Quy tắc tổng mờ không địa phương và ứng dụng (LV01342)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN THỊ THU HIỀN QUY TẮC TỔNG MỜ KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học TS. TRẦN VĂN BẰNG Hà Nội - 2014 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Trần Văn Bằng, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành Luận văn này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, Thầy, Cô dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư Phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập. Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành Luận văn. Tôi xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, tháng 07 năm 2014 Tác giả Trần Thị Thu Hiền Lời cam đoan Luận văn kết thân đạt trình học tập nghiên cứu, hướng dẫn TS. Trần Văn Bằng giúp đỡ Thầy, Cô khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội Thầy, Cô trực tiếp giảng dạy chúng tôi. Trong nghiên cứu, hoàn thành Luận văn tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo. Tôi xin khẳng định kết đề tài “Quy tắc tổng mờ không địa phương ứng dụng” trùng lặp với kết đề tài khác. Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Trần Thị Thu Hiền Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Một số kiến thức Giải tích hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Không gian Banach không gian đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Hàm khả vi không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.3. Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.4. Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.5. Hàm Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2. Dưới vi phân Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.1. Định nghĩa tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.2. Nón pháp Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.2.3. Nón pháp vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Chương 2. Quy tắc tổng mờ không địa phương ứng dụng . 32 2.1. Quy tắc tổng mờ không địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2. Quy tắc tổng mờ địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3. Bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.4. Nguyên lý cực trị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Mở đầu 1. Lí chọn đề tài Trong chương trình đại học, biết vai trò đạo hàm, vi phân (cổ điển) việc khảo sát hàm số biến số, nhiều biến số, đặc biệt việc khảo sát cực trị chúng. Vấn đề đặt hàm số xác định không gian vô hạn chiều (các phiếm hàm) hay hàm, phiếm hàm không khả vi theo nghĩa cổ điển (còn gọi không trơn) cực trị chúng khảo sát nào? Để giải vấn đề này, nhà toán học đề xuất nhiều cách tiếp cận, phải kể đến cách mở rộng khái niệm đạo hàm, vi phân, nói cách khác đưa công cụ có tính tương tự đạo hàm. Một công cụ quan trọng vi phân hàm lồi. Khái niệm có ứng dụng tốt lớp hàm lồi. Để nghiên cứu hàm không lồi, chẳng hạn lớp hàm nửa liên tục cần tới loại vi phân khác vi phân Clarke, vi phân Frechet, vi phân Mordukhovich,. . . .