ô n sinh viên Ai tập A gồm tất khả lấy ô n sinh viên cho người thứ i lấy Ta có Dn | A |  | Ai | Dễ dàng i1 kiểm tra | A | n!,| Ai | (n  1)!,| s A | (n  s)! Theo nguyên tắc bù trừ ta j 1 i j có n n n Dn  n! (n  1)! ( )(n  2)!  (1) n (n  n)! n Vậy n n n Dn  n!  (1)i   (1)n1.i! i ! i0 i i0  Ví dụ Với ký hiệu trên, chứng minh rằng: n n n   ( ) Di  n!   (1)n1( ) Di  (1)n[2n  1] i i i2 n Giải Hiển nhiên D1 = Dn  (1)n   (1)ni i!.( ) theo kết ta i n n thu được: n!   (1)ni ( )[ Di  (1)i ] i i1 n n n n n n Vậy n!   (1)ni ( ) Di  (1)n  ( )   (1)n1( ) Di  (1)n[2n  1] i i i2 i1 i i2 n n n Vì (1)n Dn    (1)i i!( ) , nên (1)n n!   (1)ni ( )[(1)i Di  1] i i i1 n n n!    i1 i Vậy  Ví dụ Có số tự nhiên n  [1,2005] mà không chia hết cho 2, 3,11,13 Giải Ký hiệu A={1,2,…,2004,2005} Ai tập A gồm tất số nguyên dương chia hết cho i Ta có  2005   2005   2005   2005  | A2 |   1002, | A3 |   668, | A11 |   182 | A13 |   154;         11   13  Ta lại có  2005   2005   2005  | A2  A3 |   334, | A2  A11 |   91, | A2  A13 |   77,      22   26   2005   2005   2005  | A3  A11 |   60, | A3  A13 |   51, | A11  A13 |   14    33   39   143  Tính  2005   2005  | A2  A3  A11 |   30, | A2  A3  A13 |   25   66   78   2005   2005  | A2  A11  A13 |   7, | A3  A11  A13 |  4   286   429   2005  | A2  A3  A11  A13 |    858  Số T số thuộc A không chia hết cho 2,3,11,13 T | A |  | A2  A3  A11  A13 |  2005  (1002  668  182  154)   (334  91  77  60  51  14)  (30  25   4)   562 Vậy T = 562 1.2 Tồn số siêu việt 1.2.1 Tập đếm Tập A đựợc gọi tập đếm có song ánh từ A vào tập Giả sử h: A  số tự nhiên Đặc biệt, tập đếm song ánh Thay cho a  A ta viết ah ( a ) Như nói tập A đếm tương đương với việc đánh số phần tử 1.2.2 Bổ đề Tập tập đếm tập đếm Chứng minh Giả sử B tập tập đếm A Vì A đếm nên ta có song ánh f : A  Mặt khác ta có ánh xạ nhúng nc : B  A Khi hàm hợp f nc : B  song ánh Vậy B tập đếm  1.2.2 Bổ đề Ta có kết luận sau đúng: a) Tập  đếm b) Tích Đề họ đếm tập đếm c) Hợp họ đếm tập đếm tập đếm d) Tập Q tập đếm Chứng minh (a) Các phần tử thuộc x cặp (i ; j) phép xếp theo hàng sau: (0,0) ; (0,1) ; (0,2) ; (0,3) ;… (1,0) ; (1,1) ; (1,2) ; (1,3) ;… (2,0) ; (2,1) ; (2,2) ; (2,3) ;… (3,0) ; (3,1) ; (3,2) ; (3,3) ;… (4,0) ; (4,1) ; (4,2) ; (4,3) ;… …………………………… Với n số tự nhiên tùy ý, ta xét đường chéo sơ đồ Hn=  0, n  , 1, n  1 ,  2, n   , ,  n,0  Tập Hn có (n+1) phần tử Ta có song ánh f :   ,  (i,j) n H i có i 0 ( n 1)( n  ) ( i  j )( i  j 1) i  phần tử Vậy tập tập đếm x (b) Được suy từ (a) qua quy nạp theo số tập (c) Giả sử X= Ai \i  T  họ đếm tập đếm Vì Ai đếm được, nên phần tử thuộc tập Ai đánh số ai0, ai1,… cho số tự nhiên i Ta thấy có số hữu hạn aij với i+j=h cho số tự nhiên h Bắt đầu đánh số aij với i + j = 0; đánh số aij với i +j = 1, Tiếp tục trình ta đánh số tất phần tử thuộc B= iT Ai Từ ta suy B tập đếm (d) Mỗi số hữu tỉ dương ánh nq: Q i j +  x i j ta tương ứng cặp (i,j)  Q + x Vậy ta có đơn đếm Tương tự Q -  Q + ,  ij , đơn ánh Vậy Q đếm Vì Q = Q +  Q -  0  nên Q đếm  1.2.3 Bổ đề Nếu tập T tập Ai, i  T, tập đếm tích trực tiếp  Ai tập đếm 1.2.4 Số đại số Phần tử s  R gọi phần tử đại số Q tồn phần tử a1, a2, …,an  Q cho: sn + a1 sn-1 +…+ an-1 s + an = Đặt f(x)= xn + a1xn-1+…+ an-1x + an Đa thức f(x) gọi phương trình đại số Q Trong trường hợp trái lại, s gọi phần tử siêu việt Q 1.2.5 Định lý Tập tất số đại số Q tập đếm Chứng minh Vì tập D với tất đa thức với hệ tử thuộc Q hệ tử cao tập đếm theo bổ đề 1.2.2 bổ đề 1.2.3, nên ta đánh số đa thức thuộc D hay D   fi ( x) \ i  1,2  16 mi r  k  b( x ) x  i x k  ni rk a ( x)  x     x  i k Qui đồng mẫu số, mẫu số chung phân số thương sau q( x)   ( x  i ) ( x   k ) có bậc n0 (abc) Như q( x) f ( x) g ( x) q( x) đa thức có bậc khơng q f ( x) g ( x) n0 (abc)  Từ f ( x) b( x ) f ( x)  g ( x) a( x) q( x) g ( x) q( x) (a( x), b( x))  1, nên bậc a( x), b( x) không vượt n0 (abc)  Tương tự, bậc c( x) không vượt n0 (abc)  Tóm lại, ta có max{dega(x),degb(x),degc(x)}  n0 (abc)   Vận dụng bổ đề ta chứng minh kết sau 2.2.3 Định lí Đường cong phẳng ( ) : x n  y n  1, n  3, không đường cong phẳng hữu tỉ Chứng minh Nếu ( ) đường cong phẳng hữu tỉ có đa thức hệ số thực hay phức a( x), b( x), c( x), nguyên tố cặp thõa mãn a( x)n  b( x)n  c( x)n Theo bổ đề 2.2.2 ta phải có max{dega(x),degb(x),degc(x)}  n0 (abc)  Khơng tính tổng qt giả thiết vế trái n deg a( x) Vì n0 (abc)   dega(x)+degb(x)+degc(x)-1 Nên n deg a( x)  deg a( x)  deg b( x)  deg c( x)  : mâu thuẫn  Ví dụ Có hay không đa thức nguyên tố a( x), b( x) với deg[a( x)18 -b(x)3 ] n  p  x  n    i  1 C  x  1 q n 1 i 1 i n i 0 n i n   Cni  x  1 q ni i 1 i 0 Lấy đạo hàm hai vế cho x  ta có n n!    i  1 C q i 2 n i n n i n    i  1 Cni qni q ni i 2 n =   i  1 pn  i   qn    i  1 Cni qni i 0 i 2 n =   i  1 i 0 n =   i  1 i 0 Vậy i 0 n i 0 i 0 pn  i   n! n! theo chứng minh   i  1 n n pn  i    iCni qni   Cni qni pn  i   n!  28 Ví dụ 23 Ký hiệu qn số hoán vị n phần tử mà khơng có phần tử cố định, cịn pn  i  số hốn vị tập gồm n phần tử mà có i phần tử cố định Chứng minh | qn  pn 1 | Giải Như chứng minh trên, ipn  i   iCni qn1  