Định nghĩa 2.14 (Hệ cực trị). Cho Ω1,Ω2 là các tập đóng trong không gian Banach X và x¯∈ Ω1∩Ω2. Khi đó x¯ gọi là điểm cực trị địa phương của hệ {Ω1,Ω2} nếu tồn tại một lân cận U của x¯ và các dãy {aik} ⊂ X, i = 1,2 sao cho aik → 0 với i = 1,2 và
(Ω1 −a1k)∩ (Ω2 −a2k)∩U = φ, ∀k = 1,2... (2.19) Ta nói các tập Ω1,Ω2 sinh ra một hệ cực trị (địa phương) {Ω1,Ω2} nếu nó có ít nhất một điểm cực trị địa phương.
Định lý 2.15 (Xem [6]. (Nguyên lí cực trị)). Giả sử Ω1,Ω2 là các tập đóng trong X, x¯ ∈ Ω1 ∩ Ω2 là một điểm cực trị địa phương của hệ
{Ω1,Ω2}. Khi đó, với mọi ε > 0, tồn tại xn ∈ Ωn ∩ x¯ + εB và x∗n ∈ NF(Ωn, xn), sao cho
kx∗1k,kx∗2k ≥ 1−ε và kx∗1 +x∗2k < ε. (2.20) Chứng minh. Ta kí hiệu các phần tử của X ×X bởi z = (z1, z2). Gọi x¯
là một điểm cực trị địa phương của (Ω1,Ω2) và x¯+hBX ⊂U, trong đó U
là một lân cận của x¯ như trong định nghĩa của điểm cực trị địa phương. Giả sử ε0 > 0 là một số dương tùy ý. Lấy a ∈ X sao cho kak < ε0 và
Ω1∩(Ω2+a)∩(¯x+hBX) = φ.Áp dụng quy tắc tổng mờ không địa phương của Định lí 2.1 đối với các hàm f1(z) := δΩ1×Ω2(z) + z1 −z2 −a và
f2(z) := kz−(¯x,x¯)k2 ta có: tồn tại xn và ξn ∈ DF−fn(xn), n = 1,2 thỏa mãn
và kx2 −(¯x,x¯)k2 ≤ f1(x1) +f2(x2) ≤lim inf η→0 {f1(y1) + f2(y2) : ky1 −y2k < η, y1, y2 ∈ (¯x,x¯) +hBX×X}+ε0 ≤f1(¯x,x¯) +f2(¯x,x¯) +ε0 = kak+ε0 < 2ε0 (2.22) sao cho kξ1 + ξ2k < ε0. (2.23) Khi ε0 đủ nhỏ, các hệ thức (2.21) và (2.22) suy ra zni −x¯ < min(h, ε). Lấyε0 nhỏ hơn nữa, ta còn có kξ1k < εvà kξ2k < ε.Hơn nữa, f1(x1) < ∞
nên x11 ∈ Ω1, x21 ∈ Ω2 và do đó x11 −x21 −a > 0. Do (ξ11, ξ12) = ξ1 ∈ DF−f1(x1) nên x∗1 := ξ11 − ∇ k.k(x11 − x21 − a) ∈ NF(Ω1, x1) và x∗2 :=
Kết luận
Luận văn đã tìm hiểu và trình bày hệ thống các kiến thức về dưới vi phân, tìm hiểu về quy tắc tổng mờ không địa phương và các ứng dụng của nó để chứng minh quy tắc tổng mờ địa phương, bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng và nguyên lý cực trị.
Do điều kiện thời gian hạn chế và trình độ có hạn nên Luận văn không tránh khỏi việc có những thiếu sót nhất định. Kính mong nhận được những góp ý đóng góp của các nhà khoa học và các bạn đồng nghiệp.
Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu tiếng Việt
[1] Nguyễn Xuân Liêm (1997), Giải tích hàm, NXB Giáo dục.
[2] Đỗ Văn Lưu, Giải tích Lipschitz, NXB Khoa học và kỹ thuật Hà Nội.
[3] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội.
[4] Hoàng Tụy (1979), Giải tích hiện đại: 1, 2, 3, NXB Giáo dục. [5] Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình giải tích đa trị, NXB Khoa
học tự nhiên và công nghệ. [B] Tài liệu tiếng Anh
[6] J. M. Borwein and Q. J. Zhu (1999), A survey of subdifferential calculus with applications, Journal nonlinear analysis, Vol. 38, p. 687-773.
[7] A. Ya. Kruger (2003), On Frechet subdifferentials, Journal of Math- ematical Sciences 9, pp. 3325-3358.
[8] B. S. Mordukhovic (2006), Variational analysis and generalized dif- ferentiation I, Springer.
[9] R. T. Rockafellar and R. J-B. Wets (1997), Variational analysis, Springer, New York.