(xem [3]-[9]). Khái niệm vi phân có số cách tiếp cận như: thông qua giới hạn; thông qua hàm thử (theo nghĩa nhớt); thông qua nón pháp (xem [6]-[9]). Với khái niệm vi phân tay, cần thiết lập quy tắc tính, kết mô tả tính chất hàm thông qua vi phân tương ứng (nếu có thể) với kết biết giải tích cổ điển. Với mong muốn tìm hiểu sâu vấn đề đó, hướng dẫn TS.Trần Văn Bằng, mạnh dạn chọn đề tài: “Quy tắc tổng mờ không địa phương ứng dụng ”. Nội dung Luận văn gồm hai chương. Chương trình bày kiến thức chuẩn bị, cần thiết cho việc trình bày nội dung Chương 2, bao gồm: Một số khái niệm kết Giải tích hàm, khái niệm vi phân Frechet. Chương trình bày quy tắc tổng mờ không địa phương Borwein, Treiman, Zhu. Ứng dụng để chứng minh quy tắc tổng mờ địa phương Ioffe, bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng Clarke, Ledyaev nguyên lý cực trị Mordukhovich. 2. Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu quy tắc tổng mờ không địa phương Borwein, Treiman, Zhu. Ứng dụng để chứng minh quy tắc tổng mờ địa phương Ioffe, bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng Clarke, Ledyaev nguyên lý cực trị Mordukhovich. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu vi phân. - Tìm hiểu quy tắc tổng mờ không địa phương. - Ứng dụng để chứng minh quy tắc tổng mờ địa phương, bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng nguyên lý cực trị. 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Dưới vi phân ứng dụng. Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu lớp hàm nửa liên tục. 5. Phương pháp nghiên cứu Tìm hiểu tổng quan kết tổng quát, chi tiết hóa chứng minh có thể, lấy ví dụ cụ thể để minh họa. 6. Dự kiến đóng góp Các đóng góp luận văn trình bày hệ thống kiến thức vi phân quy tắc tổng mờ không địa phương; cách sử dụng quy tắc nghiên cứu tính chất hàm số. Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Một số kiến thức Giải tích hàm 1.1.1. Không gian Banach không gian đối ngẫu Mục trình bày khái niệm, tính chất không gian Banach không gian liên hợp. Cho X không gian vectơ thực. Định nghĩa 1.1 (Xem [1], trang 11-12). Một chuẩn X, kí hiệu . , ánh xạ từ X vào R thỏa mãn tiên đề sau: Với ∀u, v ∈ X α ∈ R (i) u ≥ 0; (ii) u = u = 0; (iii) αu = |α| . u ; (iv) u + v ≤ u + v (bất đẳng thức tam giác). Số u gọi chuẩn u ∈ X. Một không gian vectơ X với chuẩn . xác định không gian gọi không gian định chuẩn, kí hiệu (X, ||.||) hay đơn giản X Mệnh đề 1.2 (Xem [1], trang 12). Cho X không gian định chuẩn với chuẩn ||.||.Với ∀x, y ∈ X, đặt d(x, y) = x − y . Khi d metric X. Định nghĩa 1.3 (Xem [1], trang 21). Giả sử (X, . ) không gian định chuẩn X0 không gian X. Dễ dàng thấy X0 với chuẩn cảm sinh từ chuẩn X không gian định chuẩn gọi không gian không gian định chuẩn (X, . ). Nếu X0 đồng thời tập đóng không gian X không gian định chuẩn X0 gọi không gian đóng không gian X. Định nghĩa 1.4 (Xem [1], trang 12). Cho X không gian định chuẩn với chuẩn . . Nếu X với metric d(x, y) = x − y không gian metric đủ X gọi không gian Banach. Nếu không nói thêm luận văn này, không gian Banach kí hiệu X với chuẩn . X . . Một số ví dụ không gian Banach. Ví dụ 1.5. Không gian X := R không gian Banach trường số thực với chuẩn u = |u| , ∀u ∈ R. Ví dụ 1.6. Không gian l2 bao gồm tất dãy số x = (xn ) cho ∞ chuỗi n=1 |xn |2 hội tụ với chuẩn x = ∞ n=1 |xn |2 không gian Banach. 