Định lí điểm bất động trên không gian kiểu metric

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC Sư PHẠM -Oáưềo - OUTHONG PHONEPASEUTH ĐỊNH LÍ ĐIỀM BẤT ĐỘNG TRÊN KHƠNG GIAN KIỀU METRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC Sư PHẠM Oáưềo OUTHONG PHONEPASEUTH ĐỊNH LÍ ĐIỀM BẤT ĐỘNG TRÊN KHƠNG GIAN KIỀU METRIC Ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng PGS.TS Phạm Hiến dẫn khoa Bằng học THÁI NGUYÊN2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các tài liệu luận văn trung thực Luận văn chưa cơng bố cơng trình khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực Luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn Lu ận văn rõ nguồn gốc Tác giả Outhong PHONEPASEUTH LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin cám ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Bản luận văn chắn khơng tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tháng 06 năm 2018 Tác giả MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Như biết, nguyên lí ánh xạ co phát biểu chứng minh cơng trình Banach năm 1922 định lý quan trọng giải tích hàm cổ điển Về sau nhà toán học mở rộng nguyên lý cho nhiều loại ánh xạ không gian khác nhau, đặc biệt không gian kiểu metric Bởi nguyên lý ánh xạ co Banach xem khởi nguồn cho nghiên cứu lý thuyết điểm bất động không gian kiểu metric Ý nghĩa nằm chỗ áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực toán học Các kết nghiên cứu điểm bất động điểm bất động chung ánh xạ thỏa mãn điều kiện co metric biết thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Trong năm gần đây, số tác giả đạt nhiều kết điểm bất động điểm bất động chung lớp ánh xạ khác không gian metric tổng quát Bakhtin, Czerwik, Khamsi, Hussain, Edelstein, Suzuki Ở tập trung vào khơng gian Cụ thể hơn, khơng gian kiểu metric, hay cịn gọi khơng gian b — metric Do tơi chọn đề tài: “Định lý điểm bất động không gian kiểu metric “ Đề tài có ý nghĩa thời sự, nhiều nhà toán học ngồi nước quan tâm nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu trình bày số kết điểm bất động không gian kiểu metric 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày tổng quan hệ thống số kết không gian metric, không gian kiểu metric số định lý điểm bất động không gian đó, bao gồm điểm bất động ánh xạ không gian kiểu metric compact dãy, điểm bất động không gian kiểu metric thứ tự, điểm bất động khơng gian metric nón, điểm bất động không gian kiểu metric đầy đủ Cuối áp dụng kết đạt vào xét tồn nghiệm phương trình tích phân Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp giải tích hàm Bố cục luận văn Nội dung luận văn viết chủ yếu dựa tài liệu [1], [4], [8] [10], gồm 42 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày tổng quan hệ thống vài kết không gian metric, không gian kiểu metric số định lý điểm bất động không gian Chương 2: Là nội dung luận văn, trình bày lại kết nghiên cứu gần M Cosentino, P Salimi P Vetro điểm bất động ánh xạ không gian kiểu metric compact dãy, điểm bất động không gian kiểu metric thứ tự, điểm bất động khơng gian metric nón, điểm bất động không gian kiểu metric đầy đủ Cuối áp dụng kết đạt vào xét tồn nghiệm phương trình tích phân Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt CHƯƠNG KHÔNG GIAN KIỂU METRIC 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1.1 Cho X tập hợp tùy ý d X X X —> R : hàm số thỏa mãn điều kiện sau: a) d(x, y)>Q,Vx,y eX; d(x,y)=o Ox=y b) d(x,y) = d(y,x),¥x,y E X c) d(x, z) < d(x,y) + d(y, z), \/x, y,z E X Khi d gọi metric hay khoảng cách X Cặp X d gọi không ( , ) gian metric Mỗi phần tử X gọi điểm, d(x, y gọi