nCni 11qn1i1 , nên ta ipn  i   npn1  i  1 Vậy pn 1  npn1    nqn1, 1 (6.1) Bây ta qn   n  1  qn1  qn2  Thật vậy, xét phép hoán vị    a1 a2 (6.2) n  an   khơng có phần tử cố định Tương ứng i với với n-1 khả chọn cho  1, , n,  i Khi  j : Số hốn vị khơng có phần tử cố định mà i   j j  a j  i qn2 , cị số hốn vị khơng có phần tử cố định mà i   j j  a j  i qn1 Vậy qn   n  1  qn1  qn2  Từ (1.1), (1.2) ta suy | qn  pn 1 ||  n  1  qn1  qn2   nqn1 ||  n  1 qn2  qn1 | = |  n  1 qn2   n   qn2  qn3 | = | qn2   n   qn3 | | q2  2q1 | Tóm lại, ta có | qn  pn 1 |  KẾT LUẬN Luận văn trình bày ứng dụng lý thuyết tập hợp, đường cong phẳng đa thức nghiên cứu Số học Nội dung luận văn gồm: Dùng lý thuyết tập hợp đếm để tồn số thực siêu việt Hơn nữa, rõ tập hợp số siêu việt có lực lượng đếm Dùng lý thuyết đường cong phẳng để diễn đạt tính vơ nghiệm hữu tỉ nghiệm nguyên phương trình Diophante Dùng lý thuyết đa thức để giải số tập số học 29 Qua nội dung trình bày luận văn, chúng tơi có ý tưởng minh hoạ thống ngành Toán học: Đại số, Số học Hình học trường hợp cụ thể Luận văn tiếp tục nghiên cứu vấn đề sâu Số học: Tính hữu hạn nghiệm hữu tỉ phương trình Diophante hay tính hyperbolic Brody đa tập đại số phức 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Hà Huy Khoái (2004), Số học, NXB Giáo dục, Hà Nội [3] Nguyễn Thành Quang (2003), Số học đại, §¹i häc Vinh [4] W J Kaczkor - M T Nowak (2002), Số học DÃy số Chuỗi số, Nhà xuất Đại học S- phạm (bản dịch tiếng ViÖt) TIẾNG ANH [5] S G Telang (2001), Number Theory, Tata McGraw - Hill Pubshing Company Limited, New Delhi [6] David M Burton (2002), Elementary Nunber Theory, McGraw - Hill Higher Education, India [7] J P Serr (1973), A course in Arithemetic, Springer - Verlag [8] Z I Borevic and R I Shafarevich (1966), Number Theory, Acamedic Press [9] N Koblitz (1979) p-adic numbers, p-adic Analysis and Zeta – Functions, Spinger - Verlag ... NG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT TẬP HỢP TRONG SỐ HỌC 1.1 Nguyên tắc bù trừ ……………………………………… 1.2 Tồn số siêu việt ……………………………………… Ch-¬ng ỨNG DỤNG CỦA ĐƯỜNG CONG PHẲNG VÀ ĐA THỨC TRONG SỐ HỌC 10 2.1 Đường cong. .. 1.2.6 Hệ Tập hợp tất đa thức với hệ số số đại số Q tập đếm 1.2.7 Hệ Tập hợp tất nghiệm đa thức với hệ số số đại số Q tập đếm 1.2.8 Bổ đề Tập hợp tất số thực tập không đếm Chứng minh Giả sử tập hợp... văn trình bày ứng dụng lý thuyết tập hợp, đường cong phẳng đa thức nghiên cứu Số học Nội dung luận văn gồm: Dùng lý thuyết tập hợp đếm để tồn số thực siêu việt Hơn nữa, rõ tập hợp số siêu việt