40 Định lý 2.7 (Xem [6]. Quy tắc tổng mờ địa phương yếu). Cho f1 , ., fN : N n=1 fn )(x). X → R hàm nửa liên tục dưới. Giả sử x∗ ∈ DF− ( với ε > lân cận yếu ∗ Khi V X ∗ , tồn xn ∈ x + εB, x∗n ∈ DF− fn (xn ), n = 1, ., N cho |fn (xn ) − fn (x)| < ε, x∗n diam({x1 , ., xN }) < ε, n = 1, 2, ., N N ∗ x∗n + V. x ∈ n=1 Chứng minh. Giả sử ε > V lân cận yếu ∗ X ∗ . Cố định r > L không gian hữu hạn chiều X N n=1 fn )(x) chứa x cho L⊥ + 2rBX ∗ ⊂ V. Vì x∗ ∈ DF− ( C −hàm lồi g cho ∇g(x) = x∗ N n=1 fn nên tồn − g đạt cực tiểu địa phương x. Chọn < η < min(ε, r) cho y − x ε, ta có ∇g(x) − ∇g(y) N n=1 fn < η < < r gọi δL hàm L. Khi − g + δL đạt cực tiểu địa phương x. Theo Nhận xét 2.5 (b), hệ (f1 , ., fN , −g, δL ) nửa liên tục địa phương x. Áp dụng quy tắc tổng mờ địa phương mạnh Định lý 2.6 ta khẳng định: tồn xn , n = 1, ., N + cho xn − x < η < ε, n = 1, ., N + 2, x∗n ∈ DF− f (xn ), n = 1, ., N, x∗N +1 = −∇g(xN +1 ) x∗N +2 ∈ DF− δL (xN +2 ) thỏa mãn kết luận Định lý 2.6, tức |fn (xn ) − fn (x)| < η < ε, x∗n diam({x1 , ., xN }) ≤ x∗n diam({x1 , ., xN +2 }) < η < ε với n = 1, ., N, |δL (xN +2 ) − δL (x)| < η, tức xN +2 ∈ L, N x∗n − ∇g(xN +1 ) + x∗N +2 ∈ rBX ∗ . n=1 41 Lưu ý DF− δL (xN +2 ) = L⊥ x∗ − ∇g(xN +1 ) < r. Do đó, N n ∗ x∗n x ∈ ⊥ x∗n + V. + L + 2rBX ∗ ∈ n=1 n=1 Định nghĩa 2.8 (Tính nửa liên tục theo dãy). Cho f1 , ., fN : X → R hàm nửa liên tục dưới. Ta nói hệ (f1 , ., fN ) nửa liên tục theo dãy x tồn hình cầu đóng x + ηB với tâm x cho với N, dãy {xnr } , n = 1, 2, ., N, r = 1, 2, . thuộc x + ηBX xnr − xmr → r → ∞, tồn dãy {ur } phần tử thuộc hình cầu cho xnr − ur → N (fn (xnr ) − fn (ur )) ≥ 0. lim inf r→∞ n=1 Để ý rằng, điều kiện Định nghĩa 2.4 mà sử dụng mang tính tô pô điều kiện tính nửa liên tục theo dãy Định nghĩa 2.8. Không khó để nhận rằng: tính nửa liên tục theo dãy suy tính nửa liên tục địa phương. Thật vậy, giả sử (f1 , ., fN ) hệ nửa liên tục theo dãy η chọn giống Định nghĩa 2.8. Chọn dãy {xnr }, n = 1, 2, ., N, r = 1, 2, ., thuộc x + ηBX cho xnr − xmr → r → ∞ N lim r→∞ N fn (xn ) : xn − xm ≤ h, fn (xnr ) = lim inf{ h→0 n=1 n=1 xn , xm ∈ x + ηBX , n, m = 1, ., N }. Khi có dãy {ur } ⊂ x + ηBX cho unr − ur → N (fn (xnr ) − fn (ur )) ≥ 0. lim inf r→∞ n=1 42 Do vậy, N fn ≤ lim inf inf x+ηBX N r→∞ n=1 fn (ur ) ≤ lim inf n=1 N r→∞ fn (xnr ) n=1 fn (xn ) : xn − xm ≤ h, = lim inf{ h→0 N n=1 xn , xm ∈ x + ηBX , n, m = 1, ., N }, nên (f1 , ., fN ) nửa liên tục địa phương. Hơn nữa, tính nửa liên tục địa phương thực yếu tính nửa liên tục theo dãy. Điều khẳng định qua ví dụ đây. Ví dụ 2.9. Cho X không gian Banach vô hạn chiều lấy dãy ek X cho ek = ek − el ≥ 1/2 k = l. Đặt A := {ek /l : k, l = 1, 2, .