khoảng ) cách hai điểm x y Sau vài tính chất metric: Mệnh đề 1.1.2 a) Nếu x,,x~ xEX , , 12 n d(x1, xn ) [0,+ oo) : (X, d khơng gian đối xứng (cịn gọi E — khơng gian) ) thỏa mãn điều kiện sau đây: a) d(x, y) = x = y; b) d(x, y) = d(y, x) với x, y E X Không gian đối xứng khác không gian metric khơng có bất đẳng thức tam giác Tuy nhiên, nhiều khái niệm định nghĩa giống khái niệm khơng gian metric Ví dụ, không gian đối xứng (X, d ) điểm giới hạn dãy {x định nghĩa } lim d(xn, x) = lim Xn = X Dã y {xn} c X gọi dãy Cauchy với £ > 0, tồn số nguyên dương n(e) cho d(xm, xn) < £ với m, n>n(£) Không gian đối xứng (X, d gọi đầy đủ dãy ) Cauchy hội tụ phần tử x G X Định nghĩa 1.2.2 Cho X tập khác rỗng K > số thực cho trước Hàm số d : X X X [0, +oo) gọi kiểu metric (hay b — metric) với x, y, z E X điều kiện sau thỏa mãn: a) d(x, y) = x — y; b) d(x, y) = d(y, x); c) d(x, y) ]R, 11 /11 = sup I f(x) |< +oo} xeX II f 11= V ư3 IL Hàm d : Cb(X)xCb(ty-> [0, +oo) xác định d(f,g) =11 / -0 II với f,geCb(X) kiểu metric với K = VÃ , (Cb(X d, 34) khơng gian kiểu metric ), Chú ý a, b hai số thực khơng âm, (a + &)3 < 4(ữ3 + b3) 3a + b Điều kéo theo 10 + ^b gx dãy giảm Vì g(X) không gian compact theo dãy X, nên ta giả sử gxn —> gu với u G X Bây giờ, từ điều kiện (2.11) suy gu gx với n G N u {0} Ta chứng minh fu = gu Thật vậy, giả sử fu gu, theo giả thiết (2.10), ta có d(gu, fu) = lim d(gxn+vfu) = lim d(fx fu) < lim n^+oo [ad(gx gù) + (3d(gx fx) + yỉ(gu, fu) d(gxndu)+Ld(gu,fxn)] = yd(gu, fù) + d(gu, fu) K = + 77 d(gu,fu) < d(gu,fiì) K \/ Mâu thuẫn, gu = fu Vì vậy, u điểm trùng f g Bây giờ, giả sử tập hợp tất điểm trùng f g thứ tự tốt Ta chứng minh điểm trùng f g Giả sử ngược lại tồn điểm V E X cho fv — gv với gu^ gv Giả sử gu -< gv, u -< gu -< gv = fv V u, V so sánh Bây giờ, áp dụng điều kiện (2.10), ta có d(fu, fv) Ca /3ộr0,/;r0) < Cp Lấy dãy {x} c X xác định x = fnx0 = fx với n E N Theo chứng minh Định lý 2.4.3, {xn} dãy Cauchy cho a(xn,xn+A}>Ca (d(xn,xn+^ < Cp với n E N u {0} Vì X đầy đủ, nên tồn z e X cho dãy {xn} hội tụ đến z Bây giờ, áp dụng điều kiện co (2.15) điều kiện (ii), ta suy d(z, fz) < K d(zgrn+J + ^d(xn+vfz) \ ,Kz ; X 7/ p \ x „+1) + ^-«k,W n, z) K ^fi(x x 7Z Ấ ,z)d(x z) < Kd(z,xn+^ + n n _ 7Z X , KC X : xác định ,2 x E [0,1] f(x )=- sin X x E (l,+oo) [0, +oo) xác định -7 X, y E [0,1] z «O,y) = Ì2 x, y ^ , x y G 0,1 Mặt khác với Vw 0,1] ta có fw < a(fx, fy)>^- , , = | Rõ ràng, a(0,/0) >1 /3(0, /0) -ir = p(x,y)d(x,y) Tại điểm khác ta có a(x, y) = 0, = a(x,ỳ)d(Jx,fỳ) < /3(x, y)d(x,y) Khi đó, tất giả thiết Định lý 2.4.3 thỏa mãn f có điểm bất động 2.5 □ Sự tồn nghiệm phương trình tích phân Cho X = C([0, T],R) tập hợp hàm thực liên tục xác định [0, T] d : X X X [0, +00) xác định d(x, y (x-yỴ ) = II 11^ với x, y E X Khi (X, d, 2) không gian kiểu metric đầy đủ Xét phương trình tích phân x (t S(t,s')f(.s,x(s))ds (2.16) F : X X ánh xạ xác định T F(x)(t) = p(t) + Ị S(t,s)f(s,x(sỴ)ds (2.17) Giả sử: (i) f : [0, T] X R -> R liên tục; (ii)p : [0, T] ^ R liên tục; (iii) S : [0, T] X [0, T]^ [0, +oo) liên tục; (iv) cho Tồn ánh xạ TỊ: X X X —» [0, +oo) : X X X —> R ỡ(x, y)>0 với x, y G X, với s G [0, T] ta có < I f(s, x(s£ - f(s, y(sỴ) I < T](x, y) I x(s) - y(s) I; (v) Tồn xQ E X Ao G [0,1 / 2) cho ỡ(xQÌ-Fộr0)) > II Jo S(t,s)ĩ1(x0,F(x0£ds\\JT; (vi) Nếu ỡ(x,y) > với x, y E X, 0{Fx,Fỳ) >0 ÀG[0,1/2) II £s(t,s)ĩì(x,y)ds IL < c => II £S(t,sMFx,Fy)ds IL< VÃ; (vii) xn -n X với n Nếu {xn} c X dãy cho 0(xn,x ) > với n G N u {0} + oc, 0(xn, x) >0 với n G N u {0} Khi ta có kết sau: Định lý 2.5.1 Với giả thiết (i) — (viỉ), phương trình tích phân (2.16) có nghiệm X = X xác định (2.17) Theo điều kiện (iv), ta có F(xgp^^ = í £s(O)[f(S,x(Sy)-f(S,ygCs I2 ’ S(í,s) I f(s,x(s)) -f(s,y(sỴ) I ds] f0 s(í, s)ĩ](x, y)yỊ\ x(s) - y(s) |2 ds S(í, s)r/(x, y)J\ I (x - yỴ I Ịds ( Í‘T = (^-v) L S(t,s)r/(x,y)ds ,o Khi ’ S(t, s)rj(x, y)ds Bây giờ, xét ánh xạ a : X X X —> [0, +oo) xác định a(x, ỳ) = ớ(ír, y) > a(x, y) = điểm lại J>T ’ S(t,s)ĩ](x,y)ds \\2 Khi với x, y E X ta có a(x, ỳ)d(F(x), F(y)) < Ị3(x, y)d(x, y) Chọn Ca = Cp = Ao, tất giả thiết Định lý 2.4.3 thỏa mãn ánh xạ F có điểm bất động nghiệm phương trình tích phân KẾT LUẬN Luận văn trình bày: Tổng quan hệ thống vài kết không gian metric, không gian kiểu metric số định lý điểm bất động không gian metric khơng gian kiểu metric (Định lí 1.3.1, Định lí 1.3.2, Định lí 1.3.3 Định lí 1.3.4) Một số kết điểm bất động ánh xạ khơng gian kiểu metric compact dãy (Định lí 2.1.1, Định lí 2.1.5 Định lí 2.1.9), điểm bất động chung ánh xạ không gian kiểu metric thứ tự (Định lí 2.2.1 Định lí 2.2.2), điểm bất động khơng gian metric nón (Định lí 2.3.2), điểm bất động không gian kiểu metric đầy đủ (Định lí 2.4.3) Cuối áp dụng kết đạt vào xét tồn nghiệm phương trình tích phân (Định lí 2.5.1) TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Đỗ Văn Lưu (1998), Tôpô đại cương, Nxb khoa học kỹ thuật TIẾNG ANH [2] Altun I., Durmaz G (2009), “Some fixed point theorems on ordered cone metric spaces” Rend Circ Mat Palermo 58, 319-325 [3] Chugh R., Kumar S (2001),"Common fixed points for weakly compatible maps", Proc Indian Acad Sci (Math Sci.), Vol 111, No 2, pp 241-247 [4] Cosentino M., Salimi P., Vetro P (2014), “Fixed point results on metric-type spaces”, Acta Math Scien, 34B(4):1237-1253 [5] Edelstein M (1962), “On fixed and periodic points under contractive mappings” JLondon Math Soc 37, 74 -79 [6] Huang L.G., Zhang X (2007), “Cone metric spaces and fíxed point theorems of contractive mappings” J Math Anal Appl 332, 14681476 [7] Hussain N., Dori'c D., Kadelburg Z., RadenovLc S (2012), “Suzukitype fixed point results in metric type spaces” Fixed Point Theory Appl, 2012:126 [8] Jovanovic M., Kadelburg Z., and Radenovic S (2010) “Common fixed point results in metric-type spaces”, Fixed Point Theory Appl, Vol 2010, Article ID 978121, 15 pages doi:10.1155/2010/978121 [9] Khamsi M A (2010) “Remarks on cone metric spaces and fíxed point theorems of contractive mappings” Fixed Point Theory Appl, Article ID 315398, pages [10] Kirk W., Shahzad N.(2014), Fixed point theory in distance spaces, Springer International Publishing Switzerland [11] Nieto J.J., Rodriguez-Lopez R (2005), “Contractive mapping theorems in partially ordered sets and applications to ordinary differential equations” Order 22, 223-239 [12] Ran A.C.M., Reurings M.C (2004), “A fixed point theorem in partially ordered sets and some applications to matrix equations” Proc Amer Math Soc 132, 1435-1443 [13] Suzuki T (2009) “A new type of fíxed point theorem in metric spaces” Nonlinear Anal, 71, 5313-5317 ... bao gồm điểm bất động ánh xạ không gian kiểu metric compact dãy, điểm bất động không gian kiểu metric thứ tự, điểm bất động khơng gian metric nón, điểm bất động không gian kiểu metric đầy đủ... gian kiểu metric (Định lí 1.3.1, Định lí 1.3.2, Định lí 1.3.3 Định lí 1.3.4) Một số kết điểm bất động ánh xạ không gian kiểu metric compact dãy (Định lí 2.1.1, Định lí 2.1.5 Định lí 2.1.9), điểm. .. điểm bất động chung ánh xạ không gian kiểu metric thứ tự (Định lí 2.2.1 Định lí 2.2.2), điểm bất động khơng gian metric nón (Định lí 2.3.2), điểm bất động khơng gian kiểu metric đầy đủ (Định lí