} ∪ {0}, B := {(ek + e1 /k)/l : k, l = 1, 2, .} ∪ {0}. Khi A B tập đóng A ∩ B = {0}. Đặt f1 := δA f2 := δB . Ta chứng tỏ rằng, với η > 0, (f1 , f2 ) không nửa liên tục địa phương ηB. Thật vậy, l số nguyên cho 2/l < η cho x1r = er /l; x2 r = (er + e1 /r)/l x1r − x2r → f1 (x1r ) = f2 (x2r ) = ∀r. Nếu ur dãy cho xnr − ur → 0, n = 1, ta phải có ur = với r đủ lớn. Vì có hai giá trị f1 (ur ), f2 (ur ) ∞ (fn (xnr ) − fn (ur )) = −∞ < 0. lim inf r→∞ n=1 Tuy nhiên, (f1 , f2 ) nửa liên tục địa phương, theo Định nghĩa 2.4 vế phải không âm vế trái 0. 43 Quy tắc tổng mờ địa phương nói chung không hàm nửa liên tục không gian vô hạn chiều điều kiện bổ sung, xem ví dụ đây. Ví dụ 2.10. Lấy X := l2 ek sở trực chuẩn X. Khi ∞ k=1 x(k)ek . x ∈ X biểu diễn x = n k=1 x(k)ek , Đặt Pn (x) := ta có Pm (x) ≤ Pn (x) với m ≤ n, nói riêng Pn ≤ với n. Do xk → k → ∞ nên x ∞ := max {|xk (k)| : ≤ k < ∞} tồn tại. Hơn nữa, với k0 cho |x(k0 )| = x ∞, ta có |x(k0 )| = Pk0 +1 (x) − Pk0 (x) ≤ x . Do · ∞ hàm Lipschitz với số Lipschitz 2. Đặt Fn = {x : x ≤ 3, x(i) ≥ x(i) = i mod = i ≤ 3n}. Ta xét hai hàm        f1 (x) := − √1 − y n      +∞        f2 (x) := − √1 − y n      +∞ x = 0; ∞ x = n1 e3n−1 + y, y ∈ Fn ; trái lại x = 0; ∞ x = n1 e3n−2 + y, y ∈ Fn ; trái lại. Rõ ràng dom(f1 ) ∩ dom(f2 ) = {0} nên theo tính biểu diễn qua sở suy f1 + f2 đạt cực tiểu 0. Từ định nghĩa ta thấy f1 44 f2 bị chặn −7 · ∞ Lipschitz với số Lipschitz 2. Bây f1 nửa liên tục dưới. Giả sử xn ∈ dom(f1 ) xn → x. Nếu x = giả sử xn = xn = yn , yn ∈ Fkn . Do kn → ∞ yn → nên − √1k − yn n ∞ kn e3kn −1 + → 0. Nếu x = kn → ∞. Thật vậy, kn → ∞ với i ta có xn (i) → n → ∞ xn (i) = với i ≤ 3kn − 1. Do giới hạn theo chuẩn giới hạn theo tọa độ phải trùng hai tồn tại, nên xn → theo chuẩn. Do kn → ∞ nên kn = n0 với n đủ lớn (bởi vì, n = m, 1 1 e3n−1 + yn − ( e3m−1 + ym ) ≥ max , n m n m với ym ∈ Fm , yn ∈ Fn ). Vì nên xn = n0 e3n0 −1 + yn , yn ∈ Fn0 với n đủ lớn. Điều chứng tỏ yn → y ∈ Fn0 . Từ tính liên tục chuẩn . ∞ ta suy f1 (xn ) = − √ − yn n0 ∞ → −√ − y n0 ∞ = f1 (x). Điều chứng tỏ f1 nửa liên tục dưới. Tương tự, ta có f2 nửa liên tục dưới. Tiếp theo, ta chứng minh với xi ∈ B x∗i ∈ DF− fi (xi ) ta có x∗1 + x∗2 ≥ 1. Thật vậy, gọi gi hàm tương ứng với x∗i , i = 1, định nghĩa đạo hàm Fréchet. Để ý DF− f1 (0) = ∅ √ 1 n f1 (0 + e3n−1 ) − f1 (0) ≤ n − √ − = − n. n n 45 Tương tự DF− f2 (0) = ∅. Do ta viết x1 = x2 = n1 e3n−1 + y2 , y1 = ∞ m e3m−1 ∞ ak e3k ∈ Fm y2 = k=m + y1 bk e3k ∈ Fn . k=n Ta chứng minh x∗1 + x∗2 ≥ trường hợp m ≤ n (chứng minh cho trường hợp m ≥ n tương tự). Đặt bk0 = maxk≥n {bk } ≤ bk0 ≤ x2 ≤ 2, y2 + te3k0 ∈ Fn với ≤ t ≤ y + te3k0 ∞ = y ∞ + t. Do đó, g2 (x2 + te3k0 ) − g2 (x2 ) f2 (x2 + te3k0 ) − f2 (x2 ) ≤ = −1. t t Do m ≤ n, nên y1 +te3k0 ∈ Fm , a3k0 ≥ nên y1 + te3k0 ∞ ≥ y1 ∞. Hệ g1 (x1 + te3k0 ) − g1 (x1 ) f1 (x1 + te3k0 ) − f1 (x1 ) ≤ ≤ 0. t t Chứng tỏ x∗2 , e3k0 ≤ −1 x∗1 , e3k0 ≤ 0. Vậy x∗1 + x∗2 ≥ 1. Ví dụ sau cho thấy, điều kiện tính nửa liên tục chưa chặt. Ví dụ 2.11. Cho X không gian Banach vô hạn chiều ei ∈ X, i = 1, 2, . thỏa mãn ei =        f1 (x) := − l      +∞ ei − ej > 1/2 với i = j. Đặt x = 0, x = eli , trái lại 46    x = 0,     f2 (x) := − x = (ei +el /i) , l      +∞ trái lại, l = 1, 2, Khi (f1 , f2 ) không nửa liên tục địa phương 0. Thật vậy, với h > 0, gọi l số nguyên dương nhỏ cho l < h. Ta có = infx∈hB (f1 + f2 )(x) > lim inf {f1 (x1 ) + f2 (x2 ) : x1 − x2 < η, x1 , x2 ∈ hB} = η→0 −2 l Dễ thấy DF− f1 (ei /l) = DF− f2 ((ei + e1 /i)/l) = X ∗ nên quy tắc tổng mờ địa phương thỏa mãn x = 0. 2.3. Bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng Với x ∈ X Y ⊂ X, kí hiệu [x, Y ] bao lồi {x} ∪ Y, tức [x, Y ] := {x + t(y − x) : t ∈ [0, 1] , y ∈ Y } d (Y, x) := inf { x − y : y ∈ Y } khoảng cách từ x tới Y. Bản chất bất đẳng thức giá trị trung bình (GTTB) đa hướng minh họa qua trường hợp lồi sau kết đó. Định lý 2.12 ( Xem [6]. (Bất đẳng thức GTTB đa hướng lồi)). Cho X không gian Banach, cho Y ⊂ X tập khác rỗng, đóng lồi, x ∈ X f : X → R hàm lồi liên tục. Giả sử f bị chặn 47 [x, Y ] inf f (y) − f (x) > r. y∈Y Khi đó, với ε > 0, tồn z ∈ [x, Y ] z ∗ ∈ ∂f (z)−dưới vi phân lồi f z, cho r < z ∗ , y − x + ε y − x , ∀y ∈ Y. Hơn nữa, chọn z thỏa mãn f (z) < inf f + |r| + ε. [x,Y ] Chứng minh. (1) Trường hợp đặc biệt. Giả sử inf f (y) > f (x) r = −ε < 0. y∈Y Đặt f := f + δ[x,Y ] . Khi f bị chặn X. Không tính tổng quát ta giả sử ε < inf f (y) − f (x). y∈Y Theo nguyên lý biến phân Ekeland, tồn z cho: f (z) < inff + ε (2.9) f (ω) ≥ f (z) − ε ω − z . (2.10) Điều có nghĩa ánh xạ u → f (u) + δ[x,Y ] (u) + ε u − z đạt cực tiểu z. Theo (2.9), f (z) < +∞ nên z ∈ [x, Y ]. Do [x, Y ] lồi nên theo quy tắc vi phân tổng hàm lồi, tồn z ∗ ∈ ∂f (z) 48 cho ≤ z ∗ , ω − z + ε ω − z , ∀ω ∈ [x, Y ]. Có thể lấy ε nhỏ (nếu cần), ta có với ω = z, < z∗, ω − z + ε ω − z , ∀ω ∈ [x, Y ] \ {z} . (2.11) Hơn nữa, từ (2.9) ta có f (z) = f (z) ≤ f (x) + ε < inf Y f nên z ∈ / Y. Do ta viết z = x + t¯(¯ y − x), t¯ ∈ [0, 1). Với y ∈ Y, đặt ω = y + t¯(¯ y − y) = z (2.11) ta nhận < z∗, y − x + ε y − x , ∀y ∈ Y. (2.12) (2) Trường hợp tổng quát. Xét X × R với chuẩn (x, r) = x + |r|. Lấy ε ∈ (0, ε\2) đủ nhỏ cho inf f (y) − f (x) > r + ε y∈Y đặt F (z, t) := f (z) − (r + ε )t. Rõ ràng F nửa liên tục dưới, lồi X × R bị chặn [(x, 0), Y × {1}]. Hơn nữa, inf F = inf f − (r + ε ) > f (x) = F (x, 0). Y Y ×{1} Áp dụng trường hợp đặc biệt với f, x Y thay F, (x, 0) Y × {1} ta có: tồn (z, s) ∈ [(x, 0), Y × {1}] z ∗ ∈ ∂f (z) thỏa mãn f (z) − (r + ε )s < inf (f (ω) − (r + ε )t) + ε (ω,t)∈[(x,0),Y ×{1}] tức là, f (z) < inf (f (ω) − (r + ε )(t − s) + ε (ω,t)∈[(x,0),Y ×{1}] ≤ inf f + |r| + ε [x,Y ] 49 cho, với y ∈ Y , < z ∗ , y − x − (r + ε ) + ε ( y − x + 1) = z∗, y − x − r + ε y − x ≤ z∗, y − x − r + ε y − x . Vậy ta có điều phải chứng minh. Định lý 2.13 (Xem [6]. (Bất đẳng thức GTTB đa hướng)). Cho Y ¯ hàm nửa tập lồi, đóng, khác rỗng X, x ∈ X f : X → R liên tục dưới. Giả sử rằng, với h > 0, f bị chặn [x, Y ] + hBX lim inf η→0 y∈Y +ηBX f (y) − f (x) > r. Khi đó, với ε > 0, tồn z ∈ [x, Y ] + εB z ∗ ∈ DF− f (z) cho r < z ∗ , y − x + ε y − x , ∀y ∈ Y. Hơn nữa, ta chọn z cho f (z) < lim inf η→0 [x,Y ]+ηBX f + |r| + ε. Chứng minh. Giống chứng minh Định lý 2.12 ta có chuyển trường hợp tổng quát trường hợp đặc biệt lim inf η→0 y∈Y +ηBX f (y) > f (x) r = −ε < 0. Ta chứng minh trường hợp đặc biệt. Đặt f¯ := f +δ[x,Y ] + hBX . Khi ¯ ∈ (0, h/2) cho inf y∈Y +2hB f¯ bị chặn X. Cố định h ¯ X f (y) > f (x). Không tính tổng quát ta giả sử ε < inf ¯ X y∈Y +2hB ¯ . f (y) − f (x), h 50 Áp dụng quy tắc tổng mờ không địa phương Định lý 2.1 f1 := f¯ f2 := δ[x,Y ] thu được: tồn z, u với z − u < ε, z ∗ ∈ DF− f (z) = DF− f (z) u∗ ∈ NF ([x, Y ], u) thỏa mãn max( z ∗ , u∗ ). z − u < ε (2.13) f (z) < lim inf η→0 [x,Y ]+ηBX f + ε ≤ f (x) + ε (2.14) cho ||z ∗ + u∗ || < ε. (2.15) Vì [x, Y ] lồi nên NF ([x, y], u) trùng với nón pháp [x, Y ] u theo nghĩa Giải tích lồi. Do đó, u∗ ∈ NF (u, [x, Y ]) kéo theo u∗ , ω − u ≤ 0, ∀ω ∈ [x, Y ]. (2.16) ∀ω ∈ [x, Y ]\ {u} . (2.17) Kết hợp (2.15) (2.16) ta có < z∗, ω − u + ε ω − u , ¯ không ta phải có d(z, Y ) ≤ 2h ¯ Hơn nữa, ta có d(u, Y ) ≥ h f (z) ≥ inf y∈Y +2hB ¯ X f (y) > f (x) + ε. Điều mâu thuẫn với (2.14). ¯ ≤ u − y¯ = (1 − t¯) x − y¯ nên Đặt u := x + t¯(¯ y − x). Khi h − t¯ > 0. Rõ ràng x ∈ / Y. Với y ∈ Y , đặt ω = y + t¯(¯ y − y) = u (2.17) ta nhận < z ∗ , y − u + ε y − u , ∀y ∈ Y. Vậy ta có điều phải chứng minh. (2.18) 51 2.4. Nguyên lý cực trị Định nghĩa 2.14 (Hệ cực trị). Cho Ω1 , Ω2 tập đóng không gian Banach X x¯ ∈ Ω1 ∩ Ω2 . Khi x¯ gọi điểm cực trị địa phương hệ {Ω1 , Ω2 } tồn lân cận U x¯ dãy {aik } ⊂ X, i = 1, cho aik → với i = 1, (Ω1 − a1k ) ∩ (Ω2 − a2k ) ∩ U = φ, ∀k = 1, . (2.19) Ta nói tập Ω1 , Ω2 sinh hệ cực trị (địa phương) {Ω1 , Ω2 } có điểm cực trị địa phương. Định lý 2.15 (Xem [6]. (Nguyên lí cực trị)). Giả sử Ω1 , Ω2 tập đóng X, x¯ ∈ Ω1 ∩ Ω2 điểm cực trị địa phương hệ {Ω1 , Ω2 } . Khi đó, với ε > 0, tồn xn ∈ Ωn ∩ x¯ + εB x∗n ∈ NF (Ωn , xn ), cho x∗1 , x∗2 ≥ − ε x∗1 + x∗2 < ε. (2.20) Chứng minh. Ta kí hiệu phần tử X × X z = (z , z ). Gọi x¯ điểm cực trị địa phương (Ω1 , Ω2 ) x¯ + hBX ⊂ U, U lân cận x¯ định nghĩa điểm cực trị địa phương. Giả sử ε > số dương tùy ý. Lấy a ∈ X cho a < ε Ω1 ∩(Ω2 +a)∩(¯ x+hBX ) = φ. Áp dụng quy tắc tổng mờ không địa phương Định lí 2.1 hàm f1 (z) := δΩ1 ×Ω2 (z) + z − z − a f2 (z) := z − (¯ x, x¯) ta có: tồn xn ξn ∈ DF− fn (xn ), n = 1, thỏa mãn x1 − x2 < ε (2.21) 52 x2 − (¯ x, x¯) ≤ f1 (x1 ) + f2 (x2 ) ≤ lim inf {f1 (y1 ) + f2 (y2 ) : y1 − y2 < η, y1 , y2 ∈ (¯ x, x¯) + hBX×X } + ε η→0 ≤ f1 (¯ x, x¯) + f2 (¯ x, x¯) + ε = a + ε < 2ε (2.22) cho ξ1 + ξ2 < ε . (2.23) Khi ε đủ nhỏ, hệ thức (2.21) (2.22) suy zni − x¯ < min(h, ε). Lấy ε nhỏ nữa, ta có ξ1 < ε ξ2 < ε. Hơn nữa, f1 (x1 ) < ∞ nên x11 ∈ Ω1 , x21 ∈ Ω2 x11 − x21 − a > 0. Do (ξ11 , ξ12 ) = ξ1 ∈ DF− f1 (x1 ) nên x∗1 := ξ11 − ∇ . (x11 − x21 − a) ∈ NF (Ω1 , x1 ) x∗2 := ξ12 + ∇ . (x11 − x21 − a) ∈ NF (Ω2 , x2 ) thỏa mãn kết luận định lí. Kết luận Luận văn tìm hiểu trình bày hệ thống kiến thức vi phân, tìm hiểu quy tắc tổng mờ không địa phương ứng dụng để chứng minh quy tắc tổng mờ địa phương, bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng nguyên lý cực trị. Do điều kiện thời gian hạn chế trình độ có hạn nên Luận văn không tránh khỏi việc có thiếu sót định. Kính mong nhận góp ý đóng góp nhà khoa học bạn đồng nghiệp. Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Xuân Liêm (1997), Giải tích hàm, NXB Giáo dục. [2] Đỗ Văn Lưu, Giải tích Lipschitz, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội. [3] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội. [4] Hoàng Tụy (1979), Giải tích đại: 1, 2, 3, NXB Giáo dục. [5] Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình giải tích đa trị, NXB Khoa học tự nhiên công nghệ. [B] Tài liệu tiếng Anh [6] J. M. Borwein and Q. J. Zhu (1999), A survey of subdifferential calculus with applications, Journal nonlinear analysis, Vol. 38, p. 687-773. [7] A. Ya. Kruger (2003), On Frechet subdifferentials, Journal of Mathematical Sciences 9, pp. 3325-3358. 55 [8] B. S. Mordukhovic (2006), Variational analysis and generalized differentiation I, Springer. [9] R. T. Rockafellar and R. J-B. Wets (1997), Variational analysis, Springer, New York. [...]... Nếu f (x) ≥ µ và (x∗ , λ) ∈ NF (epif, (x, f (x))), thì λ ≤ 0 (iii) Nếu λ = 0 xét trong (ii), thì λ = f (x) và −x∗ λ − ∈ DF f (x) Chương 2 Quy tắc tổng mờ không địa phương và ứng dụng 2.1 Quy tắc tổng mờ không địa phương Có một số cách để phát triển các công cụ của giải tích dưới vi phân để có thể áp dụng cho hàng loạt các vấn đề Borwein, Treiman và Zhu đã sử dụng quy tắc tổng mờ không địa phương như... dụng bởi Crandall và Lions trong chứng minh tính duy nhất của nghiệm nhớt Trong Luận văn này, chúng tôi đề cập tới các mối liên hệ cơ bản đó 33 với xuất phát điểm là quy tắc tổng mờ không địa phương Trong chương này, các khái niệm và các kết quả ta chỉ xét trên các hàm nửa liên tục dưới Nếu không nói gì thêm thì ta luôn giả thiết X là một không gian Banach thực, X ∗ là không gian đối ngẫu của X Ta gọi... Stern và Wolenski lại sử dụng bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng là công cụ chìa khóa; Ioffe bắt đầu với quy tắc tổng mờ địa phương, trong khi đó Mordukhovich và Shao chọn nguyên lí cực trị như một công cụ chính Thực tế chỉ ra rằng tất cả các kết quả cơ bản đều là tương đương, đều khai thác vấn đề theo hai cách khác nhau (a) Nguyên lí biến phân trơn (b) Bổ đề tách đã được sử dụng bởi Crandall và. .. định như sau ¯ epif = epif Bao lồi và bao lồi đóng của hàm f , kí hiệu là cof và cof (hay cl(cof )), được xác định tương ứng như sau epi(cof ) = co(epif ) epi(cof ) = co(epif ) ¯ Nhận xét 1.36 Hàm f đóng ⇔ f = f Định nghĩa 1.37 (Xem [4]) Một không gian tôpô X gọi là không gian lồi địa phương nếu trong X có một cơ sở lân cận gồm toàn tập lồi Cho X là không gian lồi địa phương, f : A → R ∪ {±∞} Định nghĩa... [1], trang 73) Không gian liên hợp của không gian X ∗ gọi là không gian liên hợp thứ hai của không gian định chuẩn X và kí hiệu X ∗∗ Như vậy X ∗∗ = (X ∗ )∗ Định lý 1.11 (Xem [1], trang 85) Cho X là không gian Banach, X ∗∗ là không gian liên hợp thứ hai của X Khi đó, tồn tại một phép đẳng cự tuyến tính từ X vào X ∗∗ 9 Định nghĩa 1.12 (Xem [1], trang 85) Không gian định chuẩn X gọi là không gian phản... diam(S) := sup { x − y : x, y ∈ S} Định lý 2.1 (Xem [6] (Quy tắc tổng mờ không địa phương) ) Cho f1 , , fN : X → R là các hàm nửa liên tục dưới và bị chặn dưới với N fn (yn ) : diam(y1 , , yN ) ≤ η lim inf η→0 < +∞ n=1 − Khi đó, với bất kì ε > 0, tồn tại xn , n = 1, , N và x∗ ∈ DF fn (xn ) thỏa n mãn diam(x1 , , xN ) · max(1, x∗ , , x∗ ) < ε 1 N (2.1) và N N fn (yn ) : diam(y1 , , yN ) ≤ η fn (xn ) < lim... dàng chứng minh được rằng, tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X với phép cộng ánh xạ tuyến tính và phép nhân ánh xạ tuyến tính với một số thực lập thành một không gian vectơ (tuyến tính) thực Ta gọi không gian này là không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu) của X và kí hiệu là X ∗ Định lý 1.9 (Xem [1]) Không gian X ∗ với chuẩn xác định bởi x ∗ ∗ | x∗ , x | = sup x x=0 là một không. .. → R và f2 : X → R là các hàm dưới khả vi tại x Khi đó f1 + f2 dưới khả vi tại x và − − − DF (f1 + f2 )(x) ⊃ DF f1 (x) + DF f2 (x) Hệ quả 1.60 (Xem [9]) Cho f1 : X → R và f2 : X → R là các hàm hữu hạn tại x và f1 + f2 và −f1 là dưới khả vi tại x Khi đó f2 dưới khả vi tại x và − − + DF f2 (x) ⊃ DF (f1 + f2 )(x) − DF f1 (x) Hệ quả 1.61 (Xem [9]) Cho f1 : X → R và f2 : X → R là các hàm hữu hạn tại x và. .. này trình bày định nghĩa hàm Lipschitz Cho X là không gian Banach, ánh xạ f : X → R Định nghĩa 1.41 (Hàm Lipschitz) Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương tại x ∈ X hay Lipschitz ở gần x, nếu tồn tại lân cận U của x, số k > 0 sao cho (∀u, v ∈ U ) , |f (u) − f (v)| ≤ k u − v (1.5) Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương trên tập Y ⊂ X, nếu f Lipschitz địa phương tại mọi u ∈ Y 17 Hàm f được gọi là Lipschitz... quả 1.62 (Xem [9]) Cho f1 : X → R và f2 : X → R là các hàm hữu hạn tại x và f1 khả vi Fréchet tại x Nếu f1 + f2 đạt cực tiểu địa − phương tại x, thì − f1 (x) ⊂ DF f2 (x) Định nghĩa 1.63 (Xem [9]) Cho X, Y là các không gian Banach thực, hàm f : X → R thỏa mãn tại x, ||f (u) − f (x)|| ≤ l||u − x|| 25 với một số l > 0 và mọi u trong một lân cận nào đó của x Cho h : X → Y và y ∗ ∈ Y ∗ Ta xét một hàm vô . . . . 30 Chương 2. Quy tắc tổng mờ không địa phương và ứng dụng . 32 2.1. Quy tắc tổng mờ không địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2. Quy tắc tổng mờ địa phương . . . . . . niệm và kết quả của Giải tích hàm, khái niệm dưới vi phân Frechet. Chương 2 trình bày về quy tắc tổng mờ không địa phương của Bor- wein, Treiman, Zhu. Ứng dụng để chứng minh quy tắc tổng mờ địa phương. Clarke, Ledyaev và nguyên lý cực trị của Mordukhovich. 2. Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu về quy tắc tổng mờ không địa phương của Borwein, Treiman, Zhu. Ứng dụng để chứng minh quy tắc tổng mờ địa phương của